Логарифм числа: определение и решение задач
Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b; он существует при a > 0, a ≠ 1 и b > 0. На профильном ЕГЭ задачи на логарифм решают в задании 8 (1 балл), где считают значение выражения, и в задании 16, где логарифмы сравнивают по монотонности.
Свойства логарифмов в одной таблице
| Правило | Формула | Когда верно |
|---|---|---|
| Определение | logₐ b = c ⇔ aᶜ = b | a > 0, a ≠ 1, b > 0; сам логарифм может быть отрицательным |
| Два частных значения | logₐ 1 = 0, logₐ a = 1 | Потому что a⁰ = 1 и a¹ = a |
| Основное тождество | a^(logₐ b) = b | Логарифм в показателе: приведи основание степени и основание логарифма к одному числу |
| Логарифм произведения | logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y | x > 0 и y > 0; произведения логарифмов не получается, логарифм суммы не раскладывается |
| Логарифм частного | logₐ x/y = logₐ x - logₐ y | x > 0 и y > 0; частное логарифмов — это другое: logₐ x / logₐ y = log_y x |
| Логарифм степени | logₐ x^p = p logₐ x | x > 0; без этого условия logₐ x² = 2·logₐ |x| |
| Переход к новому основанию | logₐ b = (log_c b)/(log_c a) | c > 0, c ≠ 1; основание выбирают, к которому легко приводятся все числа |
| Перестановка основания и аргумента | logₐ b · log_b a = 1 | Нужно ещё b ≠ 1; logₐ b и log_b a — взаимно обратные числа |
| Монотонность | logₐ x > logₐ y | При a > 1 равносильно x > y, при 0 < a < 1 — x < y; вместе с ОДЗ x > 0, y > 0 |
Все свойства с условиями и примерами — в справочнике: «Свойства логарифмов»: таблица формул (есть PDF для печати).
Быстрые ответы
Что такое логарифм?
Логарифм числа b по основанию a — показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b. Он существует, когда основание положительно и не равно единице, а само число b строго положительно.
Как вычислить значение логарифмического выражения?
Шаги такие:
- оцени, что мешает
- приведи основания к одному
- сверни сумму и разность в один логарифм
- логарифм в показателе — разбей степень
- досчитай по определению, а не по формулам
- проверь ответ подстановкой.
Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Логарифм числа»?
Превращают логарифм произведения в произведение логарифмов. Верно только logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y — сумма, не произведение. Числа не дадут соврать: log₂(4 · 8) = log₂ 32 = 5, а log₂ 4 · log₂ 8 = 6. Сомневаешься в свойстве — подставь степени двойки и проверь за десять секунд.
Что нужно запомнить по теме «Логарифм числа»?
Главное:
- logₐ b = c ⇔ aᶜ = b
- a > 0, a ≠ 1, b > 0
- a^(logₐ b) = b, logₐ aᶜ = c
- logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y
- logₐ x/y = logₐ x - logₐ y.
Остальное — в разделе темы выше.
Логарифм отвечает на один вопрос: в какую степень возвести основание, чтобы получить число. Из этого определения выводятся все свойства темы — их не нужно зубрить, нужно уметь получить. На ЕГЭ логарифм проверяют в задании 8 за 1 балл, а в задании 16 без понимания его монотонности не обойтись.
Что такое логарифм числа?
Всё, что здесь будет дальше, вырастает из одной строчки. Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
Читать это надо в обе стороны. Слева направо — «чему равен логарифм». Справа налево — «а как проверить». Именно вторая сторона и есть рабочий приём: увидел log₅ 125 — спроси себя, в какую степень возвести 5, чтобы вышло 125. В третью. Значит, log₅ 125 = 3. Никаких формул для этого не нужно.
Но запись logₐ b имеет смысл не при любых числах. Условия такие:
Это не формальность из учебника — каждое условие объясняется за одну фразу.
Основание положительно a > 0, потому что иначе степень aᶜ перестаёт существовать для многих показателей: (-4)^(1/2) — это корень из отрицательного числа.
Основание не равно единице a≠1, потому что единица в любой степени даёт единицу: уравнение 1ᶜ = 7 не имеет решений вообще, а 1ᶜ = 1 — бесконечно много, и в обоих случаях никакого одного числа c не получится.
