Логарифм числа

Задание 7 КИМ (1 балл); также в 15 Макс. 1 балл ~3 минуты

Логарифм отвечает на один вопрос: в какую степень возвести основание, чтобы получить число. Из этого определения выводятся все свойства темы — их не нужно зубрить, нужно уметь получить. На ЕГЭ логарифм проверяют в задании 7 за 1 балл, а в задании 15 без понимания его монотонности не обойтись.

Логарифм — это показатель степени

Всё, что здесь будет дальше, вырастает из одной строчки. Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую надо возвести $a$ , чтобы получить $b$ .

\log_a b = c \iff a^c = b

Читать это надо в обе стороны. Слева направо — «чему равен логарифм». Справа налево — «а как проверить». Именно вторая сторона и есть рабочий приём: увидел $\log_5 125$ — спроси себя, в какую степень возвести 5, чтобы вышло 125. В третью. Значит, $\log_5 125 = 3$ . Никаких формул для этого не нужно.

Но запись $\log_a b$ имеет смысл не при любых числах. Условия такие:

a > 0, \quad a \neq 1, \quad b > 0

Это не формальность из учебника — каждое условие объясняется за одну фразу.

Основание положительно $a > 0$ , потому что иначе степень $a^c$ перестаёт существовать для многих показателей: $(-4)^{1/2}$ — это корень из отрицательного числа.

Основание не равно единице $a \neq 1$ , потому что единица в любой степени даёт единицу: уравнение $1^c = 7$ не имеет решений вообще, а $1^c = 1$ — бесконечно много, и в обоих случаях никакого одного числа $c$ не получится.

Аргумент положителен $b > 0$ , потому что положительное число в любой степени остаётся положительным — значит, $a^c$ никогда не даст ни нуля, ни отрицательного числа.

Из определения сразу выпадают два значения, которые надо узнавать мгновенно:

\log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1

Первое — потому что $a^0 = 1$ при любом допустимом основании. Второе — потому что $a^1 = a$ .

И ещё одно: логарифм спокойно бывает отрицательным. Например, $\log_4 \tfrac{1}{16} = -2$ , потому что $4^{-2} = \tfrac{1}{16}$ . Отрицательным должен быть не аргумент — аргумент всегда строго больше нуля, — а само значение логарифма. Эти две вещи путают чаще всего, и стоит это ровно один балл в задании 7.

Об обозначениях. Два основания встречаются так часто, что для них завели короткую запись: $\lg b = \log_{10} b$ — десятичный логарифм, $\ln b = \log_e b$ — натуральный, по основанию $e \approx 2{,}718$ (особое иррациональное число, как $\pi$ ).

И десятичный, и натуральный логарифм — не отдельные объекты со своими правилами: все свойства ниже работают для них ровно так же.

Ступени повторного умножения увеличивают блок, а обратные стрелки возвращают к числу шагов — Логарифм отвечает на обратный к возведению в степень вопрос: сколько одинаковых шагов умножения было выполнено.

Основное логарифмическое тождество

Возьми определение $\log_a b = c \iff a^c = b$ и подставь $c$ прямо в правое равенство. Получится тождество, без которого не решается заметная часть задания 7:

a^{\log_a b} = b, \qquad a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0

Никакого нового содержания в нём нет — это то же определение, записанное одной строкой. Смысл простой: возведение в степень и логарифм по одному основанию гасят друг друга. Работает это и в другом порядке:

\log_a a^{\,c} = c

Проверь на числах: $2^{\log_2 7} = 7$ , $\log_3 3^5 = 5$ .

В задании 7 это тождество почти никогда не стоит в чистом виде. Обычно в показателе к логарифму что-то приписано, и первый ход — разбить степень. Смотри:

3^{\,2 + \log_3 4} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 4} = 9 \cdot 4 = 36

Тот же приём с множителем в показателе. Множитель заносим внутрь логарифма как степень аргумента — и тождество снова срабатывает:

25^{\log_5 3} = \left(5^2\right)^{\log_5 3} = 5^{\,2\log_5 3} = \left(5^{\log_5 3}\right)^2 = 3^2 = 9

Каждый шаг этой цепочки опирается только на то, что уже разобрано, — новых свойств логарифма здесь не понадобилось. Сначала замечаем, что $25 = 5^2$ , и приводим основание степени к той же пятёрке, что и у логарифма. Дальше работают обычные правила действий со степенями, а в самой сердцевине снова срабатывает основное тождество: $5^{\log_5 3} = 3$ .

Оба приёма стоит довести до автоматизма: увидел логарифм в показателе степени — ищи, как привести основание степени и основание логарифма к одному и тому же числу.

Свойства: что можно и чего нельзя

Дальше идут четыре свойства. Все они верны при $a > 0,\ a \neq 1$ и строго положительных аргументах $x > 0,\ y > 0$ . Условия — не приписка мелким шрифтом: без них свойства становятся неверными, и именно на этом строят задание 15.

