Тригонометрические уравнения/неравенства

Задание 13 КИМ (2 балла) Макс. 2 балла за № 13 ~7 минут

Задание 13 почти наверняка построено на тригонометрии: реши уравнение и отбери из его решений те, что попали в заданный отрезок. Стоит оно 2 балла — один за решение, второй за отбор. Вся тема держится на формулах общего решения простейших уравнений и на умении честно отобрать корни из бесконечной серии. Отсюда же — тригонометрические неравенства того же кода кодификатора.

Формулы общего решения

Любое тригонометрическое уравнение в итоге сводится к простейшему: $\sin x = a$ , $\cos x = a$ или $\operatorname{tg} x = a$ . Дальше работают формулы общего решения — по одной на синус, косинус и тангенс. Знать их надо наизусть: в справочнике профиля их нет — там всего четыре других формулы (синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы и разности), а эти три держи в голове сам.

У синуса и косинуса есть жёсткое ограничение: $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ , и точно такое же для косинуса. Если после преобразований получилось $\cos x = 1{,}4$ или $\sin x = -3$ , то решений нет — и это законный ответ, а не тупик. У тангенса такого ограничения нет: $\operatorname{tg} x = a$ решается при любом $a$ .

Синус:

\sin x = a \ \Rightarrow \ x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Косинус:

\cos x = a \ \Rightarrow \ x = \pm\arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Тангенс:

\operatorname{tg} x = a \ \Rightarrow \ x = \operatorname{arctg} a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Буква $n$ пробегает все целые числа. Каждое значение даёт свой корень, поэтому у уравнения их бесконечно много — и именно из этой бесконечности пункт (б) задания 13 просит выбрать корни на конкретном отрезке.

Что стоит за $\arcsin a$ и $\arccos a$ . $\arcsin a$ — это угол из отрезка $[-\tfrac{\pi}{2};\ \tfrac{\pi}{2}]$ , синус которого равен $a$ ; $\arccos a$ — угол из $[0;\ \pi]$ , косинус которого равен $a$ . Табличные значения надо помнить: $\arccos\tfrac12 = \tfrac{\pi}{3}$ , $\arcsin\tfrac12 = \tfrac{\pi}{6}$ , $\arcsin\tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{\pi}{3}$ и так далее.

Для отрицательного аргумента у синуса и косинуса знаки ведут себя по-разному — это частый источник путаницы:

\arcsin(-a) = -\arcsin a, \qquad \arccos(-a) = \pi - \arccos a

Косинус — это абсцисса точки на окружности; уравнение cos x = 1/2 задаёт вертикальную прямую и даёт две серии корней ±π/3 + 2πn

Две симметричные точки решения на окружности и отбор повторяющихся корней на промежутке — Решения повторяются периодически, а в заданном промежутке нужно оставить только попавшие внутрь корни.

Частные случаи: считай с окружности, а не по формуле

Когда справа стоит $0$ , $1$ или $-1$ , общие формулы с $\pm$ и $(-1)^n$ дают громоздкий ответ, в котором легко ошибиться. Эти шесть случаев проще запомнить прямо по окружности: синус — это ордината точки (высота), косинус — абсцисса (сдвиг вправо-влево).

Синус:

\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n; \quad \sin x = 1 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad \sin x = -1 \Rightarrow x = -\tfrac{\pi}{2} + 2\pi n

Косинус:

\cos x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2} + \pi n; \quad \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n; \quad \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n

Обрати внимание на разницу в периоде. Ордината равна нулю в двух точках окружности — справа и слева, между ними $\pi$ , поэтому у $\sin x = 0$ период $\pi$ : $x = \pi n$ . А вот значение $\sin x = 1$ достигается только в одной верхней точке, поэтому период уже $2\pi$ . То же и у косинуса: $\cos x = 0$ в двух точках (период $\pi$ ), а $\cos x = 1$ — в одной (период $2\pi$ ). Записать $\cos x = 0$ как $\tfrac{\pi}{2} + 2\pi n$ — значит потерять половину корней.