Аргумент положителен b > 0, потому что положительное число в любой степени остаётся положительным — значит, aᶜ никогда не даст ни нуля, ни отрицательного числа.
Из определения сразу выпадают два значения, которые надо узнавать мгновенно:
Первое — потому что a⁰ = 1 при любом допустимом основании. Второе — потому что a¹ = a.
И ещё одно: логарифм спокойно бывает отрицательным. Например, log₄ 1/16 = -2, потому что 4⁻² = 1/16. Отрицательным должен быть не аргумент — аргумент всегда строго больше нуля, — а само значение логарифма. Эти две вещи путают чаще всего, и стоит это ровно один балл в задании 8.
Об обозначениях. Два основания встречаются так часто, что для них завели короткую запись: lg b = log₁₀ b — десятичный логарифм, ln b = logₑ b — натуральный, по основанию e≈2,718 (особое иррациональное число, как π).
И десятичный, и натуральный логарифм — не отдельные объекты со своими правилами: все свойства ниже работают для них ровно так же.
Проверь себя за 10 секунд
Чему равно log₄ 64 + log₄ (1/16)?
Считаем по определению каждое слагаемое. 4³ = 64, поэтому log₄ 64 = 3. Далее 4⁻² = 1/16, поэтому log₄ (1/16) = −2. Сумма: 3 + (−2) = 1. Отрицательное значение логарифма здесь абсолютно нормально: аргумент меньше единицы при основании больше единицы, стороны от единицы разные — значит логарифм отрицателен.
Задача ЕГЭ по теме
Два задания 8 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.
-
Задание 1 из 2
Найдите значение выражения: 2^(3+log_2(5)).
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Найдите значение выражения: 5^(log_5(7) + 2).
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Основное логарифмическое тождество
Возьми определение logₐ b = c ⇔ aᶜ = b и подставь c прямо в правое равенство. Получится тождество, без которого не решается заметная часть задания 8:
Никакого нового содержания в нём нет — это то же определение, записанное одной строкой. Смысл простой: возведение в степень и логарифм по одному основанию гасят друг друга. Работает это и в другом порядке:
Проверь на числах: 2^(log₂ 7) = 7, log₃ 3⁵ = 5.
В задании 8 это тождество почти никогда не стоит в чистом виде. Обычно в показателе к логарифму что-то приписано, и первый ход — разбить степень. Смотри:
Тот же приём с множителем в показателе. Множитель заносим внутрь логарифма как степень аргумента — и тождество снова срабатывает:
Каждый шаг этой цепочки опирается только на то, что уже разобрано, — новых свойств логарифма здесь не понадобилось. Сначала замечаем, что 25 = 5², и приводим основание степени к той же пятёрке, что и у логарифма. Дальше работают обычные правила действий со степенями, а в самой сердцевине снова срабатывает основное тождество: 5^(log₅ 3) = 3.
Оба приёма стоит довести до автоматизма: увидел логарифм в показателе степени — ищи, как привести основание степени и основание логарифма к одному и тому же числу.
Какие свойства у логарифмов?
Дальше идут четыре свойства. Все они верны при a > 0, a≠1 и строго положительных аргументах x > 0, y > 0. Условия — не приписка мелким шрифтом: без них свойства становятся неверными, и именно на этом строят задание 16.
Первое свойство полезно уметь получить самому — тогда его точно не переврёшь. Обозначь m = logₐ x и n = logₐ y. По определению это значит aᵐ = x и aⁿ = y. Перемножь: xy = aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. А это по определению и означает logₐ(xy) = m + n. Всё свойство — это правило умножения степеней, переписанное наоборот.
Отсюда же видно, почему нужны условия x > 0 и y > 0: справа стоят logₐ x и logₐ y, а они существуют только для положительных аргументов. Слева при этом logₐ(xy) может существовать и тогда, когда оба множителя отрицательны: их произведение положительно. То есть равенство работает не всегда, а только в свою сторону.
Тот же подвох в третьем свойстве. Запись logₐ x² = 2 logₐ x верна только при x > 0. Возьми x = −3: слева logₐ 9 — существует; справа 2 logₐ(-3) — не существует. Честная запись без оговорок выглядит так:
А теперь — чего нельзя никогда. Это самая дорогая часть темы, потому что ошибки здесь выглядят убедительно.
