Иррациональные уравнения/неравенства

Q: Как решать задания по теме «Иррациональные уравнения/неравенства»?

Шаги такие: 1) уедини корень; 2) запиши условие на знак правой части; 3) возведи обе части в квадрат; 4) для неравенства выбери правильную схему; 5) отбери корни или пересеки промежутки; 6) проверь и ответь на вопрос.

Q: Что нужно запомнить по теме «Иррациональные уравнения/неравенства»?

Главное: 1) √(f(x)) = g(x) ⇔ {f(x) = g²(x); g(x) ≥ 0}; 2) √(f(x)) = √(g(x)) ⇔ {f(x) = g(x); f(x) ≥ 0}; 3) √(x²) = |x|; 4) √f 0; f g: {f ≥ 0; g g²}. Остальное — в разделе темы выше.

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня, на профиле почти всегда квадратного; его решают возведением в квадрат с контролем знака правой части. На ЕГЭ тема нужна в задании 7 (1 балл), а также в заданиях 14 и 16 (по 2 балла).

Решать задание 7 ЕГЭ

Равносильные переходы в одной таблице

Схемы для уравнений и неравенств с корнем и условия, которые нельзя терять
Вид	Равносильный переход	На что смотреть
Корень из квадрата	√(x²) = \|x\|	Не x: корень всегда неотрицателен
Корень равен выражению	√(f(x)) = g(x) ⇔ {f(x) = g²(x); g(x) ≥ 0}	Условие f ≥ 0 отдельно не нужно; главное — знак правой части
Корень равен числу	√(2x - 1) = -3	Если число неотрицательно, просто возводят в квадрат
Корень равен корню	√(f(x)) = √(g(x)) ⇔ {f(x) = g(x); f(x) ≥ 0}	Условие достаточно написать для одного подкоренного
Кубический корень	³√f = g ⇔ f = g³	Без условий на знак: посторонних корней нет
Корень меньше	√f < g ⇔ {f ≥ 0; g > 0; f < g²}	Система: все три условия одновременно
Корень больше	√f > g: {f ≥ 0; g < 0} или {g ≥ 0; f > g²}	Совокупность: ответ — объединение двух случаев, первый нельзя забывать

Быстрые ответы

Что такое иррациональное уравнение?

Иррациональное уравнение — уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня; на профиле почти всегда квадратного. Его решают возведением в квадрат с контролем знака правой части, потому что возведение в квадрат неравносильно и может дать посторонние корни.

Как решать задания по теме «Иррациональные уравнения/неравенства»?

Шаги такие:

уедини корень
запиши условие на знак правой части
возведи обе части в квадрат
для неравенства выбери правильную схему
отбери корни или пересеки промежутки
проверь и ответь на вопрос.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Иррациональные уравнения/неравенства»?

Возводят в квадрат и не проверяют знак правой части. Возведение в квадрат неравносильно — оно дарит посторонние корни. В √(3x+7) = x+1 выходят x = 3 и x = -2; без условия x+1 ≥ 0 второй уходит в ответ, хотя при нём слева 1, а справа −1. Либо ставь условие, либо проверяй корни подстановкой.

Что нужно запомнить по теме «Иррациональные уравнения/неравенства»?

Главное:

√(f(x)) = g(x) ⇔ {f(x) = g²(x); g(x) ≥ 0}
√(f(x)) = √(g(x)) ⇔ {f(x) = g(x); f(x) ≥ 0}
√(x²) = |x|
√f 0; f < g²}
√f > g: {f ≥ 0; g g²}.

Остальное — в разделе темы выше.

Иррациональное уравнение решают возведением в квадрат, но этот шаг неравносильный: он дарит посторонние корни, которых в исходном уравнении не было. Вся тема — про то, как их поймать: проверкой знака правой части или равносильной системой. А неравенства с корнем раскрываются двумя разными схемами, и это самое трудное место темы — а без него не закрыть задания 7, 14 и 16.

