Тригонометрические уравнения/неравенства

Q: Как решать задания по теме «Тригонометрические уравнения/неравенства»?

Шаги такие: 1) сведи всё к одной функции; 2) сделай замену и реши как алгебраическое; 3) не дели на sin x или cos x; 4) выпиши общее решение каждой серии; 5) отбери корни на отрезке (пункт б). Остальные шаги — в разделе темы выше.

Q: Что нужно запомнить по теме «Тригонометрические уравнения/неравенства»?

Главное: 1) sin x = a: x = (-1)ⁿ arcsin a + π n; 2) cos x = a: x = ±arccos a + 2π n; 3) tg x = a: x = arctg a + π n. Остальное — в разделе темы выше.

Тригонометрические уравнения — это уравнения с синусом, косинусом или тангенсом неизвестного; любое из них сводят к простейшему виду sin x = a, cos x = a или tg x = a и решают по формулам общего решения. На ЕГЭ тема нужна в задании 14 (2 балла): один балл дают за решение уравнения, второй — за отбор корней на отрезке.

Решать задание 14 ЕГЭ

Формулы и приёмы в одной таблице

Общие решения, частные случаи и приёмы задания 14
Что решаем	Формула	Ограничения и подсказки
sin x = a	x = (-1)ⁿ arcsin a + π n	Только при −1 ≤ a ≤ 1; n ∈ ℤ
cos x = a	x = ±arccos a + 2πn	Только при −1 ≤ a ≤ 1; n ∈ ℤ
tg x = a	x = arctga + πn	При любом a; n ∈ ℤ
Ноль справа	sin x = 0 ⇒ x = π n; cos x = 0 ⇒ x = π/2 + π n	Две точки окружности — шаг π; запись с 2πn теряет половину корней
Единица справа	sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2π n; cos x = 1 ⇒ x = 2π n	Одна точка окружности — шаг 2π
Отрицательный аргумент	arcsin(−a) = −arcsin a, arccos(−a) = π − arccos a	У арккосинуса минус наружу не выносится
Замена	t = cos x, −1≤t≤1	sin²x заменяют на 1 − cos²x; корни t вне [−1; 1] отбрасывают сразу
Однородное уравнение	a sin x + b cos x = 0 ⇔ tg x = -b/a	Делить на cos x здесь можно; в остальных случаях — раскладывать на множители, а не делить
Отбор корней	0 ≤ π/3 + 2π n ≤ 2π	Каждую серию считают отдельно; при нестрогом знаке концы отрезка входят
Неравенство	sin x ≥ 1/2: π/6 + 2π n ≤ x ≤ 5π/6 + 2π n	Дугу читают по окружности от меньшего угла к большему

Быстрые ответы

Что такое простейшее тригонометрическое уравнение?

Простейшее тригонометрическое уравнение — уравнение вида sin x = a, cos x = a или tg x = a. К нему сводят любое тригонометрическое уравнение, чтобы применить формулу общего решения.

Как решать задания по теме «Тригонометрические уравнения/неравенства»?

Шаги такие:

сведи всё к одной функции
сделай замену и реши как алгебраическое
не дели на sin x или cos x
выпиши общее решение каждой серии
отбери корни на отрезке (пункт б).

Остальные шаги — в разделе темы выше.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Тригонометрические уравнения/неравенства»?

Делят на sin x или cos x и теряют корни. Сокращение на выражение с переменной выкидывает все корни, где оно равно нулю. Вместо деления переноси всё в одну часть и выноси общий множитель за скобку.

Что нужно запомнить по теме «Тригонометрические уравнения/неравенства»?

Главное:

sin x = a: x = (-1)ⁿ arcsin a + π n
cos x = a: x = ±arccos a + 2π n
tg x = a: x = arctg a + π n.

Остальное — в разделе темы выше.

Задание 14 почти наверняка построено на тригонометрии: реши уравнение и отбери из его решений те, что попали в заданный отрезок. Стоит оно 2 балла — один за решение, второй за отбор. Вся тема держится на формулах общего решения простейших уравнений и на умении честно отобрать корни из бесконечной серии. Отсюда же — тригонометрические неравенства того же кода кодификатора.

Обновлено 3 октября 2026

По каким формулам решать простейшие тригонометрические уравнения?

Любое тригонометрическое уравнение в итоге сводится к простейшему: sin x = a, cos x = a или tgx = a. Дальше работают формулы общего решения — по одной на синус, косинус и тангенс. Знать их надо наизусть: в справочнике профиля их нет — там всего четыре других формулы (синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы и разности), а эти три держи в голове сам.

