Основы СТО

Задание 17 КИМ (2 балла); также в 18 Макс. 2 балла ~5 минут

Один упрямый факт — скорость света одинакова для всех наблюдателей — переворачивает и время, и длину, и энергию. Отсюда же берётся E = mc². На ЕГЭ это задание 17, которое СТО делит с фотоэффектом и атомом Бора. Балл здесь теряют не на физике, а на корне: при v = 0,6c множитель √(1 − v²/c²) равен 0,8.

Два постулата, с которых всё началось

К началу XX века физика упёрлась в противоречие. Механика Галилея говорила: скорости складываются, и если бежать за уезжающим автомобилем, он отдаляется медленнее. Электродинамика Максвелла говорила другое: скорость света получается из свойств самого вакуума — конкретным числом, без всякого упоминания о том, кто эту скорость измеряет. Две теории не могли быть правы одновременно. Эйнштейн решил спор неожиданно: уступила механика.

Первый постулат — принцип относительности. Все физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта (сокращённо — ИСО). Ключевое слово здесь — все. Галилей утверждал это только про механику; Эйнштейн распространил утверждение на любые явления, включая электромагнитные и оптические.

Практическое следствие: находясь в закрытой лаборатории, которая движется равномерно и прямолинейно, ты не сможешь никаким опытом обнаружить это движение. Не потому, что приборы плохи, — а потому, что обнаруживать нечего: понятия «абсолютно покоится» не существует.

Второй постулат — постоянство скорости света. Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчёта и не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приёмника:

c = 3 \cdot 10^8\ \text{м/с}

Само значение $c$ выдают в справочных материалах КИМ — заучивать его отдельно не нужно.

Насколько это дико, видно на примере. Пусть ракета летит мимо тебя со скоростью $0{,}5c$ и включает фонарь вперёд по курсу. Здравый смысл требует, чтобы для тебя луч летел со скоростью $1{,}5c$ . Второй постулат отвечает: нет. И космонавт, и ты намеряете ровно $c$ . Числа при этом не подгоняются — просто у вас с космонавтом расходятся показания часов и линеек. Именно этим расхождением и занимается вся остальная тема.

Отсюда же предельность скорости света: ни одно тело, обладающее массой, не может разогнаться до $c$ , и никакое взаимодействие не передаётся быстрее $c$ . Ровно со скоростью $c$ движутся только безмассовые объекты — например, свет.

Оба постулата сформулированы для инерциальных систем отсчёта. Всё, что разбирается дальше, относится к системам, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Тяготение и ускоренные системы — это уже общая теория относительности, и в кодификатор ЕГЭ она не входит.

Свет от движущегося источника: и космонавт, и наблюдатель на Земле получают одно и то же значение c

Время и длина перестают быть абсолютными

Если оба постулата верны, то абсолютных часов и абсолютных линеек не существует. Насколько показания разойдутся, определяет один множитель — его называют лоренц-фактором:

\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}

Здесь $v$ — скорость одной системы отсчёта относительно другой. Разберись с этим корнем один раз, и половина задания 17 по СТО закрыта. Пока $v < c$ , подкоренное выражение меньше единицы, значит $\gamma > 1$ всегда. Чем ближе $v$ к $c$ , тем стремительнее $\gamma$ растёт.

Замедление времени. Введём понятие собственного времени $\tau_0$ — это промежуток, измеренный часами, которые покоятся относительно самого процесса (то есть процесс идёт прямо там, где стоят часы). В любой другой системе отсчёта, где эти часы движутся со скоростью $v$ , тот же промежуток окажется длиннее:

\tau = \dfrac{\tau_0}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \gamma \tau_0

Короче говоря: движущиеся часы идут медленнее. Секунда на борту летящей ракеты растягивается для земного наблюдателя.

Сокращение длины. Аналогично, собственная длина $l_0$ — это длина тела, измеренная в той системе, где оно покоится. Для наблюдателя, относительно которого тело летит со скоростью $v$ , оно окажется короче:

l = l_0 \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} = \dfrac{l_0}{\gamma}

Обрати внимание на важную оговорку: сокращается размер только вдоль направления движения. Поперечные размеры не меняются вообще. Летящая ракета для земного наблюдателя становится короче, но не тоньше.