Обновлено 3 октября 2026

Что такое иррациональное уравнение и откуда лишние корни?

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня. На профиле это почти всегда квадратный корень: √(3x+7) = 5, √(x+5) = x-1. Само определение арифметического корня и его свойства разбираются в теме кода 1.3 — здесь мы считаем их известными и учимся ими решать уравнения и неравенства.

Чтобы убрать корень, обе части возводят в квадрат. Но вот в чём подвох: возведение в квадрат — неравносильное преобразование. Оно склеивает то, что раньше было разным. Равенства a = b и a = −b после возведения в квадрат превращаются в одно и то же a² = b². Поэтому у уравнения после возведения в квадрат решений может оказаться больше, чем у исходного, — появляются посторонние корни.

Главное свойство, которое при этом теряется, — знак. Арифметический корень никогда не бывает отрицательным: √f≥0 всегда. Значит, если слева стоит корень, а справа — что-то, что может уйти в минус, равенство возможно лишь там, где правая часть тоже неотрицательна. Возведение в квадрат про это «забывает», и наша задача — вернуть условие обратно.

Отсюда же вечная ловушка на упрощение: √(x²) ≠ x. Правильно √(x²) = |x|, потому что результат корня обязан быть неотрицательным. Проверь на числе: √((-5)²) = √25 = 5, а вовсе не −5.

Проверь себя за 10 секунд

Найдите корень уравнения √(2x − 1) = 5.

Правая часть 5 ≥ 0, поэтому просто возводим в квадрат: 2x − 1 = 25, откуда 2x = 26 и x = 13. Проверка: √(2·13 − 1) = √25 = 5 — верно. Вариант 3 получается, если забыть возвести правую часть в квадрат и решить 2x − 1 = 5; вариант 12,5 — если из 2x = 25 забыть про свободный член.

Ещё 5 вопросов — к мини-тесту

После возведения иррационального уравнения в степень появляется посторонняя точка, которую удаляет проверка — Преобразование может породить посторонний корень, поэтому найденные значения обязательно проверяют в исходном уравнении.

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 7 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Найдите корень уравнения √(3x + 4) = x.

Показать ответ
Задание 2 из 2

Найдите корень уравнения: sqrt(3x + 7) = 5.

Показать ответ

Как решать уравнение √f(x) = g(x) без лишних корней?

Есть два честных способа справиться с посторонними корнями. Первый — возвести в квадрат, решить и подставить каждый корень в исходное уравнение: настоящий пройдёт проверку, посторонний — нет. Второй, который в части 2 надёжнее, — сразу перейти к равносильной системе:

в строку: √(f(x)) = g(x) ⇔ {f(x) = g²(x); g(x) ≥ 0}

Обрати внимание, что в системе ровно одно дополнительное условие — на знак правой части: g(x)≥0. Условие f(x)≥0 (подкоренное неотрицательно) писать отдельно не нужно: если f = g², то f автоматически равно квадрату, а квадрат неотрицателен. ОДЗ здесь выполняется само. Это частая избыточность в решениях: люди тащат лишнее условие на подкоренное и забывают единственно важное — знак правой части.

Самый простой вид — корень равен числу. Тогда g постоянна: если она неотрицательна, просто возводим в квадрат. √(3x+7) = 5 даёт 3x + 7 = 25, откуда x = 6. Правая часть 5≥0 — условие выполнено, проверка не нужна. А вот √(2x-1) = -3 корней не имеет вовсе: слева неотрицательное число, справа отрицательное, равенство невозможно.

Опасность приходит с переменной справа. Решим √(3x+7) = x+1. Условие: x + 1≥0, то есть x≥−1. Возводим в квадрат:

в строку: 3x + 7 = (x+1)² ⇒ x² - x - 6 = 0 ⇒ x = 3 или x = -2

Корень x = 3 проходит условие x≥−1, а x = −2 — нет, и это не формальность: при x = −2 слева √1 = 1, а справа −2 + 1 = −1, и 1≠−1. Этот корень породило именно возведение в квадрат. Ответ — только x = 3.

