Показательные уравнения/неравенства

Переход «равные основания — равные показатели» работает только тогда, когда основания действительно равны. Поэтому первый ход в любом показательном уравнении — привести обе части к одному основанию. Инструмент — свойства степени, и знать их придётся наизусть. Калькулятор на экзамене запрещён, а в справочных материалах профиля всего четыре формулы — синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Свойств степеней там нет.

Разберём на числах. В уравнении $2^x \cdot 8^x = 16$ три разных числа — 2, 8 и 16, — но все они степени двойки. Пишем $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ и $16 = 2^4$. Слева перемножаются степени с одинаковым основанием, значит показатели складываются:

Похожий случай — $7^{x+2} = 49^{x}$. Справа $49 = 7^2$, поэтому $49^x = 7^{2x}$, и уравнение превращается в $x + 2 = 2x$, откуда $x = 2$. Проверка: $7^4 = 2401$ и $49^2 = 2401$ — сходится.

Отдельно про дробные основания: здесь теряют знак чаще всего. Переворот основания — это возведение в минус первую степень, и минус умножает весь показатель целиком, а не первое слагаемое в нём:

Минус перед скобкой обязан раскрыться на оба слагаемых — получается $2^{3-x}$, а не $2^{x-3}$. Проверь на уравнении $(1/2)^{x-3} = 8$: после переворота оно читается как $2^{3-x} = 2^{3}$, значит $3 - x = 3$ и $x = 0$. Подставляем в исходное: $(1/2)^{-3} = 2^{3} = 8$ — верно. А если бы знак потеряли, вышло бы $x = 6$, и та же подстановка сразу выдала бы $(1/2)^{3} = 1/8$ вместо восьмёрки. Подстановка в этой теме ловит почти любую ошибку и стоит двадцать секунд.

Уравнение $3^{x+2} - 3^{x} = 72$ выглядит так, будто без логарифма не обойтись. Обойтись можно, и приём здесь ровно один: показатели, отличающиеся на константу, — это множители, отличающиеся в известное число раз.

Значит $3^{x+2} = 3^x \cdot 9$, и слева выносится общий множитель $3^x$. В скобке остаётся обычное число:

Проверка: $3^4 - 3^2 = 81 - 9 = 72$. Тот же приём работает и со сложением: $2^{x+2} + 2^{x} = 20$ сворачивается в $2^{x}(4 + 1) = 20$, дальше $2^{x} = 4$ и $x = 2$.

Признак, по которому узнаёшь этот тип: основание у всех слагаемых одно, а показатели отличаются на число. Увидел — выноси наименьшую из степеней за скобку. Логарифмировать такое уравнение бессмысленно: логарифм суммы не раскладывается, и попытка «взять логарифм от обеих частей» заведёт в тупик.

Второй частый тип — когда в уравнении одновременно сидят $4^x$ и $2^x$ или $9^x$ и $3^x$. К одному основанию всё привести можно, а вот приравнять показатели — уже нет: слагаемых несколько. Ключ в том, что одно выражение — квадрат другого:

Обозначаем $t = 2^x$ — и показательное уравнение становится квадратным. Но вместе с заменой обязана появиться строчка $t > 0$. Это не ритуал и не украшение: $2^x$ положительна при любом $x$, поэтому $t$ никогда не окажется нулём или отрицательным числом. Не написал строчку — не имеешь основания отбрасывать посторонние корни, и решение начинает выдавать ответы, которых не существует.

Смотри, как одно это условие решает исход. Уравнение $4^x - 3\cdot 2^x - 4 = 0$ после замены даёт $t^2 - 3t - 4 = 0$ с корнями $t = 4$ и $t = -1$. Второй отбрасываем — $2^x = -1$ невозможно ни при каком $x$. Остаётся $2^x = 4$, то есть $x = 2$. Единственный корень.

А теперь почти такое же уравнение: $2^{2x} - 5\cdot 2^x + 4 = 0$. Здесь $t^2 - 5t + 4 = 0$, корни $t = 1$ и $t = 4$ — оба положительные, оба годятся. Возвращаемся к $x$: $2^x = 1$ даёт $x = 0$, $2^x = 4$ даёт $x = 2$. В ответе два корня.

