Показательные уравнения/неравенства

Q: Что такое показательное уравнение?

Показательное уравнение — уравнение, в котором переменная стоит в показателе степени. Его область допустимых значений — все действительные числа, а первый ход в любом показательном уравнении — привести обе части к одному основанию.

Q: Как решать показательные уравнения и неравенства?

Шаги такие: 1) определи тип по внешнему виду; 2) приведи к одному основанию; 3) сделал замену — сразу пиши t > 0; 4) реши то, что получилось; 5) вернись к x; 6) следи за знаком по основанию. Остальные шаги — в разделе темы выше.

Q: Что нужно запомнить по теме «Показательные уравнения/неравенства»?

Главное: 1) aˣ > 0 при любом x; 2) a^f = a^g ⇔ f = g (a>0, a ≠ 1); 3) a>1: a^f > a^g ⇔ f > g; 4) 0 a^g ⇔ f < g; 5) aˣ⁺ᵏ = aˣaᵏ, (aˣ)^y = a^xy, a⁻ˣ = 1/aˣ; 6) (1/a)ˣ = a⁻ˣ, a²ˣ = (aˣ)². Остальное — в разделе темы выше.

Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит в показателе степени; его ОДЗ — все действительные числа, а первый ход — привести обе части к одному основанию. На ЕГЭ тема нужна в задании 7 (1 балл), а также в заданиях 14 и 16 (по 2 балла).

Решать задание 7 ЕГЭ

Переходы и приёмы в одной таблице

Показательные уравнения и неравенства: формула и когда её применять
Правило	Формула	Когда применять и ограничения
Положительность	aˣ > 0	Поэтому при замене t = aˣ сразу пишут t > 0
Равенство степеней	a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x)	a > 0, a ≠ 1; основания сначала делают одинаковыми; ОДЗ — все действительные числа
Общее основание	aˣ · a^y = a^(x+y), (aˣ)^y = a^xy	Так 8ˣ = 2³ˣ и 49ˣ = 7²ˣ
Дробное основание	(1/2)ˣ⁻³ = 2³⁻ˣ	Минус умножает весь показатель, а не первое слагаемое
Вынесение множителя	aˣ⁺ᵏ = aˣ · aᵏ	Основание одно, показатели отличаются на число: выносят наименьшую степень
Замена	a²ˣ = (aˣ)², t = aˣ > 0	В уравнении корни t ≤ 0 отбрасывают, в неравенстве условие t > 0 пересекают с решением
Неравенство, a > 1	a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x)	Функция возрастает: знак сохраняется
Неравенство, 0 < a < 1	a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x)	Функция убывает: знак меняется на противоположный

Быстрые ответы

Что такое показательное уравнение?

Показательное уравнение — уравнение, в котором переменная стоит в показателе степени. Его область допустимых значений — все действительные числа, а первый ход в любом показательном уравнении — привести обе части к одному основанию.

Как решать показательные уравнения и неравенства?

Шаги такие:

определи тип по внешнему виду
приведи к одному основанию
сделал замену — сразу пиши t > 0
реши то, что получилось
вернись к x
следи за знаком по основанию.

Остальные шаги — в разделе темы выше.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Показательные уравнения/неравенства»?

Теряют условие t > 0 при замене. В 4ˣ - 3 · 2ˣ - 4 = 0 квадратное уравнение даёт t = 4 и t = -1. Без строчки t > 0 второй корень тянут обратно и пишут «2ˣ = -1» — ответ, которого не существует. И обратная крайность: в 2²ˣ - 5 · 2ˣ + 4 = 0 корни t = 1 и t = 4 оба положительны, и отбрасывать не надо ничего.

Что нужно запомнить по теме «Показательные уравнения/неравенства»?

Главное:

aˣ > 0 при любом x
a^f = a^g ⇔ f = g (a>0, a ≠ 1)
a>1: a^f > a^g ⇔ f > g
0 a^g ⇔ f < g
aˣ⁺ᵏ = aˣaᵏ, (aˣ)^y = a^xy, a⁻ˣ = 1/aˣ
(1/a)ˣ = a⁻ˣ, a²ˣ = (aˣ)².

Остальное — в разделе темы выше.

