Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства

Целое рациональное уравнение — то, где переменная нигде не стоит в знаменателе: $x^2 - 5x + 6 = 0$, $x^3 = 4x$, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. Подставлять в него можно любое число, ограничений нет.

Дробно-рациональное — то, где переменная в знаменателе есть: $\dfrac{x-3}{x+2} = 0$. Здесь появляется ОДЗ — область допустимых значений, то есть все числа, при которых выражение вообще имеет смысл. Правило одно и очень простое: знаменатель не равен нулю. Делить на ноль нельзя, поэтому числа, обнуляющие знаменатель, выпадают из игры ещё до того, как ты начал решать.

Отсюда вся тема укладывается в одну мысль, которую стоит запомнить дословно: сначала найди, что запрещено, потом ищи корни, потом выбрось из них запрещённое. Порядок важен. Если выписать ОДЗ в конце, а не в начале, легко забыть про неё вовсе — и сдать в ответ корень, который на самом деле запрещён.

Ещё одна деталь, которая экономит время: знаменатель может не иметь нулей вовсе. У дроби $\dfrac{x-1}{x^2+4}$ знаменатель всегда положителен, потому что $x^2 \geqslant 0$ при любом $x$, а значит $x^2 + 4 \geqslant 4$. ОДЗ — все действительные числа, отсеивать нечего. Проверить это стоит секунды, а сэкономить может минуту паники.

Главный инструмент здесь один, и он не формула, а факт: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому цель любого преобразования — собрать всё в левой части и разложить её на множители.

Квадратное уравнение ты либо решаешь через дискриминант, либо угадываешь корни по теореме Виета, если коэффициенты целые и небольшие:

Для $x^2 - 5x + 6 = 0$ Виета читается так: сумма корней 5, произведение 6. Два числа с такой суммой и произведением — 2 и 3. Дискриминант тут не нужен вовсе, а на экзамене без калькулятора это заметная экономия. Найденные корни сразу дают разложение $(x-2)(x-3)$ — та же техника разложения работает и в неравенствах.

Степень выше второй. Не пугайся: почти всегда работает вынесение общего множителя или группировка. Уравнение $x^3 = 4x$ решается так: переносим всё влево и выносим $x$ за скобку.

Корни: $0,\; 2,\; -2$. А вот если бы ты в самом начале поделил обе части на $x$, то получил бы $x^2 = 4$ и потерял корень $x = 0$ навсегда. Делить обе части на выражение с переменной нельзя — можно только выносить его за скобку.

Если разложение не видно, ищи целый корень среди делителей свободного члена. У $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$ свободный член 6, значит кандидаты — $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Подставляем $x = -1$: $-1 - 4 - 1 + 6 = 0$. Корень найден, значит многочлен делится на $(x+1)$:

Дальше — уже знакомое квадратное. Итого три корня: $-1,\; 2,\; 3$.

Замена переменной. Уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ становится квадратным после подстановки $t = x^2$: $t^2 - 5t + 4 = 0$, откуда $t = 1$ и $t = 4$, а значит $x = \pm 1$ и $x = \pm 2$ — четыре корня. Но у замены есть цена: у новой переменной своё ограничение, и его надо выписать сразу. Здесь $t = x^2 \geqslant 0$. Проверь на уравнении $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$: замена даёт $t^2 + 3t - 4 = 0$, корни $t = 1$ и $t = -4$. Второй отбрасываем, он отрицательный, — и остаётся всего два корня $x = \pm 1$, а не четыре.

Дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю. Но не всякий нуль числителя годится — точка ещё должна попадать в ОДЗ. Полностью это записывается системой, и именно так стоит писать в части 2:

Второе условие — не формальность. Разберём $\dfrac{x^2 + 3x - 10}{x - 2} = 0$. Числитель раскладывается как $(x+5)(x-2)$, его нули — $-5$ и $2$. Знаменатель обнуляется ровно при $x = 2$. То есть больший из «корней» числителя как раз и запрещён: он не решение, а посторонний корень — число, которое подошло бы по числителю, но выброшено ОДЗ. Остаётся единственный ответ $x = -5$. Задание 6 любит такую конструкцию: спрашивают «больший корень», а больший — тот самый, которого нет.

Общий случай. Если дробей несколько или справа не ноль, приводи всё к одной дроби. Уравнение $\dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x+3} = \dfrac{6}{x^2-9}$ решается так. Сначала ОДЗ: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$, значит $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Теперь умножаем обе части на $(x-3)(x+3)$:

Единственный кандидат — $x = 3$, но он запрещён ОДЗ. Значит уравнение не имеет корней. Если бы ОДЗ не выписали в начале, в бланк ушла бы тройка.