Уравнение √(3x + 7) = x + 1: настоящее пересечение одно — точка (3; 4). Корень x = −2 появляется только после возведения в квадрат: там прямая уходит под ось, а арифметический корень неотрицателен, поэтому равенства нет.

Когда корень равен корню

Второй частый вид — равенство двух корней √(f(x)) = √(g(x)). Здесь возведение в квадрат само по себе посторонних корней не добавляет: обе части и так неотрицательны. Но есть своя ловушка — ОДЗ (область допустимых значений: те x, при которых подкоренные выражения вообще существуют, то есть неотрицательны). Приравняв подкоренные, легко получить значение, при котором оба выражения уходят в минус, а корней от них не существует. Поэтому нужна оговорка, что подкоренное неотрицательно:

в строку: √(f(x)) = √(g(x)) ⇔ {f(x) = g(x); f(x) ≥ 0}

Условие достаточно написать для одного подкоренного: раз f = g, то из f≥0 сразу следует и g≥0. Пример: √(2x-1) = √(x+4). Приравниваем подкоренные: 2x − 1 = x + 4, откуда x = 5. Проверяем знак: 2·5 − 1 = 9≥0 — годится. Подстановка: √9 = √9 = 3.

Отдельно про степень корня. Если корень чётной степени (квадратный, четвёртой степени и так далее), всё сказанное в силе: подкоренное обязано быть неотрицательным, а знак правой части — под контролем. А вот нечётный корень (кубический) определён для любых чисел и может быть отрицательным. Уравнение с кубическим корнем возводят в куб без всяких условий на знак: ³√f = g ⇔ f = g³, посторонних корней это не даёт. На профиле такие встречаются реже квадратных, но перепутать их правила — обидная потеря.

По каким схемам решать иррациональные неравенства?

С неравенствами возведение в квадрат работает ещё капризнее: квадрат сохраняет порядок только для неотрицательных чисел. Поэтому √f < g и √f > g раскрываются по-разному — и никакого «симметричного» правила здесь нет. Это самое трудное место темы, разберём обе схемы отдельно.

Меньше: √(f(x)) < g(x). Слева неотрицательное число, и оно меньше g — значит g обязана быть строго положительной. Тогда обе части неотрицательны, их можно возвести в квадрат. Плюс подкоренное должно существовать:

в строку: √(f(x)) < g(x) ⇔ {f(x) ≥ 0; g(x) > 0; f(x) < g²(x)}

Все три условия соединены знаком системы — должны выполняться одновременно. Короткий пример: √(x+2) < x. Система: x + 2≥0, x > 0, x+2 < x². Последнее даёт x² - x - 2 > 0, то есть (x − 2)(x + 1) > 0, а значит x вне отрезка между корнями: x < −1 или x > 2. Пересекаем с x > 0 и получаем x > 2, то есть x∈(2; +∞).

Больше: √(f(x)) > g(x). Здесь возможны два совершенно разных сценария, поэтому ответ — объединение двух случаев (совокупность, а не система).

Случай 1 — правая часть отрицательна. Тогда неравенство выполняется автоматически: неотрицательный корень всегда больше отрицательного числа. Достаточно, чтобы корень существовал:

в строку: {f(x) ≥ 0; g(x) < 0}

Случай 2 — правая часть неотрицательна. Обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат:

в строку: {g(x) ≥ 0; f(x) > g²(x)}

Итоговый ответ — объединение решений обоих случаев. Условие f≥0 во втором случае писать не нужно: из f > g² ≥ 0 оно следует само. Вся сложность именно в том, чтобы не забыть первый случай: когда правая часть уходит в минус, а ты о нём не подумал — теряешь половину ответа.