Показательное уравнение решается одним переходом: равны основания — равны и показатели. Вся сложность темы в двух местах: не потерять условие t > 0 при замене и не перепутать знак неравенства, когда основание меньше единицы. Одна и та же теория даёт задание 7 за 1 балл и задания 14 и 16 — по 2 балла.

Обновлено 3 октября 2026

Почему показательная функция всегда положительна?

Показательная функция — это y = aˣ, где основание a — фиксированное число, а переменная сидит в показателе. На основание наложены два условия. Во-первых, a > 0 — чтобы степень имела смысл при любом действительном показателе. Во-вторых, a≠1 — потому что 1ˣ тождественно равна единице и никакой информации об x не несёт.

Первое свойство, ради которого стоит читать дальше: показательная функция принимает только положительные значения. Ни при каком показателе 2ˣ не станет нулём и не уйдёт в минус. При больших отрицательных x она подбирается к нулю сколь угодно близко, но нуля не достигает.

в строку: aˣ > 0 при любом x ∈ ℝ

Второе свойство — монотонность. При a > 1 функция возрастает: больший показатель даёт большее значение. При 0 < a < 1 — убывает: больший показатель даёт меньшее значение. Промежуточного варианта нет. Обе кривые проходят через точку (0; 1) — любое основание в нулевой степени равно единице.

Из монотонности следует третье свойство, самое рабочее. Раз функция строго возрастает или строго убывает, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Значит равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству показателей:

в строку: a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x), a > 0, a ≠ 1

И последнее, о чём забывают. В показателе нет ни знаменателя с переменной, ни корня чётной степени, ни логарифма — ограничивать нечего. Область допустимых значений показательного уравнения — все действительные числа. Строчка «ОДЗ» в решении 5^(x²-1) = 125 не нужна: там нет ни одного запрета. Привычка приписывать ОДЗ на всякий случай безобидна ровно до того момента, когда из неё вырастает ложное правило и рука начинает вычёркивать верные корни.

Основание больше единицы — функция возрастает; основание между нулём и единицей — убывает. Обе кривые целиком выше оси x и проходят через точку (0; 1)

Проверь себя за 10 секунд

При решении уравнения 4^x + 2^x = 6 сделали замену t = 2^x и получили корни t = 2 и t = −3. Что делать дальше?

Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому t = 2^x не может равняться −3: уравнение 2^x = −3 не имеет корней. Остаётся 2^x = 2, то есть x = 1. Проверка: 4¹ + 2¹ = 4 + 2 = 6 — верно. Про ОДЗ речи нет: у показательного уравнения ОДЗ — все действительные числа, ограничение t > 0 берётся из области значений функции, а не из ОДЗ.

Ещё 5 вопросов — к мини-тесту

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 7 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Найдите корень уравнения: (1/2)^(x-3) = 8.

Показать ответ
Задание 2 из 2

Найдите корень уравнения 5^(x + 1) = 1/25.

Показать ответ

Как привести показательное уравнение к общему основанию?

Переход «равные основания — равные показатели» работает только тогда, когда основания действительно равны. Поэтому первый ход в любом показательном уравнении — привести обе части к одному основанию. Инструмент — свойства степени, и знать их придётся наизусть. Калькулятор на экзамене запрещён, а в справочных материалах профиля всего четыре формулы — синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Свойств степеней там нет.

в строку: aˣ · a^y = a^(x+y), aˣ/(a^y) = a^(x-y), (aˣ)^y = a^xy, a⁻ˣ = 1/aˣ

Разберём на числах. В уравнении 2ˣ · 8ˣ = 16 три разных числа — 2, 8 и 16, — но все они степени двойки. Пишем 8ˣ = (2³)ˣ = 2³ˣ и 16 = 2⁴. Слева перемножаются степени с одинаковым основанием, значит показатели складываются:

в строку: 2ˣ · 2³ˣ = 2⁴, 2⁴ˣ = 2⁴, 4x = 4, x = 1

Похожий случай — 7ˣ⁺² = 49ˣ. Справа 49 = 7², поэтому 49ˣ = 7²ˣ, и уравнение превращается в x + 2 = 2x, откуда x = 2. Проверка: 7⁴ = 2401 и 49² = 2401 — сходится.

