Системы и совокупности уравнений/неравенств

Задания 13 и 15 КИМ (по 2 балла) Макс. 2 балла ~10 минут

Система — это «И»: все условия выполняются сразу, а решения пересекаются. Совокупность — это «ИЛИ»: хватает одного, и решения объединяются. Спутать пересечение с объединением — потерять ответ там, где всё было решено верно. Эта развилка встроена в задания 13 и 15, каждое по 2 балла.

Система против совокупности: «И» против «ИЛИ»

Два уравнения или неравенства можно связать двумя разными способами, и от выбора зависит весь ответ. Система означает «И»: искомое обязано удовлетворять всем условиям одновременно. Совокупность означает «ИЛИ»: достаточно, чтобы выполнилось хотя бы одно.

У этих слов даже разные скобки, и их нельзя путать. Система записывается фигурной скобкой, совокупность — квадратной:

\begin{cases} \text{условие 1} \\ \text{условие 2} \end{cases} \;-\; \text{система (И)}, \qquad \left[\begin{array}{l} \text{условие 1} \\ \text{условие 2} \end{array}\right] \;-\; \text{совокупность (ИЛИ)}

Дальше начинается самое важное. Каждое условие само по себе задаёт какое-то множество решений. Чтобы собрать ответ, эти множества комбинируют — и вот здесь «И» и «ИЛИ» расходятся окончательно.

Решение системы — это пересечение множеств: точки, которые попали во все сразу. Решение совокупности — это объединение: точки, которые попали хоть куда-нибудь.

Отсюда два следствия, которые экономят время. Если хотя бы одно уравнение системы не имеет решений, вся система решений не имеет — пересекать не с чем. А совокупность остаётся без решений только тогда, когда пусто каждое из её условий.

Система: решение — пересечение условий, здесь отрезок [3; 5]

Пересечение и объединение промежутков на двух числовых прямых — Для системы берут пересечение решений, а для совокупности — их объединение.

Как решают систему

Схема одна на все системы: реши каждое условие по отдельности, потом пересеки ответы. Для систем уравнений «пересечь» значит найти общие корни, для систем неравенств — общий кусок числовой прямой.

У систем уравнений три рабочих приёма. Подстановка: из одного уравнения выражаешь переменную и вставляешь во второе — так две неизвестных схлопываются в одну. Алгебраическое сложение: складываешь или вычитаешь уравнения, чтобы одна переменная ушла. Замена: вводишь новую переменную, если в обоих уравнениях повторяется одинаковый кусок.

С системой неравенств проще всего работать на числовой прямой: рисуешь решение каждого неравенства своей штриховкой и берёшь участок, где штриховки наложились. Наложились — значит, там выполняются оба. Например:

\begin{cases} x > 1 \\ x \leqslant 4 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x \in (1;\,4]

Обрати внимание на скобки в ответе: у единицы круглая (неравенство строгое, сама единица не входит), у четвёрки квадратная (нестрогое, входит). Эти скобки — не формальность: на них тоже теряют баллы.

Как решают совокупность

Здесь схема зеркальная: реши каждое условие и объедини ответы, ничего не выбрасывая. Всё, что подошло хотя бы под одно условие, идёт в ответ.

Совокупность редко пишут явной квадратной скобкой — чаще она возникает сама, когда задача разваливается на случаи. Три ситуации, где это происходит почти всегда:

Произведение равно нулю. Оно обращается в ноль, если ноль хотя бы один множитель — это и есть «ИЛИ»:

P(x)\cdot Q(x) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} P(x) = 0 \\ Q(x) = 0 \end{array}\right]

Модуль равен числу. Уравнение $|x| = a$ при неотрицательном $a$ распадается на два случая:

|x| = a \quad\Longleftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} x = a \\ x = -a \end{array}\right], \quad a \geqslant 0

