Текстовые задачи

Q: Как решать задание 10 по профильной математике?

Шаги такие: 1) определи сюжет; 2) обозначь неизвестное буквой; 3) вырази через букву всё остальное; 4) составь уравнение из неиспользованного условия; 5) реши и отбрось лишние корни; 6) вернись к вопросу и проверь.

Q: Что нужно запомнить по теме «Текстовые задачи»?

Главное: 1) S = v · t; 2) Навстречу: v₁ + v₂. Вдогонку и против течения: v₁ − v₂; 3) 1/(tобщ) = 1/t₁ + 1/t₂; 4) +p%: × (1 + p/100); -p%: × (1 - p/100); 5) Проценты подряд — перемножай множители, не складывай; 6) c = mв/(mр). Остальное — в разделе темы выше.

Текстовая задача — это задача, где сюжет из обычных слов нужно перевести в математику: внутри всегда три величины, и одна равна произведению двух других. На ЕГЭ тема нужна в заданиях 10 и 11 (по 1 баллу): в задании 11 уравнение составляют сами, в задании 10 формула дана в условии; на тех же моделях держатся задания 13 и 17.

Решать задание 10 ЕГЭ

Модели текстовых задач в одной таблице

Формулы для движения, работы, процентов и смесей и когда их применять
Сюжет	Формула	Когда применять и на что смотреть
Движение	S = v·t	Основа всех задач на движение; скорость берут уже пересчитанную
Навстречу	tвстр = S/(v₁ + v₂)	Скорость сближения — сумма скоростей
Вдогонку	v₁ - v₂	Скорость сближения — разность скоростей
По течению и против	v + u, v − u	v — собственная скорость, u — скорость течения; плот плывёт со скоростью u
Совместная работа	1/(tобщ) = 1/t₁ + 1/t₂	Работу принимают за единицу; складывают доли за час, а не часы
Проценты	a(1 ± p/100)	Изменения подряд — множители перемножают: +20 % и −20 % дают 0,96
Концентрация	c = mв/(mр)	В знаменателе весь раствор; при доливе воды масса вещества не меняется
Готовая формула с параболой	h(t) = at - bt², t = a/(2b)	Задание 10: наибольшее значение достигается в вершине

Быстрые ответы

Что такое текстовая задача?

Текстовая задача — задача, в которой сюжет из обычных слов нужно перевести на язык математики. Внутри у неё всегда одинаковый скелет: три связанные величины, одна из которых равна произведению двух других. В движении это путь = скорость · время, в работе — работа = производительность · время.

Как решать задание 10 по профильной математике?

Шаги такие:

определи сюжет
обозначь неизвестное буквой
вырази через букву всё остальное
составь уравнение из неиспользованного условия
реши и отбрось лишние корни
вернись к вопросу и проверь.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Текстовые задачи»?

Складывают проценты напрямую. Рост на 20 %, а потом падение на 20 % дают не ноль, а 1,2 · 0,8 = 0,96 — минус 4 %. Каждый процент берётся от своей базы, поэтому изменения перемножают через множители, а не складывают.

Что нужно запомнить по теме «Текстовые задачи»?

Главное:

S = v · t
Навстречу: v₁ + v₂. Вдогонку и против течения: v₁ − v₂
1/(tобщ) = 1/t₁ + 1/t₂
+p%: × (1 + p/100); -p%: × (1 - p/100)
Проценты подряд — перемножай множители, не складывай
c = mв/(mр).

Остальное — в разделе темы выше.

Текстовая задача проверяет не формулу, а умение перевести обычные слова в математику. В задании № 11 ты сам составляешь уравнение по сюжету — движение, работа, проценты или смеси, — а в задании № 10 формула уже дана в условии, и её нужно применить или исследовать. Разберём оба типа по шагам, чтобы они решались почти на автомате, а числа сходились без калькулятора.

Обновлено 3 октября 2026

Одна модель на все сюжеты

Текстовая задача выглядит по-разному — про катер, про две трубы, про раствор кислоты, — но внутри у неё всегда одинаковый скелет. Есть три связанные величины, и одна из них равна произведению двух других. Научишься видеть эту тройку — и любая задача из темы перестанет быть «новой».