Отдельно про дробные основания: здесь теряют знак чаще всего. Переворот основания — это возведение в минус первую степень, и минус умножает весь показатель целиком, а не первое слагаемое в нём:

в строку: (1/2)ˣ⁻³ = (2⁻¹)ˣ⁻³ = 2⁻⁽ˣ⁻³⁾ = 2³⁻ˣ

Минус перед скобкой обязан раскрыться на оба слагаемых — получается 2³⁻ˣ, а не 2ˣ⁻³. Проверь на уравнении (1/2)ˣ⁻³ = 8: после переворота оно читается как 2³⁻ˣ = 2³, значит 3 − x = 3 и x = 0. Подставляем в исходное: (1/2)⁻³ = 2³ = 8 — верно. А если бы знак потеряли, вышло бы x = 6, и та же подстановка сразу выдала бы (1/2)³ = 1/8 вместо восьмёрки. Подстановка в этой теме ловит почти любую ошибку и стоит двадцать секунд.

Вынесение общего множителя

Уравнение 3ˣ⁺² - 3ˣ = 72 выглядит так, будто без логарифма не обойтись. Обойтись можно, и приём здесь ровно один: показатели, отличающиеся на константу, — это множители, отличающиеся в известное число раз.

в строку: aˣ⁺ᵏ = aˣ · aᵏ

Значит 3ˣ⁺² = 3ˣ · 9, и слева выносится общий множитель 3ˣ. В скобке остаётся обычное число:

в строку: 3ˣ · 9 - 3ˣ = 72, 3ˣ(9 - 1) = 72, 3ˣ = 72/8 = 9, x = 2

Проверка: 3⁴ - 3² = 81 - 9 = 72. Тот же приём работает и со сложением: 2ˣ⁺² + 2ˣ = 20 сворачивается в 2ˣ(4 + 1) = 20, дальше 2ˣ = 4 и x = 2.

Признак, по которому узнаёшь этот тип: основание у всех слагаемых одно, а показатели отличаются на число. Увидел — выноси наименьшую из степеней за скобку. Логарифмировать такое уравнение бессмысленно: логарифм суммы не раскладывается, и попытка «взять логарифм от обеих частей» заведёт в тупик.

Замена переменной: условие t > 0 — не формальность

Второй частый тип — когда в уравнении одновременно сидят 4ˣ и 2ˣ или 9ˣ и 3ˣ. К одному основанию всё привести можно, а вот приравнять показатели — уже нет: слагаемых несколько. Ключ в том, что одно выражение — квадрат другого:

в строку: 4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)², 9ˣ = (3ˣ)², a²ˣ = (aˣ)²

Обозначаем t = 2ˣ — и показательное уравнение становится квадратным. Но вместе с заменой обязана появиться строчка t > 0. Это не ритуал и не украшение: 2ˣ положительна при любом x, поэтому t никогда не окажется нулём или отрицательным числом. Не написал строчку — не имеешь основания отбрасывать посторонние корни, и решение начинает выдавать ответы, которых не существует.

Смотри, как одно это условие решает исход. Уравнение 4ˣ - 3 · 2ˣ - 4 = 0 после замены даёт t² - 3t - 4 = 0 с корнями t = 4 и t = −1. Второй отбрасываем — 2ˣ = -1 невозможно ни при каком x. Остаётся 2ˣ = 4, то есть x = 2. Единственный корень.

А теперь почти такое же уравнение: 2²ˣ - 5 · 2ˣ + 4 = 0. Здесь t² - 5t + 4 = 0, корни t = 1 и t = 4 — оба положительные, оба годятся. Возвращаемся к x: 2ˣ = 1 даёт x = 0, 2ˣ = 4 даёт x = 2. В ответе два корня.

Два почти одинаковых уравнения — и противоположный исход. Поэтому механическое «после замены всегда что-нибудь отбрасываем» так же ошибочно, как и «ничего не отбрасываем». Правило одно: проверяй каждый корень по отдельности. Положителен — возвращай к x, не положителен — отбрасывай, прямо сославшись на то, что t = aˣ > 0.

Когда в показательном неравенстве меняется знак?

Всё, что было выше, переносится на неравенства с одной поправкой — но эта поправка способна перевернуть ответ. Переход от степеней к показателям в неравенстве опирается не просто на монотонность, а на её направление.

