Иррациональные уравнения/неравенства

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня. На профиле это почти всегда квадратный корень: $\sqrt{3x+7} = 5$, $\sqrt{x+5} = x-1$. Само определение арифметического корня и его свойства разбираются в теме кода 1.3 — здесь мы считаем их известными и учимся ими решать уравнения и неравенства.

Чтобы убрать корень, обе части возводят в квадрат. Но вот в чём подвох: возведение в квадрат — неравносильное преобразование. Оно склеивает то, что раньше было разным. Равенства $a = b$ и $a = -b$ после возведения в квадрат превращаются в одно и то же $a^2 = b^2$. Поэтому у уравнения после возведения в квадрат решений может оказаться больше, чем у исходного, — появляются посторонние корни.

Главное свойство, которое при этом теряется, — знак. Арифметический корень никогда не бывает отрицательным: $\sqrt{f} \geqslant 0$ всегда. Значит, если слева стоит корень, а справа — что-то, что может уйти в минус, равенство возможно лишь там, где правая часть тоже неотрицательна. Возведение в квадрат про это «забывает», и наша задача — вернуть условие обратно.

Отсюда же вечная ловушка на упрощение: $\sqrt{x^2} \neq x$. Правильно $\sqrt{x^2} = |x|$, потому что результат корня обязан быть неотрицательным. Проверь на числе: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$, а вовсе не $-5$.

Второй частый вид — равенство двух корней $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$. Здесь возведение в квадрат само по себе посторонних корней не добавляет: обе части и так неотрицательны. Но есть своя ловушка — ОДЗ (область допустимых значений: те $x$, при которых подкоренные выражения вообще существуют, то есть неотрицательны). Приравняв подкоренные, легко получить значение, при котором оба выражения уходят в минус, а корней от них не существует. Поэтому нужна оговорка, что подкоренное неотрицательно:

Условие достаточно написать для одного подкоренного: раз $f = g$, то из $f \geqslant 0$ сразу следует и $g \geqslant 0$. Пример: $\sqrt{2x-1} = \sqrt{x+4}$. Приравниваем подкоренные: $2x - 1 = x + 4$, откуда $x = 5$. Проверяем знак: $2\cdot 5 - 1 = 9 \geqslant 0$ — годится. Подстановка: $\sqrt{9} = \sqrt{9} = 3$.

Отдельно про степень корня. Если корень чётной степени (квадратный, четвёртой степени и так далее), всё сказанное в силе: подкоренное обязано быть неотрицательным, а знак правой части — под контролем. А вот нечётный корень (кубический) определён для любых чисел и может быть отрицательным. Уравнение с кубическим корнем возводят в куб без всяких условий на знак: $\sqrt[3]{f} = g \iff f = g^3$, посторонних корней это не даёт. На профиле такие встречаются реже квадратных, но перепутать их правила — обидная потеря.

С неравенствами возведение в квадрат работает ещё капризнее: квадрат сохраняет порядок только для неотрицательных чисел. Поэтому $\sqrt{f} < g$ и $\sqrt{f} > g$ раскрываются по-разному — и никакого «симметричного» правила здесь нет. Это самое трудное место темы, разберём обе схемы отдельно.

Меньше: $\sqrt{f(x)} < g(x)$. Слева неотрицательное число, и оно меньше $g$ — значит $g$ обязана быть строго положительной. Тогда обе части неотрицательны, их можно возвести в квадрат. Плюс подкоренное должно существовать:

Все три условия соединены знаком системы — должны выполняться одновременно. Короткий пример: $\sqrt{x+2} < x$. Система: $x+2 \geqslant 0$, $x > 0$, $x+2 < x^2$. Последнее даёт $x^2 - x - 2 > 0$, то есть $(x-2)(x+1) > 0$, а значит $x$ вне отрезка между корнями: $x < -1$ или $x > 2$. Пересекаем с $x > 0$ и получаем $x > 2$, то есть $x \in (2;\,+\infty)$.

Больше: $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Здесь возможны два совершенно разных сценария, поэтому ответ — объединение двух случаев (совокупность, а не система).

Случай 1 — правая часть отрицательна. Тогда неравенство выполняется автоматически: неотрицательный корень всегда больше отрицательного числа. Достаточно, чтобы корень существовал:

Случай 2 — правая часть неотрицательна. Обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат:

Итоговый ответ — объединение решений обоих случаев. Условие $f \geqslant 0$ во втором случае писать не нужно: из $f > g^2 \geqslant 0$ оно следует само. Вся сложность именно в том, чтобы не забыть первый случай: когда правая часть уходит в минус, а ты о нём не подумал — теряешь половину ответа.

Иррациональные уравнения и неравенства встречаются на профиле в трёх местах. Теория у них общая — различаются цена и требования к записи. Это самый полезный кадр темы: как решать, ты уже знаешь, дальше вопрос только в том, что попадёт на бумагу.

Задание 6 — часть 1, базовый уровень, 1 балл, и это главный дом иррациональных уравнений. Спрашивают корень, в бланк № 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Решение никто не читает — нужен верный ответ. Типичный вид: $\sqrt{2x+1} = 5$ или $\sqrt{3x+7} = x+1$ с отсевом лишнего корня. Здесь удобнее возвести в квадрат и проверить корни подстановкой: это и быстро, и надёжно.

Задание 13 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла, развёрнутая запись в бланк № 2. Структура двухпунктовая: а) решить уравнение, б) отобрать корни на отрезке. Оба пункта оплачиваются отдельно — примерно по баллу: пункт а) — верно решённое уравнение, пункт б) — верный отбор корней, попавших в указанный отрезок.

Чаще всего под № 13 идёт тригонометрическое уравнение: у него бесконечные серии корней, и отбор на отрезке — настоящая работа. У иррационального уравнения корней конечное число и периодических серий нет, поэтому отбор на отрезке обычно тривиален — и такие уравнения под № 13 редки. Но если попалось — записывай равносильную систему целиком: отсев посторонних корней по знаку правой части входит в само решение (пункт а), пропустишь его — потеряешь балл за решение.

Задание 15 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла. Ответ уже не число, а промежуток или объединение промежутков. Чаще на № 15 стоят логарифмические и показательные неравенства, но иррациональное неравенство здесь тоже законный гость — и именно на нём проверяют, помнишь ли ты, что $\sqrt{f} < g$ и $\sqrt{f} > g$ раскрываются разными схемами. Критерий строгий: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке.

И тут ключевое: пропуск условия на знак — это не вычислительная ошибка, а ноль. Балл за «правильную последовательность» дают тому, у кого выписаны система или совокупность, переход к квадрату и пересечение. Решение в уме, от которого на бумаге остался один ответ, при малейшей осечке даёт ноль вместо единицы.