Системы и совокупности уравнений/неравенств

Q: Как решать задания по теме «Системы и совокупности уравнений/неравенств»?

Шаги такие: 1) определи связку: «И» или «ИЛИ»; 2) реши каждое условие по отдельности; 3) собери ответ нужной операцией; 4) сведи ОДЗ воедино; 5) не теряй и не добавляй корни; 6) проверь, что именно спросили.

Q: Что нужно запомнить по теме «Системы и совокупности уравнений/неравенств»?

Главное: 1) Система — это «И»: все условия сразу, решения пересекаются; 2) Совокупность — это «ИЛИ»: хотя бы одно, решения объединяются; 3) √f = g ⇔ {f = g²; g ≥ 0}; 4) P/Q = 0 ⇔ {P = 0; Q ≠ 0}; 5) |x| = a ⇔ [x = a; x = -a]. Остальное — в разделе темы выше.

Система уравнений или неравенств — это несколько условий, связанных союзом «и»: решение удовлетворяет всем сразу, поэтому ответ собирают пересечением. Совокупность связывает условия союзом «или», и её ответ — объединение. На ЕГЭ тема нужна в заданиях 14 и 16 (по 2 балла), где эта развилка встроена в решение.

Решать задание 14 ЕГЭ

Система и совокупность в одной таблице

Равносильные переходы темы и как собирать из них ответ
Конструкция	Запись	Как собирать ответ
Система	фигурная скобка, союз «и»	Пересечение решений; если одно условие без решений — вся система без решений
Совокупность	квадратная скобка, союз «или»	Объединение решений; пуста, только если пусто каждое условие
Система неравенств	{x > 1; x ≤ 4} ⇒ x ∈ (1; 4]	Общий участок штриховок на прямой; скобки — по строгости неравенств
Произведение равно нулю	P(x) · Q(x) = 0 ⇔ [P(x) = 0; Q(x) = 0	Вместо деления на выражение с x: так ни один корень не теряется
Модуль равен числу	\|x\| = a ⇔ [x = a; x = -a	При a ≥ 0
ОДЗ системы	пересечение ОДЗ всех частей	Все ограничения держат в одном списке; пустое пересечение — готовый ответ «решений нет»
Корень равен выражению	√(f(x)) = g(x) ⇔ {f(x) = g²(x); g(x) ≥ 0}	Отсекает посторонние корни после возведения в квадрат
Дробь равна нулю	P(x)/Q(x) = 0 ⇔ {P(x) = 0; Q(x) ≠ 0}	Нули знаменателя из ответа выбрасывают
Системы уравнений	подстановка, сложение, замена	Подстановка сводит две неизвестные к одной, сложение убирает переменную, замена — повторяющийся кусок

Быстрые ответы

Что такое система уравнений?

Система уравнений (неравенств) — несколько условий, связанных союзом «и»: решение обязано удовлетворять всем сразу, поэтому ответ собирают пересечением множеств решений. Совокупность связывает условия союзом «или», и её ответ — объединение.

Как решать задания по теме «Системы и совокупности уравнений/неравенств»?

Шаги такие:

определи связку: «И» или «ИЛИ»
реши каждое условие по отдельности
собери ответ нужной операцией
сведи ОДЗ воедино
не теряй и не добавляй корни
проверь, что именно спросили.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Системы и совокупности уравнений/неравенств»?

Путают пересечение с объединением. В системе берут объединение вместо пересечения (или наоборот в совокупности). Задача решена, а ответ записан не тот. Держи в голове: система — «И», пересечение; совокупность — «ИЛИ», объединение.

Что нужно запомнить по теме «Системы и совокупности уравнений/неравенств»?

Главное:

Система — это «И»: все условия сразу, решения пересекаются
Совокупность — это «ИЛИ»: хотя бы одно, решения объединяются
√f = g ⇔ {f = g²; g ≥ 0}
P/Q = 0 ⇔ {P = 0; Q ≠ 0}
|x| = a ⇔ [x = a; x = -a].

Остальное — в разделе темы выше.

Система — это «И»: все условия выполняются сразу, а решения пересекаются. Совокупность — это «ИЛИ»: хватает одного, и решения объединяются. Спутать пересечение с объединением — потерять ответ там, где всё было решено верно. Эта развилка встроена в задания 14 и 16, каждое по 2 балла.

Обновлено 3 октября 2026

Чем система отличается от совокупности уравнений и неравенств?

Два уравнения или неравенства можно связать двумя разными способами, и от выбора зависит весь ответ. Система означает «И»: искомое обязано удовлетворять всем условиям одновременно. Совокупность означает «ИЛИ»: достаточно, чтобы выполнилось хотя бы одно.