В движении это путь = скорость · время. В работе — работа = производительность · время, где производительность это доля работы за час. В растворах — масса вещества = концентрация · масса раствора, а концентрация это доля чистого вещества во всей массе. Три разных сюжета, а формула по сути одна:

в строку: S = v · t, A = p · t, mв = c · mр

Отсюда универсальный порядок действий. Обозначь буквой то, что спрашивают — или удобную промежуточную величину. Вырази через неё всё остальное по формуле «одно равно произведению двух». Потом составь уравнение из того условия, которое ты ещё не использовал: равные времена, общее расстояние, суммарная работа. Решил уравнение — вернись к вопросу и проверь, что нашёл именно нужную величину, а не вспомогательную.

Так устроено задание № 11, где модель ты собираешь сам. В задании № 10 формула уже дана в условии — там её нужно применить или исследовать, и об этом поговорим отдельным блоком. В обоих номерах числа подобраны так, чтобы ответ был целым или короткой десятичной дробью, а калькулятор на экзамене запрещён — значит, всё должно считаться руками.

Проверь себя за 10 секунд

Из двух посёлков, расстояние между которыми 30 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 11 и 19 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

При движении навстречу скорости складываются: скорость сближения 11 + 19 = 30 км/ч. Время до встречи — всё расстояние на эту сумму: 30/30 = 1 час.

Ещё 5 вопросов — к мини-тесту

Пустая лодка на маршруте, две трубы и смешивание жидкостей как три модели текстовых задач — Разные сюжеты сводятся к одной связи трёх величин: результата, темпа и времени или количества.

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 10 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Температура нагревательного элемента меняется по закону T(t)=20+12t-0,5t², где T — температура в градусах Цельсия, t — время в минутах после включения, 0≤t≤20. Через сколько минут после включения температура впервые достигнет 84 °C?

Показать ответ
Задание 2 из 2

Стоимость производства x единиц товара составляет C(x) = 2x^2 + 50x + 200 рублей. Средняя стоимость единицы: c(x) = C(x)/x. При каком объёме производства средняя стоимость минимальна?

Показать ответ

Как решать задачи на движение навстречу, вдогонку и по течению?

Всё движение в задачах держится на S = vt. Сложным его делает не формула, а то, что тел обычно два, и важно, как их скорости складываются. Тут три модели, и перепутать их — главная ошибка темы.

Навстречу друг другу. Расстояние между телами сокращается со скоростью сближения, равной сумме скоростей. Время до встречи — это всё расстояние, делённое на сумму скоростей:

в строку: tвстр = S/(v₁ + v₂)

Проверь на числах: два пешехода вышли навстречу из посёлков, между которыми 24 км, со скоростями 4 и 8 км/ч. Скорость сближения 4 + 8 = 12 км/ч, встреча через 24/12 = 2 ч.

Вдогонку. Один догоняет другого, и расстояние между ними сокращается со скоростью сближения, равной разности скоростей: v₁ - v₂. Если велосипедист едет со скоростью 15 км/ч, а пешеход в 6 км впереди идёт со скоростью 5 км/ч, то велосипедист приближается со скоростью 15 − 5 = 10 км/ч и настигнет пешехода через 6/10 = 0,6 ч.

По течению и против течения. Река помогает или мешает. Пусть v — собственная скорость (в стоячей воде), u — скорость течения. Тогда по течению тело плывёт со скоростью v + u, против течения — v − u. Плот или бревно собственной скорости не имеют, поэтому плывут ровно со скоростью течения u.

Модель выбирают по первому же слову условия: «навстречу» — складываем, «вдогонку» и «против течения» — вычитаем. Дальше во всех трёх случаях работает одна и та же S = vt, просто скорость берётся уже пересчитанная.

Навстречу друг другу расстояние S сокращается со скоростью сближения v₁ + v₂

Как решать задачи на совместную работу?

В задачах на работу саму работу почти никогда не измеряют в конкретных единицах — её удобно принять за единицу: один наполненный бассейн, одна вспаханная поляна, один выполненный заказ. Тогда главной величиной становится производительность — какую долю всей работы объект делает за единицу времени.