Четыре опорные точки окружности: справа угол 0, сверху π/2, слева π, снизу 3π/2. По ним читаются все частные случаи

Как устроено задание 13: сведи к одной функции

В самом задании простейшее уравнение почти не встречается — его прячут внутри более сложного. Чтобы добраться до формул общего решения, надо сначала свести уравнение к одной тригонометрической функции. Три приёма закрывают почти все варианты.

Приём 1. Замена и квадратное уравнение — самый частый. Если в уравнении есть и $\sin^2 x$ , и $\cos x$ , убери квадрат основным тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ — останется только косинус. Дальше замена $t = \cos x$ превращает уравнение в обычное квадратное. Решил его — не забудь ограничение $-1 \leqslant t \leqslant 1$ : корень вроде $t = -2$ отбрасываешь сразу, косинус таким не бывает.

Приём 2. Разложение на множители. Если каждое слагаемое содержит общий множитель, вынеси его за скобку и приравняй каждый множитель к нулю. Важно: делить обе части на $\sin x$ или $\cos x$ нельзя — вместе с делением ты теряешь все корни, где этот множитель равен нулю, а это тоже решения. Правильно перенести всё в одну часть и разложить: произведение равно нулю тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель.

Приём 3. Однородное уравнение вида $a\sin x + b\cos x = 0$ . Здесь делить на косинус как раз можно: если бы $\cos x = 0$ , то из уравнения вышло бы и $\sin x = 0$ , а одновременно нулю они не равны. Делим на $\cos x$ и получаем простейшее уравнение с тангенсом:

a\sin x + b\cos x = 0 \ \Longleftrightarrow \ \operatorname{tg} x = -\dfrac{b}{a}

Отбор корней на отрезке — где живёт второй балл

Пункт (б) — «укажите корни на отрезке» — это отдельный балл, и теряют его чаще, чем сам первый. Из каждой серии надо выбрать те корни, что попали в заданный отрезок. Есть три способа, и надёжнее всего держать в руках два: считать неравенством и проверять окружностью.

Способ 1. Двойное неравенство работает всегда. Берёшь серию, например $x = \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ , и подставляешь в границы отрезка. Пусть отрезок $[0;\ 2\pi]$ :

0 \leqslant \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant 2\pi

Решаешь это относительно $n$ : вычитаешь $\tfrac{\pi}{3}$ и делишь на $2\pi$ , получаешь $-\tfrac16 \leqslant n \leqslant \tfrac56$ . Целое $n$ тут одно — $n = 0$ , оно и даёт корень на отрезке. Каждую серию считаешь отдельно.

Способ 2. Тригонометрическая окружность — быстрая проверка. Отмечаешь дугу отрезка и ставишь точки-корни; видно сразу, сколько их и не потерял ли ты серию. Способ 3 — прямой перебор: если отрезок короткий, просто подставь $n = -1, 0, 1, 2$ и оставь те корни, что попали внутрь.

Две вещи, на которых теряют балл. Первое: считать надо каждую серию, а их обычно две-три — забыл одну, потерял корни. Второе: если неравенство отрезка нестрогое ( $\leqslant$ ), то концы отрезка входят, и корень, попавший ровно на границу, засчитывается.

Тригонометрические неравенства

Код кодификатора называется «уравнения/неравенства», и неравенства решаются той же окружностью. В задании 13 обычно стоит уравнение, но навык читать окружность нужен и здесь, и при отборе корней — так что разберём простейший случай.