Одна тема — три задания: 7, 14 и 16

Иррациональные уравнения и неравенства встречаются на профиле в трёх местах. Теория у них общая — различаются цена и требования к записи. Это самый полезный кадр темы: как решать, ты уже знаешь, дальше вопрос только в том, что попадёт на бумагу.

Задание 7 — часть 1, базовый уровень, 1 балл, и это главный дом иррациональных уравнений. Спрашивают корень, в бланк № 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Решение никто не читает — нужен верный ответ. Типичный вид: √(2x+1) = 5 или √(3x+7) = x+1 с отсевом лишнего корня. Здесь удобнее возвести в квадрат и проверить корни подстановкой: это и быстро, и надёжно.

Задание 14 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла, развёрнутая запись в бланк № 2. Структура двухпунктовая: а) решить уравнение, б) отобрать корни на отрезке. Оба пункта оплачиваются отдельно — примерно по баллу: пункт а) — верно решённое уравнение, пункт б) — верный отбор корней, попавших в указанный отрезок.

Чаще всего под № 14 идёт тригонометрическое уравнение: у него бесконечные серии корней, и отбор на отрезке — настоящая работа. У иррационального уравнения корней конечное число и периодических серий нет, поэтому отбор на отрезке обычно тривиален — и такие уравнения под № 14 редки. Но если попалось — записывай равносильную систему целиком: отсев посторонних корней по знаку правой части входит в само решение (пункт а), пропустишь его — потеряешь балл за решение.

Задание 16 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла. Ответ уже не число, а промежуток или объединение промежутков. Чаще на № 16 стоят логарифмические и показательные неравенства, но иррациональное неравенство здесь тоже законный гость — и именно на нём проверяют, помнишь ли ты, что √f < g и √f > g раскрываются разными схемами. Критерий строгий: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке.

И тут ключевое: пропуск условия на знак — это не вычислительная ошибка, а ноль. Балл за «правильную последовательность» дают тому, у кого выписаны система или совокупность, переход к квадрату и пересечение. Решение в уме, от которого на бумаге остался один ответ, при малейшей осечке даёт ноль вместо единицы.

Разбор: уравнение с отсевом корня (№ 7)

Пример

Решите уравнение √(x + 7) = x − 5.

Ставим условие на правую часть. Слева арифметический корень, он неотрицателен, значит и справа должно быть неотрицательное число: x − 5≥0, то есть x≥5. Запомним это условие — с ним в конце сверим корни.Возводим обе части в квадрат. Отдельное условие на подкоренное x + 7≥0 писать не нужно: после возведения оно станет равно квадрату и само окажется неотрицательным.x + 7 = (x - 5)² ⇒ x + 7 = x² - 10x + 25Переносим всё в одну часть и решаем квадратное уравнение:x² - 11x + 18 = 0 ⇒ x = 9 или x = 2Отсев по условию. Требование x≥5: корень x = 9 подходит, а x = 2 — нет. Убедимся, что это не формальность: при x = 2 слева √9 = 3, а справа 2 − 5 = −3, и 3≠−3. Корень x = 2 породило возведение в квадрат.Проверка настоящего корня. При x = 9: √(9 + 7) = √16 = 4, а справа 9 − 5 = 4 — сходится.Ответ: x = 9.

Разбор: неравенство √f > g через совокупность (№ 16)

Пример

Решите неравенство √(x + 5) > x − 1.

