Логарифмические уравнения/неравенства

Логарифм logₐ b существует не всегда: под ним обязано стоять положительное число, а основание должно быть положительным и не равным единице. Само определение логарифма и его свойства разбираются в теме кода 1.6 — здесь мы считаем их известными и учимся ими решать уравнения и неравенства. Первое, что для этого нужно, — привычка выписывать область допустимых значений раньше любых преобразований.

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифмического уравнения — это все значения переменной, при которых каждый аргумент каждого логарифма строго положителен. Не «желательно проверить», а обязательное условие: вне ОДЗ выражения в уравнении просто не имеют смысла.

Самый простой вид уравнения — логарифм равен числу. Здесь работает переход прямо по определению:

Например,  log₂ x = 5 даёт   x = 2⁵ = 32, а  log₃(2x-1) = 2 превращается в   2x - 1 = 3² = 9, откуда x = 5. Проверяем ОДЗ: 2·5 − 1 = 9 > 0 — корень годится. В этом виде ОДЗ выполняется почти автоматически: aᶜ всегда положительно, и аргумент не может выйти в минус. Опасность начинается там, где логарифмов несколько и их приходится сворачивать.

Если переменная попала не только в аргумент, но и в основание (встречается вид  log₂₋ₓ(x+1)), к ОДЗ добавляются ещё два условия на само основание: 2 − x > 0 и 2 − x≠1. Такие задачи решают через систему из всех этих условий — но встречаются они редко, а вот забыть про них легко.

Главный приём при решении — собрать сумму или разность логарифмов в один логарифм. Свойства берём из темы 1.6 — их нужно знать наизусть: в справочных материалах профиля логарифмов нет.

И вот здесь спрятана ловушка № 1 всей темы. Левая часть   logₐ f + logₐ g определена, только когда оба числа положительны: f > 0 и g > 0. А правая часть logₐ (fg) определена, как только положительно их произведение — а это выполняется ещё и когда оба множителя отрицательны. Свёртка расширяет область: после неё в решение могут попасть корни, которых в исходном уравнении не было.

Смотри, как это работает. Уравнение   log₃ x + log₃(x-8) = 2. Сначала ОДЗ: нужно x > 0 и x − 8 > 0, то есть x > 8. Теперь сворачиваем и снимаем логарифм:

Корни квадратного уравнения — x = 9 и x = −1. Второй лежит вне ОДЗ x > 8 и отбрасывается — не потому что «так принято», а потому что при x = −1 под логарифмом стоит отрицательное число и уравнение теряет смысл. Ответ — только x = 9. Проверка: log₃ 9 + log₃ 1 = 2 + 0 = 2.

Вывод, который стоит балла на № 16: ОДЗ пишут до свёртки, а лишние корни отсекают ей, а не «на всякий случай». Пропустил ОДЗ — и в ответ уходит корень, которого не существует.

Свернуть логарифмы можно, только когда у них одно основание. Если оснований несколько, их сначала приводят к общему — переходом к новому основанию (формула из темы 1.6). Чаще всего одно основание оказывается степенью другого, и тогда переход короткий:

Вот где легко ошибиться:   log₄ y = (log₂ y)/2, потому что 4 = 2², а не 2 log₂ y. Основание в степени k делит логарифм на k, а не умножает. Разберём    log₂ x + log₄ x = 3. ОДЗ: x > 0. Заменяем   log₄ x = (1/2) log₂ x и обозначаем   u = log₂ x:

Проверка: log₂ 4 + log₄ 4 = 2 + 1 = 3. Сошлось.

Второй частый ход — замена переменной, когда во всём уравнении повторяется один и тот же логарифм. Уравнение    (log₂ x)² - 5 log₂ x + 6 = 0 после замены   t = log₂ x становится квадратным:   t² - 5t + 6 = 0, корни t = 2 и t = 3. Возвращаемся:  log₂ x = 2 даёт x = 4,  log₂ x = 3 даёт x = 8. Оба в ОДЗ x > 0 — оба годятся.

Важное отличие от показательных уравнений. Там замена   t = aˣ всегда тянет за собой условие t > 0. Здесь ничего подобного нет: логарифм принимает любые действительные значения, поэтому на   t = logₐ x никаких ограничений не накладывают. Приписать сюда ложное t > 0 — значит вычеркнуть верный корень. Единственное ограничение темы — это ОДЗ по x, и оно про аргумент, а не про t.

Логарифмические уравнения и неравенства встречаются на профиле в трёх местах. Теория у них общая — различаются цена и требования к записи. Это самый полезный кадр темы: как решать, ты уже знаешь, дальше вопрос только в том, что попадёт на бумагу.

Задание 7 — часть 1, базовый уровень, 1 балл. Спрашивают корень, в бланк № 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Решение никто не читает — нужен верный ответ. Типичный вид:  log₅(2x-3) = 2 или сумма логарифмов со свёрткой   log₄(x-1) + log₄(x+2) = 1. Если корней вышло несколько, ОДЗ обычно оставляет один — но проверить её всё равно нужно, иначе в бланк уйдёт посторонний корень.

Задание 14 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла, развёрнутая запись в бланк № 2. Структура двухпунктовая: а) решить уравнение, б) отобрать корни на указанном отрезке. Чаще всего под № 14 идёт тригонометрическое уравнение, но логарифмические там тоже попадаются — например   log₂ x + log₂(x-6) = 4. У логарифмических отбор часто делает уже ОДЗ, но пункт б) всё равно нужно записать: критерий даёт 2 балла за оба пункта и 1 балл за один. Отбор корней стоит ровно столько же, сколько само решение.

Задание 16 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла. Именно логарифмическое неравенство здесь самый частый гость. Ответ уже не число, а промежуток или объединение промежутков. Критерий строгий: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке.

И тут ключевое: пропуск ОДЗ — это не вычислительная ошибка, а ноль. Балл за «правильную последовательность» дают только тому, у кого выписаны ОДЗ, переход по основанию и пересечение. Решение в уме, от которого на бумаге остался один ответ, при малейшей осечке даёт ноль вместо единицы.