в строку: a > 1: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x)

в строку: 0 < a < 1: a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x)

Одной строкой: основание больше единицы — знак сохраняется; основание между нулём и единицей — знак меняется. Причина видна на графике из первого блока: возрастающая функция сохраняет порядок, убывающая переворачивает его.

Возрастающее основание. В неравенстве 2^(x²-3x) ≤ 16 справа 16 = 2⁴, основание 2 больше единицы, знак оставляем как есть: x² - 3x ≤ 4. Переносим и раскладываем: x² - 3x - 4 ≤ 0, то есть (x − 4)(x + 1)≤0. Парабола ветвями вверх, значит решение между корнями. Ответ: x∈[−1; 4].

Убывающее основание. В неравенстве (1/2)ˣ⁻¹ ≥ 8 приводим правую часть к тому же основанию: 8 = 2³ = (1/2)⁻³. Основание лежит между нулём и единицей, поэтому знак переворачиваем: x − 1≤−3, откуда x≤−2. Ответ: x∈(−∞; −2].

Если сомневаешься, в какую сторону ушёл промежуток, подставь любое число. При x = −5 слева (1/2)⁻⁶ = 64, и 64≥8 — верно, число входит. При x = 0 слева (1/2)⁻¹ = 2, а 2≥8 неверно — не входит. Промежуток действительно уходит влево, знак перевёрнут правильно.

Оба приёма встречаются в одном неравенстве: (1/3)^(x²-2x) ≥ 1/27. Справа 1/27 = (1/3)³, основание меньше единицы — меняем знак: x² - 2x ≤ 3, затем (x − 3)(x + 1)≤0 и x∈[−1; 3].

Замена в неравенстве работает так же, только условие t > 0 теперь не отбрасывает корни, а пересекается с решением. В 4ˣ - 3 · 2ˣ - 4 ≤ 0 квадратное неравенство t² - 3t - 4 ≤ 0 даёт t∈[−1; 4]. Пересекаем с t > 0 и получаем 0 < t≤4. Левая граница выполняется сама собой — 2ˣ > 0 и так всегда, — а правая даёт 2ˣ ≤ 4 и ответ x∈(−∞; 2].

Сравнение показательных выражений при возрастающем и убывающем основании — При основании больше единицы знак сохраняется, а при основании между нулём и единицей меняется.

Одна тема — три задания: 7, 14 и 16

Показательные уравнения и неравенства встречаются на профиле в трёх местах. Теория у них одна и та же — разные цена и требования к записи. Это самый полезный кадр темы: ты уже всё умеешь, дальше вопрос только в том, что попадёт на бумагу.

Задание 7 — часть 1, базовый уровень, 1 балл. Спрашивают корень, в бланк № 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Решение никто не читает, обоснование не нужно — нужен верный ответ. Типичный вид: 5²ˣ⁻¹ = 125 или 2ˣ · 4ˣ = 64. Если корней вышло несколько, условие обычно уточняет, какой записать — больший или положительный. Эта оговорка и есть половина задания: прочитай её до того, как перенесёшь ответ в бланк.

Задание 14 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла, развёрнутая запись в бланк № 2. Структура железная: пункт а) — решить уравнение, пункт б) — отобрать корни, попадающие в указанный отрезок. Чаще всего под № 14 идёт тригонометрическое уравнение, но показательные там тоже встречаются. Критерий простой и неприятный: 2 балла — верны оба пункта, 1 балл — верен только один. Отбор корней стоит ровно столько же, сколько само решение. Решил уравнение блестяще, забыл про пункт б) — потерял половину.

Задание 16 — часть 2, повышенный уровень, 2 балла. Ответ здесь не число, а промежуток или объединение промежутков. Критерий: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке. Прочитай правило про 1 балл ещё раз. Балл дают за то, что шаги записаны и ни один не пропущен. Решение в уме, от которого на бумаге остался только ответ, при малейшей арифметической осечке даёт ноль вместо единицы. Пиши переход к общему основанию, пиши замену, пиши t > 0, пиши возврат к x — каждая из этих строк оплачена.