Формулы легко перепутать: в одной на $\gamma$ умножают, в другой делят. Держись за смысл, а не за вид формулы: собственное время — самое короткое из возможных, собственная длина — самая длинная. Любой другой наблюдатель намеряет времени больше, а длины меньше. Если после подстановки чисел вышло наоборот — $\gamma$ оказался не в том месте.

И ещё одна вещь, которая обычно вызывает протест. Эффект взаимен. Космонавт с тем же правом считает себя покоящимся, а Землю — летящей мимо со скоростью $v$ : для него медленнее идут земные часы. Противоречия здесь нет, потому что это два разных наблюдателя в двух разных инерциальных системах, и ни одна из них не «настоящая».

Собственная длина 60 м измерена в ИСО аппарата; для земного наблюдателя при v = 0,8c он короче

Миша со стороны наблюдает световые часы в движущемся корабле: вертикальный путь света для корабля становится длинным зигзагом для внешнего наблюдателя — Скорость света одинакова во всех инерциальных системах, поэтому более длинному пути светового импульса соответствует замедление хода движущихся часов.

Как складываются скорости на самом деле

Классическое правило $u = u' + v$ — то самое, которым решают задачи про катер и течение реки, — оказывается приближением. Точная формула выглядит так:

u = \dfrac{u' + v}{1 + \dfrac{u' v}{c^2}}

Читается она привычно: $u'$ — скорость тела относительно подвижной системы, $v$ — скорость подвижной системы относительно неподвижной, $u$ — скорость тела относительно неподвижной. Всё как в кинематике, но со знаменателем.

Знаменатель и делает всю работу. Проверим формулу на свете: пусть ракета летит со скоростью $v$ и светит фонарём вперёд, то есть $u' = c$ . Подставляем и получаем $u = c$ — луч летит со скоростью света и для земного наблюдателя тоже, ровно как требует второй постулат. Формула не подгонялась под этот результат, она его даёт сама.

Ещё пример, который стоит прорешать руками. Две ракеты разлетаются от Земли в противоположные стороны, каждая со скоростью $0{,}5c$ . С какой скоростью одна удаляется от другой с точки зрения космонавта? Классика сказала бы $c$ . На деле:

u = \dfrac{0{,}5c + 0{,}5c}{1 + \dfrac{0{,}5c \cdot 0{,}5c}{c^2}} = \dfrac{c}{1{,}25} = 0{,}8c

Скорость света снова не достигнута. Так работает вся формула: сколько ни складывай скорости, меньшие $c$ , результат остаётся меньше $c$ .

А когда скорости малы, произведение $u'v$ ничтожно по сравнению с $c^2$ , знаменатель практически равен единице — и формула превращается в обычное $u = u' + v$ . Поэтому катер с течением реки никто не считает по СТО: поправка там прячется далеко за пределами точности условия.

E = mc²: масса как форма энергии

Самая известная формула физики говорит вещь простую и радикальную: у покоящегося тела уже есть энергия, и определяется она только массой. Её называют энергией покоя:

E_0 = m c^2

Масштаб стоит прочувствовать. Килограмм чего угодно — воды, железа, учебника — содержит $E_0 = 1 \cdot (3 \cdot 10^8)^2 = 9 \cdot 10^{16}$ Дж энергии покоя. Причина огромности числа не в массе, а в том, что $c^2$ — это множитель порядка $10^{17}$ . На практике эту энергию целиком не забрать: в химических и тепловых процессах масса меняется настолько мало, что изменение невозможно заметить.

Когда тело движется, его полная энергия больше энергии покоя — и растёт по тому же закону, что и всё в этой теме:

E = \dfrac{m c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \gamma m c^2

Здесь $m$ — обычная масса тела, та самая, что стоит в таблицах. Она не зависит от скорости и одинакова во всех системах отсчёта; меняется не масса, а энергия.

Кинетическая энергия в СТО определяется как разность полной энергии и энергии покоя:

E_k = E - E_0 = (\gamma - 1) m c^2

Это важный пункт. Привычная $E_k = \dfrac{mv^2}{2}$ — приближение, работающее только при малых скоростях. Для электрона в ускорителе она даёт откровенно неверный ответ, и подставлять её туда нельзя.

Импульс тоже перестаёт быть просто произведением массы на скорость:

p = \dfrac{m v}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \gamma m v

Считать импульс в задании 17 от тебя не потребуют — эту формулу держат как базовое знание кодификатора: она распознаётся в формулировках задания 18, где нужно отличить верное утверждение от неверного. Достаточно помнить, что тот же множитель $\gamma$ стоит и здесь.