Пусть надо решить $\sin x \geqslant \tfrac12$ . Синус — это ордината, значит нас интересуют точки окружности выше горизонтальной прямой $y = \tfrac12$ . Прямая пересекает окружность в углах $\tfrac{\pi}{6}$ и $\tfrac{5\pi}{6}$ , а нужная дуга — верхняя между ними. Записываем ответ серией:

\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n \leqslant x \leqslant \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Порядок концов важен: идём по дуге в сторону возрастания угла, от меньшего к большему. Для $\cos x \leqslant a$ рисуешь вертикальную прямую $x = a$ и берёшь дугу слева от неё; для тангенса удобнее отдельная ось тангенсов. Принцип один: отметил границы на окружности — выбрал нужную дугу — записал двойное неравенство с периодом.

sin x ≥ 1/2 — это верхняя дуга окружности между углами π/6 и 5π/6

Разбор задания 13 целиком

Пример

а) Реши уравнение 2sin²x − cos x − 1 = 0. б) Укажи корни, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Уравнение смешанное: в нём есть и

\sin^2 x

, и

\cos x

. Сводим к одной функции — основное тождество

\sin^2 x = 1 - \cos^2 x

убирает синус:

2(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0

Раскрываем и приводим к привычному виду (умножив на −1, чтобы старший коэффициент был положительным):

2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0

Замена

t = \cos x

, помним про

-1 \leqslant t \leqslant 1

2t^2 + t - 1 = 0, \quad D = 1 + 8 = 9, \quad t = \dfrac{-1 \pm 3}{4}

Получаем

t = \tfrac12

t = -1

. Оба лежат в

[-1;\ 1]

, отбрасывать нечего — возвращаемся к косинусу.Первая серия:

\cos x = \tfrac12

, значение табличное,

\arccos\tfrac12 = \tfrac{\pi}{3}

x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Вторая серия:

\cos x = -1

— частный случай, берём прямо с окружности:

x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Пункт (а) готов. Теперь пункт (б) — отбор на

[0;\ 2\pi]

, каждую серию считаем отдельно двойным неравенством.Серия

x = \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n

: из

0 \leqslant \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant 2\pi

выходит

-\tfrac16 \leqslant n \leqslant \tfrac56

. Целое

n = 0

даёт

x = \tfrac{\pi}{3}

.Серия

x = -\tfrac{\pi}{3} + 2\pi n

: из

0 \leqslant -\tfrac{\pi}{3} + 2\pi n \leqslant 2\pi

выходит

\tfrac16 \leqslant n \leqslant \tfrac76

. Целое

n = 1

даёт

x = \tfrac{5\pi}{3}

.Серия

x = \pi + 2\pi n

: из

0 \leqslant \pi + 2\pi n \leqslant 2\pi

выходит

-\tfrac12 \leqslant n \leqslant \tfrac12

. Целое

n = 0

даёт

x = \pi

.На отрезке остались три корня. По возрастанию:

\tfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \tfrac{5\pi}{3}

— их же видно и на окружности.Ответ: а) x = ±π/3 + 2πn и x = π + 2πn, n ∈ ℤ; б) на [0; 2π] это π/3, π и 5π/3..

Как решать задание 13 по шагам

1Сведи всё к одной функции. Убери квадраты и двойные углы тождествами:

\sin^2 x = 1 - \cos^2 x

, формулы двойного угла из справочника. Цель — чтобы в уравнении остался только синус, только косинус или только тангенс.

2Сделай замену и реши как алгебраическое.

t = \cos x

(или sin, tg) превращает уравнение в квадратное или раскладывается на множители. Корни

t

вне

[-1;\ 1]

сразу отбрасывай для синуса и косинуса.

3Не дели на sin x или cos x. Переноси всё в одну часть и выноси общий множитель за скобку. Деление на выражение с переменной теряет корни, где оно обращается в ноль, — а это законные решения.

4Выпиши общее решение каждой серии. Простейшие уравнения — по четырём формулам, значения

0, \pm 1

— как частные случаи с окружности. Не потеряй ни одной серии.

5Отбери корни на отрезке (пункт б). Каждую серию отдельно прогони через двойное неравенство и продублируй проверку окружностью. При нестрогом неравенстве концы отрезка входят.

