Уравнения, неравенства и системы с параметром

В обычном уравнении $x^2 - 4x + 3 = 0$ все числа известны, и ответ — конкретные корни. В уравнении с параметром одна из букв, обычно $a$, — это «замороженное» число: оно постоянно внутри задачи, но само по себе может быть любым. От его значения зависит, сколько корней у уравнения и есть ли они вообще. Поэтому ответ в задании 18 — не корни, а перечень значений параметра, при которых выполняется требуемое условие.

Разберём это на самом простом примере. Уравнение $x^2 = a$. Пока $a$ — буква, ответить «сколько корней» нельзя. Но как только мы перебираем значения, картина проясняется:

При $a < 0$ корней нет: квадрат не бывает отрицательным. При $a = 0$ ровно один корень $x = 0$. При $a > 0$ два корня $x = \pm\sqrt{a}$. Значение $a = 0$ здесь особенное: именно на нём число решений меняется. Такие значения называют контрольными (или критическими), и вся работа над задачей 18 — это поиск контрольных значений и разбор того, что происходит между ними и на них самих.

Требования формулируют по-разному: «имеет ровно одно решение», «ровно два», «не имеет решений», «имеет решение при любом x», «имеет хотя бы одно решение». Все они сводятся к одному вопросу: как число решений зависит от $a$. Дальше — три метода, которыми этот вопрос закрывают на экзамене.

Если после преобразований получается квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$, где $p$ и $q$ зависят от параметра, число корней читается по дискриминанту, а их знаки — по теореме Виета. Строить график здесь не нужно — достаточно формул.

Само число корней даёт дискриминант: при $D > 0$ два различных корня, при $D = 0$ ровно один (кратный), при $D < 0$ корней нет. Возьмём $x^2 - 4x + a = 0$. Здесь $D = 16 - 4a$. Значит, ровно один корень будет при $16 - 4a = 0$, то есть при $a = 4$; два корня при $a < 4$; ни одного при $a > 4$.

Часто квадратное уравнение появляется после замены. Биквадратное $x^4 + px^2 + q = 0$ подстановкой $t = x^2$ сводится к квадратному $t^2 + pt + q = 0$ — но с оговоркой $t = x^2 \geqslant 0$. И главное: найдя значения $t$, число решений исходного уравнения пересчитывают уже по $x$. Один корень $t < 0$ не даёт ни одного $x$, корень $t = 0$ — ровно один $x$, а каждый $t > 0$ — сразу два значения $x = \pm\sqrt{t}$. Замена — не отдельный метод, а способ свести задачу к дискриминанту.

А теорема Виета отвечает на вопросы про знаки корней, не вычисляя их. Логика простая: произведение корней $x_1 x_2 = q$, а сумма $x_1 + x_2 = -p$.

Корни разных знаков — самый удобный случай: достаточно одного условия $x_1 x_2 < 0$. Оно само тянет за собой $D > 0$, ведь если произведение корней отрицательно, они точно вещественные и различные, дискриминант проверять не нужно. Например, у $x^2 - 3x + a = 0$ произведение корней равно $a$, поэтому корни разных знаков ровно при $a < 0$.

Оба корня положительны — уже три условия сразу: $D > 0$ (различны и вещественны), $x_1 x_2 > 0$ (одного знака) и $x_1 + x_2 > 0$ (этот знак — плюс). Для «оба отрицательны» последнее условие меняется на $x_1 + x_2 < 0$. Пропустишь хотя бы одно из трёх — потеряешь часть значений параметра.

Отдельный частый сюжет — неравенство должно выполняться для всех $x$. Здесь работает та же квадратичная логика, но повёрнутая: важен не корень, а знак всей параболы.

Парабола $y = x^2 + px + q$ с положительным старшим коэффициентом лежит целиком выше оси тогда и только тогда, когда у неё нет корней, то есть при $D < 0$. Тогда $x^2 + px + q > 0$ при любом $x$.

Пример: при каких $a$ неравенство $x^2 + ax + 1 > 0$ верно для всех $x$? Считаем дискриминант $D = a^2 - 4$ и требуем $D < 0$:

Обрати внимание на строгость. Неравенство строгое ($>$), поэтому касание оси нам не подходит: при $a = 2$ или $a = -2$ парабола касается оси, и в точке касания $y = 0$, а не $> 0$. Значит, концы $a = \pm 2$ в ответ не входят. А вот если бы неравенство было нестрогим ($\geqslant$), эти два значения пришлось бы добавить. Именно здесь чаще всего теряют тот самый четвёртый балл — на границе.

Выражения вида $|x - p| + |x - q|$ удобнее не раскрывать по случаям, а прочитать геометрически. Модуль $|x - p|$ — это расстояние на числовой прямой от точки $x$ до точки $p$. Значит, вся сумма — это суммарное расстояние от $x$ до двух отмеченных точек.

Такая сумма ведёт себя очень предсказуемо. Когда $x$ лежит между точками $p$ и $q$, сумма расстояний постоянна и равна длине отрезка $|p - q|$ — это её наименьшее значение. Как только $x$ выходит за пределы отрезка, сумма начинает расти.

Отсюда полный разбор уравнения $|x - p| + |x - q| = a$ (пусть $p < q$):

При $a < |p - q|$ решений нет: сумма не бывает меньше длины отрезка. При $a = |p - q|$ подходит любая точка отрезка — бесконечно много решений. При $a > |p - q|$ ровно два решения: одна точка слева от отрезка, одна справа.

Конкретно для $|x - 3| + |x + 5| = a$ отмеченные точки — это $3$ и $-5$, расстояние между ними $8$. Поэтому: при $a < 8$ решений нет, при $a = 8$ их бесконечно много, при $a > 8$ ровно два. Никаких раскрытий модулей — только длина отрезка.