У синуса и косинуса есть жёсткое ограничение: −1≤sin x≤1, и точно такое же для косинуса. Если после преобразований получилось cos x = 1,4 или sin x = −3, то решений нет — и это законный ответ, а не тупик. У тангенса такого ограничения нет: tgx = a решается при любом a.

Синус:

в строку: sin x = a ⇒ x = (-1)ⁿ arcsin a + π n, n ∈ ℤ

Косинус:

в строку: cos x = a ⇒ x = ±arccos a + 2π n, n ∈ ℤ

Тангенс:

в строку: tg x = a ⇒ x = arctg a + π n, n ∈ ℤ

Буква n пробегает все целые числа. Каждое значение даёт свой корень, поэтому у уравнения их бесконечно много — и именно из этой бесконечности пункт (б) задания 14 просит выбрать корни на конкретном отрезке.

Что стоит за arcsin a и arccos a. arcsin a — это угол из отрезка [-π/2; π/2], синус которого равен a; arccos a — угол из [0; π], косинус которого равен a. Табличные значения надо помнить: arccos 1/2 = π/3, arcsin 1/2 = π/6, arcsin √3/2 = π/3 и так далее.

Для отрицательного аргумента у синуса и косинуса знаки ведут себя по-разному — это частый источник путаницы:

в строку: arcsin (-a) = -arcsin a, arccos (-a) = π - arccos a

Косинус — это абсцисса точки на окружности; уравнение cos x = 1/2 задаёт вертикальную прямую и даёт две серии корней ±π/3 + 2πn

Проверь себя за 10 секунд

После преобразований уравнение свелось к cos x = 1,4. Сколько у него корней?

Косинус по модулю не превосходит единицы, а 1,4 больше 1. Значит уравнение cos x = 1,4 решений не имеет — это законный ответ, а не повод искать ошибку. То же было бы у sin x = −3.

Ещё 4 вопроса — к мини-тесту

Две симметричные точки решения на окружности и отбор повторяющихся корней на промежутке — Решения повторяются периодически, а в заданном промежутке нужно оставить только попавшие внутрь корни.

Частные случаи: считай с окружности, а не по формуле

Когда справа стоит 0, 1 или −1, общие формулы с ± и (-1)ⁿ дают громоздкий ответ, в котором легко ошибиться. Эти шесть случаев проще запомнить прямо по окружности: синус — это ордината точки (высота), косинус — абсцисса (сдвиг вправо-влево).

Синус:

в строку: sin x = 0 ⇒ x = π n; sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2π n; sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2π n

Косинус:

в строку: cos x = 0 ⇒ x = π/2 + π n; cos x = 1 ⇒ x = 2π n; cos x = -1 ⇒ x = π + 2π n

Обрати внимание на разницу в периоде. Ордината равна нулю в двух точках окружности — справа и слева, между ними π, поэтому у sin x = 0 период π: x = πn. А вот значение sin x = 1 достигается только в одной верхней точке, поэтому период уже 2π. То же и у косинуса: cos x = 0 в двух точках (период π), а cos x = 1 — в одной (период 2π). Записать cos x = 0 как π/2 + 2π n — значит потерять половину корней.

Четыре опорные точки окружности: справа угол 0, сверху π/2, слева π, снизу 3π/2. По ним читаются все частные случаи

Как свести тригонометрическое уравнение к одной функции?

В самом задании простейшее уравнение почти не встречается — его прячут внутри более сложного. Чтобы добраться до формул общего решения, надо сначала свести уравнение к одной тригонометрической функции. Три приёма закрывают почти все варианты.

Приём 1. Замена и квадратное уравнение — самый частый. Если в уравнении есть и sin² x, и cos x, убери квадрат основным тождеством sin² x = 1 - cos² x — останется только косинус. Дальше замена t = cos x превращает уравнение в обычное квадратное. Решил его — не забудь ограничение −1≤t≤1: корень вроде t = −2 отбрасываешь сразу, косинус таким не бывает.

Приём 2. Разложение на множители. Если каждое слагаемое содержит общий множитель, вынеси его за скобку и приравняй каждый множитель к нулю. Важно: делить обе части на sin x или cos x нельзя — вместе с делением ты теряешь все корни, где этот множитель равен нулю, а это тоже решения. Правильно перенести всё в одну часть и разложить: произведение равно нулю тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель.