6Проверь, что углы табличные. Калькулятора нет: ответ обязан выражаться через табличные значения. Вылез

\arccos\tfrac23

— ищи арифметическую ошибку выше.

Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.После преобразований уравнение свелось к cos x = 1,4. Сколько у него корней?

Косинус по модулю не превосходит единицы, а 1,4 больше 1. Значит уравнение cos x = 1,4 решений не имеет — это законный ответ, а не повод искать ошибку. То же было бы у sin x = −3.

2.Какое общее решение у уравнения cos x = −1?

Косинус равен −1 в единственной левой точке окружности — угол π, период 2π, поэтому x = π + 2πn. Вариант 2πn — это cos x = 1, π/2 + πn — это cos x = 0, а −π/2 + 2πn — это sin x = −1.

3.Сколько корней уравнения cos x = 1/2 попадает на отрезок [0; 2π]?

Две серии ±π/3 + 2πn дают на этом отрезке π/3 и 5π/3 = 2π − π/3 — ровно два корня. Забыть про вторую серию (со знаком минус) — типичная потеря корня.

4.Решая уравнение sin x · cos x = cos x, ученик разделил обе части на cos x. В чём ошибка?

Деление на выражение с переменной теряет корни, где оно равно нулю. Здесь cos x = 0 (то есть x = π/2 + πn) тоже обращает уравнение в верное 0 = 0, значит это решения. Правильно перенести cos x влево и вынести за скобку: cos x·(sin x − 1) = 0.

5.Каким будет общее решение уравнения cos x = 0?

Косинус равен нулю в двух точках окружности — π/2 и 3π/2, между ними ровно π, поэтому период π: x = π/2 + πn. Запись π/2 + 2πn теряет половину корней (все точки 3π/2 + 2πn).

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Делят на sin x или cos x и теряют корни. Сокращение на выражение с переменной выкидывает все корни, где оно равно нулю. Вместо деления переноси всё в одну часть и выноси общий множитель за скобку.

Ошибка 2

Записывают частный случай не с тем периодом. $\cos x = 0$ — это $\tfrac{\pi}{2} + \pi n$ (две точки, период π), а не $\tfrac{\pi}{2} + 2\pi n$ . Во втором варианте пропадает половина корней.

Ошибка 3

Забывают ограничение $|a| \leqslant 1$ . Получив $\cos x = -2$ или $\sin x = 1{,}5$ , продолжают «решать». Таких корней нет — у синуса и косинуса значения только в $[-1;\ 1]$ .

Ошибка 4

Путают знак в $\arccos(-a)$ . У арккосинуса $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$ , а не $-\arccos a$ . Минус «уходит внутрь» только у арксинуса и арктангенса.

Ошибка 5

Отбирают корни только по одной серии. У уравнения обычно две-три серии, а считают одну — и часть корней на отрезке остаётся ненайденной. Прогоняй через неравенство каждую серию.

Ошибка 6

Берут строгое неравенство вместо нестрогого при отборе. Если сказано «на отрезке $[0;\ 2\pi]$ », то концы входят. Корень, попавший ровно на границу, засчитывается — выбрасывать его нельзя.

Ошибка 7

Делают пункт (а) и забывают пункт (б). Задание 13 стоит 2 балла, и отбор корней — это отдельный балл. Решил уравнение, но не отобрал корни на отрезке — получил половину.