Полезное число для ориентировки: энергия покоя электрона равна примерно 0,511 МэВ. Проверить это можно самому — $E_0 = 9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16} \approx 8{,}2 \cdot 10^{-14}$ Дж, а если это число разделить на $1{,}6 \cdot 10^{-19}$ , получится около $5 \cdot 10^5$ эВ. И масса электрона, и величина электрон-вольта есть в справочных материалах КИМ.

Формула $E_0 = mc^2$ работает и в ядерной физике: через неё из крохотной недостачи массы при образовании ядра (её называют дефектом массы) получают энергию связи — ту, что удерживает нуклоны в ядре вместе. Но это уже отдельные темы — строение ядра и радиоактивность. Здесь достаточно понимать саму связь массы с энергией.

Когда СТО нужна, а когда только мешает

Возникает законный вопрос: если СТО точнее классической механики, почему всю механику не считают по ней? Ответ на графике ниже. Лоренц-фактор ведёт себя вероломно: он почти не отличается от единицы, пока скорость не подберётся к световой вплотную, а потом взлетает.

Посмотри на числа. При $v = 0{,}1c$ (это, между прочим, 30 000 км/с) $\gamma = 1{,}005$ — поправка полпроцента. При $v = 0{,}6c$ уже $\gamma = 1{,}25$ , при $v = 0{,}8c$ — около $1{,}67$ , а дальше кривая уходит вертикально вверх: достичь $v = c$ телу с массой не даёт как раз бесконечно растущая энергия.

А теперь земные скорости. Спутник летит со скоростью примерно 8 км/с — это $v/c \approx 2{,}7 \cdot 10^{-5}$ , и $\gamma$ отличается от единицы примерно на $3{,}6 \cdot 10^{-10}$ . Никакой школьный прибор такого не заметит. Вот почему автомобили, самолёты и спутники прекрасно считаются классикой.

Это и есть принцип соответствия: при $v \ll c$ все релятивистские формулы переходят в классические. Время перестаёт замедляться ( $\tau \approx \tau_0$ ), длина — сокращаться ( $l \approx l_0$ ), сложение скоростей становится обычным сложением, а $(\gamma - 1)mc^2$ превращается в знакомое $mv^2/2$ . Новая теория не отменяет старую, а показывает границы, внутри которых та работает.

Практический вывод для экзамена: СТО нужна там, где скорость задана в долях $c$ — «0,6c», «0,8c», «близкой к световой». Это прямой сигнал доставать $\gamma$ . Второй сигнал — когда кинетическая энергия частицы сравнима с её энергией покоя: для электрона это единицы МэВ. А если в условии метры в секунду и километры в час — релятивистские формулы там не нужны, и тащить их туда значит терять время.

Лоренц-фактор почти равен единице на малых скоростях и неограниченно растёт при приближении к c

Разбор: аппарат на скорости 0,8c

Пример

Космический аппарат пролетает мимо Земли со скоростью 0,8c. Собственная длина аппарата 60 м. На борту идёт эксперимент, который по часам космонавта длится 3 с. Найди длину аппарата и длительность эксперимента с точки зрения наблюдателя на Земле.

Сначала — общий множитель. Считаем отношение скоростей и сразу возводим его в квадрат:

v/c = 0{,}8

, значит

v^2/c^2 = 0{,}64

. Именно на этом шаге чаще всего и теряют балл.

\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - 0{,}64} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6

Отсюда

\gamma = 1/0{,}6 = 5/3 \approx 1{,}67

. Дальше вся задача — решить, где на этот множитель умножать, а где делить.Длина. Разбираемся, чья длина собственная: 60 м даны как собственная длина, то есть измеренная там, где аппарат покоится, — в его собственной ИСО. Для Земли аппарат движется, значит он короче:

l = l_0 \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} = 60 \cdot 0{,}6 = 36\ \text{м}

Время. Эксперимент идёт в одной точке аппарата, и часы космонавта относительно него покоятся — значит 3 с это собственное время

\tau_0

. Для Земли часы аппарата движутся, а движущиеся часы идут медленнее, поэтому промежуток окажется длиннее:

\tau = \dfrac{\tau_0}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \dfrac{3}{0{,}6} = 5\ \text{с}

Проверяем правдоподобие по мнемонике: собственная длина должна быть самой большой — 60 м больше 36 м, верно. Собственное время самое короткое — 3 с меньше 5 с, тоже верно. Если бы вышло наоборот, значит

\gamma

попал не туда.И отдельно отметим, чего в ответе нет: космонавт при этом ничего необычного не замечает. В своей ИСО он покоится, его аппарат имеет ровно 60 м, а эксперимент длится ровно 3 с. Все различия возникают только при сравнении двух систем отсчёта.Ответ: Длина аппарата для земного наблюдателя l = 36 м; длительность эксперимента по земным часам τ = 5 с.