Если труба наполняет бассейн за t часов, то за один час она наполняет долю 1/t бассейна. Это и есть её производительность. Когда работают вместе, производительности складываются:

в строку: 1/(tобщ) = 1/t₁ + 1/t₂

Складываются именно доли работы за час, а не часы. Здесь прячется самая частая ошибка темы: время совместной работы нельзя получить ни сложением, ни полусуммой исходных времён.

Пример: первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 12. Вместе за час они дают 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 бассейна. Значит, весь бассейн наполнится за 4 часа — быстрее, чем каждая труба по отдельности, и это разумно: вдвоём всегда быстрее, чем поодиночке.

Обратный ход тоже частый. Двое рабочих вместе красят забор за 6 часов, а первый в одиночку — за 10. Тогда производительность второго — это разность: 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15, то есть один второй красит забор за 15 часов. Проверка на разумность: в одиночку должно получаться дольше, чем вдвоём, — 15 > 6, всё сходится.

Как решать задачи на проценты?

Процент — это сотая доля числа: 1% = 1/100. Поэтому p% от числа a — это a·p/100. Найти проценты от числа значит умножить, а не «прибавить проценты».

Ключевой приём — множители. Увеличить величину на p% значит умножить её на 1 + p/100; уменьшить на p% — умножить на 1 − p/100:

в строку: a → a(1 + p/100), a → a(1 - p/100)

Когда изменений несколько подряд, множители перемножаются — и вот тут проценты ведут себя неожиданно. Пусть цена сначала выросла на 20 %, а потом упала на 20 %. Кажется, что вернулись к началу. Но 1,2·0,8 = 0,96 — цена стала на 4 % меньше исходной. Причина простая: скидку в 20 % считают уже от выросшей цены, а не от начальной.

Отсюда правило: проценты нельзя просто складывать и вычитать, если они берутся от разных величин. «Выросло на 10 %, потом упало на 10 %» даёт 1,1·0,9 = 0,99 — минус 1 % от начала, а не ноль. Каждый процент считай от той базы, к которой он относится по условию.

Как решать задачи на смеси, сплавы и концентрацию?

Раствор, сплав или смесь состоят из чистого вещества (соль, кислота, медь) и остального (вода, другой металл). Концентрация — это доля чистого вещества во всей массе:

в строку: c = mв/(mр), mв = c · mр

Важно: в знаменателе — масса всего раствора, то есть вещество вместе с растворителем, а не только растворитель. Концентрацию удобно держать долей (0,3), а в ответ при необходимости переводить в проценты (30 %).

Когда растворы смешивают, работает один закон сохранения: масса чистого вещества складывается, и масса раствора складывается. Концентрация же не складывается — итоговая всегда оказывается где-то между исходными. Разберём: сплав из 20 % меди массой x кг и сплав из 60 % меди массой y кг сплавили в 12 кг с содержанием меди 45 %. Масса всего сплава даёт x + y = 12, а масса чистой меди — 0,2x + 0,6y = 0,45·12 = 5,4. Отсюда y = 7,5, x = 4,5.

Отдельно запомни, что происходит при доливе воды или выпаривании: масса чистого вещества при этом не меняется, меняется только общая масса раствора. Держись за неизменную величину — вещество, — и задача решается в одно уравнение. Если же в раствор досыпают чистое вещество, то оно добавляется и к массе вещества, и к массе раствора сразу.

При смешивании масса вещества и масса раствора складываются, итоговая концентрация — между исходными

Задание № 10: готовая формула — применить и исследовать

В задании № 11 модель ты собираешь сам. В задании № 10 наоборот: формула уже записана в условии, и разбирать сюжет не нужно — надо аккуратно с ней поработать. Встречаются четыре просьбы: подставить значение, решить уравнение из формулы, решить неравенство «не более / не менее» и найти наибольшее значение параболы.

Подставить значение. Дана зависимость и известен аргумент — просто подставь его, следя за степенями. Пусть тело остывает по закону T(t) = 25 + 70 · 2^(-t/2) (градусы, t в минутах). Через 4 минуты T(4) = 25 + 70 · 2⁻² = 25 + 70/4 = 42,5 градуса.