Разбор: уравнение с отбором корней (№ 14)

Пример

а) Решите уравнение 9^x − 4·3^x + 3 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,5; 3].

Пункт а). Основания 9 и 3 разные, но 9 — это 3². Значит 9ˣ = (3²)ˣ = (3ˣ)², и всё уравнение выражается через одно выражение 3ˣ.Делаем замену t = 3ˣ и сразу выписываем ограничение — показательная функция положительна при любом показателе:t = 3ˣ, t > 0Уравнение становится квадратным:t² - 4t + 3 = 0, D = 16 - 12 = 4, t₁ = 1, t₂ = 3Проверяем корни на условие t > 0: единица положительна, тройка положительна. Оба корня годятся — отбрасывать здесь нечего. Это важно проговорить: условие t > 0 не обязано что-то отсекать, оно обязано быть проверено.Возвращаемся к x. Первый корень:3ˣ = 1 = 3⁰ ⇒ x = 0Второй корень:3ˣ = 3 = 3¹ ⇒ x = 1Проверка подстановкой: при x = 0 получаем 1 − 4 + 3 = 0; при x = 1 получаем 9 − 12 + 3 = 0. Оба верны. Ответ пункта а): x = 0 и x = 1.Пункт б). Отрезок [0,5; 3]. Корень x = 0 меньше левой границы 0,5 — не подходит. Корень x = 1 лежит между 0,5 и 3 — подходит.Этот пункт нужно записать, а не подразумевать. Одна строчка «0∉[0,5; 3], 1∈[0,5; 3]» — это ровно тот балл, который отделяет 1 от 2.Ответ: а) x = 0; x = 1. б) x = 1.

Разбор: неравенство с убывающим основанием (№ 16)

Пример

Решите неравенство (1/3)^(2x) − 2·(1/3)^x − 3 ≤ 0.

Слева стоят (1/3)²ˣ и (1/3)ˣ. Первое — квадрат второго: (1/3)²ˣ = ((1/3)ˣ)². Значит подойдёт замена.Замена и обязательное ограничение:

t = (1/3)ˣ, t > 0Неравенство превращается в квадратное:t² - 2t - 3 ≤ 0, (t - 3)(t + 1) ≤ 0, t ∈ [-1; 3]Теперь пересекаем с условием t > 0. Кусок от −1 до 0 отваливается целиком: таких значений у (1/3)ˣ не бывает.t∈[−1; 3] ∩ (0; +∞) = (0; 3]Левая граница t > 0 выполняется автоматически — возвращать её к x не нужно, она не даёт никаких ограничений. Работаем с правой:

(1/3)ˣ ≤ 3 = (1/3)⁻¹Основание 1/3 лежит между нулём и единицей — функция убывающая, значит при переходе к показателям знак меняется:x≥−1Проверка на числах. При x = −1 слева 9 − 6 − 3 = 0, и 0≤0 — граница входит. При x = 0 слева 1 − 2 − 3 = −4 — входит. При x = −2 слева 81 − 18 − 3 = 60, а 60≤0 неверно — не входит. Промежуток уходит вправо, как и должен.Если бы знак не перевернули, получилось бы x≤−1 — ровно противоположный луч, и проверка одним числом это бы вскрыла.Ответ: x ∈ [−1; +∞).

Как решать показательные уравнения и неравенства?

1Определи тип по внешнему виду. Все числа — степени одного основания и слагаемое одно с каждой стороны: приводим к общему основанию. Основание одно, показатели отличаются на константу: выносим общий множитель. Есть a²ˣ и aˣ одновременно: замена.
2Приведи к одному основанию. Переворачивая дробное основание, не потеряй минус перед всем показателем: (1/a)ˣ = a⁻ˣ. Число справа тоже переведи в степень того же основания.
3Сделал замену — сразу пиши t > 0. Не в конце, не «потом вспомню», а в той же строке, где ввёл t. Это единственное ограничение темы, и оно берётся не из ОДЗ, а из области значений: показательная функция положительна всегда.
4Реши то, что получилось. Линейное или квадратное уравнение либо квадратное неравенство. Ничего показательного здесь уже нет.
5Вернись к x. Каждый корень t проверь на положительность: положителен — решай aˣ = t, не положителен — отбрасывай со ссылкой на aˣ > 0. В неравенстве — пересеки решение с t > 0.
6Следи за знаком по основанию. Для неравенства при переходе к показателям: a > 1 — знак сохраняешь, 0 < a < 1 — переворачиваешь. Проверь ответ подстановкой одного числа из промежутка и одного снаружи.
7Проверь, что ответили на вопрос. В № 7 — подставь корень в исходное уравнение и посмотри на оговорку про больший или положительный. В № 14 — не забудь пункт б). В № 16 — правильные скобки: строгое неравенство даёт круглую, нестрогое — квадратную, бесконечность всегда круглую.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.При решении уравнения 4^x + 2^x = 6 сделали замену t = 2^x и получили корни t = 2 и t = −3. Что делать дальше?