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y

\log_a x^{\,p} = p \log_a x

\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k} \log_a b, \qquad k \neq 0

Первое свойство полезно уметь получить самому — тогда его точно не переврёшь. Обозначь $m = \log_a x$ и $n = \log_a y$ . По определению это значит $a^m = x$ и $a^n = y$ . Перемножь: $xy = a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . А это по определению и означает $\log_a(xy) = m + n$ . Всё свойство — это правило умножения степеней, переписанное наоборот.

Отсюда же видно, почему нужны условия $x > 0$ и $y > 0$ : справа стоят $\log_a x$ и $\log_a y$ , а они существуют только для положительных аргументов. Слева при этом $\log_a(xy)$ может существовать и тогда, когда оба множителя отрицательны: их произведение положительно. То есть равенство работает не всегда, а только в свою сторону.

Тот же подвох в третьем свойстве. Запись $\log_a x^2 = 2\log_a x$ верна только при $x > 0$ . Возьми $x = -3$ : слева $\log_a 9$ — существует; справа $2\log_a(-3)$ — не существует. Честная запись без оговорок выглядит так:

\log_a x^2 = 2 \log_a |x|

А теперь — чего нельзя никогда. Это самая дорогая часть темы, потому что ошибки здесь выглядят убедительно.

Логарифм произведения — это сумма, а не произведение. Записи $\log_a(xy) = \log_a x \cdot \log_a y$ не существует. Проверь на числах: $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 32 = 5$ , а $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$ . Пять и шесть — разные числа.

Логарифм суммы не раскладывается вообще. Для $\log_a(x + y)$ нет никакой формулы — ни через сумму, ни через произведение, никак. $\log_2(4 + 4) = \log_2 8 = 3$ , тогда как $\log_2 4 + \log_2 4 = 4$ . Если в аргументе стоит сумма — её сначала сворачивают в произведение обычной алгеброй, и только потом логарифмируют.

Частное логарифмов — не логарифм частного. Частное аргументов даёт разность логарифмов, а вот дробь $\log_a x / \log_a y$ — это совсем другой зверь, и он тоже полезен: о нём в следующем блоке.

Переход к новому основанию

Свойства из прошлого блока работают, пока основание у всех логарифмов одно. Как только оснований стало два — нужен переход. Формула такая:

\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}, \qquad c > 0,\ c \neq 1

Новое основание $c$ ты выбираешь сам — любое допустимое. На практике берут то, к которому легко приводятся все числа в задаче.

Возьми основное тождество $a^{\log_a b} = b$ и прологарифмируй обе части по основанию $c$ . Слева показатель выносится вперёд по третьему свойству, и выходит $\log_a b \cdot \log_c a = \log_c b$ . Осталось поделить.

В этой промежуточной строчке уже спрятано главное следствие. Подставь $c = b$ : слева получится $\log_a b \cdot \log_b a$ , справа $\log_b b = 1$ . То есть:

\log_a b \cdot \log_b a = 1, \qquad \log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}

Здесь нужно и $b \neq 1$ — иначе $\log_b a$ не существует. Проверь на числах: $\log_2 8 = 3$ и $\log_8 2 = \tfrac13$ , их произведение равно 1. Заодно это отвечает на вопрос, который многие задают себе на экзамене: $\log_a b$ и $\log_b a$ — разные числа, а не одно и то же. Перепутать местами основание и аргумент — значит получить обратное число вместо исходного.

И обещанное про дробь. Если поделить два логарифма с одинаковым основанием, то по той же формуле перехода (прочитанной справа налево) получится:

\dfrac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y x

Основание нижнего логарифма всплывает наверх и становится основанием результата. Числа: $\log_2 8 / \log_2 4 = 3/2 = 1{,}5$ , и правда $\log_4 8 = 1{,}5$ , ведь $4^{1{,}5} = 8$ . Сравни с разностью: $\log_2 8 - \log_2 4 = \log_2 2 = 1$ . Разность и частное дают разные ответы — путать их нельзя.

Четвёртое свойство из прошлого блока, $\log_{a^k} b = \tfrac1k \log_a b$ , — тоже частный случай перехода. Считаем $\log_9 27$ : и 9, и 27 — степени тройки, поэтому берём $c = 3$ и получаем $\log_3 27 / \log_3 9 = 3/2 = 1{,}5$ . Проверка обязательна и занимает секунду: $9^{1{,}5} = (\sqrt{9})^3 = 27$ . Сошлось.

Монотонность и знак: мост к заданию 15

До сих пор логарифм был числом, которое надо посчитать. Для задания 15 этого мало: там его надо сравнивать, а сравнение целиком держится на одном свойстве.