Решить уравнение из формулы. Иногда наоборот: дано значение функции, найди аргумент. Стоимость поездки на такси — C(d) = 150 + 12d рублей за d километров. Если поездка обошлась в 330 рублей, то 150 + 12d = 330, откуда 12d = 180 и d = 15 км.

Неравенство «не более / не менее». Часто спрашивают крайнее допустимое значение. Тормозной путь автомобиля — S = v²/20 метров при скорости v км/ч. При какой наибольшей скорости путь не превысит 45 метров? Условие v²/20 ≤ 45 даёт v² ≤ 900, то есть v≤30. Наибольшая скорость — 30 км/ч.

Найти наибольшее значение параболы. Если зависимость вида h(t) = at - bt² (брошенный вверх камень, полёт мяча), её ветви направлены вниз, и максимум достигается в вершине при t = a/(2b). Пусть h(t) = 30t - 5t². Вершина при t = 30/(2·5) = 3 с, наибольшая высота h(3) = 90 − 45 = 45 метров.

Общий приём один: пойми, что от тебя хотят — число, корень уравнения, границу неравенства или вершину, — и сведи задачу к одному короткому действию. Числа и здесь подобраны так, чтобы всё считалось руками.

Разбор: лодка по течению и против

Пример

Моторная лодка прошла 48 км по течению реки и 48 км обратно против течения, затратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Найди собственную скорость лодки (в км/ч).

Обозначим собственную скорость лодки за v км/ч. Тогда по течению лодка идёт со скоростью v + 4, против течения — v − 4.Время каждого участка — это путь, делённый на скорость. Их сумма по условию равна 5 часам:48/(v + 4) + 48/(v - 4) = 5Умножаем обе части на (v+4)(v-4) = v² - 16 и раскрываем скобки:48(v - 4) + 48(v + 4) = 5(v² - 16)96v = 5v² - 80Переносим всё в одну сторону и получаем квадратное уравнение:5v² - 96v - 80 = 0Дискриминант: D = 96² + 4 · 5 · 80 = 9216 + 1600 = 10816, а √10816 = 104.v = (96 + 104)/10 = 20Второй корень v = (96 − 104)/10 = −0,8 отрицателен — скорость такой не бывает, отбрасываем. Проверка: 48/24 + 48/16 = 2 + 3 = 5 — сходится.Ответ: 20 км/ч.

Разбор: долив воды в раствор

Пример

В сосуде находится 40 г раствора кислоты с концентрацией 30 %. Сколько граммов воды нужно долить, чтобы концентрация раствора стала равна 24 %?

Сначала найдём массу того, что при доливе воды не изменится, — массу чистой кислоты. Она равна концентрации, умноженной на массу раствора:m_в = 0,3·40 = 12 гДоливаем x граммов воды. Кислоты по-прежнему 12 г, а вся масса раствора стала 40 + x г. Новая концентрация по условию равна 0,24:12/(40 + x) = 0,24Отсюда общая масса нового раствора равна:40 + x = 12/0,24 = 50 гЗначит, долили x = 50 − 40 = 10 г воды. Проверка: 12 г кислоты в 50 г раствора — это 12/50 = 0,24, то есть 24 %.Ответ: 10 г.

Как решать текстовую задачу

1Определи сюжет. Движение, работа, проценты или смесь — от этого зависит, какая тройка величин работает: путь–скорость–время, работа–производительность–время или вещество–концентрация–масса раствора.
2Обозначь неизвестное буквой и запиши словами, что именно ты за него взял. Обычно это то, что спрашивают, но иногда удобнее взять промежуточную величину — например, весь путь или всю работу за единицу.
3Вырази через букву всё остальное. По формуле «одно равно произведению двух»: скорость по течению как v + u, производительность как 1/t, массу вещества как c·m.
4Составь уравнение из неиспользованного условия. Это то, что связывает части задачи: общее время, равные расстояния, суммарная работа, известная итоговая концентрация.
5Реши и отбрось лишние корни. Скорость, время, масса и концентрация не бывают отрицательными, а концентрация ещё и не больше 100 %. Такие корни сразу вычёркивай.
6Вернись к вопросу и проверь. Нашёл именно то, что спросили, а не вспомогательную величину? Подставь ответ в условие — красивое число, которое сходится, почти всегда и есть верное.