2.Решите неравенство (1/2)^x > 4.

Приводим к одному основанию: 4 = 2² = (1/2)^(−2). Основание 1/2 лежит между нулём и единицей, функция убывает, поэтому при переходе к показателям знак меняется: x < −2. Проверка: при x = −3 слева (1/2)^(−3) = 8 > 4 — верно; при x = 0 слева 1, а 1 > 4 неверно. Если бы знак сохранили, получили бы x > −2 — ровно противоположный луч.

3.Как записать (1/3)^(2−x) в виде степени с основанием 3?

(1/3)^(2−x) = (3^(−1))^(2−x) = 3^(−(2−x)) = 3^(x−2). Минус умножает весь показатель целиком, поэтому раскрывается на оба слагаемых. Проверка на числе: при x = 0 слева (1/3)² = 1/9, справа 3^(−2) = 1/9 — сходится. Вариант 3^(2−x) — это как раз потеря минуса, самая частая ошибка при перевороте основания.

4.Какова область допустимых значений уравнения 5^(x²−1) = 125?

Показательная функция определена при любом действительном показателе: нет ни знаменателя, ни корня чётной степени, ни логарифма — ограничивать нечего. ОДЗ — все действительные числа, и писать его в решении не нужно. Само уравнение решается так: 125 = 5³, значит x² − 1 = 3, то есть x² = 4 и x = ±2. Заметь: если бы ты «на всякий случай» потребовал x² − 1 ≥ 0, ответ бы не изменился, но привычка вычёркивать корни по несуществующему ограничению рано или поздно съест верный корень.

5.Найдите корень уравнения 2^x · 8^x = 16.

Все числа — степени двойки: 8 = 2³, 16 = 2⁴. Значит 8^x = 2^(3x), и слева 2^x · 2^(3x) = 2^(4x). Уравнение 2^(4x) = 2⁴ равносильно 4x = 4, откуда x = 1. Проверка: 2¹ · 8¹ = 2 · 8 = 16 — верно. Ответ 2 получается, если перепутать 8 с 4 и решить 2^(3x) = 2⁴.

6.Решите неравенство 3^(2x) − 4·3^x + 3 < 0.

Замена t = 3^x, t > 0. Получаем t² − 4t + 3 < 0, то есть (t − 1)(t − 3) < 0 и 1 < t < 3. Оба конца положительны, условие t > 0 ничего не отсекает. Возвращаемся: 3⁰ < 3^x < 3¹, основание 3 больше единицы, знаки сохраняются — 0 < x < 1. Неравенство строгое, поэтому скобки круглые: при x = 0 слева 1 − 4 + 3 = 0, а строго меньше нуля не выполняется. Вариант (1; 3) — это не доведённый до конца ответ: там записан промежуток для t, а не для x.

Какие ошибки делают в показательных уравнениях и неравенствах?

Ошибка 1

Теряют условие t > 0 при замене. В 4ˣ - 3 · 2ˣ - 4 = 0 квадратное уравнение даёт t = 4 и t = −1. Без строчки t > 0 второй корень тянут обратно и пишут «2ˣ = -1» — ответ, которого не существует. И обратная крайность: в 2²ˣ - 5 · 2ˣ + 4 = 0 корни t = 1 и t = 4 оба положительны, и отбрасывать не надо ничего. Условие проверяют, а не применяют по привычке.