Обрати внимание: в уравнении умножить обе части на знаменатель можно — при условии, что ОДЗ ты уже записал. Ты получаешь новое уравнение, среди корней которого могут оказаться лишние, и ОДЗ их вылавливает. В неравенстве этот приём запрещён: знак выражения с переменной в знаменателе заранее неизвестен, поэтому умножение способно незаметно развернуть неравенство — на выражение с переменной умножать нельзя.

Вот ошибка, которая обнуляет верное по духу решение. Пусть надо решить $\dfrac{x+1}{x-2} > 1$. Рука тянется умножить обе части на $x-2$:

Получилось тождество, «верное при любом $x$». Проверим этот вывод одним числом: при $x = 0$ левая часть исходного неравенства равна $\dfrac{1}{-2} = -0{,}5$, а неравенство $-0{,}5 > 1$ ложно. Значит «любой $x$» — не ответ. Одно число опровергло всё решение целиком.

Причина. Умножение неравенства на положительное число знак сохраняет, на отрицательное — разворачивает. А знак выражения $x-2$ заранее неизвестен: при $x > 2$ оно положительно, при $x < 2$ отрицательно. Умножая на него, ты молча выбираешь один из двух случаев и теряешь второй. Это не арифметическая помарка, а логическая: в критериях задания 15 балл ставят за обоснованно верный ответ, а такого обоснования просто нет.

Что делать вместо этого. Перенести всё в левую часть, чтобы справа остался ноль, и привести к одной дроби:

Числитель — положительная константа, поэтому дробь положительна ровно тогда, когда положителен знаменатель: $x > 2$. Ответ: $(2; +\infty)$. Сверься: при $x = 3$ получаем $\dfrac{4}{1} = 4 > 1$ — верно.

Запомни формулировку целиком: справа ноль, слева одна дробь, дальше метод интервалов. Других способов решать дробное неравенство на экзамене тебе не понадобится. Сам метод интервалов для дробей — с числовой прямой и несколькими точками — пошагово разберём дальше: в следующем блоке про скобки и в примере с неравенством ниже. Целое (квадратичное) неравенство как самостоятельный объект, вроде $x^2 - x - 6 \geqslant 0$, живёт в теме кода 2.7; здесь же квадратный трёхчлен встречается только как числитель или знаменатель дроби. Вся разница именно в знаменателе.

Это самый полезный кадр темы. Теория у заданий 6, 13 и 15 одна и та же — отличается только то, что от тебя требуют показать.

Задание 6 — базовый уровень, 1 балл, краткий ответ в бланк № 1: целое число или конечная десятичная дробь. Решение никто не читает, поэтому черновик может быть каким угодно. Но именно поэтому здесь так дорого стоит невнимательность: оговорку «в ответе укажите больший корень» или «запишите положительный корень» надо перечитать до того, как ты запишешь число.

Задание 15 — повышенный уровень, 2 балла, развёрнутое решение в бланк № 2. Ответ — промежуток или объединение промежутков, а не число. Проверяет живой эксперт, и он смотрит на ход. По критериям 2 балла ставят за обоснованно верный ответ; 1 балл — если вся последовательность шагов верна, а испорчена только вычислительная ошибка. Отсюда практический вывод: даже когда ты не уверен в арифметике, выписывай ОДЗ, приведение к одной дроби и разбор знаков полностью. Пропущенный шаг стоит дороже, чем ошибка в шаге.

Задание 13 — повышенный уровень, 2 балла, два пункта: а) решить уравнение, б) отобрать корни, принадлежащие заданному отрезку. Чаще всего там стоит тригонометрическое уравнение, и техника этой темы работает внутри него как двигатель. Например, $\operatorname{tg} x - 2\operatorname{ctg} x = 1$ после замены $t = \operatorname{tg} x$ превращается в $t - \dfrac{2}{t} = 1$ — обычное дробно-рациональное уравнение с условием $t \neq 0$. Умножаем на $t$, получаем $t^2 - t - 2 = 0$, то есть $t = 2$ или $t = -1$. Сами тригонометрические уравнения — тема кода 2.5, замены с показательными — 2.3; но квадратное уравнение и ограничение на замену, которые там решают дело, ты берёшь отсюда.

Держи эту связку в голове, когда учишь тему. Ты учишь не «задание 6 за 1 балл» — ты учишь механику, которая молча работает в половине части 2.