Два почти одинаковых уравнения — и противоположный исход. Поэтому механическое «после замены всегда что-нибудь отбрасываем» так же ошибочно, как и «ничего не отбрасываем». Правило одно: проверяй каждый корень по отдельности. Положителен — возвращай к $x$, не положителен — отбрасывай, прямо сославшись на то, что $t = a^x > 0$.

Всё, что было выше, переносится на неравенства с одной поправкой — но эта поправка способна перевернуть ответ. Переход от степеней к показателям в неравенстве опирается не просто на монотонность, а на её направление.

Одной строкой: основание больше единицы — знак сохраняется; основание между нулём и единицей — знак меняется. Причина видна на графике из первого блока: возрастающая функция сохраняет порядок, убывающая переворачивает его.

Возрастающее основание. В неравенстве $2^{x^2-3x} \leqslant 16$ справа $16 = 2^4$, основание 2 больше единицы, знак оставляем как есть: $x^2 - 3x \leqslant 4$. Переносим и раскладываем: $x^2 - 3x - 4 \leqslant 0$, то есть $(x-4)(x+1) \leqslant 0$. Парабола ветвями вверх, значит решение между корнями. Ответ: $x \in [-1;\,4]$.

Убывающее основание. В неравенстве $(1/2)^{x-1} \geqslant 8$ приводим правую часть к тому же основанию: $8 = 2^3 = (1/2)^{-3}$. Основание лежит между нулём и единицей, поэтому знак переворачиваем: $x - 1 \leqslant -3$, откуда $x \leqslant -2$. Ответ: $x \in (-\infty;\,-2]$.

Если сомневаешься, в какую сторону ушёл промежуток, подставь любое число. При $x = -5$ слева $(1/2)^{-6} = 64$, и $64 \geqslant 8$ — верно, число входит. При $x = 0$ слева $(1/2)^{-1} = 2$, а $2 \geqslant 8$ неверно — не входит. Промежуток действительно уходит влево, знак перевёрнут правильно.

Оба приёма встречаются в одном неравенстве: $(1/3)^{x^2-2x} \geqslant 1/27$. Справа $1/27 = (1/3)^3$, основание меньше единицы — меняем знак: $x^2 - 2x \leqslant 3$, затем $(x-3)(x+1) \leqslant 0$ и $x \in [-1;\,3]$.

Замена в неравенстве работает так же, только условие $t > 0$ теперь не отбрасывает корни, а пересекается с решением. В $4^x - 3\cdot 2^x - 4 \leqslant 0$ квадратное неравенство $t^2 - 3t - 4 \leqslant 0$ даёт $t \in [-1;\,4]$. Пересекаем с $t > 0$ и получаем $0 < t \leqslant 4$. Левая граница выполняется сама собой — $2^x > 0$ и так всегда, — а правая даёт $2^x \leqslant 4$ и ответ $x \in (-\infty;\,2]$.

Показательные уравнения и неравенства встречаются на профиле в трёх местах. Теория у них одна и та же — разные цена и требования к записи. Это самый полезный кадр темы: ты уже всё умеешь, дальше вопрос только в том, что попадёт на бумагу.

Задание 6 — часть 1, базовый уровень, 1 балл. Спрашивают корень, в бланк № 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Решение никто не читает, обоснование не нужно — нужен верный ответ. Типичный вид: $5^{2x-1} = 125$ или $2^x \cdot 4^x = 64$. Если корней вышло несколько, условие обычно уточняет, какой записать — больший или положительный. Эта оговорка и есть половина задания: прочитай её до того, как перенесёшь ответ в бланк.

Задание 13 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла, развёрнутая запись в бланк № 2. Структура железная: пункт а) — решить уравнение, пункт б) — отобрать корни, попадающие в указанный отрезок. Чаще всего под № 13 идёт тригонометрическое уравнение, но показательные там тоже встречаются. Критерий простой и неприятный: 2 балла — верны оба пункта, 1 балл — верен только один. Отбор корней стоит ровно столько же, сколько само решение. Решил уравнение блестяще, забыл про пункт б) — потерял половину.

Задание 15 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла. Ответ здесь не число, а промежуток или объединение промежутков. Критерий: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке. Прочитай правило про 1 балл ещё раз. Балл дают за то, что шаги записаны и ни один не пропущен. Решение в уме, от которого на бумаге остался только ответ, при малейшей арифметической осечке даёт ноль вместо единицы. Пиши переход к общему основанию, пиши замену, пиши $t > 0$, пиши возврат к $x$ — каждая из этих строк оплачена.