Логарифм произведения — это сумма, а не произведение. Записи logₐ(xy) = logₐ x · logₐ y не существует. Проверь на числах: log₂(4 · 8) = log₂ 32 = 5, а log₂ 4 · log₂ 8 = 2 · 3 = 6. Пять и шесть — разные числа.
Логарифм суммы не раскладывается вообще. Для logₐ(x + y) нет никакой формулы — ни через сумму, ни через произведение, никак. log₂(4 + 4) = log₂ 8 = 3, тогда как log₂ 4 + log₂ 4 = 4. Если в аргументе стоит сумма — её сначала сворачивают в произведение обычной алгеброй, и только потом логарифмируют.
Частное логарифмов — не логарифм частного. Частное аргументов даёт разность логарифмов, а вот дробь logₐ x / logₐ y — это совсем другой зверь, и он тоже полезен: о нём в следующем блоке.
Как перейти к новому основанию логарифма?
Свойства из прошлого блока работают, пока основание у всех логарифмов одно. Как только оснований стало два — нужен переход. Формула такая:
Новое основание c ты выбираешь сам — любое допустимое. На практике берут то, к которому легко приводятся все числа в задаче.
Возьми основное тождество a^(logₐ b) = b и прологарифмируй обе части по основанию c. Слева показатель выносится вперёд по третьему свойству, и выходит logₐ b · log_c a = log_c b. Осталось поделить.
В этой промежуточной строчке уже спрятано главное следствие. Подставь c = b: слева получится logₐ b · log_b a, справа log_b b = 1. То есть:
Здесь нужно и b≠1 — иначе log_b a не существует. Проверь на числах: log₂ 8 = 3 и log₈ 2 = 1/3, их произведение равно 1. Заодно это отвечает на вопрос, который многие задают себе на экзамене: logₐ b и log_b a — разные числа, а не одно и то же. Перепутать местами основание и аргумент — значит получить обратное число вместо исходного.
И обещанное про дробь. Если поделить два логарифма с одинаковым основанием, то по той же формуле перехода (прочитанной справа налево) получится:
Основание нижнего логарифма всплывает наверх и становится основанием результата. Числа: log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2 = 1,5, и правда log₄ 8 = 1,5, ведь 4^1,5 = 8. Сравни с разностью: log₂ 8 - log₂ 4 = log₂ 2 = 1. Разность и частное дают разные ответы — путать их нельзя.
Четвёртое свойство из прошлого блока, logaᵏ b = (1/k) logₐ b, — тоже частный случай перехода. Считаем log₉ 27: и 9, и 27 — степени тройки, поэтому берём c = 3 и получаем log₃ 27 / log₃ 9 = 3/2 = 1,5. Проверка обязательна и занимает секунду: 9^1,5 = (√9)³ = 27. Сошлось.
Монотонность и знак: мост к заданию 16
До сих пор логарифм был числом, которое надо посчитать. Для задания 16 этого мало: там его надо сравнивать, а сравнение целиком держится на одном свойстве.
Зафиксируй основание a и меняй аргумент. Получится функция y = logₐ x, определённая при x > 0. Она ведёт себя двумя способами, и от того, каким именно, зависит вся дальнейшая работа:
При a > 1 логарифм возрастает. Больше аргумент — больше логарифм. Значит, при сравнении можно спокойно переходить от логарифмов к аргументам, сохраняя знак: logₐ x > logₐ y ⇔ x > y.
При 0 < a < 1 логарифм убывает. Больше аргумент — меньше логарифм. При переходе к аргументам знак меняется на противоположный: logₐ x > logₐ y ⇔ x < y.
Оба перехода верны только вместе с условием x > 0, y > 0 — область допустимых значений (ОДЗ) никуда не девается и после перехода. Забыть о ней — потерять баллы там, где всё остальное решено верно.
Обе кривые пересекаются в точке (1; 0) — это видно на графике ниже. Так и должно быть: logₐ 1 = 0 при любом допустимом основании, ведь a⁰ = 1.