У этих слов даже разные скобки, и их нельзя путать. Система записывается фигурной скобкой, совокупность — квадратной:

в строку: {условие 1; условие 2} - система (И), [условие 1; условие 2] - совокупность (ИЛИ)

Дальше начинается самое важное. Каждое условие само по себе задаёт какое-то множество решений. Чтобы собрать ответ, эти множества комбинируют — и вот здесь «И» и «ИЛИ» расходятся окончательно.

Решение системы — это пересечение множеств: точки, которые попали во все сразу. Решение совокупности — это объединение: точки, которые попали хоть куда-нибудь.

Отсюда два следствия, которые экономят время. Если хотя бы одно уравнение системы не имеет решений, вся система решений не имеет — пересекать не с чем. А совокупность остаётся без решений только тогда, когда пусто каждое из её условий.

Система: решение — пересечение условий, здесь отрезок [3; 5]

Проверь себя за 10 секунд

Чему равно решение системы неравенств: x > 1 и x ≤ 4?

Система — это «И», её решение — пересечение условий, то есть общий кусок прямой. Оба неравенства выполняются на промежутке (1; 4]: у единицы скобка круглая (неравенство строгое), у четвёрки квадратная (нестрогое).

Ещё 4 вопроса — к мини-тесту

Пересечение и объединение промежутков на двух числовых прямых — Для системы берут пересечение решений, а для совокупности — их объединение.

Как решать системы уравнений и неравенств?

Схема одна на все системы: реши каждое условие по отдельности, потом пересеки ответы. Для систем уравнений «пересечь» значит найти общие корни, для систем неравенств — общий кусок числовой прямой.

У систем уравнений три рабочих приёма. Подстановка: из одного уравнения выражаешь переменную и вставляешь во второе — так две неизвестных схлопываются в одну. Алгебраическое сложение: складываешь или вычитаешь уравнения, чтобы одна переменная ушла. Замена: вводишь новую переменную, если в обоих уравнениях повторяется одинаковый кусок.

С системой неравенств проще всего работать на числовой прямой: рисуешь решение каждого неравенства своей штриховкой и берёшь участок, где штриховки наложились. Наложились — значит, там выполняются оба. Например:

в строку: {x > 1; x ≤ 4} ⇒ x ∈ (1; 4]

Обрати внимание на скобки в ответе: у единицы круглая (неравенство строгое, сама единица не входит), у четвёрки квадратная (нестрогое, входит). Эти скобки — не формальность: на них тоже теряют баллы.

Как решать совокупность уравнений и неравенств?

Здесь схема зеркальная: реши каждое условие и объедини ответы, ничего не выбрасывая. Всё, что подошло хотя бы под одно условие, идёт в ответ.

Совокупность редко пишут явной квадратной скобкой — чаще она возникает сама, когда задача разваливается на случаи. Три ситуации, где это происходит почти всегда:

Произведение равно нулю. Оно обращается в ноль, если ноль хотя бы один множитель — это и есть «ИЛИ»:

в строку: P(x) · Q(x) = 0 ⇔ [P(x) = 0; Q(x) = 0]

Модуль равен числу. Уравнение |x| = a при неотрицательном a распадается на два случая:

в строку: |x| = a ⇔ [x = a; x = -a], a ≥ 0

Ответ неравенства из нескольких промежутков. Когда решение — не один кусок прямой, а несколько, их соединяют знаком объединения. Такой ответ и есть записанная совокупность:

в строку: [x ≤ 2; x ≥ 5] ⇒ x ∈ (-∞; 2] ∪ [5; +∞)

Совокупность: решение — объединение условий, здесь два луча

Как найти ОДЗ системы уравнений и неравенств?

В логарифмах, корнях и дробях у каждого выражения своя область допустимых значений. Когда такие выражения собраны в систему, ловушка в том, чтобы найти ОДЗ одного уравнения и забыть про ограничение соседнего.

Правило простое: ОДЗ системы — это пересечение ОДЗ всех её частей сразу. Условие годится, только если оно выполняется одновременно для каждого уравнения и неравенства системы. Стоит держать все ограничения в одном списке и пересекать их вместе, а не по очереди.

Возьмём систему с двумя корнями. Первый корень требует x − 2≥0, второй — 5 − x≥0. Оба должны выполняться сразу, поэтому ОДЗ — пересечение:

в строку: {x - 2 ≥ 0; 5 - x ≥ 0} ⇒ x ∈ [2; 5]

Если пересечение оказалось пустым, дальше можно не решать: система заведомо без решений, ведь ни одно число не проходит все ограничения. Это не тупик, а готовый ответ.

