Уравнения, неравенства и системы с параметром

В обычном уравнении   x² - 4x + 3 = 0 все числа известны, и ответ — конкретные корни. В уравнении с параметром одна из букв, обычно a, — это «замороженное» число: оно постоянно внутри задачи, но само по себе может быть любым. От его значения зависит, сколько корней у уравнения и есть ли они вообще. Поэтому ответ в задании 19 — не корни, а перечень значений параметра, при которых выполняется требуемое условие.

Разберём это на самом простом примере. Уравнение   x² = a. Пока a — буква, ответить «сколько корней» нельзя. Но как только мы перебираем значения, картина проясняется:

При a < 0 корней нет: квадрат не бывает отрицательным. При a = 0 ровно один корень x = 0. При a > 0 два корня x = ±√a. Значение a = 0 здесь особенное: именно на нём число решений меняется. Такие значения называют контрольными (или критическими), и вся работа над задачей 18 — это поиск контрольных значений и разбор того, что происходит между ними и на них самих.

Требования формулируют по-разному: «имеет ровно одно решение», «ровно два», «не имеет решений», «имеет решение при любом x», «имеет хотя бы одно решение». Все они сводятся к одному вопросу: как число решений зависит от a. Дальше — три метода, которыми этот вопрос закрывают на экзамене.

Если после преобразований получается квадратное уравнение      x² + px + q = 0, где p и q зависят от параметра, число корней читается по дискриминанту, а их знаки — по теореме Виета. Строить график здесь не нужно — достаточно формул.

Само число корней даёт дискриминант: при D > 0 два различных корня, при D = 0 ровно один (кратный), при D < 0 корней нет. Возьмём     x² - 4x + a = 0. Здесь D = 16 − 4a. Значит, ровно один корень будет при 16 − 4a = 0, то есть при a = 4; два корня при a < 4; ни одного при a > 4.

Часто квадратное уравнение появляется после замены. Биквадратное      x⁴ + px² + q = 0 подстановкой   t = x² сводится к квадратному      t² + pt + q = 0 — но с оговоркой   t = x² ≥ 0. И главное: найдя значения t, число решений исходного уравнения пересчитывают уже по x. Один корень t < 0 не даёт ни одного x, корень t = 0 — ровно один x, а каждый t > 0 — сразу два значения x = ±√t. Замена — не отдельный метод, а способ свести задачу к дискриминанту.

А теорема Виета отвечает на вопросы про знаки корней, не вычисляя их. Логика простая: произведение корней   x₁ x₂ = q, а сумма    x₁ + x₂ = -p.

Корни разных знаков — самый удобный случай: достаточно одного условия  x₁ x₂ < 0. Оно само тянет за собой D > 0, ведь если произведение корней отрицательно, они точно вещественные и различные, дискриминант проверять не нужно. Например, у     x² - 3x + a = 0 произведение корней равно a, поэтому корни разных знаков ровно при a < 0.

Оба корня положительны — уже три условия сразу: D > 0 (различны и вещественны),  x₁ x₂ > 0 (одного знака) и    x₁ + x₂ > 0 (этот знак — плюс). Для «оба отрицательны» последнее условие меняется на    x₁ + x₂ < 0. Пропустишь хотя бы одно из трёх — потеряешь часть значений параметра.

Отдельный частый сюжет — неравенство должно выполняться для всех x. Здесь работает та же квадратичная логика, но повёрнутая: важен не корень, а знак всей параболы.

Парабола       y = x² + px + q с положительным старшим коэффициентом лежит целиком выше оси тогда и только тогда, когда у неё нет корней, то есть при D < 0. Тогда      x² + px + q > 0 при любом x.

Пример: при каких a неравенство    x² + ax + 1 > 0 верно для всех x? Считаем дискриминант    D = a² - 4 и требуем D < 0:

Обрати внимание на строгость. Неравенство строгое (>), поэтому касание оси нам не подходит: при a = 2 или a = −2 парабола касается оси, и в точке касания y = 0, а не > 0. Значит, концы a = ±2 в ответ не входят. А вот если бы неравенство было нестрогим (≥), эти два значения пришлось бы добавить. Именно здесь чаще всего теряют тот самый четвёртый балл — на границе.

Выражения вида |x − p| + |x − q| удобнее не раскрывать по случаям, а прочитать геометрически. Модуль |x − p| — это расстояние на числовой прямой от точки x до точки p. Значит, вся сумма — это суммарное расстояние от x до двух отмеченных точек.

Такая сумма ведёт себя очень предсказуемо. Когда x лежит между точками p и q, сумма расстояний постоянна и равна длине отрезка |p − q| — это её наименьшее значение. Как только x выходит за пределы отрезка, сумма начинает расти.

Отсюда полный разбор уравнения |x − p| + |x − q| = a (пусть p < q):

При a < |p − q| решений нет: сумма не бывает меньше длины отрезка. При a = |p − q| подходит любая точка отрезка — бесконечно много решений. При a > |p − q| ровно два решения: одна точка слева от отрезка, одна справа.

Конкретно для |x − 3| + |x + 5| = a отмеченные точки — это 3 и −5, расстояние между ними 8. Поэтому: при a < 8 решений нет, при a = 8 их бесконечно много, при a > 8 ровно два. Никаких раскрытий модулей — только длина отрезка.