Из картинки читается и правило знака, которое экономит время в задании 8. Логарифм положителен, когда основание и аргумент лежат по одну сторону от единицы, и отрицателен, когда по разные:
Проверь на себе: log_(0,5) 3 — основание меньше единицы, аргумент больше, стороны разные, значит число отрицательное. А log_(0,5) 0,25 = 2 — обе величины меньше единицы, сторона одна, число положительное.
Тут же и приём оценки, когда точное значение не берётся. log₂ 10 — некрасивое число, но зажать его между целыми легко: 2³ = 8 < 10 < 16 = 2⁴, основание больше единицы, логарифм возрастает — значит 3 < log₂ 10 < 4. Так же оценивается любой логарифм: ищешь ближайшие степени основания и зажимаешь аргумент между ними.
Само решение логарифмических неравенств — соседняя тема, и там будет свой алгоритм. Отсюда ты должен унести два вопроса, с которых это решение начинается: с какой стороны от единицы основание и что требует ОДЗ.
Разбор: считаем значение выражения
Разбор: сравниваем логарифмы без калькулятора
Как вычислить значение логарифмического выражения?
- 1Оцени, что мешает. Мешать может ровно три вещи: разные основания, сумма или разность логарифмов вместо одного, логарифм в показателе степени. Каждая лечится своим приёмом — определи, что именно перед тобой, до того как начнёшь писать.
- 2Приведи основания к одному. Чаще всего все числа в задании — степени одного и того же основания (двойки, тройки, пятёрки). Тогда работает logₐ b = log_c b / log_c a с удобным c, либо частный случай logaᵏ b = (1/k) logₐ b.
- 3Сверни сумму и разность в один логарифм. Сумма даёт произведение аргументов, разность — частное. Множитель перед логарифмом заноси внутрь как степень аргумента. После свёртки некрасивые числа обычно сокращаются — в этом и был замысел составителя.
- 4Логарифм в показателе — разбей степень. a^(k + logₐ b) = aᵏ · b. Если основание степени не совпало с основанием логарифма, приведи его: 25^(log₅ 3) = 5^(2 log₅ 3) = 5^(log₅ 9) = 9.
- 5Досчитай по определению, а не по формулам. Когда остался один логарифм, формулы кончились. Спроси прямо: в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент? Дробный или отрицательный ответ здесь — норма, а не сигнал об ошибке.
- 6Проверь ответ подстановкой. Получил log₉ 27 = 1,5 — возведи 9 в степень 1,5 и убедись, что вышло 27. Это десять секунд и полная гарантия от ошибки в знаке или в перевёрнутой дроби.
Проверь себя
Шесть вопросов ровно по тем местам, где в этой теме теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.
1.Чему равно log₄ 64 + log₄ (1/16)?
Считаем по определению каждое слагаемое. 4³ = 64, поэтому log₄ 64 = 3. Далее 4⁻² = 1/16, поэтому log₄ (1/16) = −2. Сумма: 3 + (−2) = 1. Отрицательное значение логарифма здесь абсолютно нормально: аргумент меньше единицы при основании больше единицы, стороны от единицы разные — значит логарифм отрицателен.
2.Чему равно log₂ 3 + log₂ 5?
Сумма логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм произведения аргументов: log₂ 3 + log₂ 5 = log₂ (3·5) = log₂ 15. Аргументы перемножаются, основание не трогаем. Вариант log₂ 8 получается, если по ошибке сложить аргументы; вариант с произведением логарифмов — самая частая выдумка в этой теме, такого свойства не существует.
3.Найди значение выражения 3^(2 + log₃ 4).
В показателе сумма, поэтому разбиваем степень на множители: 3^(2 + log₃ 4) = 3² · 3^(log₃ 4). Основания степени и логарифма совпали, значит по основному логарифмическому тождеству 3^(log₃ 4) = 4. Итого 9 · 4 = 36.
4.Какое из этих чисел отрицательно?
Логарифм отрицателен ровно тогда, когда основание и аргумент лежат по разные стороны от единицы. У log₀,₅ 3 основание 0,5 меньше единицы, а аргумент 3 больше — стороны разные, число отрицательное. У log₀,₅ 0,25 обе величины меньше единицы, сторона одна: log₀,₅ 0,25 = 2, оно положительное. log₃ 9 = 2, а log₂ 5 лежит между 2 и 3 — оба положительны.
5.Известно, что log₀,₃ x > log₀,₃ 7. Что верно про x?