Слева корень, справа — выражение, которое может быть и положительным, и отрицательным. Значит, √f > g раскрывается через совокупность двух случаев, а ответ — их объединение.Случай 1: правая часть отрицательна — тогда неравенство верно всюду, где корень существует. Система: x − 1 < 0 и x + 5≥0. Это x < 1 и x≥−5, вместе:−5≤x < 1Случай 2: правая часть неотрицательна — обе части неотрицательны, возводим в квадрат. Система: x − 1≥0 и x + 5 > (x-1)².x + 5 > x² - 2x + 1 ⇒ x² - 3x - 4 < 0 ⇒ (x - 4)(x + 1) < 0Отсюда −1 < x < 4. Пересекаем с условием этого случая x≥1 и получаем:1≤x < 4Объединяем оба случая. Промежутки [−5; 1) и [1; 4) стыкуются в точке 1 и дают один отрезок:x∈[−5; 4)Проверка границ. При x = −5: √0 = 0 > −6 — верно, левый конец входит. При x = 4: √9 = 3, а справа 4 − 1 = 3, и 3 > 3 неверно — правый конец выколот. При x = 5: √10≈3,16, а 3,16 > 4 неверно — за границей ответа, всё сходится.Ответ: x ∈ [−5; 4).

Как решать иррациональное уравнение или неравенство?

1Уедини корень. Добейся, чтобы в одной части остался ровно один корень, а всё остальное перешло в другую. Возводить в квадрат имеет смысл только тогда, когда корень стоит отдельно.
2Запиши условие на знак правой части. Для уравнения √f = g это g≥0. Отдельное условие на подкоренное f≥0 не пиши: после возведения в квадрат оно выполнится само.
3Возведи обе части в квадрат. Корень исчезает, остаётся обычное уравнение или неравенство — чаще всего линейное или квадратное. Реши его.
4Для неравенства выбери правильную схему. √f < g — одна система: f≥0, g > 0, f < g². √f > g — совокупность двух случаев: правая часть отрицательна (корень существует) либо неотрицательна (возводим в квадрат).
5Отбери корни или пересеки промежутки. В уравнении отбрось корни, не прошедшие условие на знак. В неравенстве пересеки решения внутри системы, а между случаями совокупности — объедини.
6Проверь и ответь на вопрос. Подставь корень в исходное уравнение — посторонний отсеется сразу. В неравенстве проверь границы подстановкой: концы промежутка легко перепутать по включению.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Найдите корень уравнения √(2x − 1) = 5.

2.Уравнение √(x + 11) = x − 1 после возведения в квадрат дало корни x = 5 и x = −2. Какой ответ верный?

Условие на правую часть: x − 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1. Корень x = −2 в него не попадает — при нём справа стоит −3, а слева √9 = 3, равенства нет. Остаётся только x = 5: √16 = 4 и 5 − 1 = 4. Лишний корень x = −2 породило именно возведение в квадрат.

3.Обе части уравнения √f(x) = g(x) возвели в квадрат. Какое условие нужно добавить, чтобы не появились посторонние корни?

Нужно ровно одно условие — на знак правой части: g(x) ≥ 0, ведь арифметический корень слева неотрицателен. Условие f(x) ≥ 0 избыточно: после возведения f = g², а квадрат и так неотрицателен. Вариант «никакого» оставит в ответе посторонние корни, где правая часть отрицательна.

4.Решите неравенство √(x − 2) < 4.

Правило для √f < g: система f ≥ 0, g > 0, f < g². Здесь x − 2 ≥ 0 (то есть x ≥ 2), правая часть 4 > 0 всегда, и x − 2 < 16, то есть x < 18. Вместе: 2 ≤ x < 18. Вариант (−∞; 18) забывает про ОДЗ x ≥ 2. При x = 2 слева √0 = 0 < 4 — левый конец входит, скобка квадратная.

5.Решите неравенство √(x + 1) > x − 1.

Здесь √f > g — совокупность. Случай 1 (правая часть < 0): x − 1 < 0 и x + 1 ≥ 0 дают [−1; 1). Случай 2 (правая часть ≥ 0): x ≥ 1 и x + 1 > (x − 1)² → x² − 3x < 0 → 0 < x < 3, пересечение с x ≥ 1 даёт [1; 3). Объединяем: [−1; 3). Вариант [1; 3) теряет первый случай, где правая часть отрицательна.

