Квадратичные неравенства, метод интервалов

Начнём с квадратного неравенства вида      ax²+bx+c>0 (или < , ≥, ≤), где a≠0. За ним стоит парабола       y=ax²+bx+c, и решить неравенство — значит понять, где эта парабола выше оси, а где ниже.

Всё определяют две вещи: куда смотрят ветви и сколько корней. Ветви вверх при a > 0, вниз при a < 0. Число корней даёт дискриминант:

Совет, снимающий половину ошибок: если старший коэффициент отрицательный, сразу умножь обе части на −1 и переверни знак неравенства. Тогда a > 0 всегда, ветви смотрят вверх, и дальше работает одно простое правило.

Пусть a > 0 и D > 0 — есть два корня   x₁<x₂. Парабола ныряет под ось между корнями и торчит над осью снаружи. Значит: «больше нуля» — снаружи корней (два луча), «меньше нуля» — между корнями. Коротко: больше — врозь, меньше — вместе.

Вот особые случаи, где легче всего ошибиться:

Если D = 0, корень один (двойной), и парабола касается оси в одной точке, не пересекая. При a > 0 выражение ≥0 всюду; строгое > 0 верно везде, кроме самой точки касания; < 0 — нигде; ≤0 — только в этой единственной точке.

Если D < 0, корней нет вовсе, парабола целиком над осью (при a > 0). Тогда неравенство либо верно при всех x (для > 0 и ≥0), либо не имеет решений вовсе (для < 0 и ≤0). Если увидел отрицательный дискриминант — не ищи корни, а сразу отвечай «все числа» или «решений нет».

Парабола хороша для квадратного неравенства, но когда множителей больше двух, удобнее универсальный приём — метод интервалов. Идея одна: непрерывное выражение может сменить знак только там, где обращается в ноль. Между соседними нулями знак постоянен, поэтому достаточно определить его на каждом промежутке по отдельности.

Сначала выражение приводят к произведению скобок вида (x − a). Например,      x²-x-6=(x-3)(x+2). Нули этого произведения — числа −2 и 3; они разбивают прямую на промежутки.

Знаки расставляют одним из двух способов. Надёжный: подставить любую точку из промежутка и посмотреть на знак. Быстрый: если все скобки записаны в виде (x − a) со старшим коэффициентом +1, то на самом правом промежутке (там, где x больше всех корней) произведение положительно, а дальше знак чередуется при переходе через каждый корень — рисуется «змейка».

У быстрого способа есть ловушка — кратные корни. Через корень нечётной кратности (например, простой или в кубе) знак меняется, а через корень чётной кратности (в квадрате) знак не меняется — змейка от прямой отскакивает. Скажем, у   (x-2)²(x+1) в точке 2 знак сохраняется. Сомневаешься в кратности — не гадай, вернись к надёжному способу и подставь точку.

На схеме ниже — произведение (x + 1)(x − 2)(x − 5) с простыми корнями. Справа плюс, дальше знаки чередуются: +, −, +, − справа налево. Если бы решали (x + 1)(x − 2)(x − 5) < 0, взяли бы промежутки со знаком минус: (−∞; −1)∪(2; 5).

Промежутки нашли — осталось решить судьбу их концов, самих корней. Здесь теряют балл чаще всего. Правило зависит от знака неравенства и от того, откуда взялся корень.

Строгое неравенство (> или <): в этих точках выражение равно нулю, а ноль не больше и не меньше нуля. Значит, все корни выколоты — на прямой это пустые (незакрашенные) кружки, в ответе скобки круглые.

Нестрогое неравенство (≥ или ≤): ноль теперь подходит, поэтому корни, в которых выражение обращается в ноль, включаются — закрашенные кружки, квадратные скобки.

Но есть исключение, которое живёт своей жизнью, — нули знаменателя. Если неравенство дробное, в нуле знаменателя дробь не существует вовсе (делить на ноль нельзя). Поэтому нули знаменателя выколоты всегда — даже в нестрогом неравенстве, даже когда очень хочется их включить. Это и есть ОДЗ дробного неравенства: Q(x)≠0.

Итог одной строкой: для ≥ и ≤ нули числителя закрашиваем, нули знаменателя — никогда. Бесконечность в ответе всегда идёт с круглой скобкой: +∞ — не число, включать нечего.