Как решать задачи по СТО

1Реши, нужна ли здесь СТО вообще. Скорость дана в долях

c

или названа близкой к световой — нужна. Кинетическая энергия частицы сравнима с энергией покоя — нужна. Метры в секунду и километры в час — не нужна, считай классикой.

2Посчитай отношение и его квадрат. Выпиши

v/c

, а следом отдельной строкой

v^2/c^2

. Разделение на два шага выглядит избыточным ровно до того момента, когда вместо 0,64 в корень попадает 0,8.

3Найди корень, потом при необходимости γ. Для 0,6c корень равен 0,8, для 0,8c — 0,6. Эти две пары стоит просто запомнить: они встречаются в задачах чаще всех остальных.

4Определи, какая величина собственная. Собственные

\tau_0

l_0

измерены там, где процесс или тело покоятся. Не «на Земле» по умолчанию, а именно там, где нет движения относительно измеряемого.

5Умножай или дели осознанно. Время в чужой системе растёт, длина уменьшается. Проверка одной строкой: собственное время — минимальное, собственная длина — максимальная.

6Оцени ответ на правдоподобие. Скорость больше

c

\gamma < 1

или отрицательное подкоренное выражение — верный признак, что где-то потерян квадрат или перепутано, что на что делится.

Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на задании 17 теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Космический корабль движется относительно Земли со скоростью 0,6c. Во сколько раз промежуток времени по земным часам больше собственного времени на корабле?

Считаем лоренц-фактор: v²/c² = 0,6² = 0,36, значит √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8, а γ = 1/0,8 = 1,25. Движущиеся часы идут медленнее, поэтому для Земли промежуток в 1,25 раза длиннее собственного. Главная ловушка — подставить 0,6 вместо 0,36: тогда √0,4 ≈ 0,63, а множитель ошибочно выйдет 1/0,63 ≈ 1,58.

2.Ракета длиной 100 м (в собственной системе отсчёта) летит мимо станции со скоростью 0,6c. Какой её длину измерит наблюдатель на станции?

Собственная длина l₀ = 100 м измерена там, где ракета покоится. Для станции ракета движется, поэтому она короче: l = l₀·√(1 − v²/c²) = 100·0,8 = 80 м. Вариант 125 м получается, если случайно умножить на γ вместо деления: собственная длина всегда наибольшая, длиннее 100 м результат быть не может.

3.Ракета летит от Земли со скоростью 0,5c и включает прожектор вперёд по курсу. С какой скоростью луч движется относительно Земли?

Это прямое содержание второго постулата: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах и не зависит от скорости источника. Классическое сложение (1,5c) здесь не работает. Релятивистская формула даёт тот же ответ: u = (c + 0,5c)/(1 + 0,5c·c/c²) = 1,5c/1,5 = c.

4.Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ, его энергия покоя — 0,511 МэВ. Чему равна полная энергия электрона?

Кинетическая энергия в СТО определяется как E_k = E − E₀, откуда полная энергия E = E₀ + E_k = 0,511 + 0,6 = 1,111 МэВ. Заодно обрати внимание: E_k здесь больше энергии покоя, то есть электрон разогнан до скорости, близкой к световой, и формула mv²/2 для него уже неприменима.

5.Спутник движется со скоростью около 8 км/с. Нужно ли учитывать релятивистское замедление времени при расчёте его движения в задаче ЕГЭ по механике?

Формально γ больше единицы при любой скорости, но здесь v/c ≈ 2,7·10⁻⁵, и γ отличается от единицы примерно на 3,6·10⁻¹⁰ — за пределами любой школьной точности. Это принцип соответствия: при v ≪ c релятивистские формулы переходят в классические. Вариант про «только свет» неверен: СТО описывает любые тела, просто на малых скоростях её поправки исчезающе малы.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Теряют квадрат под корнем. При $v = 0{,}6c$ подкоренное выражение равно $1 - 0{,}36 = 0{,}64$ , а корень — $0{,}8$ . Подставив 0,6 вместо 0,36, получишь $\sqrt{0{,}4} \approx 0{,}63$ и неверный ответ при полностью верной физике. Возводи $v/c$ в квадрат отдельной строкой.