Ошибка 2

Не меняют знак неравенства при основании меньше единицы. (1/3)ˣ⁺¹ > 9 и 3ˣ⁺¹ > 9 дают противоположные ответы, хотя выглядят почти одинаково. Взгляни на основание до того, как перейдёшь к показателям: больше единицы — знак остаётся, между нулём и единицей — переворачивается.

Ошибка 3

Теряют знак показателя при перевороте основания. (1/2)ˣ⁻³ = 2³⁻ˣ, а не 2ˣ⁻³: минус первой степени умножает весь показатель, и минус раскрывается на оба слагаемых. Одна подстановка числа ловит эту ошибку мгновенно.

Ошибка 4

Останавливаются на t и не возвращаются к x. Нашли t = 9 и записали 9 в бланк, хотя спрашивали x, а 3ˣ = 9 даёт x = 2. В неравенствах то же самое: в ответ уходит промежуток для t вместо промежутка для x. Замена — это половина решения, а не всё решение.

Ошибка 5

Складывают показатели там, где складываются множители. 2ˣ + 2ˣ = 2 · 2ˣ = 2ˣ⁺¹, а вовсе не 2²ˣ: показатели складываются при умножении степеней, а не при сложении. Из той же серии: (2ˣ)² = 2²ˣ, но 2^x² — совсем другое число.

Ошибка 6

Логарифмируют вместо вынесения множителя. 5ˣ⁺¹ - 5ˣ = 20 решается в две строки: 5ˣ(5 - 1) = 20, значит 5ˣ = 5 и x = 1. Логарифм от суммы или разности не раскладывается, и попытка «взять логарифм от обеих частей» просто съест время.

Ошибка 7

В № 14 решают пункт а) и забывают пункт б). По критерию 2 балла ставят только за оба пункта, за один — 1 балл. Полностью верно решённое уравнение без отбора корней стоит ровно половину. Отрезок в условии написан не для красоты.

Запомни для ЕГЭ

1aˣ > 0 при любом x

2a^f = a^g ⇔ f = g (a>0, a ≠ 1)

3a>1: a^f > a^g ⇔ f > g

40<a<1: a^f > a^g ⇔ f < g

5aˣ⁺ᵏ = aˣaᵏ, (aˣ)^y = a^xy, a⁻ˣ = 1/aˣ

(1/a)ˣ = a⁻ˣ, a²ˣ = (aˣ)²

7Замена t = a^x — сразу строчка t > 0. ОДЗ показательного уравнения: все действительные числа

На экзамене

Задание 7 стоит 1 балл — закладывай 3 минуты. Найденный корень обязательно подставь в исходное уравнение: в этой теме подстановка занимает секунд двадцать и ловит почти любую ошибку, включая потерянный знак при перевороте основания.
В задании 7 числа всегда «хорошие»: степени двойки, тройки, пятёрки. Если получилось что-то вроде 2ˣ = 5, ищи ошибку — ответ части 1 должен быть целым числом или конечной десятичной дробью, и логарифм там взяться не может.
Задание 16 даёт 2 балла, и 1 балл из них дают за верную последовательность всех шагов при вычислительной ошибке. Поэтому пиши шаги, даже если решаешь неравенство в уме: переход к общему основанию, замена, t > 0, возврат к x. Голый ответ при малейшей осечке даёт ноль вместо единицы.
В задании 14 пункт б) весит столько же, сколько а). Если время кончается, а уравнение решено, лучше потратить минуту на отбор корней, чем на красоту записи пункта а).
Держи «хорошие» степени в активной памяти: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128; 3, 9, 27, 81, 243; 5, 25, 125; 7, 49. Калькулятора на экзамене нет, а вся тема держится на том, чтобы мгновенно узнать общее основание — увидеть, что 128 — это 2⁷, а 243 — это 3⁵. Прогоняй эти степени устно или карточками, пока распознавание не станет автоматическим.
Ответ задания 16 — промежуток, а не число. Следи за скобками: строгое неравенство даёт круглую скобку, нестрогое — квадратную, у бесконечности скобка всегда круглая. Проверь границу подстановкой — на неё чаще всего и приходится потерянный балл.
Задания 7, 14 и 16 по этой теме проверяются одинаковой теорией, но 7 идёт в бланк № 1 (краткий ответ), а 14 и 16 — в бланк № 2 (развёрнутое решение). Не перепутай бланки: развёрнутое решение, записанное в бланк кратких ответов, эксперт не увидит.

