Арифметический корень натуральной степени

В слове «арифметический» спрятано всё содержание темы. Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число b, что $b^n = a$. Здесь n — натуральное число, не меньше 2:

Два условия в этой строчке — не украшение, а половина темы. Подкоренное выражение неотрицательно — иначе корень не определён. И сам корень неотрицателен — всегда, без исключений. Знак $\sqrt{\phantom{a}}$ без указанного показателя означает n = 2, это привычный квадратный корень; число n называют показателем корня, а выражение под знаком — подкоренным.

Такое число b существует, и оно ровно одно. Это не пустая формальность, а следствие того, что функция $y = x^n$ на промежутке от нуля до бесконечности возрастает: она принимает каждое неотрицательное значение ровно один раз. Поэтому $\sqrt{9} = 3$ — и никак иначе.

Корень чётной и корень нечётной степени ведут себя по-разному, и это надо развести сразу. Для чётного показателя (2, 4, 6, …) подкоренное выражение обязано быть неотрицательным: среди действительных чисел нет такого, которое в чётной степени даёт −16, поэтому $\sqrt[4]{-16}$ смысла не имеет.

Для нечётного показателя (3, 5, 7, …) всё иначе: уравнение $b^n = a$ имеет ровно одно решение при любом a, в том числе отрицательном, и его тоже записывают знаком корня:

Здесь k — любое натуральное число, поэтому 2k — это любой чётный показатель, а 2k+1 — любой нечётный; так удобно записывать свойство сразу для всех степеней одного типа. Строго говоря, $\sqrt[3]{-8}$ — уже не арифметический корень: тот определён только для неотрицательных чисел. Обозначение то же, а определение другое. Запомни границу: под чётным корнем — только неотрицательное, под нечётным — что угодно.

И последнее в этом блоке, но по частоте ошибок первое. «Арифметический корень» и «корень уравнения» — разные вещи, просто слово совпало. Уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня: 3 и −3. А $\sqrt{9}$ — это одно конкретное число 3, потому что арифметический корень по определению неотрицателен. Запись «$\sqrt{9} = \pm 3$» неверна: слева стоит число, а не множество. Знак ± появляется при решении уравнения, а не при извлечении корня.

Свойств немного, и все они однотипны: корень «проходит сквозь» умножение, деление и возведение в степень. Ниже a ≥ 0, b ≥ 0, а в дроби ещё и b ≠ 0; показатели n и m — натуральные, не меньше 2:

Оговорка про неотрицательность — не формальность. Проверь на числах, что будет без неё: $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9}$ «по свойству» равнялось бы $\sqrt{36} = 6$. Но левая часть не существует вовсе: ни $\sqrt{-4}$, ни $\sqrt{-9}$ не определены среди действительных чисел. Произведение подкоренных выражений вышло положительным. Но это не то же самое, что неотрицательность каждого множителя по отдельности — а свойство требует именно второго.

Рабочее применение первого свойства — вынесение множителя из-под знака корня. Разбиваешь подкоренное число на точный квадрат и остаток: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$. Тот же приём с буквами требует осторожности:

Модуль здесь появляется ровно по той же причине, что и раньше: $\sqrt{a^2} = |a|$. Написать $a\sqrt{b}$ можно, только если отдельно известно, что a ≥ 0.

Чего среди свойств нет — важнее того, что есть. Корень не раскладывается по сумме и разности. Никакого «$\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$» не существует, и убедиться в этом можно за десять секунд: $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Пять и семь — разные числа. Складывать корни можно только как подобные слагаемые: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$, а $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ так и остаётся суммой.

До сих пор мы говорили на языке корней. Но настоящее задание 7 почти всегда просит посчитать что-нибудь вроде $16^{3/4}$ или $27^{2/3}$ — и вот тут выясняется, зачем нужен весь предыдущий разговор. Степень с дробным показателем определяется через арифметический корень, а не наоборот.

Читай это равенство как мост, по которому ходят в обе стороны. Слева — язык степеней, где показатели складывают и перемножают. Справа — язык корней. Умение мгновенно переходить туда и обратно и есть то, что проверяет задание 7.

Смотри, как мост работает. $16^{3/4}$: разложи основание на степень простого, $16 = 2^4$, и перемножь показатели:

То же самое, но короче, чем через корень: $16^{3/4} = \sqrt[4]{16^3}$ — и попробуй теперь без калькулятора найти 16³. Поэтому первое движение всегда одно: разложить основание на степень простого числа. Держи наготове 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 5³ = 125 — из этих чисел собрана добрая половина заданий 7 на степени и корни.

Отрицательный показатель — просто переворот дроби, а не смена знака у числа. $a^{-p} = 1/a^p$, поэтому:

Почему в определении стоит a > 0, а не «любое a». Это не придирка, а необходимость. Одно и то же рациональное число записывается дробями по-разному: $\tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{6}$. Если бы дробный показатель разрешили отрицательному основанию, у $(-8)^{1/3}$ было бы два разных значения:

Минус два и плюс два. Степень перестала бы быть функцией, и все привычные правила посыпались бы. Поэтому договорились: дробный показатель — только у положительного основания (и у нуля, если показатель положительный: $0^{m/n} = 0$). Записи $(-8)^{2/3}$ в школьной математике нет. Если отрицательное основание встретилось, работай с ним через корень: $\sqrt[3]{(-8)^2} = \sqrt[3]{64} = 4$ — тут всё честно и однозначно.