Функция, область определения, множество значений

Функция — это правило, которое каждому значению x из некоторого множества ставит в соответствие ровно одно значение y. Слово «ровно одно» здесь ключевое: если одному x можно сопоставить два разных y, это уже не функция. Записывают правило так:

Здесь x — аргумент (то, что подставляем), y — значение функции (то, что получаем). Запись f(3) означает «значение функции в точке x = 3»: подставь тройку вместо каждого x в формулу и посчитай.

У функции есть два множества-паспорта, и вся эта тема — про них. Область определения D(f) — множество всех x, которые вообще разрешено подставлять. Множество значений E(f) — множество всех y, которые при этом получаются. Первое живёт на горизонтальной оси, второе — на вертикальной, и путать их нельзя.

На ЕГЭ функцию чаще всего задают формулой (   y = x² - 4) или графиком — именно с ними мы и разберёмся: сначала где функция работает, потом что она выдаёт.

Если функция задана формулой без дополнительных оговорок, её область определения — это все x, при которых формула имеет смысл. Такую область называют естественной. Для многочленов (например     y = x³ - 2x + 1) подставить можно любое число, поэтому D(f) = ℝ — вся числовая прямая. Но как только в формуле появляется дробь, корень или логарифм, возникают ограничители.

Запоминать нужно ровно четыре ситуации, где x нельзя брать какой попало:

1. Дробь. Знаменатель не может быть нулём — на ноль не делят. Условие: знаменатель≠0. Эти точки из области определения выкалывают.

2. Корень чётной степени (квадратный, четвёртой и т. д.). Под ним не может стоять отрицательное число. Условие: подкоренное≥0. Обрати внимание на нестрогий знак: ноль под корнем разрешён, ведь √0 = 0.

3. Логарифм. Под знаком логарифма может стоять только строго положительное число, а основание должно быть положительным и не равным единице. Условие: аргумент > 0 (знак строгий, ноль уже нельзя).

4. Арксинус и арккосинус. Их аргумент обязан лежать в отрезке [−1; 1] — вне его эти функции не определены.

Если ограничитель в формуле один, решаешь одно неравенство. Если их несколько, каждый даёт своё условие, и все они должны выполняться одновременно — значит, ответы неравенств пересекают, а не объединяют. Это самый частый источник ошибок: пересечение, а не сумма.

Множество значений E(f) отвечает на встречный вопрос: пусть x пробегает всю область определения — какие y при этом успеют получиться? Одни значения функция принимает, другие — никогда, и вот именно достижимые и составляют E(f).

Для базовых функций множество значений нужно знать наизусть — их не выводят каждый раз заново:

Линейная y = kx + b при k≠0 принимает все значения: E = ℝ. А постоянная y = b — только одно число b.

Квадратичная       y = ax² + bx + c — это луч от вершины параболы. При a > 0 ветви вверх и E = [ y_в; +∞), при a < 0 вниз и E = (−∞; y_в], где y_в — значение в вершине. Например, у    y = x² - 4 вершина в нуле даёт E = [−4; +∞).

Дальше — «джентльменский набор», который встречается на графиках заданий 9 и 12:

Отдельно запомни эту зеркальную пару. Показательная aˣ определена везде (D = ℝ), но значения даёт только положительные (E = (0; +∞)). Логарифм logₐ x — ровно наоборот: определён только на положительных (D = (0; +∞)), зато значения принимает любые (E = ℝ). Это классический сюжет для проверки, понял ли ты разницу между D и E.

Если функция чуть сложнее базовой, множество значений собирают по цепочке. Возьмём y = 3 − 2 cos x. Синус с косинусом заперты в [−1; 1], и дальше просто следим за границами: cos x∈[−1; 1], значит 2 cos x∈[−2; 2], тогда −2 cos x∈[−2; 2], и прибавив 3, получаем y∈[1; 5]. Никакой производной для этого не нужно — только границы базовой функции.