Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства

Целое рациональное уравнение — то, где переменная нигде не стоит в знаменателе:   x² - 5x + 6 = 0,  x³ = 4x,   x⁴ - 5x² + 4 = 0. Подставлять в него можно любое число, ограничений нет.

Дробно-рациональное — то, где переменная в знаменателе есть:    (x-3)/(x+2) = 0. Здесь появляется ОДЗ — область допустимых значений, то есть все числа, при которых выражение вообще имеет смысл. Правило одно и очень простое: знаменатель не равен нулю. Делить на ноль нельзя, поэтому числа, обнуляющие знаменатель, выпадают из игры ещё до того, как ты начал решать.

Отсюда вся тема укладывается в одну мысль, которую стоит запомнить дословно: сначала найди, что запрещено, потом ищи корни, потом выбрось из них запрещённое. Порядок важен. Если выписать ОДЗ в конце, а не в начале, легко забыть про неё вовсе — и сдать в ответ корень, который на самом деле запрещён.

Ещё одна деталь, которая экономит время: знаменатель может не иметь нулей вовсе. У дроби   (x-1)/(x²+4) знаменатель всегда положителен, потому что x² ≥ 0 при любом x, а значит  x² + 4 ≥ 4. ОДЗ — все действительные числа, отсеивать нечего. Проверить это стоит секунды, а сэкономить может минуту паники.

Главный инструмент здесь один, и он не формула, а факт: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому цель любого преобразования — собрать всё в левой части и разложить её на множители.

Квадратное уравнение ты либо решаешь через дискриминант, либо угадываешь корни по теореме Виета, если коэффициенты целые и небольшие:

Для   x² - 5x + 6 = 0 Виета читается так: сумма корней 5, произведение 6. Два числа с такой суммой и произведением — 2 и 3. Дискриминант тут не нужен вовсе, а на экзамене без калькулятора это заметная экономия. Найденные корни сразу дают разложение (x − 2)(x − 3) — та же техника разложения работает и в неравенствах.

Степень выше второй. Не пугайся: почти всегда работает вынесение общего множителя или группировка. Уравнение  x³ = 4x решается так: переносим всё влево и выносим x за скобку.

Корни: 0, 2, −2. А вот если бы ты в самом начале поделил обе части на x, то получил бы  x² = 4 и потерял корень x = 0 навсегда. Делить обе части на выражение с переменной нельзя — можно только выносить его за скобку.

Если разложение не видно, ищи целый корень среди делителей свободного члена. У     x³ - 4x² + x + 6 = 0 свободный член 6, значит кандидаты — ±1, ±2, ±3, ±6. Подставляем x = −1: −1 − 4 − 1 + 6 = 0. Корень найден, значит многочлен делится на (x + 1):

Дальше — уже знакомое квадратное. Итого три корня: −1, 2, 3.

Замена переменной. Уравнение   x⁴ - 5x² + 4 = 0 становится квадратным после подстановки   t = x²:   t² - 5t + 4 = 0, откуда t = 1 и t = 4, а значит x = ±1 и x = ±2 — четыре корня. Но у замены есть цена: у новой переменной своё ограничение, и его надо выписать сразу. Здесь   t = x² ≥ 0. Проверь на уравнении   x⁴ + 3x² - 4 = 0: замена даёт   t² + 3t - 4 = 0, корни t = 1 и t = −4. Второй отбрасываем, он отрицательный, — и остаётся всего два корня x = ±1, а не четыре.

Дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю. Но не всякий нуль числителя годится — точка ещё должна попадать в ОДЗ. Полностью это записывается системой, и именно так стоит писать в части 2:

Второе условие — не формальность. Разберём     (x² + 3x - 10)/(x - 2) = 0. Числитель раскладывается как (x + 5)(x − 2), его нули — −5 и 2. Знаменатель обнуляется ровно при x = 2. То есть больший из «корней» числителя как раз и запрещён: он не решение, а посторонний корень — число, которое подошло бы по числителю, но выброшено ОДЗ. Остаётся единственный ответ x = −5. Задание 7 любит такую конструкцию: спрашивают «больший корень», а больший — тот самый, которого нет.