Ответ неравенства из нескольких промежутков. Когда решение — не один кусок прямой, а несколько, их соединяют знаком объединения. Такой ответ и есть записанная совокупность:

\left[\begin{array}{l} x \leqslant 2 \\ x \geqslant 5 \end{array}\right] \quad\Longrightarrow\quad x \in (-\infty;\,2] \cup [5;\,+\infty)

Совокупность: решение — объединение условий, здесь два луча

ОДЗ системы — это пересечение всех ограничений

В логарифмах, корнях и дробях у каждого выражения своя область допустимых значений. Когда такие выражения собраны в систему, ловушка в том, чтобы найти ОДЗ одного уравнения и забыть про ограничение соседнего.

Правило простое: ОДЗ системы — это пересечение ОДЗ всех её частей сразу. Условие годится, только если оно выполняется одновременно для каждого уравнения и неравенства системы. Стоит держать все ограничения в одном списке и пересекать их вместе, а не по очереди.

Возьмём систему с двумя корнями. Первый корень требует $x - 2 \geqslant 0$ , второй — $5 - x \geqslant 0$ . Оба должны выполняться сразу, поэтому ОДЗ — пересечение:

\begin{cases} x - 2 \geqslant 0 \\ 5 - x \geqslant 0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x \in [2;\,5]

Если пересечение оказалось пустым, дальше можно не решать: система заведомо без решений, ведь ни одно число не проходит все ограничения. Это не тупик, а готовый ответ.

Где теряются и лишними появляются корни

Главная опасность систем и уравнений с преобразованиями — по дороге незаметно выбросить верный корень или притащить чужой. Два места, где это случается чаще всего.

Деление на выражение с переменной. Когда обе части уравнения делят на что-то, содержащее $x$ , молча теряют те корни, при которых этот делитель обращается в ноль. Поэтому не дели — переноси всё в одну сторону и раскладывай на множители. Уравнение превращается в совокупность, и ни один случай не пропадает.

Возведение в квадрат. Оно способно добавить посторонний корень: у чисел разного знака квадраты совпадают, и уравнение «забывает» про знак. Спастись можно двумя способами. Способ первый — в конце подставить найденные корни в исходное уравнение и отбросить лишние. Способ второй — сразу заменить уравнение равносильной системой (той, что даёт ровно те же корни, без лишних и без потерь), куда вписано недостающее условие. Для квадратного корня это выглядит так:

\sqrt{f(x)} = g(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} f(x) = g^2(x) \\ g(x) \geqslant 0 \end{cases}

Условие $g(x) \geqslant 0$ здесь не украшение: корень не бывает отрицательным, поэтому и правая часть обязана быть неотрицательной. А отдельное требование $f(x) \geqslant 0$ дописывать не нужно — оно выполняется само, ведь $f(x)$ приравнена к квадрату.

Тот же приём спасает дробь. Дробь равна нулю не там, где ноль числитель, а там, где ноль числитель и при этом знаменатель в ноль не обратился:

\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \ne 0 \end{cases}

Где это встроено в задания 13 и 15

Отдельного номера «реши систему» в профильном ЕГЭ нет. Зато система и совокупность прячутся внутри двух дорогих заданий второй части, и увидеть их там — половина решения.

Задание 13 — уравнение с отбором корней на отрезке. Пункт «а» просит найти все корни, пункт «б» — оставить только те, что попали в заданный промежуток.

Второй пункт и есть система: пересечение множества всех корней с отрезком. Ученик, который держит это в голове, не выпишет корни наугад, а аккуратно отберёт нужные — и не потеряет балл за пункт «б».

Задание 15 — неравенство, чаще логарифмическое или показательное. Оно почти всегда сворачивается в систему: первой строкой идёт ОДЗ, второй — само преобразованное неравенство, а решают их пересечением.

Итоговый же ответ обычно получается объединением нескольких промежутков — то есть совокупностью. В одной задаче участвуют обе конструкции сразу.