6.Чему равно √(x²) при любом действительном x?

Арифметический корень по определению неотрицателен, поэтому √(x²) = |x|, а не x. Проверка на числе: √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|, тогда как сам x равен −5. Именно поэтому при решении уравнений с √(x²) нельзя просто «снять» корень и квадрат — появится модуль.

Какие ошибки делают в иррациональных уравнениях?

Ошибка 1

Возводят в квадрат и не проверяют знак правой части. Возведение в квадрат неравносильно — оно дарит посторонние корни. В √(3x+7) = x+1 выходят x = 3 и x = −2; без условия x + 1≥0 второй уходит в ответ, хотя при нём слева 1, а справа −1. Либо ставь условие, либо проверяй корни подстановкой.

Ошибка 2

Пишут лишнее условие на подкоренное и забывают про правую часть. В системе для √f = g главное — g≥0, а не f≥0. Условие на подкоренное после возведения в квадрат выполняется само (f = g² ≥ 0), а вот знак правой части теряется — именно его и надо вернуть.

Ошибка 3

Раскрывают √f > g и √f < g одинаково. «Симметричного» правила нет. √f < g — одна система (g > 0 обязательно). √f > g — совокупность двух случаев, и чаще всего теряют первый: когда правая часть отрицательна, неравенство верно само по себе, а половина ответа остаётся невыписанной.

Ошибка 4

Пишут √(x²) = x вместо √(x²) = |x|. Результат арифметического корня неотрицателен, поэтому под корнем из квадрата прячется модуль. Проверь на числе: √((-3)²) = 3, а не −3.

Ошибка 5

Забывают ОДЗ при равенстве двух корней. В √f = √g возведение в квадрат корней не добавляет, но приравнивание подкоренных может дать значение, при котором оба выражения отрицательны. Условие f≥0 обязательно — иначе в ответ уйдёт точка, где корней вообще нет.

Ошибка 6

В неравенстве √f < g забывают, что правая часть строго положительна. Неотрицательный корень не может быть меньше нуля или отрицательного числа, поэтому g > 0 — часть системы, а не мелочь. Пропустив его, легко «решить» неравенство там, где решений нет.

Запомни для ЕГЭ

√(f(x)) = g(x) ⇔ {f(x) = g²(x); g(x) ≥ 0}

√(f(x)) = √(g(x)) ⇔ {f(x) = g(x); f(x) ≥ 0}

3√(x²) = |x|

√f < g ⇔ {f ≥ 0; g > 0; f < g²}

√f > g: {f ≥ 0; g < 0} или {g ≥ 0; f > g²}

6Возведение в квадрат может подарить посторонний корень. Всегда проверяй знак правой части или решай систему

На экзамене

Задание 7 стоит 1 балл — закладывай 3 минуты. Простейшее √f = c с положительным числом справа решается возведением в квадрат сразу. Если справа переменная — возведи в квадрат, найди корни и подставь каждый в исходное: посторонний отсеется за двадцать секунд, а систему в части 1 можно не расписывать.
В части 2 (№ 14, 16) одного ответа мало — нужна запись обоснования. Пиши условие на знак правой части (или всю систему), возведение в квадрат и отбор. Пропущенное условие — не описка, а ноль: балл за «верную последовательность шагов» дают только при полной цепочке.
Неравенства не путай: √f < g — одна система с обязательным g > 0; √f > g — совокупность, где легче всего забыть случай отрицательной правой части. Сомневаешься в ответе — подставь по одному числу изнутри и снаружи промежутка.
Числа в заданиях всегда «хорошие»: подкоренные раскладываются в полные квадраты, корни выходят целыми. Если после возведения в квадрат получился дискриминант, который не берётся, или корень вида √17 в ответе задания 7 — ищи арифметическую ошибку, а не редкий случай.
Помни про √(x²) = |x|: модуль всплывает всюду, где под корнем оказывается полный квадрат. Снял корень без модуля — потерял половину решений.
Не перепутай бланки: № 7 идёт в бланк № 1 (краткий ответ — целое число или конечная десятичная дробь), № 14 и № 16 — в бланк № 2 (развёрнутое решение).

