Тепловые двигатели, КПД, цикл Карно

Полезное у двигателя — работа. Затраченное — теплота, которую пришлось взять у нагревателя, то есть сжечь топливо. Отношение первого ко второму и есть коэффициент полезного действия:

Все три записи — одно и то же, просто в разных задачах удобны разные. Дали работу и теплоту нагревателя — бери первую. Дали обе теплоты — вторую. Спрашивают «во сколько раз» или «какая доля» — третью.

Эта формула работает для любого теплового двигателя: реального, идеального, автомобильного, парового. Никаких оговорок про идеальность в ней нет — она следует прямо из определения КПД и равенства $A = Q_1 - Q_2$. Запомни её как основную, а всё остальное — как частные случаи.

КПД безразмерен. Его пишут долей (0,3) или процентами (30%), но в формулу вроде $A = \eta Q_1$ подставляют именно долю. Проценты появляются только в ответе и только если их попросили.

Почему $\eta < 1$ всегда? Формально — потому что $Q_2$ никогда не обращается в ноль: чтобы замкнуть цикл, газ надо сжать обратно, а сжимать горячий газ дороже, чем остывший, — если не сбросить часть теплоты, на обратный ход уйдёт вся добытая работа. Строгое доказательство даст следующий блок. Важно другое: 100% недостижимы не из-за качества инженерии, а по запрету второго закона термодинамики — того самого, который не даёт теплоте самопроизвольно перетекать от холодного тела к горячему без затрат работы (об этом — абзацем ниже). На ЕГЭ он всплывает не формулой, а утверждением в заданиях 9 и 18: «КПД теплового двигателя может достигать 100% при идеальном исполнении» — всегда неверно.

Обратный ход при этом не запрещён: теплоту можно перекачать от холодного тела к горячему — именно так работают холодильник и кондиционер. Но бесплатно это не выходит, нужно совершить работу и включить компрессор в розетку. Поэтому утверждение «передача теплоты от холодного тела к горячему невозможна ни при каких условиях» — тоже ловушка задания 18: сама по себе невозможна, а за счёт работы — вот же она, на кухне.

Теперь самая опасная формула темы. Если двигатель идеальный и работает по циклу Карно, его КПД считается через одни лишь температуры:

Два условия, без которых эта запись — ложь. Первое: цикл именно карновский и идеальный. Второе: $T_1$ и $T_2$ — абсолютные температуры в кельвинах. Градусы Цельсия сюда не подставляют никогда, а перевод $T = t + 273$ делают до формулы, а не после.

Проверь, насколько это серьёзно. Нагреватель при 127 °C, холодильник при −23 °C. Правильно: $T_1 = 400$ К, $T_2 = 250$ К, значит $\eta = 1 - 250/400 = 0{,}375$ — 37,5%. А по невнимательности в градусах Цельсия: $1 - (-23)/127 \approx 1{,}18$ — КПД 118%. Двигатель, отдающий работы больше, чем получил теплоты, — верный признак того, что ошибка не в арифметике, а в единицах.

Сам цикл Карно собран из двух изотерм (температура постоянна) и двух адиабат; адиабатой называют процесс без теплообмена с окружением. Разбирать его по участкам не понадобится: во всех заданиях, где встречается Карно, нужна ровно одна строчка — формула выше.

Зачем он тогда нужен? Карно доказал: среди всех двигателей, работающих между одними и теми же $T_1$ и $T_2$, идеальный цикл даёт максимально возможный КПД. Любой реальный двигатель — хуже:

Отсюда сразу три рабочих следствия. Первое: слова «идеальная тепловая машина», «цикл Карно» или «КПД максимален» в условии — это разрешение пользоваться формулой с температурами. Нет этих слов — нет и права на неё. Второе: это бесплатная проверка любого ответа. Посчитал реальный цикл и получил КПД выше карновского для тех же крайних температур — ищи ошибку, такого не бывает. Это же готовое неверное утверждение в заданиях 9 и 18: «КПД цикла больше КПД цикла Карно с теми же температурами».

Третье: вот и обещанное доказательство того, что стопроцентный двигатель невозможен. Температура холодильника всегда больше нуля кельвинов, поэтому дробь $T_2/T_1$ строго положительна, и даже у Карно $\eta_{\text{Карно}} < 1$. А раз любой двигатель не лучше карновского, то $\eta < 1$ вообще у всех.

Формула Карно к прямоугольному циклу неприменима — он не карновский. Значит, КПД придётся собирать честно: $\eta = A/Q_1$, где $A$ — площадь фигуры, а $Q_1$ — вся подведённая за цикл теплота.

Вот здесь и прячется главная ошибка задания 24. $Q_1$ — это не теплота одного участка и не самая большая из них. Это сумма всех теплот, которые газ за цикл получил, то есть всех $Q > 0$. В прямоугольном цикле таких участков обычно два — изобарное расширение и изохорный нагрев, — и складывать надо оба.

Теплоту на участке даёт первый закон $Q = \Delta U + A$. Для одноатомного газа внутренняя энергия равна $U = \tfrac{3}{2}\nu R T$, а произведение $\nu R T$ — это, по уравнению Менделеева — Клапейрона, просто $pV$. Подставим — и получатся два коротких выражения, в которых ни $\nu$, ни $R$, ни температуры уже не нужны.

Изохора: объём постоянен, работы нет, поэтому $Q = \Delta U = \tfrac{3}{2}\Delta(pV) = \tfrac{3}{2} V \Delta p$. Изобара: изменение внутренней энергии $\Delta U = \tfrac{3}{2} p \Delta V$, работа $A = p \Delta V$, в сумме — $\tfrac{5}{2} p \Delta V$. Итого:

Обе строчки выведены здесь за три шага, так что заучивать их необязательно — важнее уметь получить заново. Коэффициенты 3/2 и 5/2 верны для одноатомного газа: гелий, аргон, неон. У двухатомного внутренняя энергия равна $U = \tfrac{5}{2}\nu R T$, и те же выкладки дадут 5/2 и 7/2. Читай условие: какой газ, там написано всегда.

Знаки расставляются сами. Считай $\Delta$ как «конечное минус начальное» — и при нагреве выйдет $Q > 0$ (теплоту подвели), а при охлаждении или сжатии $Q < 0$ (теплота ушла). Гадать не нужно, достаточно посмотреть на знак результата.

И готовая самопроверка: сложи модули отрицательных теплот в $Q_2$. Если $Q_1 - Q_2$ совпало с площадью фигуры — арифметика цела, можно идти дальше.