Где теряются и лишними появляются корни

Главная опасность систем и уравнений с преобразованиями — по дороге незаметно выбросить верный корень или притащить чужой. Два места, где это случается чаще всего.

Деление на выражение с переменной. Когда обе части уравнения делят на что-то, содержащее x, молча теряют те корни, при которых этот делитель обращается в ноль. Поэтому не дели — переноси всё в одну сторону и раскладывай на множители. Уравнение превращается в совокупность, и ни один случай не пропадает.

Возведение в квадрат. Оно способно добавить посторонний корень: у чисел разного знака квадраты совпадают, и уравнение «забывает» про знак. Спастись можно двумя способами. Способ первый — в конце подставить найденные корни в исходное уравнение и отбросить лишние. Способ второй — сразу заменить уравнение равносильной системой (той, что даёт ровно те же корни, без лишних и без потерь), куда вписано недостающее условие. Для квадратного корня это выглядит так:

в строку: √(f(x)) = g(x) ⇔ {f(x) = g²(x); g(x) ≥ 0}

Условие g(x)≥0 здесь не украшение: корень не бывает отрицательным, поэтому и правая часть обязана быть неотрицательной. А отдельное требование f(x)≥0 дописывать не нужно — оно выполняется само, ведь f(x) приравнена к квадрату.

Тот же приём спасает дробь. Дробь равна нулю не там, где ноль числитель, а там, где ноль числитель и при этом знаменатель в ноль не обратился:

в строку: P(x)/Q(x) = 0 ⇔ {P(x) = 0; Q(x) ≠ 0}

Где это встроено в задания 14 и 16

Отдельного номера «реши систему» в профильном ЕГЭ нет. Зато система и совокупность прячутся внутри двух дорогих заданий второй части, и увидеть их там — половина решения.

Задание 14 — уравнение с отбором корней на отрезке. Пункт «а» просит найти все корни, пункт «б» — оставить только те, что попали в заданный промежуток.

Второй пункт и есть система: пересечение множества всех корней с отрезком. Ученик, который держит это в голове, не выпишет корни наугад, а аккуратно отберёт нужные — и не потеряет балл за пункт «б».

Задание 16 — неравенство, чаще логарифмическое или показательное. Оно почти всегда сворачивается в систему: первой строкой идёт ОДЗ, второй — само преобразованное неравенство, а решают их пересечением.

Итоговый же ответ обычно получается объединением нескольких промежутков — то есть совокупностью. В одной задаче участвуют обе конструкции сразу.

Путать, где пересекать, а где объединять, тут особенно дорого.

Механику самих логарифмов, корней и тригонометрии разбираем в своих темах. Здесь важно другое: научиться видеть под задачей её каркас — систему или совокупность — и не перепутать «И» с «ИЛИ».

Разбор: система уравнений подстановкой

Пример

Реши систему уравнений: x + y = 5 и x² + y² = 13.

Первое уравнение линейное — из него удобно выразить одну переменную. Возьмём y:y = 5 − xПодставим это во второе уравнение — две неизвестных превратятся в одну:x² + (5 - x)² = 13Раскроем скобки и приведём к привычному квадратному уравнению:2x² - 10x + 25 = 13 ⇒ x² - 5x + 6 = 0Корни находим по теореме Виета (сумма корней 5, произведение 6 — подходят 2 и 3) или через разложение (x − 2)(x − 3) = 0. Это уже совокупность: x = 2 или x = 3.Возвращаемся к y = 5 − x и находим напарника для каждого корня:x₁ = 2 ⇒ y₁ = 3, x₂ = 3 ⇒ y₂ = 2Решение системы — это пары чисел, а не отдельные числа. Каждую пару стоит подставить обратно в оба уравнения и убедиться, что сходится.Ответ: (2; 3) и (3; 2).

Разбор: как теряют корень при делении

Пример

Реши уравнение x² = 4x. Покажи, какой корень исчезает, если сразу поделить обе части на x.

Соблазнительный, но неверный путь: разделить обе части на x и получить x = 4. Второй корень при этом пропал — деление на x втихую отбросило случай x = 0.Верный путь — перенести всё в одну сторону и вынести общий множитель:x² - 4x = 0 ⇔ x(x - 4) = 0Произведение равно нулю — значит, задача распалась на совокупность двух случаев:

[x = 0; x = 4]Оба множителя дают свой корень, и ни один не потерян. Проверка: 0² = 4 · 0 и 4² = 4 · 4 — верно оба раза.Ответ: x = 0 и x = 4 (при делении на x теряется корень x = 0).

