Квадратичные неравенства, метод интервалов

Начнём с квадратного неравенства вида $ax^2+bx+c>0$ (или $<,\ \geqslant,\ \leqslant$), где $a\neq 0$. За ним стоит парабола $y=ax^2+bx+c$, и решить неравенство — значит понять, где эта парабола выше оси, а где ниже.

Всё определяют две вещи: куда смотрят ветви и сколько корней. Ветви вверх при $a>0$, вниз при $a<0$. Число корней даёт дискриминант:

Совет, снимающий половину ошибок: если старший коэффициент отрицательный, сразу умножь обе части на $-1$ и переверни знак неравенства. Тогда $a>0$ всегда, ветви смотрят вверх, и дальше работает одно простое правило.

Пусть $a>0$ и $D>0$ — есть два корня $x_1<x_2$. Парабола ныряет под ось между корнями и торчит над осью снаружи. Значит: «больше нуля» — снаружи корней (два луча), «меньше нуля» — между корнями. Коротко: больше — врозь, меньше — вместе.

Вот особые случаи, где легче всего ошибиться:

Если $D=0$, корень один (двойной), и парабола касается оси в одной точке, не пересекая. При $a>0$ выражение $\geqslant 0$ всюду; строгое $>0$ верно везде, кроме самой точки касания; $<0$ — нигде; $\leqslant 0$ — только в этой единственной точке.

Если $D<0$, корней нет вовсе, парабола целиком над осью (при $a>0$). Тогда неравенство либо верно при всех $x$ (для $>0$ и $\geqslant 0$), либо не имеет решений вовсе (для $<0$ и $\leqslant 0$). Если увидел отрицательный дискриминант — не ищи корни, а сразу отвечай «все числа» или «решений нет».

Парабола хороша для квадратного неравенства, но когда множителей больше двух, удобнее универсальный приём — метод интервалов. Идея одна: непрерывное выражение может сменить знак только там, где обращается в ноль. Между соседними нулями знак постоянен, поэтому достаточно определить его на каждом промежутке по отдельности.

Сначала выражение приводят к произведению скобок вида $(x-a)$. Например, $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$. Нули этого произведения — числа $-2$ и $3$; они разбивают прямую на промежутки.

Знаки расставляют одним из двух способов. Надёжный: подставить любую точку из промежутка и посмотреть на знак. Быстрый: если все скобки записаны в виде $(x-a)$ со старшим коэффициентом $+1$, то на самом правом промежутке (там, где $x$ больше всех корней) произведение положительно, а дальше знак чередуется при переходе через каждый корень — рисуется «змейка».

У быстрого способа есть ловушка — кратные корни. Через корень нечётной кратности (например, простой или в кубе) знак меняется, а через корень чётной кратности (в квадрате) знак не меняется — змейка от прямой отскакивает. Скажем, у $(x-2)^2(x+1)$ в точке $2$ знак сохраняется. Сомневаешься в кратности — не гадай, вернись к надёжному способу и подставь точку.

На схеме ниже — произведение $(x+1)(x-2)(x-5)$ с простыми корнями. Справа плюс, дальше знаки чередуются: $+,\ -,\ +,\ -$ справа налево. Если бы решали $(x+1)(x-2)(x-5)<0$, взяли бы промежутки со знаком минус: $(-\infty;-1)\cup(2;5)$.

Промежутки нашли — осталось решить судьбу их концов, самих корней. Здесь теряют балл чаще всего. Правило зависит от знака неравенства и от того, откуда взялся корень.

Строгое неравенство ($>$ или $<$): в этих точках выражение равно нулю, а ноль не больше и не меньше нуля. Значит, все корни выколоты — на прямой это пустые (незакрашенные) кружки, в ответе скобки круглые.

Нестрогое неравенство ($\geqslant$ или $\leqslant$): ноль теперь подходит, поэтому корни, в которых выражение обращается в ноль, включаются — закрашенные кружки, квадратные скобки.

Но есть исключение, которое живёт своей жизнью, — нули знаменателя. Если неравенство дробное, в нуле знаменателя дробь не существует вовсе (делить на ноль нельзя). Поэтому нули знаменателя выколоты всегда — даже в нестрогом неравенстве, даже когда очень хочется их включить. Это и есть ОДЗ дробного неравенства: $Q(x)\neq 0$.

Итог одной строкой: для $\geqslant$ и $\leqslant$ нули числителя закрашиваем, нули знаменателя — никогда. Бесконечность в ответе всегда идёт с круглой скобкой: $+\infty$ — не число, включать нечего.