Словарь темы

Показательная функция: Функция вида y = a^x, где основание a — фиксированное число, a > 0 и a ≠ 1, а переменная стоит в показателе. Определена при любом действительном x, принимает только положительные значения.
Основание степени: Число a в записи a^x. Именно оно решает, возрастает функция (a > 1) или убывает (0 < a < 1), а значит — сохранится или перевернётся знак при переходе от неравенства степеней к неравенству показателей.
Монотонность: Свойство функции всюду возрастать или всюду убывать. Из монотонности следует, что каждое своё значение функция принимает ровно один раз — на этом и держится переход a^f = a^g ⟺ f = g.
Область значений: Множество чисел, которые функция может принимать. У показательной функции это промежуток (0; +∞) — отсюда и берётся условие t > 0 при замене. С ОДЗ не путать: ОДЗ — про то, какие x допустимы, область значений — про то, какие y достижимы.
ОДЗ (область допустимых значений): Множество значений переменной, при которых все выражения в уравнении или неравенстве имеют смысл. У чистого показательного уравнения ОДЗ — все действительные числа: ограничивать там нечего.
Замена переменной: Приём, при котором повторяющееся выражение обозначают новой буквой. В показательных уравнениях замена t = a^x превращает уравнение в квадратное. Обязательная часть приёма — ограничение t > 0.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 7 КИМ (1 балл); также в 14 и 16 (по 2 балла) Макс. 1 балл за № 7 ~3 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 2.4 «Показательные и логарифмические уравнения»; 2.7 «Показательные и логарифмические неравенства». В проекте КИМ 2027 уравнение с кратким ответом — задание 7, уравнение с отбором корней — задание 14, неравенство — задание 16.

Что сверено по документам

В кодификаторе ФИПИ показательные уравнения входят в элемент 2.4, показательные неравенства — в элемент 2.7; в КИМ 2027 тема проверяется заданиями 7, 14, 16.
Задание 7 — базовый уровень, 1 балл, часть 1, ответ в бланк № 1 (целое число или конечная десятичная дробь). Задания 14 и 16 — повышенный уровень, по 2 балла, часть 2, развёрнутая запись в бланк № 2.
Критерий задания 14: 2 балла — верны оба пункта, 1 балл — верен только один пункт.
Критерий задания 16: 2 балла — обоснованно верный ответ; 1 балл — верная последовательность всех шагов при вычислительной ошибке.
Калькулятор на профильной математике запрещён; справочные материалы содержат ровно четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β).
Показательная функция y = a^x (a > 0, a ≠ 1) определена при всех действительных x и принимает только положительные значения; при a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает; a^0 = 1 при любом допустимом a.
Переход a^f(x) = a^g(x) ⟺ f(x) = g(x) при a > 0, a ≠ 1 равносилен и обоснован строгой монотонностью показательной функции.
Для неравенств: при a > 1 переход a^f > a^g ⟺ f > g сохраняет знак; при 0 < a < 1 знак меняется на противоположный.
ОДЗ чистого показательного уравнения — все действительные числа; ограничение t > 0 берётся из области значений функции, а не из ОДЗ.
Свойства степеней: a^x·a^y = a^(x+y), a^x/a^y = a^(x−y), (a^x)^y = a^(xy), a^(−x) = 1/a^x, (1/a)^x = a^(−x), a^(2x) = (a^x)².
Уравнение вида 5^(x+1) − 5^x = 20 решается вынесением общего множителя: 5^x(5 − 1) = 20, 5^x = 5, x = 1.
В уравнении 4^x − 3·2^x − 4 = 0 корень t = −1 отбрасывается по условию t = 2^x > 0, остаётся x = 2; в уравнении 2^(2x) − 5·2^x + 4 = 0 оба корня t = 1 и t = 4 положительны, и корней два: x = 0 и x = 2.
Тождества 2^x + 2^x = 2^(x+1) и (2^x)² = 2^(2x) ≠ 2^(x²) верны.
Задание 14 — «чаще всего тригонометрическое уравнение с отбором корней», но не всегда: показательные уравнения там встречаются.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 3 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.