Как не перепутать систему и совокупность

1Определи связку: «И» или «ИЛИ». Условия должны выполняться все сразу — это система, фигурная скобка. Достаточно любого — это совокупность, квадратная скобка. От ответа на этот вопрос зависит всё дальнейшее.
2Реши каждое условие по отдельности и запиши его решение — числом, парой или промежутком на прямой. Пока не комбинируй.
3Собери ответ нужной операцией. Для системы — пересечение (общая часть), для совокупности — объединение (всё вместе). Промежутки удобнее пересекать и объединять на числовой прямой, а не в уме.
4Сведи ОДЗ воедино. Если есть логарифмы, корни или дроби, собери ограничения всех частей в один список и пересеки их — это ОДЗ всей системы.
5Не теряй и не добавляй корни. Не дели на выражение с переменной — раскладывай на множители. Возводил в квадрат или делал замену — либо проверь корни подстановкой, либо сразу пиши равносильную систему с условием.
6Проверь, что именно спросили. Решение системы — пересечение, совокупности — объединение. Перепутать их — записать в бланк верно решённое, но не то множество.

Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ путают «И» и «ИЛИ» и теряют корни. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Чему равно решение системы неравенств: x > 1 и x ≤ 4?

2.Совокупность двух условий x ≤ 2 или x ≥ 5 задаёт множество:

Совокупность — это «ИЛИ», её решение — объединение условий. Подходит любое число, которое не больше 2 либо не меньше 5, а промежуток между ними в ответ не входит.

3.Решая уравнение x² = 6x, ученик разделил обе части на x и получил x = 6. Какой корень он потерял?

Деление на x отбрасывает случай x = 0, при котором делитель обращается в ноль. Правильно: x² − 6x = 0, x(x − 6) = 0, откуда совокупность x = 0 или x = 6. Оба корня на месте.

4.Какой равносильной системе соответствует уравнение √(x − 1) = x − 3?

Возводим в квадрат и добавляем условие на правую часть: корень неотрицателен, значит x − 3 ≥ 0. Требование x − 1 ≥ 0 отдельно не нужно — оно выполняется само, ведь x − 1 приравнена к квадрату.

5.В задании 14 после решения уравнения нужно отобрать корни, попавшие на заданный отрезок. Этот отбор по своей сути — это:

Отбор корней — это система «И»: число должно быть и корнем уравнения, и точкой отрезка одновременно. Поэтому берут пересечение множества всех корней с заданным промежутком, а не объединение.

Какие ошибки делают в системах и совокупностях уравнений?

Ошибка 1

Путают пересечение с объединением. В системе берут объединение вместо пересечения (или наоборот в совокупности). Задача решена, а ответ записан не тот. Держи в голове: система — «И», пересечение; совокупность — «ИЛИ», объединение.

Ошибка 2

Делят обе части на выражение с переменной. Так молча теряют корни, при которых делитель обращается в ноль. Всегда переноси всё в одну сторону и раскладывай на множители — уравнение станет совокупностью, и ни один случай не пропадёт.

Ошибка 3

Не сводят ОДЗ всех частей воедино. Находят ОДЗ одного уравнения системы и забывают про ограничение второго. ОДЗ системы — это пересечение ограничений всех её частей сразу, а не любого из них по отдельности.

Ошибка 4

После возведения в квадрат забывают проверку. Возведение в квадрат добавляет посторонние корни. Либо подставь найденные корни в исходное уравнение, либо сразу пиши равносильную систему с условием g(x)≥0.

Ошибка 5

В задании 14 пропускают отбор корней. Выписывают все корни и на этом останавливаются, забыв пересечь их с отрезком из пункта «б». Пункт «б» оценивается отдельным баллом, и теряют его именно здесь.

Ошибка 6

Ошибаются в скобках промежутка. Строгому неравенству отвечает круглая скобка (точка не входит), нестрогому — квадратная (входит). На границе промежутка перепутанная скобка стоит балла даже при верном ходе решения.

Запомни для ЕГЭ

1Система — это «И»: все условия сразу, решения пересекаются

2Совокупность — это «ИЛИ»: хотя бы одно, решения объединяются

√f = g ⇔ {f = g²; g ≥ 0}

P/Q = 0 ⇔ {P = 0; Q ≠ 0}

|x| = a ⇔ [x = a; x = -a]

6ОДЗ системы — пересечение ОДЗ всех её частей. Не дели на выражение с x — раскладывай на множители