Приём 3. Однородное уравнение вида a sin x + b cos x = 0. Здесь делить на косинус как раз можно: если бы cos x = 0, то из уравнения вышло бы и sin x = 0, а одновременно нулю они не равны. Делим на cos x и получаем простейшее уравнение с тангенсом:

в строку: a sin x + b cos x = 0 ⇔ tg x = -b/a

Как отобрать корни тригонометрического уравнения на отрезке?

Пункт (б) — «укажите корни на отрезке» — это отдельный балл, и теряют его чаще, чем сам первый. Из каждой серии надо выбрать те корни, что попали в заданный отрезок. Есть три способа, и надёжнее всего держать в руках два: считать неравенством и проверять окружностью.

Способ 1. Двойное неравенство работает всегда. Берёшь серию, например x = π/3 + 2π n, и подставляешь в границы отрезка. Пусть отрезок [0; 2π]:

в строку: 0 ≤ π/3 + 2π n ≤ 2π

Решаешь это относительно n: вычитаешь π/3 и делишь на 2π, получаешь -1/6 ≤ n ≤ 5/6. Целое n тут одно — n = 0, оно и даёт корень на отрезке. Каждую серию считаешь отдельно.

Способ 2. Тригонометрическая окружность — быстрая проверка. Отмечаешь дугу отрезка и ставишь точки-корни; видно сразу, сколько их и не потерял ли ты серию. Способ 3 — прямой перебор: если отрезок короткий, просто подставь n = −1, 0, 1, 2 и оставь те корни, что попали внутрь.

Две вещи, на которых теряют балл. Первое: считать надо каждую серию, а их обычно две-три — забыл одну, потерял корни. Второе: если неравенство отрезка нестрогое (≤), то концы отрезка входят, и корень, попавший ровно на границу, засчитывается.

Как решать простейшие тригонометрические неравенства?

Код кодификатора называется «уравнения/неравенства», и неравенства решаются той же окружностью. В задании 14 обычно стоит уравнение, но навык читать окружность нужен и здесь, и при отборе корней — так что разберём простейший случай.

Пусть надо решить sin x ≥ 1/2. Синус — это ордината, значит нас интересуют точки окружности выше горизонтальной прямой y = 1/2. Прямая пересекает окружность в углах π/6 и 5π/6, а нужная дуга — верхняя между ними. Записываем ответ серией:

в строку: π/6 + 2π n ≤ x ≤ 5π/6 + 2π n, n ∈ ℤ

Порядок концов важен: идём по дуге в сторону возрастания угла, от меньшего к большему. Для cos x≤a рисуешь вертикальную прямую x = a и берёшь дугу слева от неё; для тангенса удобнее отдельная ось тангенсов. Принцип один: отметил границы на окружности — выбрал нужную дугу — записал двойное неравенство с периодом.

sin x ≥ 1/2 — это верхняя дуга окружности между углами π/6 и 5π/6

Разбор задания 14 целиком

Пример

а) Реши уравнение 2sin²x − cos x − 1 = 0. б) Укажи корни, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Уравнение смешанное: в нём есть и sin² x, и cos x. Сводим к одной функции — основное тождество sin² x = 1 - cos² x убирает синус:2(1 - cos² x) - cos x - 1 = 0Раскрываем и приводим к привычному виду (умножив на −1, чтобы старший коэффициент был положительным):2 cos² x + cos x - 1 = 0Замена t = cos x, помним про −1≤t≤1:2t² + t - 1 = 0, D = 1 + 8 = 9, t = (-1 ± 3)/4Получаем t = 1/2 и t = −1. Оба лежат в [−1; 1], отбрасывать нечего — возвращаемся к косинусу.Первая серия: cos x = 1/2, значение табличное, arccos 1/2 = π/3:x = ±π/3 + 2π n, n ∈ ℤВторая серия: cos x = −1 — частный случай, берём прямо с окружности:x = π + 2πn, n∈ℤПункт (а) готов. Теперь пункт (б) — отбор на [0; 2π], каждую серию считаем отдельно двойным неравенством.Серия x = π/3 + 2π n: из 0 ≤ π/3 + 2π n ≤ 2π выходит -1/6 ≤ n ≤ 5/6. Целое n = 0 даёт x = π/3.Серия x = -π/3 + 2π n: из 0 ≤ -π/3 + 2π n ≤ 2π выходит 1/6 ≤ n ≤ 7/6. Целое n = 1 даёт x = 5π/3.Серия x = π + 2πn: из 0≤π + 2πn≤2π выходит -1/2 ≤ n ≤ 1/2. Целое n = 0 даёт x = π.На отрезке остались три корня. По возрастанию: π/3, π, 5π/3 — их же видно и на окружности.Ответ: а) x = ±π/3 + 2πn и x = π + 2πn, n ∈ ℤ; б) на [0; 2π] это π/3, π и 5π/3..