Основание 0,3 меньше единицы, значит логарифм убывает: большему значению логарифма отвечает меньший аргумент. При переходе к аргументам знак неравенства меняется, получаем x < 7. Плюс ОДЗ: аргумент логарифма строго положителен, то есть x > 0. Итоговый ответ — 0 < x < 7. Если бы основание было больше единицы, вышло бы x > 7.
6.Чему равно log₉ 27?
И 9, и 27 — степени тройки: 9 = 3², 27 = 3³. Переходим к основанию 3: log₉ 27 = log₃ 27 / log₃ 9 = 3/2 = 1,5. Проверка подстановкой: 9^1,5 = (√9)³ = 3³ = 27. Сошлось. Дробный ответ у логарифма — обычное дело, ждать целого числа не нужно.
Какие ошибки делают в задачах на логарифмы?
Превращают логарифм произведения в произведение логарифмов. Верно только logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y — сумма, не произведение. Числа не дадут соврать: log₂(4 · 8) = log₂ 32 = 5, а log₂ 4 · log₂ 8 = 6. Сомневаешься в свойстве — подставь степени двойки и проверь за десять секунд.
Раскладывают логарифм суммы. Для logₐ(x+y) формулы не существует вообще. log₂(4+4) = 3, а log₂ 4 + log₂ 4 = 4. Сумму в аргументе сначала сворачивают в произведение обычной алгеброй, и только потом применяют свойства.
Путают частное логарифмов с логарифмом частного. Логарифм частного даёт разность: log₂(8/4) = log₂ 2 = 1. А дробь из двух логарифмов — это переход к новому основанию: log₂ 8 / log₂ 4 = log₄ 8 = 1,5. Разные операции, разные ответы.
Применяют свойства без условий. logₐ x² = 2 logₐ x верно только при x > 0: при x = −3 слева стоит существующий logₐ 9, справа — несуществующий 2 logₐ(-3). Без оговорок верна запись logₐ x² = 2 logₐ|x|. В задании 16 это ровно та деталь, на которой строят ловушку.
Не меняют знак при основании меньше единицы. При 0 < a < 1 логарифм убывает, и переход от логарифмов к аргументам разворачивает неравенство. Проверить направление можно на пальцах: log_(0,5) 4 = -2, а log_(0,5) 8 = -3 — аргумент вырос, логарифм упал.
Меняют местами основание и аргумент. log₂ 8 = 3, но log₈ 2 = 1/3 — это взаимно обратные числа, а не одно и то же. Их произведение равно единице, и этим удобно себя проверять: logₐ b · log_b a = 1.
Считают, что логарифм обязан быть положительным. Строго положителен только аргумент. Само значение бывает любым: log₃ 1/9 = -2, log₅ 1 = 0, log₉ 27 = 1,5. Отрицательный или дробный ответ в задании 8 — не повод пересчитывать всё заново.
Запомни для ЕГЭ
На экзамене
- Логарифмических формул в справочных материалах нет. На профильной математике выдают всего четыре формулы, и все четыре тригонометрические: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Определение логарифма, свойства и переход к новому основанию — только наизусть.
- Это меняет тактику подготовки: список из блока «Запомни» должен воспроизводиться на черновике за минуту, без единой заминки.
- Задание 8 стоит 1 балл — закладывай на него около трёх минут. Числа там всегда «хорошие»: степени двойки, тройки и пятёрки, логарифмы с целым или коротким дробным ответом. Если в вычислениях полезло что-то, что без калькулятора не берётся, — это не сложное задание, а твоя ошибка в преобразованиях. Вернись на шаг назад и ищи, что должно было сократиться.
- Проверка подстановкой занимает секунды и ловит почти любую ошибку этой темы. Получил число c в ответе на logₐ b — возведи a в степень c и сверься с b. Не сошлось — скорее всего, перевёрнута дробь или потерян минус.
- Ответ части 1 записывается как целое число или конечная десятичная дробь, и десятичный разделитель — запятая. Получил 3/2 — пиши в бланк 1,5.
- В задании 16 логарифм — частый гость, и первые два вопроса там всегда одни и те же: с какой стороны от единицы основание и что требует ОДЗ. Сам разбор неравенств идёт в отдельной теме, но если в решении вообще нет ОДЗ и анализа знака основания — по критериям это ноль.