Общий случай. Если дробей несколько или справа не ноль, приводи всё к одной дроби. Уравнение        1/(x-3) + 1/(x+3) = 6/(x²-9) решается так. Сначала ОДЗ:    x² - 9 = (x-3)(x+3), значит x≠3 и x≠−3. Теперь умножаем обе части на (x − 3)(x + 3):

Единственный кандидат — x = 3, но он запрещён ОДЗ. Значит уравнение не имеет корней. Если бы ОДЗ не выписали в начале, в бланк ушла бы тройка.

Обрати внимание: в уравнении умножить обе части на знаменатель можно — при условии, что ОДЗ ты уже записал. Ты получаешь новое уравнение, среди корней которого могут оказаться лишние, и ОДЗ их вылавливает. В неравенстве этот приём запрещён: знак выражения с переменной в знаменателе заранее неизвестен, поэтому умножение способно незаметно развернуть неравенство — на выражение с переменной умножать нельзя.

Вот ошибка, которая обнуляет верное по духу решение. Пусть надо решить    (x+1)/(x-2) > 1. Рука тянется умножить обе части на x − 2:

Получилось тождество, «верное при любом x». Проверим этот вывод одним числом: при x = 0 левая часть исходного неравенства равна  1/(-2) = -0,5, а неравенство −0,5 > 1 ложно. Значит «любой x» — не ответ. Одно число опровергло всё решение целиком.

Причина. Умножение неравенства на положительное число знак сохраняет, на отрицательное — разворачивает. А знак выражения x − 2 заранее неизвестен: при x > 2 оно положительно, при x < 2 отрицательно. Умножая на него, ты молча выбираешь один из двух случаев и теряешь второй. Это не арифметическая помарка, а логическая: в критериях задания 16 балл ставят за обоснованно верный ответ, а такого обоснования просто нет.

Что делать вместо этого. Перенести всё в левую часть, чтобы справа остался ноль, и привести к одной дроби:

Числитель — положительная константа, поэтому дробь положительна ровно тогда, когда положителен знаменатель: x > 2. Ответ: (2; +∞). Сверься: при x = 3 получаем  4/1 = 4 > 1 — верно.

Запомни формулировку целиком: справа ноль, слева одна дробь, дальше метод интервалов. Других способов решать дробное неравенство на экзамене тебе не понадобится. Сам метод интервалов для дробей — с числовой прямой и несколькими точками — пошагово разберём дальше: в следующем блоке про скобки и в примере с неравенством ниже. Целое (квадратичное) неравенство как самостоятельный объект, вроде    x² - x - 6 ≥ 0, живёт в теме кода 2.7; здесь же квадратный трёхчлен встречается только как числитель или знаменатель дроби. Вся разница именно в знаменателе.

Это самый полезный кадр темы. Теория у заданий 7, 14 и 16 одна и та же — отличается только то, что от тебя требуют показать.

Задание 7 — базовый уровень, 1 балл, краткий ответ в бланк № 1: целое число или конечная десятичная дробь. Решение никто не читает, поэтому черновик может быть каким угодно. Но именно поэтому здесь так дорого стоит невнимательность: оговорку «в ответе укажите больший корень» или «запишите положительный корень» надо перечитать до того, как ты запишешь число.

Задание 16 — повышенный уровень, 2 балла, развёрнутое решение в бланк № 2. Ответ — промежуток или объединение промежутков, а не число. Проверяет живой эксперт, и он смотрит на ход. По критериям 2 балла ставят за обоснованно верный ответ; 1 балл — если вся последовательность шагов верна, а испорчена только вычислительная ошибка. Отсюда практический вывод: даже когда ты не уверен в арифметике, выписывай ОДЗ, приведение к одной дроби и разбор знаков полностью. Пропущенный шаг стоит дороже, чем ошибка в шаге.

Задание 14 — повышенный уровень, 2 балла, два пункта: а) решить уравнение, б) отобрать корни, принадлежащие заданному отрезку. Чаще всего там стоит тригонометрическое уравнение, и техника этой темы работает внутри него как двигатель. Например, tgx − 2ctgx = 1 после замены t = tgx превращается в    t - 2/t = 1 — обычное дробно-рациональное уравнение с условием t≠0. Умножаем на t, получаем    t² - t - 2 = 0, то есть t = 2 или t = −1. Сами тригонометрические уравнения — тема кода 2.5, замены с показательными — 2.3; но квадратное уравнение и ограничение на замену, которые там решают дело, ты берёшь отсюда.

Держи эту связку в голове, когда учишь тему. Ты учишь не «задание 7 за 1 балл» — ты учишь механику, которая молча работает в половине части 2.