Как решать задание 14 по шагам

1Сведи всё к одной функции. Убери квадраты и двойные углы тождествами: sin² x = 1 - cos² x, формулы двойного угла из справочника. Цель — чтобы в уравнении остался только синус, только косинус или только тангенс.
2Сделай замену и реши как алгебраическое. t = cos x (или sin, tg) превращает уравнение в квадратное или раскладывается на множители. Корни t вне [−1; 1] сразу отбрасывай для синуса и косинуса.
3Не дели на sin x или cos x. Переноси всё в одну часть и выноси общий множитель за скобку. Деление на выражение с переменной теряет корни, где оно обращается в ноль, — а это законные решения.
4Выпиши общее решение каждой серии. Простейшие уравнения — по четырём формулам, значения 0, ±1 — как частные случаи с окружности. Не потеряй ни одной серии.
5Отбери корни на отрезке (пункт б). Каждую серию отдельно прогони через двойное неравенство и продублируй проверку окружностью. При нестрогом неравенстве концы отрезка входят.
6Проверь, что углы табличные. Калькулятора нет: ответ обязан выражаться через табличные значения. Вылез arccos 2/3 — ищи арифметическую ошибку выше.

Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.После преобразований уравнение свелось к cos x = 1,4. Сколько у него корней?

2.Какое общее решение у уравнения cos x = −1?

Косинус равен −1 в единственной левой точке окружности — угол π, период 2π, поэтому x = π + 2πn. Вариант 2πn — это cos x = 1, π/2 + πn — это cos x = 0, а −π/2 + 2πn — это sin x = −1.

3.Сколько корней уравнения cos x = 1/2 попадает на отрезок [0; 2π]?

Две серии ±π/3 + 2πn дают на этом отрезке π/3 и 5π/3 = 2π − π/3 — ровно два корня. Забыть про вторую серию (со знаком минус) — типичная потеря корня.

4.Решая уравнение sin x · cos x = cos x, ученик разделил обе части на cos x. В чём ошибка?

Деление на выражение с переменной теряет корни, где оно равно нулю. Здесь cos x = 0 (то есть x = π/2 + πn) тоже обращает уравнение в верное 0 = 0, значит это решения. Правильно перенести cos x влево и вынести за скобку: cos x·(sin x − 1) = 0.

5.Каким будет общее решение уравнения cos x = 0?

Косинус равен нулю в двух точках окружности — π/2 и 3π/2, между ними ровно π, поэтому период π: x = π/2 + πn. Запись π/2 + 2πn теряет половину корней (все точки 3π/2 + 2πn).

Какие ошибки делают в тригонометрических уравнениях?

Ошибка 1

Делят на sin x или cos x и теряют корни. Сокращение на выражение с переменной выкидывает все корни, где оно равно нулю. Вместо деления переноси всё в одну часть и выноси общий множитель за скобку.

Ошибка 2

Записывают частный случай не с тем периодом. cos x = 0 — это π/2 + π n (две точки, период π), а не π/2 + 2π n. Во втором варианте пропадает половина корней.

Ошибка 3

Забывают ограничение |a|≤1. Получив cos x = −2 или sin x = 1,5, продолжают «решать». Таких корней нет — у синуса и косинуса значения только в [−1; 1].

Ошибка 4

Путают знак в arccos(−a). У арккосинуса arccos(−a) = π − arccos a, а не −arccos a. Минус «уходит внутрь» только у арксинуса и арктангенса.

Ошибка 5

Отбирают корни только по одной серии. У уравнения обычно две-три серии, а считают одну — и часть корней на отрезке остаётся ненайденной. Прогоняй через неравенство каждую серию.

Ошибка 6

Берут строгое неравенство вместо нестрогого при отборе. Если сказано «на отрезке [0; 2π]», то концы входят. Корень, попавший ровно на границу, засчитывается — выбрасывать его нельзя.

Ошибка 7

Делают пункт (а) и забывают пункт (б). Задание 14 стоит 2 балла, и отбор корней — это отдельный балл. Решил уравнение, но не отобрал корни на отрезке — получил половину.