Словарь темы

Иррациональное уравнение: Уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня. На профиле почти всегда квадратного. Решается возведением в квадрат с контролем знака правой части.
ОДЗ (область допустимых значений): Множество значений переменной, при которых все выражения уравнения или неравенства имеют смысл. Для корня чётной степени это значит, что подкоренное выражение неотрицательно: √f существует только при f ≥ 0.
Арифметический корень: √f — неотрицательное число, квадрат которого равен f. Ключевое свойство темы: √f ≥ 0 всегда, поэтому √(x²) = |x|. Подробно разбирается в теме кода 1.3.
Посторонний корень: Число, которое удовлетворяет уравнению после возведения в квадрат, но не исходному. Появляется из-за того, что возведение в квадрат неравносильно. Отсеивается проверкой знака или подстановкой.
Равносильная система: Система условий, множество решений которой в точности совпадает с множеством решений исходного уравнения или неравенства. Для √f = g это { f = g², g ≥ 0 } — переход к ней сразу отсекает посторонние корни.
Совокупность: Набор условий, соединённых союзом «или»: решение — объединение решений каждого. В отличие от системы (где условия выполняются одновременно). Неравенство √f > g раскрывается именно совокупностью двух случаев.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 7 КИМ (1 балл); также в 14 и 16 (по 2 балла) Макс. 1 балл за № 7 ~3 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 2.2 «Иррациональные уравнения»; 2.6 «Иррациональные неравенства». Неравенства в кодификаторе 2027 выделены в отдельный элемент 2.6. В проекте КИМ 2027 уравнение с кратким ответом — задание 7, уравнение с отбором корней — задание 14, неравенство — задание 16.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 2.2 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня: «Иррациональные уравнения/неравенства», проверяется заданиями 7, 14, 16.
Задание 7 — базовый уровень, 1 балл, часть 1, ответ в бланк № 1 (целое число или конечная десятичная дробь). Задания 14 и 16 — повышенный уровень, по 2 балла, часть 2, развёрнутая запись в бланк № 2.
Критерий задания 14: 2 балла — верны оба пункта, 1 балл — верен только один пункт. Критерий задания 16: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке.
Калькулятор на профильной математике запрещён; справочные материалы содержат ровно четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β). Свойств корней там нет, числа в заданиях «хорошие».
Возведение в квадрат — неравносильное преобразование: из a = b и a = −b получается одно уравнение a² = b², поэтому появляются посторонние корни, которые отсекаются условием на знак или проверкой подстановкой.
Равносильная система для √f(x) = g(x) — это { f(x) = g²(x), g(x) ≥ 0 }; условие f(x) ≥ 0 отдельно не требуется, так как следует из f = g² ≥ 0.
Для равенства двух корней √f(x) = √g(x) равносильная система — { f(x) = g(x), f(x) ≥ 0 }; условие на g следует из f = g ≥ 0.
Для нечётного (кубического) корня возведение в куб равносильно без условий на знак: ∛f = g ⇔ f = g³.
Неравенство √f(x) < g(x) равносильно системе { f(x) ≥ 0, g(x) > 0, f(x) < g²(x) }.
Неравенство √f(x) > g(x) равносильно совокупности двух систем: { f ≥ 0, g < 0 } или { g ≥ 0, f > g²(x) }; ответ — объединение решений.
Задание 14 — «чаще всего тригонометрическое уравнение с отбором корней», иррациональные уравнения там встречаются по кодификатору; задание 16 — чаще логарифмические/показательные неравенства, но иррациональные законны. Главное место темы — задание 7.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 3 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.