Путать, где пересекать, а где объединять, тут особенно дорого.

Механику самих логарифмов, корней и тригонометрии разбираем в своих темах. Здесь важно другое: научиться видеть под задачей её каркас — систему или совокупность — и не перепутать «И» с «ИЛИ».

Разбор: система уравнений подстановкой

Пример

Реши систему уравнений: x + y = 5 и x² + y² = 13.

Первое уравнение линейное — из него удобно выразить одну переменную. Возьмём

y

y = 5 - x

Подставим это во второе уравнение — две неизвестных превратятся в одну:

x^2 + (5 - x)^2 = 13

Раскроем скобки и приведём к привычному квадратному уравнению:

2x^2 - 10x + 25 = 13 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 5x + 6 = 0

Корни находим по теореме Виета (сумма корней 5, произведение 6 — подходят 2 и 3) или через разложение

(x-2)(x-3)=0

. Это уже совокупность:

x = 2

или

x = 3

.Возвращаемся к

y = 5 - x

и находим напарника для каждого корня:

x_1 = 2 \Rightarrow y_1 = 3, \qquad x_2 = 3 \Rightarrow y_2 = 2

Решение системы — это пары чисел, а не отдельные числа. Каждую пару стоит подставить обратно в оба уравнения и убедиться, что сходится.Ответ: (2; 3) и (3; 2).

Разбор: как теряют корень при делении

Пример

Реши уравнение x² = 4x. Покажи, какой корень исчезает, если сразу поделить обе части на x.

Соблазнительный, но неверный путь: разделить обе части на

x

и получить

x = 4

. Второй корень при этом пропал — деление на

x

втихую отбросило случай

x = 0

.Верный путь — перенести всё в одну сторону и вынести общий множитель:

x^2 - 4x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 4) = 0

Произведение равно нулю — значит, задача распалась на совокупность двух случаев:

\left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array}\right]

Оба множителя дают свой корень, и ни один не потерян. Проверка:

0^2 = 4\cdot 0

4^2 = 4\cdot 4

— верно оба раза.Ответ: x = 0 и x = 4 (при делении на x теряется корень x = 0).

Как не перепутать систему и совокупность

1Определи связку: «И» или «ИЛИ». Условия должны выполняться все сразу — это система, фигурная скобка. Достаточно любого — это совокупность, квадратная скобка. От ответа на этот вопрос зависит всё дальнейшее.

2Реши каждое условие по отдельности и запиши его решение — числом, парой или промежутком на прямой. Пока не комбинируй.

3Собери ответ нужной операцией. Для системы — пересечение (общая часть), для совокупности — объединение (всё вместе). Промежутки удобнее пересекать и объединять на числовой прямой, а не в уме.

4Сведи ОДЗ воедино. Если есть логарифмы, корни или дроби, собери ограничения всех частей в один список и пересеки их — это ОДЗ всей системы.

5Не теряй и не добавляй корни. Не дели на выражение с переменной — раскладывай на множители. Возводил в квадрат или делал замену — либо проверь корни подстановкой, либо сразу пиши равносильную систему с условием.

6Проверь, что именно спросили. Решение системы — пересечение, совокупности — объединение. Перепутать их — записать в бланк верно решённое, но не то множество.

Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на ЕГЭ путают «И» и «ИЛИ» и теряют корни. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Чему равно решение системы неравенств: x > 1 и x ≤ 4?

Система — это «И», её решение — пересечение условий, то есть общий кусок прямой. Оба неравенства выполняются на промежутке (1; 4]: у единицы скобка круглая (неравенство строгое), у четвёрки квадратная (нестрогое).

2.Совокупность двух условий x ≤ 2 или x ≥ 5 задаёт множество:

Совокупность — это «ИЛИ», её решение — объединение условий. Подходит любое число, которое не больше 2 либо не меньше 5, а промежуток между ними в ответ не входит.