Ошибка 2

Путают энергию покоя и полную энергию. $E_0 = mc^2$ — это энергия покоящегося тела. У движущегося полная энергия больше: $E = \gamma mc^2$ , а кинетическая — это разность $E_k = E - E_0 = (\gamma - 1)mc^2$ , а вовсе не $\gamma mv^2/2$ и не $mv^2/2$ .

Ошибка 3

Не разбираются, какая величина собственная. $\tau_0$ и $l_0$ измерены не «на Земле», а там, где часы или тело покоятся относительно измеряемого. Перепутав систему, умножишь там, где надо было делить, и промахнёшься ровно в $\gamma^2$ раз. Проверка: собственное время — самое короткое, собственная длина — самая длинная.

Ошибка 4

Складывают скорости классически. $0{,}5c + 0{,}5c$ даёт не $c$ , а $0{,}8c$ : в знаменателе стоит $1 + u'v/c^2$ . Ответ вида « $1{,}5c$ » — сигнал, что формула взята из кинематики, а не из СТО. Скорость больше $c$ в ответе невозможна в принципе.

Ошибка 5

Сокращают тело во всех направлениях. Сокращение длины идёт только вдоль направления движения. Поперечные размеры не меняются: летящий шар для наблюдателя становится не меньшим шаром, а сплюснутым вдоль движения.

Ошибка 6

Тащат γ в классическую задачу. Если в условии метры в секунду или километры в час, релятивистские поправки лежат далеко за пределами точности данных. Признак настоящей задачи по СТО — скорость в долях $c$ либо энергия, сравнимая с $mc^2$ .

Запомни для ЕГЭ

1Постулаты: 1) законы одинаковы во всех ИСО; 2) c в вакууме одна для всех, независимо от движения источника и приёмника

\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geqslant 1

\tau = \gamma \tau_0 \quad (\tau_0 - \text{собственное, минимальное})

l = \dfrac{l_0}{\gamma} \quad (l_0 - \text{собственная, максимальная})

E_0 = mc^2, \quad E = \gamma mc^2, \quad E_k = E - E_0

p = \gamma m v, \qquad u = \dfrac{u' + v}{1 + u'v/c^2}

7При v ≪ c всё переходит в классику: 0,6c → корень 0,8; 0,8c → корень 0,6

На экзамене

Задание 17 стоит 2 балла, и его делят три темы: элементы СТО, фотоэффект и строение атома по Бору. Что именно попадётся — заранее неизвестно, поэтому держи открытыми все три. На само задание закладывай около 5 минут.
Первым делом посмотри, в чём задана скорость. Доли $c$ — работаешь по СТО. Метры в секунду — почти наверняка это вообще не задание по СТО, а классика.
Запомни две рабочие пары чисел: $0{,}6c$ даёт корень $0{,}8$ и $\gamma = 1{,}25$ ; $0{,}8c$ даёт корень $0{,}6$ и $\gamma \approx 1{,}67$ . Они экономят минуту и страхуют от ошибки в корне.
Калькулятор на экзамене есть, и корень он считает. Но именно из-за автоматизма легко ввести $1 - 0{,}6$ вместо $1 - 0{,}6^2$ — квадрат возводи явно, отдельным действием.
Проверяй ответ на здравый смысл до переноса в бланк: скорость не может превысить $c$ , $\gamma$ не бывает меньше единицы, движущееся тело не бывает длиннее собственной длины. Любое из этих нарушений означает арифметическую ошибку.
Задание 18 — выбор верных утверждений по всем разделам, и формулировки по СТО там любят слова «всегда» и «в любой системе отсчёта». Два утверждения, которые действительно верны всегда: скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО, и энергия покоя определяется только массой. А вот «время замедляется» без указания, относительно какой системы, — утверждение неполное.

Словарь темы

Инерциальная система отсчёта (ИСО)Система отсчёта, в которой выполняется закон инерции: тело, свободное от воздействий, движется равномерно и прямолинейно. Постулаты СТО сформулированы именно для таких систем.

Принцип относительности ЭйнштейнаПервый постулат СТО: все физические законы одинаковы во всех ИСО. Отличие от принципа Галилея — в слове «все»: у Галилея речь шла только о механике, у Эйнштейна о любых явлениях, включая электромагнитные.

Постулат постоянства скорости светаВторой постулат СТО: скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО и не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приёмника.

РелятивистскийОтносящийся к теории относительности, то есть учитывающий эффекты СТО. Релятивистские формулы (для времени, длины, энергии, импульса) заметно отличаются от классических только при скоростях, сравнимых со скоростью света.

Лоренц-факторМножитель γ = 1/√(1 − v²/c²), задающий величину всех релятивистских эффектов. Всегда больше либо равен единице; при v → c неограниченно растёт.

Собственное времяПромежуток времени, измеренный часами, которые покоятся относительно самого процесса. Наименьший из всех возможных: в любой другой ИСО тот же промежуток окажется длиннее.

Собственная длинаДлина тела, измеренная в той ИСО, где тело покоится. Наибольшая из всех возможных: для любого движущегося наблюдателя тело короче, причём только вдоль направления движения.

Энергия покояЭнергия E₀ = mc², которой тело обладает уже за счёт одной своей массы, независимо от движения.

Полная энергияЭнергия движущегося тела E = γmc². Складывается из энергии покоя и кинетической энергии: E = E₀ + E_k.

Принцип соответствияПри v ≪ c формулы СТО переходят в формулы классической механики. Новая теория не отменяет старую, а очерчивает границы её применимости.

Источники и проверка

18 источников

Тема соответствует коду 4.1 кодификатора ФИПИ по физике: основы СТО — постулаты Эйнштейна, релятивистские формулы, E = mc².
Задание 17 стоит 2 балла; ответ — число или последовательность из двух цифр (соответствие). Уровень сложности в теме намеренно не заявлен.
Задание 17 делят три темы кодификатора: 4.1 (СТО), 4.2 (фотоэффект) и 4.3 (атом Бора) — тема не присваивает себе задание целиком.
Первый постулат: все физические законы одинаковы во всех ИСО (расширение принципа Галилея с механики на все явления). Второй постулат: скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО и не зависит от скорости источника и приёмника.
Значение c = 3·10⁸ м/с выдаётся в справочных материалах КИМ, заучивать его не требуется. То же относится к массе электрона 9,1·10⁻³¹ кг и к 1 эВ = 1,6·10⁻¹⁹ Дж.
Лоренц-фактор γ = 1/√(1 − v²/c²); при v = 0,6c он равен 1,25, при v = 0,8c ≈ 1,67, при v = 0,1c ≈ 1,005.
Замедление времени τ = γτ₀, где τ₀ — собственное время (измеренное часами, покоящимися относительно процесса); собственное время наименьшее.
Сокращение длины l = l₀√(1 − v²/c²), где l₀ — собственная длина; сокращение происходит только вдоль направления движения, поперечные размеры не меняются.
Релятивистский закон сложения скоростей u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²); при u′ = c даёт u = c, при 0,5c и 0,5c даёт 0,8c; при малых скоростях переходит в классическое u = u′ + v.
Энергия покоя E₀ = mc²; для 1 кг это 9·10¹⁶ Дж; энергия покоя электрона ≈ 0,511 МэВ.
Полная энергия E = γmc², кинетическая энергия E_k = E − E₀ = (γ − 1)mc², и при больших скоростях mv²/2 неприменима.
Релятивистский импульс p = γmv.
Принцип соответствия: при v ≪ c релятивистские формулы переходят в классические. Для спутника (8 км/с) v/c ≈ 2,7·10⁻⁵ и γ − 1 ≈ 3,6·10⁻¹⁰.
Ошибки темы (потеря квадрата под корнем, подмена энергии покоя полной энергией, путаница собственных величин, классическое сложение скоростей, сокращение во всех направлениях, применение γ к классической задаче) — реальные, а не выдуманные.
Волны де Бройля, дифракция электронов и корпускулярно-волновой дуализм в теме отсутствуют намеренно.
Тяготение и неинерциальные системы (ОТО) в тему не входят; дефект массы и энергия связи отнесены к другим кодам.
Блок interactive в теме отсутствует обоснованно: подходящей лаборатории по СТО нет.
Задание 18 — выбор верных утверждений по всем разделам; тема ограничивается указанием на формулировки по СТО и не превращается в обзор всей физики.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 17

К списку темВсе темы ЕГЭ по физике