Функция, область определения, множество значений

Функция — это правило, которое каждому значению $x$ из некоторого множества ставит в соответствие ровно одно значение $y$. Слово «ровно одно» здесь ключевое: если одному $x$ можно сопоставить два разных $y$, это уже не функция. Записывают правило так:

Здесь $x$ — аргумент (то, что подставляем), $y$ — значение функции (то, что получаем). Запись $f(3)$ означает «значение функции в точке $x = 3$»: подставь тройку вместо каждого $x$ в формулу и посчитай.

У функции есть два множества-паспорта, и вся эта тема — про них. Область определения $D(f)$ — множество всех $x$, которые вообще разрешено подставлять. Множество значений $E(f)$ — множество всех $y$, которые при этом получаются. Первое живёт на горизонтальной оси, второе — на вертикальной, и путать их нельзя.

На ЕГЭ функцию чаще всего задают формулой ($y = x^2 - 4$) или графиком — именно с ними мы и разберёмся: сначала где функция работает, потом что она выдаёт.

Если функция задана формулой без дополнительных оговорок, её область определения — это все $x$, при которых формула имеет смысл. Такую область называют естественной. Для многочленов (например $y = x^3 - 2x + 1$) подставить можно любое число, поэтому $D(f) = \mathbb{R}$ — вся числовая прямая. Но как только в формуле появляется дробь, корень или логарифм, возникают ограничители.

Запоминать нужно ровно четыре ситуации, где $x$ нельзя брать какой попало:

1. Дробь. Знаменатель не может быть нулём — на ноль не делят. Условие: $\text{знаменатель} \neq 0$. Эти точки из области определения выкалывают.

2. Корень чётной степени (квадратный, четвёртой и т. д.). Под ним не может стоять отрицательное число. Условие: $\text{подкоренное} \geqslant 0$. Обрати внимание на нестрогий знак: ноль под корнем разрешён, ведь $\sqrt{0} = 0$.

3. Логарифм. Под знаком логарифма может стоять только строго положительное число, а основание должно быть положительным и не равным единице. Условие: $\text{аргумент} > 0$ (знак строгий, ноль уже нельзя).

4. Арксинус и арккосинус. Их аргумент обязан лежать в отрезке $[-1;\,1]$ — вне его эти функции не определены.

Если ограничитель в формуле один, решаешь одно неравенство. Если их несколько, каждый даёт своё условие, и все они должны выполняться одновременно — значит, ответы неравенств пересекают, а не объединяют. Это самый частый источник ошибок: пересечение, а не сумма.

Множество значений $E(f)$ отвечает на встречный вопрос: пусть $x$ пробегает всю область определения — какие $y$ при этом успеют получиться? Одни значения функция принимает, другие — никогда, и вот именно достижимые и составляют $E(f)$.

Для базовых функций множество значений нужно знать наизусть — их не выводят каждый раз заново:

Линейная $y = kx + b$ при $k \neq 0$ принимает все значения: $E = \mathbb{R}$. А постоянная $y = b$ — только одно число $b$.

Квадратичная $y = ax^2 + bx + c$ — это луч от вершины параболы. При $a > 0$ ветви вверх и $E = [\,y_{\text{в}};\,+\infty)$, при $a < 0$ вниз и $E = (-\infty;\,y_{\text{в}}]$, где $y_{\text{в}}$ — значение в вершине. Например, у $y = x^2 - 4$ вершина в нуле даёт $E = [-4;\,+\infty)$.

Дальше — «джентльменский набор», который встречается на графиках заданий 8 и 11:

Отдельно запомни эту зеркальную пару. Показательная $a^x$ определена везде ($D = \mathbb{R}$), но значения даёт только положительные ($E = (0;+\infty)$). Логарифм $\log_a x$ — ровно наоборот: определён только на положительных ($D = (0;+\infty)$), зато значения принимает любые ($E = \mathbb{R}$). Это классический сюжет для проверки, понял ли ты разницу между $D$ и $E$.

Если функция чуть сложнее базовой, множество значений собирают по цепочке. Возьмём $y = 3 - 2\cos x$. Синус с косинусом заперты в $[-1;1]$, и дальше просто следим за границами: $\cos x \in [-1;1]$, значит $2\cos x \in [-2;2]$, тогда $-2\cos x \in [-2;2]$, и прибавив 3, получаем $y \in [1;5]$. Никакой производной для этого не нужно — только границы базовой функции.