Арифметический корень натуральной степени

В слове «арифметический» спрятано всё содержание темы. Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число b, что   bⁿ = a. Здесь n — натуральное число, не меньше 2:

Два условия в этой строчке — не украшение, а половина темы. Подкоренное выражение неотрицательно — иначе корень не определён. И сам корень неотрицателен — всегда, без исключений. Знак √ без указанного показателя означает n = 2, это привычный квадратный корень; число n называют показателем корня, а выражение под знаком — подкоренным.

Такое число b существует, и оно ровно одно. Это не пустая формальность, а следствие того, что функция   y = xⁿ на промежутке от нуля до бесконечности возрастает: она принимает каждое неотрицательное значение ровно один раз. Поэтому √9 = 3 — и никак иначе.

Корень чётной и корень нечётной степени ведут себя по-разному, и это надо развести сразу. Для чётного показателя (2, 4, 6, …) подкоренное выражение обязано быть неотрицательным: среди действительных чисел нет такого, которое в чётной степени даёт −16, поэтому ⁴√(-16) смысла не имеет.

Для нечётного показателя (3, 5, 7, …) всё иначе: уравнение   bⁿ = a имеет ровно одно решение при любом a, в том числе отрицательном, и его тоже записывают знаком корня:

Здесь k — любое натуральное число, поэтому 2k — это любой чётный показатель, а 2k+1 — любой нечётный; так удобно записывать свойство сразу для всех степеней одного типа. Строго говоря, ³√(-8) — уже не арифметический корень: тот определён только для неотрицательных чисел. Обозначение то же, а определение другое. Запомни границу: под чётным корнем — только неотрицательное, под нечётным — что угодно.

И последнее в этом блоке, но по частоте ошибок первое. «Арифметический корень» и «корень уравнения» — разные вещи, просто слово совпало. Уравнение  x² = 9 имеет два корня: 3 и −3. А √9 — это одно конкретное число 3, потому что арифметический корень по определению неотрицателен. Запись «√9 = ±3» неверна: слева стоит число, а не множество. Знак ± появляется при решении уравнения, а не при извлечении корня.

Свойств немного, и все они однотипны: корень «проходит сквозь» умножение, деление и возведение в степень. Ниже a ≥ 0, b ≥ 0, а в дроби ещё и b ≠ 0; показатели n и m — натуральные, не меньше 2:

Оговорка про неотрицательность — не формальность. Проверь на числах, что будет без неё: √(-4) · √(-9) «по свойству» равнялось бы √36 = 6. Но левая часть не существует вовсе: ни √(-4), ни √(-9) не определены среди действительных чисел. Произведение подкоренных выражений вышло положительным. Но это не то же самое, что неотрицательность каждого множителя по отдельности — а свойство требует именно второго.

Рабочее применение первого свойства — вынесение множителя из-под знака корня. Разбиваешь подкоренное число на точный квадрат и остаток:    √75 = √(25 · 3) = √25 · √3 = 5√3. Тот же приём с буквами требует осторожности:

Модуль здесь появляется ровно по той же причине, что и раньше:  √(a²) = |a|. Написать a√b можно, только если отдельно известно, что a ≥ 0.

Чего среди свойств нет — важнее того, что есть. Корень не раскладывается по сумме и разности. Никакого «    √(a+b) = √a + √b» не существует, и убедиться в этом можно за десять секунд:   √(9+16) = √25 = 5, а √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Пять и семь — разные числа. Складывать корни можно только как подобные слагаемые: 2√3 + 5√3 = 7√3, а √2 + √3 так и остаётся суммой.

До сих пор мы говорили на языке корней. Но настоящее задание 8 почти всегда просит посчитать что-нибудь вроде 16^(3/4) или 27^(2/3) — и вот тут выясняется, зачем нужен весь предыдущий разговор. Степень с дробным показателем определяется через арифметический корень, а не наоборот.

Читай это равенство как мост, по которому ходят в обе стороны. Слева — язык степеней, где показатели складывают и перемножают. Справа — язык корней. Умение мгновенно переходить туда и обратно и есть то, что проверяет задание 8.

Смотри, как мост работает. 16^(3/4): разложи основание на степень простого, 16 = 2⁴, и перемножь показатели:

То же самое, но короче, чем через корень:   16^(3/4) = ⁴√(16³) — и попробуй теперь без калькулятора найти 16³. Поэтому первое движение всегда одно: разложить основание на степень простого числа. Держи наготове 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 5³ = 125 — из этих чисел собрана добрая половина заданий 8 на степени и корни.

Отрицательный показатель — просто переворот дроби, а не смена знака у числа.  a^(-p) = 1/a^p, поэтому:

Почему в определении стоит a > 0, а не «любое a». Это не придирка, а необходимость. Одно и то же рациональное число записывается дробями по-разному:   1/3 = 2/6. Если бы дробный показатель разрешили отрицательному основанию, у (-8)^(1/3) было бы два разных значения:

Минус два и плюс два. Степень перестала бы быть функцией, и все привычные правила посыпались бы. Поэтому договорились: дробный показатель — только у положительного основания (и у нуля, если показатель положительный:  0^(m/n) = 0). Записи (-8)^(2/3) в школьной математике нет. Если отрицательное основание встретилось, работай с ним через корень:    ³√((-8)²) = ³√64 = 4 — тут всё честно и однозначно.