Запомни для ЕГЭ

1sin x = a: x = (-1)ⁿ arcsin a + π n

2cos x = a: x = ±arccos a + 2πn

3tgx = a: x = arctga + πn

4sin x = 0 ⇒ x = π n; cos x = 0 ⇒ x = π/2 + π n

5arccos(−a) = π − arccos a

6При |a| > 1 у sin x = a и cos x = a решений нет

На экзамене

Задание 14 стоит 2 балла, и они дробятся: 1 балл за решение уравнения (а) и 1 за отбор корней (б). Даже если успел только один пункт — сдавай его, балл дадут.
Справочник профиля скуп: из тригонометрии выдают только четыре формулы — синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы и разности. Формулы общего решения, таблицу арксинусов и частные случаи держи в голове сам.
Калькулятора нет, поэтому все ответы — табличные углы. Если в решении вылез «некрасивый» arccos или arctg, это почти всегда сигнал арифметической ошибки выше, а не «такой ответ».
Отбор корней проверяй двумя способами: посчитал двойным неравенством — продублируй окружностью. Две независимые проверки ловят потерянную серию, на которой чаще всего и теряют балл.
Если поверх тригонометрии есть дробь, тангенс или корень — сначала выпиши ОДЗ (область допустимых значений: знаменатель дроби не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно, аргумент тангенса не равен π/2 + πn), а в конце сверь отобранные корни с ней.

Словарь темы

Простейшее тригонометрическое уравнение: Уравнение вида sin x = a, cos x = a или tg x = a. К нему сводят любое тригонометрическое уравнение, чтобы применить формулу общего решения.
Общее решение (серия корней): Формула с целым параметром n, задающая сразу все корни уравнения. Например, x = πn — это бесконечный набор корней 0, ±π, ±2π и так далее.
Арккосинус arccos a: Угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Определён только при −1 ≤ a ≤ 1. Для отрицательного аргумента arccos(−a) = π − arccos a.
Отбор корней: Второй пункт задания 14: из бесконечной серии корней выбирают те, что лежат на заданном отрезке. Надёжный способ — двойное неравенство по каждой серии с проверкой на окружности.
Однородное уравнение (первой степени): Уравнение вида a·sin x + b·cos x = 0. Решается делением на cos x (он здесь заведомо не ноль) и сводится к tg x = −b/a. Есть и однородное уравнение второй степени a·sin²x + b·sin x·cos x + c·cos²x = 0 — его делят на cos²x.
Тригонометрическая окружность: Единичная окружность, где косинус угла — абсцисса точки, синус — ордината. Инструмент для частных случаев, отбора корней и неравенств.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 14 КИМ (2 балла) Макс. 2 балла за № 14 ~7 минут

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 2.3 «Тригонометрические уравнения»; 2.8 «Тригонометрические неравенства». В проекте КИМ 2027 уравнение с отбором корней на 2 балла — задание 14.

Что сверено по документам

Тема соответствует элементам 2.3 (тригонометрические уравнения) и 2.8 (тригонометрические неравенства) кодификатора ФИПИ по профильной математике; проверяется заданием 14.
Задание 14 — развёрнутое, стоит 2 балла, которые дробятся по пунктам (а) решить и (б) отобрать корни на отрезке.
Общие решения простейших уравнений: sin x = a → x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn; cos x = a → x = ±arccos a + 2πn; tg x = a → x = arctg a + πn.
У sin x = a и cos x = a решения есть только при −1 ≤ a ≤ 1; у tg x = a — при любом a.
Частные случаи: sin x = 0 → πn; sin x = 1 → π/2 + 2πn; sin x = −1 → −π/2 + 2πn; cos x = 0 → π/2 + πn; cos x = 1 → 2πn; cos x = −1 → π + 2πn.
На профиле в справочных материалах выдаются только четыре тригонометрические формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α±β), cos(α±β); формулы общего решения и таблицу арксинусов надо помнить.
Знак у обратных функций при отрицательном аргументе: arcsin(−a) = −arcsin a и arctg(−a) = −arctg a (нечётные), но arccos(−a) = π − arccos a.
В однородном уравнении a·sin x + b·cos x = 0 деление на cos x корректно, потому что cos x = 0 и sin x = 0 одновременно невозможны (иначе нарушилось бы sin²x + cos²x = 1).
Простейшее тригонометрическое неравенство (например sin x ≥ 1/2) решается по окружности: границы дуги в углах π/6 и 5π/6, ответ π/6 + 2πn ≤ x ≤ 5π/6 + 2πn.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 3 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.