Графический метод решения уравнений и неравенств

Любое уравнение вида $f(x) = g(x)$ можно прочитать геометрически. Построй в одной системе координат два графика — $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Там, где они пересекаются, левая и правая части равны — значит, абсцисса (x-координата) каждой точки пересечения и есть корень. Отсюда главный вывод метода: сколько точек пересечения, столько и корней.

Это особенно ценно, когда решить уравнение «в лоб» тяжело или невозможно школьными средствами. Уравнение $2^x = 6 - x$ алгебраически не берётся, а графически всё видно сразу: растущая показательная и убывающая прямая пересекаются ровно один раз, значит корень единственный. Часто в задании и не просят найти сам корень — спрашивают именно число решений, а его график отдаёт без вычислений.

С неравенством логика та же, только смотрим не на точки, а на промежутки. Решить $f(x) > g(x)$ — значит найти все $x$, где график $f$ проходит выше графика $g$. Точки пересечения делят ось на участки, и на каждом одна кривая целиком лежит над другой — остаётся выбрать нужные и записать ответ промежутками.

Метод работает в обе стороны, и на ЕГЭ обе стороны встречаются. В задании 11 тебе дают готовый график и просят восстановить функцию — это чтение картинки. В задании 18 с параметром ты, наоборот, сам представляешь семейство графиков и следишь, как меняется число пересечений. Разберём оба, но сначала — тот набор графиков, без которого ни то, ни другое не сдвинется с места.

Калькулятор на профиле запрещён, из справочных материалов выдают всего четыре тригонометрические формулы — значит, вид основных графиков надо держать в голове и рисовать от руки за секунды. Вот обязательный минимум.

Линейная $y = kx + b$ — прямая. Коэффициент $k$ задаёт наклон (при $k > 0$ идёт вверх, при $k < 0$ — вниз), а $b$ — точку пересечения с осью $Oy$.

Квадратичная $y = ax^2 + bx + c$ — парабола. Ветви вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$, вершина стоит на $x = -\dfrac{b}{2a}$, а с осью $Oy$ график встречается в точке $(0;\,c)$.

Обратная пропорциональность $y = \dfrac{k}{x}$ — гипербола из двух ветвей. При $k > 0$ ветви лежат в первой и третьей четвертях, при $k < 0$ — во второй и четвёртой.

Показательная $y = a^x$ проходит через точку $(0;\,1)$: растёт при $a > 1$, убывает при $0 < a < 1$, но всегда остаётся выше оси $Ox$. Логарифмическая $y = \log_a x$ — её зеркальное отражение: проходит через $(1;\,0)$ и определена только при $x > 0$.

Ещё две частые: корень $y = \sqrt{x}$ — половина «лежащей» параболы из начала координат, растёт только вправо; модуль $y = |x|$ — «галочка» с вершиной в нуле. И синусоида $y = \sin x$ с периодом $2\pi$ и размахом от −1 до 1.

Отдельно запомни сдвиги: прибавили число снаружи, $y = f(x) + m$, — график уехал вверх на $m$; вычли число из аргумента, $y = f(x - m)$, — уехал вправо на $m$. Именно на сдвигах строятся задания с параметром: там одна и та же кривая гуляет по плоскости, а ты считаешь пересечения.

В задании 18 параметр $a$ — это не число, а «ручка громкости»: меняя его, ты двигаешь целое семейство графиков. Вопрос почти всегда про число решений: при каких $a$ уравнение или система имеет один корень, два, ни одного. Графический метод отвечает на него наглядно — надо представить, как подвижная линия проходит сквозь неподвижную, и в какие моменты меняется число их общих точек.

Самый частый сюжет — прямая с параметром и фиксированная кривая. Прибавка $a$ в записи $y = x + a$ сдвигает прямую вверх-вниз, не меняя наклона: получается пачка параллельных прямых. Отпускаешь эту прямую скользить по плоскости и ловишь особые положения — когда она касается кривой (число решений меняется) и когда проходит через угловые точки графика. Между особыми положениями число пересечений постоянно.

Второй классический сюжет — окружность и прямая. Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ задаёт окружность радиуса $R$ с центром в начале координат. Прямая пересекает её в двух точках, касается в одной или проходит мимо — и переключается это ровно тогда, когда расстояние от центра до прямой равно радиусу. Это и есть граничные значения параметра.

Третий сюжет — сумма модулей вида $y = |x - p| + |x - q|$. Её график — «корыто»: наклонные края и горизонтальное дно между точками $p$ и $q$ на высоте, равной расстоянию между ними. Уравнение с параметром $|x - p| + |x - q| = a$ — это пересечение «корыта» с горизонтальной прямой $y = a$. Ниже дна решений нет. Точно по дну решений бесконечно много — прямая ложится на весь плоский участок. Выше дна — ровно два.

Логика во всех трёх одинакова: нашёл граничные значения $a$, где картинка качественно меняется, и между ними спокойно считаешь число пересечений. Но одного рисунка для полного балла мало — почему, разберём дальше.