3.Решая уравнение x² = 6x, ученик разделил обе части на x и получил x = 6. Какой корень он потерял?

Деление на x отбрасывает случай x = 0, при котором делитель обращается в ноль. Правильно: x² − 6x = 0, x(x − 6) = 0, откуда совокупность x = 0 или x = 6. Оба корня на месте.

4.Какой равносильной системе соответствует уравнение √(x − 1) = x − 3?

Возводим в квадрат и добавляем условие на правую часть: корень неотрицателен, значит x − 3 ≥ 0. Требование x − 1 ≥ 0 отдельно не нужно — оно выполняется само, ведь x − 1 приравнена к квадрату.

5.В задании 13 после решения уравнения нужно отобрать корни, попавшие на заданный отрезок. Этот отбор по своей сути — это:

Отбор корней — это система «И»: число должно быть и корнем уравнения, и точкой отрезка одновременно. Поэтому берут пересечение множества всех корней с заданным промежутком, а не объединение.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Путают пересечение с объединением. В системе берут объединение вместо пересечения (или наоборот в совокупности). Задача решена, а ответ записан не тот. Держи в голове: система — «И», пересечение; совокупность — «ИЛИ», объединение.

Ошибка 2

Делят обе части на выражение с переменной. Так молча теряют корни, при которых делитель обращается в ноль. Всегда переноси всё в одну сторону и раскладывай на множители — уравнение станет совокупностью, и ни один случай не пропадёт.

Ошибка 3

Не сводят ОДЗ всех частей воедино. Находят ОДЗ одного уравнения системы и забывают про ограничение второго. ОДЗ системы — это пересечение ограничений всех её частей сразу, а не любого из них по отдельности.

Ошибка 4

После возведения в квадрат забывают проверку. Возведение в квадрат добавляет посторонние корни. Либо подставь найденные корни в исходное уравнение, либо сразу пиши равносильную систему с условием $g(x) \geqslant 0$ .

Ошибка 5

В задании 13 пропускают отбор корней. Выписывают все корни и на этом останавливаются, забыв пересечь их с отрезком из пункта «б». Пункт «б» оценивается отдельным баллом, и теряют его именно здесь.

Ошибка 6

Ошибаются в скобках промежутка. Строгому неравенству отвечает круглая скобка (точка не входит), нестрогому — квадратная (входит). На границе промежутка перепутанная скобка стоит балла даже при верном ходе решения.

Запомни для ЕГЭ

1Система — это «И»: все условия сразу, решения пересекаются

2Совокупность — это «ИЛИ»: хотя бы одно, решения объединяются

\sqrt{f} = g \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} f = g^2 \\ g \geqslant 0 \end{cases}

\dfrac{P}{Q} = 0 \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} P = 0 \\ Q \ne 0 \end{cases}

|x| = a \;\Leftrightarrow\; \left[\begin{array}{l} x = a \\ x = -a \end{array}\right]

6ОДЗ системы — пересечение ОДЗ всех её частей. Не дели на выражение с x — раскладывай на множители

На экзамене

Задания 13 и 15 стоят по 2 балла каждое, и балл в них дробится. В задании 13 пункт «а» (решить уравнение) и пункт «б» (отбор корней) оцениваются отдельно — если не успел отобрать, всё равно запиши решение пункта «а» и забери свой балл.
В задании 15 первой строкой выписывай ОДЗ, ещё до преобразований. Неравенство почти всегда сворачивается в систему «ОДЗ и преобразованное неравенство», а забытая ОДЗ — самая частая потеря балла в этом номере.
Промежутки не комбинируй в уме — рисуй числовую прямую. Для системы бери общий заштрихованный кусок (пересечение), для совокупности — всё закрашенное (объединение). Так не перепутаешь операцию под спешку.
Прежде чем делить обе части на выражение с переменной, остановись: если оно может обратиться в ноль, ты теряешь корень. Надёжнее перенести всё влево и разложить на множители.
Возводил в квадрат, снимал логарифм или делал замену — считай, что мог притащить посторонний корень. Либо проверь корни подстановкой в исходное, либо сразу пиши равносильную систему с нужным условием: в развёрнутом решении это ещё и требуется по критериям.

