Текстовые задачи

Текстовая задача выглядит по-разному — про катер, про две трубы, про раствор кислоты, — но внутри у неё всегда одинаковый скелет. Есть три связанные величины, и одна из них равна произведению двух других. Научишься видеть эту тройку — и любая задача из темы перестанет быть «новой».

В движении это путь = скорость · время. В работе — работа = производительность · время, где производительность это доля работы за час. В растворах — масса вещества = концентрация · масса раствора, а концентрация это доля чистого вещества во всей массе. Три разных сюжета, а формула по сути одна:

Отсюда универсальный порядок действий. Обозначь буквой то, что спрашивают — или удобную промежуточную величину. Вырази через неё всё остальное по формуле «одно равно произведению двух». Потом составь уравнение из того условия, которое ты ещё не использовал: равные времена, общее расстояние, суммарная работа. Решил уравнение — вернись к вопросу и проверь, что нашёл именно нужную величину, а не вспомогательную.

Так устроено задание № 10, где модель ты собираешь сам. В задании № 9 формула уже дана в условии — там её нужно применить или исследовать, и об этом поговорим отдельным блоком. В обоих номерах числа подобраны так, чтобы ответ был целым или короткой десятичной дробью, а калькулятор на экзамене запрещён — значит, всё должно считаться руками.

В задачах на работу саму работу почти никогда не измеряют в конкретных единицах — её удобно принять за единицу: один наполненный бассейн, одна вспаханная поляна, один выполненный заказ. Тогда главной величиной становится производительность — какую долю всей работы объект делает за единицу времени.

Если труба наполняет бассейн за $t$ часов, то за один час она наполняет долю $1/t$ бассейна. Это и есть её производительность. Когда работают вместе, производительности складываются:

Складываются именно доли работы за час, а не часы. Здесь прячется самая частая ошибка темы: время совместной работы нельзя получить ни сложением, ни полусуммой исходных времён.

Пример: первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 12. Вместе за час они дают $1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4$ бассейна. Значит, весь бассейн наполнится за 4 часа — быстрее, чем каждая труба по отдельности, и это разумно: вдвоём всегда быстрее, чем поодиночке.

Обратный ход тоже частый. Двое рабочих вместе красят забор за 6 часов, а первый в одиночку — за 10. Тогда производительность второго — это разность: $1/6 - 1/10 = 5/30 - 3/30 = 2/30 = 1/15$, то есть один второй красит забор за 15 часов. Проверка на разумность: в одиночку должно получаться дольше, чем вдвоём, — 15 > 6, всё сходится.

Процент — это сотая доля числа: $1\% = 1/100$. Поэтому $p\%$ от числа $a$ — это $a \cdot p / 100$. Найти проценты от числа значит умножить, а не «прибавить проценты».

Ключевой приём — множители. Увеличить величину на $p\%$ значит умножить её на $1 + p/100$; уменьшить на $p\%$ — умножить на $1 - p/100$:

Когда изменений несколько подряд, множители перемножаются — и вот тут проценты ведут себя неожиданно. Пусть цена сначала выросла на 20 %, а потом упала на 20 %. Кажется, что вернулись к началу. Но $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ — цена стала на 4 % меньше исходной. Причина простая: скидку в 20 % считают уже от выросшей цены, а не от начальной.

Отсюда правило: проценты нельзя просто складывать и вычитать, если они берутся от разных величин. «Выросло на 10 %, потом упало на 10 %» даёт $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$ — минус 1 % от начала, а не ноль. Каждый процент считай от той базы, к которой он относится по условию.

В задании № 10 модель ты собираешь сам. В задании № 9 наоборот: формула уже записана в условии, и разбирать сюжет не нужно — надо аккуратно с ней поработать. Встречаются четыре просьбы: подставить значение, решить уравнение из формулы, решить неравенство «не более / не менее» и найти наибольшее значение параболы.

Подставить значение. Дана зависимость и известен аргумент — просто подставь его, следя за степенями. Пусть тело остывает по закону $T(t) = 25 + 70 \cdot 2^{-t/2}$ (градусы, t в минутах). Через 4 минуты $T(4) = 25 + 70 \cdot 2^{-2} = 25 + 70/4 = 42{,}5$ градуса.

Решить уравнение из формулы. Иногда наоборот: дано значение функции, найди аргумент. Стоимость поездки на такси — $C(d) = 150 + 12d$ рублей за d километров. Если поездка обошлась в 330 рублей, то $150 + 12d = 330$, откуда $12d = 180$ и $d = 15$ км.

Неравенство «не более / не менее». Часто спрашивают крайнее допустимое значение. Тормозной путь автомобиля — $S = v^2/20$ метров при скорости v км/ч. При какой наибольшей скорости путь не превысит 45 метров? Условие $v^2/20 \le 45$ даёт $v^2 \le 900$, то есть $v \le 30$. Наибольшая скорость — 30 км/ч.

Найти наибольшее значение параболы. Если зависимость вида $h(t) = at - bt^2$ (брошенный вверх камень, полёт мяча), её ветви направлены вниз, и максимум достигается в вершине при $t = a/(2b)$. Пусть $h(t) = 30t - 5t^2$. Вершина при $t = 30/(2 \cdot 5) = 3$ с, наибольшая высота $h(3) = 90 - 45 = 45$ метров.

Общий приём один: пойми, что от тебя хотят — число, корень уравнения, границу неравенства или вершину, — и сведи задачу к одному короткому действию. Числа и здесь подобраны так, чтобы всё считалось руками.