Проверь себя

Пять задач ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл. Считай в уме или на черновике, не подглядывая в текст выше.

1.Из двух посёлков, расстояние между которыми 30 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 11 и 19 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

2.Один насос откачивает воду из котлована за 20 минут, другой — за 30 минут. За сколько минут они откачают всю воду, работая вместе?

Складывают производительности, а не времена. За минуту насосы дают 1/20 + 1/30 = 3/60 + 2/60 = 5/60 = 1/12 работы, значит вся работа — за 12 минут. Полусумма 25 минут и сумма 50 минут здесь не работают.

3.Цена акции сначала выросла на 25 %, а затем упала на 20 %. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Множители перемножаются: 1,25 · 0,8 = 1. Цена вернулась к исходной. Складывать проценты напрямую (25 − 20 = 5) нельзя: рост и падение считаются от разных величин.

4.В 200 г воды растворили 50 г соли. Какова концентрация соли в получившемся растворе?

Концентрация — это масса вещества, делённая на массу всего раствора, а раствор — это соль вместе с водой: 50/(200 + 50) = 50/250 = 0,2 = 20 %. Делить на массу одной воды (50/200 = 25 %) — типичная ошибка.

5.Собственная скорость катера 18 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. За сколько часов катер пройдёт 42 км против течения?

Против течения скорости вычитаются: 18 − 3 = 15 км/ч. Время — путь на скорость: 42/15 = 2,8 часа. По течению было бы 18 + 3 = 21 км/ч и 2 часа.

6.Высота мяча над землёй меняется по закону h(t) = 24t − 4t² (метры, t в секундах). Какой наибольшей высоты достигнет мяч?

Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине при t = 24/(2·4) = 3 с. Тогда h(3) = 24·3 − 4·9 = 72 − 36 = 36 метров. Подставлять t = 0 или искать значение на концах здесь не нужно.

Какие ошибки делают в текстовых задачах?

Ошибка 1

Складывают проценты напрямую. Рост на 20 %, а потом падение на 20 % дают не ноль, а 1,2·0,8 = 0,96 — минус 4 %. Каждый процент берётся от своей базы, поэтому изменения перемножают через множители, а не складывают.

Ошибка 2

Складывают времена совместной работы. Две трубы по 6 и 12 часов вместе наполнят бассейн не за 18 и не за 9 часов, а за 4. Складывать нужно доли работы за час — 1/t₁ + 1/t₂, — а не сами часы.

Ошибка 3

Путают скорость сближения и удаления. Навстречу — скорости складывают, вдогонку и против течения — вычитают. Выбор действия задаётся первым словом условия, и ошибка здесь сразу ломает всё решение.

Ошибка 4

Делят массу вещества на массу растворителя. Концентрация — это m_в/m_р, где в знаменателе весь раствор (вещество плюс растворитель), а не одна вода. Растворили 50 г соли в 200 г воды — концентрация 50/250, а не 50/200.

Ошибка 5

При доливе воды считают, что меняется всё. Долили воду или выпарили — масса чистого вещества осталась прежней, изменилась только общая масса раствора. Держись за неизменную величину, и уравнение составится само.

Ошибка 6

Отвечают на не тот вопрос. Обозначил за x собственную скорость, нашёл её — и записал, а спрашивали время в пути. Перед тем как перенести ответ в бланк, вернись к вопросу и проверь, что нашёл именно требуемую величину.

Запомни для ЕГЭ

1S = v·t

2Навстречу: v₁ + v₂. Вдогонку и против течения: v₁ − v₂

31/(tобщ) = 1/t₁ + 1/t₂

4+p%: × (1 + p/100); -p%: × (1 - p/100)

5Проценты подряд — перемножай множители, не складывай

6c = mв/(mр)

7Долив воды: масса вещества не меняется, меняется масса раствора

На экзамене

Задания № 10 и № 11 стоят по 1 баллу и решаются за 4–6 минут. Если уравнение не складывается — отметь задачу и иди дальше, впереди задания подороже.
Всегда обозначай неизвестное буквой и подписывай, что именно ты за него взял. Одна строчка «пусть v — собственная скорость» убирает половину путаницы в середине решения.
Числа в этих заданиях подобраны так, чтобы ответ был целым или короткой десятичной дробью. «Некрасивый» промежуточный результат — почти всегда сигнал арифметической ошибки, вернись и перепроверь.
Проверяй ответ на разумность: вместе работают быстрее, чем поодиночке; против течения — медленнее, чем по течению; концентрация не больше 100 %. Нарушение — сразу ищи ошибку.
Калькулятора на экзамене нет, поэтому считай аккуратно и держи дроби несокращёнными до последнего шага — так проще заметить, где число должно упроститься.

Словарь темы

Производительность: Доля всей работы, которую объект выполняет за единицу времени. Если работа делается за t единиц времени, производительность равна 1/t. При совместной работе производительности складываются.
Скорость сближения: Скорость, с которой сокращается расстояние между телами. При движении навстречу равна сумме скоростей, при движении вдогонку — их разности.
Собственная скорость: Скорость тела в стоячей воде (или в неподвижном воздухе). По течению к ней прибавляют скорость течения, против течения — вычитают.
Скорость течения: Скорость самой воды относительно берега. Плот, бревно или любой предмет без собственного двигателя плывёт ровно с этой скоростью.
Концентрация: Доля чистого вещества в общей массе раствора или сплава: c = m_в / m_р. Выражается долей или процентом, всегда от 0 до 1 (от 0 до 100 %).
Чистое вещество: То, содержание чего измеряют в растворе или сплаве: соль, кислота, медь. При доливе растворителя или выпаривании его масса не меняется.
Процент: Сотая доля числа: 1 % = 1/100. Найти p % от числа — умножить его на p/100; изменить на p % — умножить на множитель 1 ± p/100.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задания № 10 и № 11 КИМ (по 1 баллу); также в 13 (1 балл) и 17 (2 балла) Макс. 1 балл за задание ~5 минут

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): требование 6 «Умение решать текстовые задачи разных типов (проценты, движение, работа, финансы)». Отдельного элемента содержания для текстовых задач в кодификаторе 2027 нет: их проверяют через требование 6. В проекте КИМ 2027 прикладная задача с готовой формулой — задание 10, текстовая задача — задание 11; добавлены задание 13 (текстовые задачи, в том числе о личных финансах) и задание 17 (моделирование реальных ситуаций, 2 балла).

Что сверено по документам

Тема охватывает текстовые задачи на движение, работу, проценты и смеси; в кодификаторе ФИПИ им соответствует требование 6 — умение решать текстовые задачи разных типов.
Текстовые задачи проверяются заданиями № 10 и № 11 первой части, оба повышенного уровня, по 1 баллу; ответ — одно число (целое или конечная десятичная дробь), калькулятор запрещён.
При движении навстречу скорость сближения равна сумме скоростей, время до встречи t = S/(v₁+v₂); пример: 24 км, скорости 4 и 8 км/ч → встреча через 2 ч.
По течению скорость v + u, против течения v − u, где v — собственная скорость, u — скорость течения; пример-разбор с 48 км туда-обратно за 5 ч при течении 4 км/ч даёт собственную скорость 20 км/ч.
Производительность равна доле работы за единицу времени 1/t; при совместной работе производительности складываются: 1/t_общ = 1/t₁ + 1/t₂. Пример: трубы 6 ч и 12 ч → вместе 4 ч.
Изменение на p % — это умножение на множитель 1 ± p/100; при нескольких изменениях подряд множители перемножаются, поэтому +20 % и затем −20 % дают 0,96 (минус 4 %), а +10 % и −10 % дают 0,99 (минус 1 %).
Концентрация c = m_вещества / m_раствора, где в знаменателе весь раствор (вещество + растворитель). При смешивании масса вещества и масса раствора складываются, концентрация — нет. Пример: сплавы 20 % и 60 % → 12 кг по 45 % дают массы 4,5 и 7,5 кг.
Задание № 10 — прикладная задача с готовой формулой: подстановка значения, решение уравнения или неравенства из формулы, поиск наибольшего значения параболы h(t)=at−bt² в вершине t=a/(2b).
При доливе воды или выпаривании масса чистого вещества не меняется, меняется только масса раствора. Пример: 40 г раствора 30 % → долить 10 г воды для концентрации 24 %.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 3 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.