Словарь темы

Система уравнений (неравенств)Несколько условий, связанных союзом «И»: решение обязано удовлетворять всем сразу. Записывается фигурной скобкой, решается пересечением множеств решений.

Совокупность уравнений (неравенств)Несколько условий, связанных союзом «ИЛИ»: достаточно выполнения хотя бы одного. Записывается квадратной скобкой, решается объединением множеств решений.

Пересечение множествЭлементы, входящие сразу во все множества. Именно так собирают ответ системы.

Объединение множествЭлементы, входящие хотя бы в одно из множеств. Именно так собирают ответ совокупности.

Равносильные уравнения (системы)Имеют ровно одно и то же множество решений. Заменяя уравнение равносильной системой, мы ничего не теряем и не добавляем.

Посторонний кореньЗначение, которое появилось в ходе преобразований (например, при возведении в квадрат), но не удовлетворяет исходному уравнению. Отсеивается проверкой или условием равносильности.

Потеря корняИсчезновение верного решения из-за необратимого шага — чаще всего деления обеих частей на выражение с переменной. Предотвращается разложением на множители.

ОДЗ (область допустимых значений)Множество значений переменной, при которых все выражения задачи имеют смысл. Для системы — пересечение ОДЗ всех её частей.

Метод подстановкиПриём решения системы уравнений: из одного уравнения выражают переменную и подставляют в другое, снижая число неизвестных.

Метод алгебраического сложенияПриём решения системы уравнений: уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна из переменных исчезла.

Источники и проверка

11 источников

Тема соответствует коду 2.9 кодификатора ФИПИ по профильной математике («Системы и совокупности уравнений/неравенств») и проверяется в заданиях 13 и 15.
Задания 13 и 15 профильного ЕГЭ дают по 2 балла каждое (часть 2, развёрнутое решение).
Система означает одновременное выполнение всех условий (логическое «И»), её решение — пересечение множеств решений; совокупность означает выполнение хотя бы одного условия (логическое «ИЛИ»), её решение — объединение. Система записывается фигурной скобкой, совокупность — квадратной.
ОДЗ системы равна пересечению ОДЗ всех входящих в неё уравнений и неравенств.
Равносильный переход √f(x) = g(x) ⟺ {f(x) = g²(x); g(x) ≥ 0}. Отдельное условие f(x) ≥ 0 не требуется, так как оно следует из равенства f(x) = g²(x).
Дробь P(x)/Q(x) = 0 равносильна системе {P(x) = 0; Q(x) ≠ 0}; произведение P(x)·Q(x) = 0 равносильно совокупности [P(x) = 0; Q(x) = 0]; |x| = a при a ≥ 0 равносильно совокупности [x = a; x = −a].
Деление обеих частей уравнения на выражение с переменной может привести к потере корней (тех, при которых делитель равен нулю); безопасная замена — перенос в одну сторону и разложение на множители, дающее совокупность.
Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней; они отсеиваются проверкой подстановкой или условием равносильности (например, g(x) ≥ 0).
Системы уравнений решают методом подстановки, алгебраического сложения и замены переменной; систему неравенств — пересечением решений на числовой прямой.
В задании 13 отбор корней на отрезке является пересечением множества корней уравнения с заданным промежутком (то есть системой), и оценивается отдельным баллом; в задании 15 неравенство сводится к системе «ОДЗ и преобразованное неравенство», а итоговый ответ обычно записывается объединением промежутков (совокупностью).
Границы темы: метод интервалов (код 2.7), графический метод (код 2.8) и задачи с параметром (код 2.10) — соседние коды кодификатора со своими темами, поэтому их механика здесь не разбирается.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 13

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике