Логарифмические уравнения/неравенства

Логарифм $\log_a b$ существует не всегда: под ним обязано стоять положительное число, а основание должно быть положительным и не равным единице. Само определение логарифма и его свойства разбираются в теме кода 1.6 — здесь мы считаем их известными и учимся ими решать уравнения и неравенства. Первое, что для этого нужно, — привычка выписывать область допустимых значений раньше любых преобразований.

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифмического уравнения — это все значения переменной, при которых каждый аргумент каждого логарифма строго положителен. Не «желательно проверить», а обязательное условие: вне ОДЗ выражения в уравнении просто не имеют смысла.

Самый простой вид уравнения — логарифм равен числу. Здесь работает переход прямо по определению:

Например, $\log_2 x = 5$ даёт $x = 2^5 = 32$, а $\log_3(2x-1) = 2$ превращается в $2x - 1 = 3^2 = 9$, откуда $x = 5$. Проверяем ОДЗ: $2\cdot 5 - 1 = 9 > 0$ — корень годится. В этом виде ОДЗ выполняется почти автоматически: $a^c$ всегда положительно, и аргумент не может выйти в минус. Опасность начинается там, где логарифмов несколько и их приходится сворачивать.

Если переменная попала не только в аргумент, но и в основание (встречается вид $\log_{2-x}(x+1)$), к ОДЗ добавляются ещё два условия на само основание: $2-x > 0$ и $2-x \neq 1$. Такие задачи решают через систему из всех этих условий — но встречаются они редко, а вот забыть про них легко.

Главный приём при решении — собрать сумму или разность логарифмов в один логарифм. Свойства берём из темы 1.6 — их нужно знать наизусть: в справочных материалах профиля логарифмов нет.

И вот здесь спрятана ловушка № 1 всей темы. Левая часть $\log_a f + \log_a g$ определена, только когда оба числа положительны: $f > 0$ и $g > 0$. А правая часть $\log_a (fg)$ определена, как только положительно их произведение — а это выполняется ещё и когда оба множителя отрицательны. Свёртка расширяет область: после неё в решение могут попасть корни, которых в исходном уравнении не было.

Смотри, как это работает. Уравнение $\log_3 x + \log_3(x-8) = 2$. Сначала ОДЗ: нужно $x > 0$ и $x - 8 > 0$, то есть $x > 8$. Теперь сворачиваем и снимаем логарифм:

Корни квадратного уравнения — $x = 9$ и $x = -1$. Второй лежит вне ОДЗ $x > 8$ и отбрасывается — не потому что «так принято», а потому что при $x = -1$ под логарифмом стоит отрицательное число и уравнение теряет смысл. Ответ — только $x = 9$. Проверка: $\log_3 9 + \log_3 1 = 2 + 0 = 2$.

Вывод, который стоит балла на № 15: ОДЗ пишут до свёртки, а лишние корни отсекают ей, а не «на всякий случай». Пропустил ОДЗ — и в ответ уходит корень, которого не существует.

Свернуть логарифмы можно, только когда у них одно основание. Если оснований несколько, их сначала приводят к общему — переходом к новому основанию (формула из темы 1.6). Чаще всего одно основание оказывается степенью другого, и тогда переход короткий:

Вот где легко ошибиться: $\log_4 y = \dfrac{\log_2 y}{2}$, потому что $4 = 2^2$, а не $2\log_2 y$. Основание в степени $k$ делит логарифм на $k$, а не умножает. Разберём $\log_2 x + \log_4 x = 3$. ОДЗ: $x > 0$. Заменяем $\log_4 x = \tfrac12 \log_2 x$ и обозначаем $u = \log_2 x$:

Проверка: $\log_2 4 + \log_4 4 = 2 + 1 = 3$. Сошлось.

Второй частый ход — замена переменной, когда во всём уравнении повторяется один и тот же логарифм. Уравнение $(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0$ после замены $t = \log_2 x$ становится квадратным: $t^2 - 5t + 6 = 0$, корни $t = 2$ и $t = 3$. Возвращаемся: $\log_2 x = 2$ даёт $x = 4$, $\log_2 x = 3$ даёт $x = 8$. Оба в ОДЗ $x > 0$ — оба годятся.

Важное отличие от показательных уравнений. Там замена $t = a^x$ всегда тянет за собой условие $t > 0$. Здесь ничего подобного нет: логарифм принимает любые действительные значения, поэтому на $t = \log_a x$ никаких ограничений не накладывают. Приписать сюда ложное $t > 0$ — значит вычеркнуть верный корень. Единственное ограничение темы — это ОДЗ по $x$, и оно про аргумент, а не про $t$.

Логарифмические уравнения и неравенства встречаются на профиле в трёх местах. Теория у них общая — различаются цена и требования к записи. Это самый полезный кадр темы: как решать, ты уже знаешь, дальше вопрос только в том, что попадёт на бумагу.

Задание 6 — часть 1, базовый уровень, 1 балл. Спрашивают корень, в бланк № 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Решение никто не читает — нужен верный ответ. Типичный вид: $\log_5(2x-3) = 2$ или сумма логарифмов со свёрткой $\log_4(x-1) + \log_4(x+2) = 1$. Если корней вышло несколько, ОДЗ обычно оставляет один — но проверить её всё равно нужно, иначе в бланк уйдёт посторонний корень.

Задание 13 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла, развёрнутая запись в бланк № 2. Структура двухпунктовая: а) решить уравнение, б) отобрать корни на указанном отрезке. Чаще всего под № 13 идёт тригонометрическое уравнение, но логарифмические там тоже попадаются — например $\log_2 x + \log_2(x-6) = 4$. У логарифмических отбор часто делает уже ОДЗ, но пункт б) всё равно нужно записать: критерий даёт 2 балла за оба пункта и 1 балл за один. Отбор корней стоит ровно столько же, сколько само решение.

Задание 15 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла. Именно логарифмическое неравенство здесь самый частый гость. Ответ уже не число, а промежуток или объединение промежутков. Критерий строгий: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке.

И тут ключевое: пропуск ОДЗ — это не вычислительная ошибка, а ноль. Балл за «правильную последовательность» дают только тому, у кого выписаны ОДЗ, переход по основанию и пересечение. Решение в уме, от которого на бумаге остался один ответ, при малейшей осечке даёт ноль вместо единицы.