Запомни для ЕГЭ

\sin x = a:\ x = (-1)^n \arcsin a + \pi n

\cos x = a:\ x = \pm\arccos a + 2\pi n

\operatorname{tg} x = a:\ x = \operatorname{arctg} a + \pi n

\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n;\quad \cos x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2} + \pi n

\arccos(-a) = \pi - \arccos a

6При |a| > 1 у sin x = a и cos x = a решений нет

На экзамене

Задание 13 стоит 2 балла, и они дробятся: 1 балл за решение уравнения (а) и 1 за отбор корней (б). Даже если успел только один пункт — сдавай его, балл дадут.
Справочник профиля скуп: из тригонометрии выдают только четыре формулы — синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы и разности. Формулы общего решения, таблицу арксинусов и частные случаи держи в голове сам.
Калькулятора нет, поэтому все ответы — табличные углы. Если в решении вылез «некрасивый» arccos или arctg, это почти всегда сигнал арифметической ошибки выше, а не «такой ответ».
Отбор корней проверяй двумя способами: посчитал двойным неравенством — продублируй окружностью. Две независимые проверки ловят потерянную серию, на которой чаще всего и теряют балл.
Если поверх тригонометрии есть дробь, тангенс или корень — сначала выпиши ОДЗ (область допустимых значений: знаменатель дроби не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно, аргумент тангенса не равен π/2 + πn), а в конце сверь отобранные корни с ней.

Словарь темы

Простейшее тригонометрическое уравнениеУравнение вида sin x = a, cos x = a или tg x = a. К нему сводят любое тригонометрическое уравнение, чтобы применить формулу общего решения.

Общее решение (серия корней)Формула с целым параметром n, задающая сразу все корни уравнения. Например, x = πn — это бесконечный набор корней 0, ±π, ±2π и так далее.

Арккосинус arccos aУгол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Определён только при −1 ≤ a ≤ 1. Для отрицательного аргумента arccos(−a) = π − arccos a.

Отбор корнейВторой пункт задания 13: из бесконечной серии корней выбирают те, что лежат на заданном отрезке. Надёжный способ — двойное неравенство по каждой серии с проверкой на окружности.

Однородное уравнение (первой степени)Уравнение вида a·sin x + b·cos x = 0. Решается делением на cos x (он здесь заведомо не ноль) и сводится к tg x = −b/a. Есть и однородное уравнение второй степени a·sin²x + b·sin x·cos x + c·cos²x = 0 — его делят на cos²x.

Тригонометрическая окружностьЕдиничная окружность, где косинус угла — абсцисса точки, синус — ордината. Инструмент для частных случаев, отбора корней и неравенств.

Источники и проверка

10 источников

Тема соответствует коду 2.5 кодификатора ФИПИ по профильной математике: тригонометрические уравнения/неравенства; проверяется заданием 13.
Задание 13 — развёрнутое, стоит 2 балла, которые дробятся по пунктам (а) решить и (б) отобрать корни на отрезке.
Общие решения простейших уравнений: sin x = a → x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn; cos x = a → x = ±arccos a + 2πn; tg x = a → x = arctg a + πn.
У sin x = a и cos x = a решения есть только при −1 ≤ a ≤ 1; у tg x = a — при любом a.
Частные случаи: sin x = 0 → πn; sin x = 1 → π/2 + 2πn; sin x = −1 → −π/2 + 2πn; cos x = 0 → π/2 + πn; cos x = 1 → 2πn; cos x = −1 → π + 2πn.
На профиле в справочных материалах выдаются только четыре тригонометрические формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α±β), cos(α±β); формулы общего решения и таблицу арксинусов надо помнить.
Знак у обратных функций при отрицательном аргументе: arcsin(−a) = −arcsin a и arctg(−a) = −arctg a (нечётные), но arccos(−a) = π − arccos a.
В однородном уравнении a·sin x + b·cos x = 0 деление на cos x корректно, потому что cos x = 0 и sin x = 0 одновременно невозможны (иначе нарушилось бы sin²x + cos²x = 1).
Простейшее тригонометрическое неравенство (например sin x ≥ 1/2) решается по окружности: границы дуги в углах π/6 и 5π/6, ответ π/6 + 2πn ≤ x ≤ 5π/6 + 2πn.
Числа в разобранном примере (2sin²x − cos x − 1 = 0, отрезок [0; 2π], корни π/3, π, 5π/3) — оригинальные, не скопированы из заданий ФИПИ.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 13

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике