Фазовые переходы, уравнение теплового баланса

Вся арифметика темы — это три формулы. Ошибки начинаются там, где их путают местами, поэтому запоминай не сами формулы, а вопрос, на который каждая отвечает.

Температура едет, фаза не меняется. Нагрев или охлаждение внутри одного состояния:

Здесь $c$ — удельная теплоёмкость, Дж/(кг·К): сколько теплоты нужно, чтобы нагреть 1 кг вещества на 1 градус.

Фаза меняется, температура стоит. Плавление при температуре плавления:

Парообразование при температуре кипения:

$\lambda$ — удельная теплота плавления, $L$ — удельная теплота парообразования, обе в Дж/кг. Обрати внимание на то, чего в этих двух формулах нет: в них нет $\Delta T$. И не может быть — температура во время перехода не меняется, вычитать нечего. Запись вида $Q = \lambda m \Delta T$ не существует.

Все табличные значения выдают в КИМ вместе со справочными материалами, учить их наизусть не нужно. Для воды и льда там стоят такие: $c_{\text{воды}} = 4{,}2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К), $c_{\text{льда}} = 2{,}1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К), $\lambda = 3{,}3 \cdot 10^5$ Дж/кг, $L = 2{,}3 \cdot 10^6$ Дж/кг.

Сразу отметь ловушку: у воды и льда разная теплоёмкость, 4,2·10³ против 2,1·10³. Это одно вещество, но в разных фазах, и подставлять надо ту, которая соответствует участку. И $\lambda$ — величина вещества, а не константа: у свинца, например, $\lambda = 2{,}5 \cdot 10^4$ Дж/кг, в тринадцать с лишним раз меньше, чем у льда.

Полезная мелочь про $\Delta T$: в формуле $Q = cm\Delta T$ стоит разность температур, а она одинакова в градусах Цельсия и в кельвинах — шкалы сдвинуты друг относительно друга на постоянные 273, и при вычитании сдвиг сокращается. Нагрев на 20 °C и нагрев на 20 К — это одно и то же. А вот там, где температура входит не разностью, а сама по себе — например, в уравнении состояния идеального газа из темы про газовые законы, — кельвины обязательны.

Каждый переход обратим, и вот что важно: обратный процесс возвращает ровно столько же теплоты, сколько прямой забрал. Никаких отдельных «удельной теплоты кристаллизации» или «удельной теплоты конденсации» в задачах не вводят — работают те же $\lambda$ и $L$, просто теплота меняет направление.

Чтобы расплавить 1 кг льда при 0 °C, надо подвести 3,3·10⁵ Дж. Чтобы заморозить 1 кг воды при 0 °C, надо отвести те же 3,3·10⁵ Дж. То же с паром: испарить килограмм кипящей воды — забрать 2,3·10⁶ Дж, сконденсировать килограмм пара обратно — вернуть эти же 2,3·10⁶ Дж окружению.

Это прямой якорь для задания 18, где любят утверждения такого вида: «при конденсации пара внутренняя энергия вещества уменьшается». Оно верное: молекулы снова связываются, потенциальная энергия их взаимодействия падает, а разница уходит наружу в виде теплоты. Кристаллизация и конденсация — процессы, при которых вещество отдаёт энергию, а не получает.

Насколько эти числа большие, стоит почувствовать заранее — на них строят задачи. Раздели $\lambda$ на $c_{\text{воды}}$: $3{,}3 \cdot 10^5 / (4{,}2 \cdot 10^3) \approx 79$. Значит, растопить килограмм льда, уже лежащего при 0 °C, стоит столько же теплоты, сколько нагреть килограмм воды почти на 79 градусов — то есть больше чем на три четверти пути от таяния до кипения. Лёд «съедает» энергию, ничем не выдавая этого на термометре.

С паром разрыв ещё резче. $L$ примерно в 7 раз больше $\lambda$, а если сравнить с нагревом: испарить килограмм воды при 100 °C требует $2{,}3 \cdot 10^6 / (4{,}2 \cdot 10^5) \approx 5{,}5$ раза больше теплоты, чем нагреть этот килограмм от 0 до 100 °C. Обратная сторона того же числа: пар при 100 °C обжигает сильнее, чем вода при 100 °C, — конденсируясь на коже, он сначала отдаёт свои 2,3·10⁶ Дж на килограмм и только потом начинает остывать.

Ещё одно разграничение, чтобы не спутать слова. Испарение идёт с поверхности жидкости при любой температуре. Кипение — во всём объёме сразу и только при температуре кипения. Теплота в обоих случаях считается через $Q = Lm$. А вот насыщенный пар, влажность и точка росы — это уже соседняя тема кодификатора, здесь они не нужны.

Теперь соберём всё вместе. Возьмём теплоизолированную систему — сосуд, который не обменивается теплотой с комнатой. В задачах его называют калориметром, а условие звучит как «в теплоизолированном сосуде» или «потерями теплоты пренебречь». Тела внутри приходят к общей температуре: горячие остывают, холодные греются. Энергии деться некуда, поэтому сколько одни отдали, столько другие и получили:

В такой записи обе части — положительные числа, модули теплоты. Ты сам решаешь, кто в каком списке, и вычитаешь температуры так, чтобы каждое слагаемое вышло положительным: для остывающего тела $T_{\text{нач}} - T$, для нагревающегося $T - T_{\text{нач}}$. Это надёжнее, чем алгебраическая форма $\sum Q_i = 0$, где знаки надо не потерять самому.

Каждое слагаемое в обеих суммах — это один участок: либо нагрев, либо охлаждение, либо один фазовый переход. Одно тело легко даёт три слагаемых. Лёд при −10 °C, который в итоге стал водой при +20 °C, прошёл три этапа и получил теплоту трижды: нагрелся до 0 ($c_{\text{льда}} m \Delta T$), расплавился ($\lambda m$), нагрелся до 20 ($c_{\text{воды}} m \Delta T$). Три формулы, три разных коэффициента, одна масса.

Сам сосуд тоже участвует в обмене. Если в условии дали его массу и теплоёмкость — калориметр надо вписать в баланс наравне с содержимым: он греется или остывает вместе со всеми. Если сказано «теплоёмкостью сосуда пренебречь» — не вписывай. Условие тут всегда говорит прямо, догадываться не нужно.

И держи в голове контроль, который ничего не стоит: масса вещества никуда не девается. Сколько граммов льда и воды было, столько льда и воды и осталось — просто, возможно, в другой пропорции. Сумма масс в ответе обязана совпасть с суммой масс в условии.

А вот место, где эта тема перестаёт быть арифметикой. Пока фазовых переходов нет, всё честно: написал баланс с неизвестной $T$, решил уравнение, получил ответ. Как только в сосуде появляется лёд, так делать нельзя.

Причина в том, что уравнение зависит от сценария, а сценарий ты заранее не знаешь. Весь лёд растает — тогда неизвестная $T$ есть, и она выше нуля. Растает только часть — тогда никакой неизвестной нет вовсе: ответ известен заранее, это ровно 0 °C, а искать надо не температуру, а массу растаявшего льда. Это два разных уравнения, и записать надо то, которое соответствует реальности.

Проверка делается сравнением двух энергетических бюджетов. Считаем, сколько тёплая часть способна отдать максимум — то есть остывая до температуры плавления:

И считаем, сколько нужно, чтобы довести лёд до температуры плавления и растопить его целиком:

Дальше три исхода, и они покрывают всё:

Если $A \geqslant B$ — энергии хватает с запасом, весь лёд растаял. Финальная температура выше 0 °C, пиши обычный баланс с неизвестной $T$.

Если $A < B$, но $A$ больше $B_1$ (то есть на нагрев льда до нуля энергии хватило, а на всё плавление — нет) — лёд растаял частично. Ответ: 0 °C, а масса растаявшего льда находится из остатка энергии, $m = (A - B_1)/\lambda$.

Если $A$ меньше даже $B_1$ — воды не хватило, чтобы догреть лёд до нуля. Тогда остывает уже сама вода до нуля и начинает кристаллизоваться, отдавая свои $\lambda m$, а финальная температура окажется не выше 0 °C. Этот случай встречается реже, но логика та же — считай бюджеты.

Есть и страховка на случай, если проверку всё-таки забыл. Бессмысленный ответ — это сигнал, а не повод его записать. Решил уравнение в предположении «весь лёд растаял» и получил отрицательную температуру? Но ты же сам только что считал всё содержимое жидкой водой — вода при −2 °C противоречит твоему же предположению. Гипотеза не прошла, возвращайся к бюджетам.