На экзамене

Задания 14 и 16 стоят по 2 балла каждое, и балл в них дробится. В задании 14 пункт «а» (решить уравнение) и пункт «б» (отбор корней) оцениваются отдельно — если не успел отобрать, всё равно запиши решение пункта «а» и забери свой балл.
В задании 16 первой строкой выписывай ОДЗ, ещё до преобразований. Неравенство почти всегда сворачивается в систему «ОДЗ и преобразованное неравенство», а забытая ОДЗ — самая частая потеря балла в этом номере.
Промежутки не комбинируй в уме — рисуй числовую прямую. Для системы бери общий заштрихованный кусок (пересечение), для совокупности — всё закрашенное (объединение). Так не перепутаешь операцию под спешку.
Прежде чем делить обе части на выражение с переменной, остановись: если оно может обратиться в ноль, ты теряешь корень. Надёжнее перенести всё влево и разложить на множители.
Возводил в квадрат, снимал логарифм или делал замену — считай, что мог притащить посторонний корень. Либо проверь корни подстановкой в исходное, либо сразу пиши равносильную систему с нужным условием: в развёрнутом решении это ещё и требуется по критериям.

Словарь темы

Система уравнений (неравенств): Несколько условий, связанных союзом «И»: решение обязано удовлетворять всем сразу. Записывается фигурной скобкой, решается пересечением множеств решений.
Совокупность уравнений (неравенств): Несколько условий, связанных союзом «ИЛИ»: достаточно выполнения хотя бы одного. Записывается квадратной скобкой, решается объединением множеств решений.
Пересечение множеств: Элементы, входящие сразу во все множества. Именно так собирают ответ системы.
Объединение множеств: Элементы, входящие хотя бы в одно из множеств. Именно так собирают ответ совокупности.
Равносильные уравнения (системы): Имеют ровно одно и то же множество решений. Заменяя уравнение равносильной системой, мы ничего не теряем и не добавляем.
Посторонний корень: Значение, которое появилось в ходе преобразований (например, при возведении в квадрат), но не удовлетворяет исходному уравнению. Отсеивается проверкой или условием равносильности.
Потеря корня: Исчезновение верного решения из-за необратимого шага — чаще всего деления обеих частей на выражение с переменной. Предотвращается разложением на множители.
ОДЗ (область допустимых значений): Множество значений переменной, при которых все выражения задачи имеют смысл. Для системы — пересечение ОДЗ всех её частей.
Метод подстановки: Приём решения системы уравнений: из одного уравнения выражают переменную и подставляют в другое, снижая число неизвестных.
Метод алгебраического сложения: Приём решения системы уравнений: уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна из переменных исчезла.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задания 14 и 16 КИМ (по 2 балла) Макс. 2 балла ~10 минут

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 2.9 «Системы и совокупности уравнений и неравенств». В проекте КИМ 2027 уравнение с отбором корней — задание 14, неравенство — задание 16 (по 2 балла).

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 2.9 кодификатора ФИПИ по профильной математике («Системы и совокупности уравнений/неравенств») и проверяется в заданиях 13 и 15.
В проекте КИМ 2027 задания 14 и 16 профильного ЕГЭ дают по 2 балла каждое (часть 2, развёрнутое решение).
Система означает одновременное выполнение всех условий (логическое «И»), её решение — пересечение множеств решений; совокупность означает выполнение хотя бы одного условия (логическое «ИЛИ»), её решение — объединение. Система записывается фигурной скобкой, совокупность — квадратной.
ОДЗ системы равна пересечению ОДЗ всех входящих в неё уравнений и неравенств.
Равносильный переход √f(x) = g(x) ⟺ {f(x) = g²(x); g(x) ≥ 0}. Отдельное условие f(x) ≥ 0 не требуется, так как оно следует из равенства f(x) = g²(x).
Дробь P(x)/Q(x) = 0 равносильна системе {P(x) = 0; Q(x) ≠ 0}; произведение P(x)·Q(x) = 0 равносильно совокупности [P(x) = 0; Q(x) = 0]; |x| = a при a ≥ 0 равносильно совокупности [x = a; x = −a].
Деление обеих частей уравнения на выражение с переменной может привести к потере корней (тех, при которых делитель равен нулю); безопасная замена — перенос в одну сторону и разложение на множители, дающее совокупность.
Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней; они отсеиваются проверкой подстановкой или условием равносильности (например, g(x) ≥ 0).
Системы уравнений решают методом подстановки, алгебраического сложения и замены переменной; систему неравенств — пересечением решений на числовой прямой.
В задании 14 отбор корней на отрезке является пересечением множества корней уравнения с заданным промежутком (то есть системой), и оценивается отдельным баллом; в задании 16 неравенство сводится к системе «ОДЗ и преобразованное неравенство», а итоговый ответ обычно записывается объединением промежутков (совокупностью).

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 3 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.