Словарь темы
- Логарифм
- Показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент: log_a b = c означает ровно то же, что a^c = b. Существует при a > 0, a ≠ 1, b > 0.
- Основание логарифма
- Число a в записи log_a b — то, которое возводят в степень. Строго положительно и не равно единице. Именно от того, больше оно единицы или меньше, зависит направление неравенства при сравнении логарифмов.
- Аргумент логарифма
- Число b в записи log_a b, его же называют подлогарифмическим выражением. Всегда строго положительно — это и есть ОДЗ любого выражения с логарифмом.
- ОДЗ
- Область допустимых значений — множество значений переменной, при которых все выражения в записи имеют смысл. Для логарифма это одновременно основание больше нуля и не равно единице, аргумент больше нуля.
- Основное логарифмическое тождество
- Равенство a^(log_a b) = b. Не новое свойство, а определение логарифма, записанное одной строкой: степень и логарифм по одному основанию гасят друг друга.
- Десятичный логарифм
- Логарифм по основанию 10, для которого завели короткую запись: lg b = log₁₀ b. Отдельных правил не имеет, все свойства логарифма работают для него как обычно.
- Натуральный логарифм
- Логарифм по основанию e ≈ 2,718, записывается ln b = log_e b. Как и десятичный, подчиняется всем общим свойствам логарифма.
- Переход к новому основанию
- Приём, позволяющий переписать log_a b через логарифмы по любому другому допустимому основанию c: log_a b = log_c b / log_c a. Нужен, когда в выражении встретились логарифмы с разными основаниями.
- Потенцирование
- Действие, обратное логарифмированию: переход от равенства логарифмов к равенству самих аргументов. Законно только при выполнении ОДЗ — иначе появляются посторонние корни.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram
Источники и проверка
4 документа
- Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
- ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено ): 1.6 «Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы». В проекте КИМ 2027 вычисление значения выражения — задание 8, неравенство с развёрнутым решением — задание 16.
Что сверено по документам
- Тема соответствует коду 1.6 кодификатора ФИПИ по профильной математике («Логарифм числа») и проверяется в заданиях 8 и 16; задание 8 — базовый уровень, 1 балл.
- Определение: log_a b = c равносильно a^c = b при a > 0, a ≠ 1, b > 0.
- Основное логарифмическое тождество a^(log_a b) = b и обратное log_a(a^c) = c.
- Свойства при a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0: log_a(xy) = log_a x + log_a y; log_a(x/y) = log_a x − log_a y; log_a x^p = p·log_a x; log_(a^k) b = (1/k)·log_a b при k ≠ 0.
- log_a x² = 2·log_a x верно только при x > 0; в общем случае log_a x² = 2·log_a |x|.
- log_a(xy) ≠ log_a x · log_a y и log_a(x + y) не раскладывается ни в какую комбинацию log_a x и log_a y.
- Переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a при c > 0, c ≠ 1. Следствия: log_a b · log_b a = 1 (при b ≠ 1) и log_a x / log_a y = log_y x.
- Функция y = log_a x возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; при переходе от сравнения логарифмов к сравнению аргументов знак неравенства во втором случае меняется. График при любом допустимом основании проходит через точку (1; 0).
- Логарифм положителен, когда основание и аргумент лежат по одну сторону от единицы, и отрицателен, когда по разные.
- Логарифм оценивается целыми числами через ближайшие степени основания: 3 < log₂ 10 < 4 и 1 < log₃ 5 < 2.
- Задания вида «Найдите значение выражения» с логарифмами — это задание 8 (базовый уровень, 1 балл), числа в них подобраны под счёт без калькулятора.
- Калькулятор на профильной математике запрещён, а в справочных материалах выдают только четыре тригонометрические формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β). Логарифмических формул среди них нет.
- Ответ части 1 записывается как целое число или конечная десятичная дробь, десятичный разделитель — запятая.
- В задании 16 логарифмические неравенства встречаются часто, и решение начинается с ОДЗ и сравнения основания с единицей.
- Обозначения lg b = log₁₀ b и ln b = log_e b, где e ≈ 2,718.
Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено . Как мы готовим материалы.
Закрепи на тренажёре
Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.