Зафиксируй основание $a$ и меняй аргумент. Получится функция $y = \log_a x$ , определённая при $x > 0$ . Она ведёт себя двумя способами, и от того, каким именно, зависит вся дальнейшая работа:

При $a > 1$ логарифм возрастает. Больше аргумент — больше логарифм. Значит, при сравнении можно спокойно переходить от логарифмов к аргументам, сохраняя знак: $\log_a x > \log_a y \iff x > y$ .

При $0 < a < 1$ логарифм убывает. Больше аргумент — меньше логарифм. При переходе к аргументам знак меняется на противоположный: $\log_a x > \log_a y \iff x < y$ .

Оба перехода верны только вместе с условием $x > 0,\ y > 0$ — область допустимых значений (ОДЗ) никуда не девается и после перехода. Забыть о ней — потерять баллы там, где всё остальное решено верно.

Обе кривые пересекаются в точке $(1;\,0)$ — это видно на графике ниже. Так и должно быть: $\log_a 1 = 0$ при любом допустимом основании, ведь $a^0 = 1$ .

Из картинки читается и правило знака, которое экономит время в задании 7. Логарифм положителен, когда основание и аргумент лежат по одну сторону от единицы, и отрицателен, когда по разные:

\log_a b > 0 \iff \begin{cases} a > 1,\ b > 1 \\ \text{или} \\ 0 < a < 1,\ 0 < b < 1 \end{cases}

Проверь на себе: $\log_{0{,}5} 3$ — основание меньше единицы, аргумент больше, стороны разные, значит число отрицательное. А $\log_{0{,}5} 0{,}25 = 2$ — обе величины меньше единицы, сторона одна, число положительное.

Тут же и приём оценки, когда точное значение не берётся. $\log_2 10$ — некрасивое число, но зажать его между целыми легко: $2^3 = 8 < 10 < 16 = 2^4$ , основание больше единицы, логарифм возрастает — значит $3 < \log_2 10 < 4$ . Так же оценивается любой логарифм: ищешь ближайшие степени основания и зажимаешь аргумент между ними.

Само решение логарифмических неравенств — соседняя тема, и там будет свой алгоритм. Отсюда ты должен унести два вопроса, с которых это решение начинается: с какой стороны от единицы основание и что требует ОДЗ.

Логарифм с любым основанием обращается в ноль при аргументе 1: при a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает

Разбор: считаем значение выражения

Пример

Найди значение выражения log₃ 45 − log₃ 5 + 3^(1 + log₃ 2).

Выражение распадается на два независимых куска: разность логарифмов и степень с логарифмом в показателе. Считаем по отдельности, потом складываем.Разность логарифмов. Основания одинаковые — сворачиваем в логарифм частного:

\log_3 45 - \log_3 5 = \log_3 \dfrac{45}{5} = \log_3 9 = 2

Последний шаг — по определению: в какую степень возвести 3, чтобы вышло 9? Во вторую.Степень. В показателе стоит сумма, поэтому первым делом разбиваем степень на множители:

3^{\,1 + \log_3 2} = 3^1 \cdot 3^{\log_3 2}

Теперь основное логарифмическое тождество срабатывает в чистом виде: основание степени и основание логарифма совпали, значит

3^{\log_3 2} = 2

3^1 \cdot 3^{\log_3 2} = 3 \cdot 2 = 6

Складываем:

2 + 6 = 8

Обрати внимание, чего мы не делали: не пытались считать log₃ 45 и log₃ 5 по отдельности. Это некрасивые числа, и калькулятора на экзамене нет. Смысл задания 7 в том, что всё некрасивое обязано сократиться — если не сокращается, ищи ошибку в преобразованиях, а не хватайся за приближённые значения.Ответ: 8.

Разбор: сравниваем логарифмы без калькулятора

Пример

Расположи в порядке возрастания числа log₀,₄ 3, log₃ 0,4 и log₃ 5.

Точные значения тут не считаются, да они и не нужны. Работаем знаком и монотонностью.Шаг 1. Определяем знак каждого числа по правилу «стороны от единицы».

\log_3 5

: основание 3 > 1 и аргумент 5 > 1 — одна сторона, число положительное. Уточним:

3^1 = 3 < 5 < 9 = 3^2

, основание больше единицы, логарифм возрастает, значит

1 < \log_3 5 < 2

\log_3 0{,}4

: основание больше единицы, аргумент меньше — стороны разные, число отрицательное.

\log_{0{,}4} 3

: основание меньше единицы, аргумент больше — стороны разные, число тоже отрицательное.Значит, log₃ 5 больше двух остальных. Осталось сравнить два отрицательных числа между собой.Шаг 2. Сравниваем каждое отрицательное число с −1. Это стандартный приём: подбираем «эталон», который сам записывается логарифмом с нужным основанием.Для

\log_3 0{,}4

эталон такой:

-1 = \log_3 3^{-1} = \log_3 \tfrac13

. Основание 3 > 1, логарифм возрастает — сравниваем аргументы с сохранением знака. Так как

0{,}4 > \tfrac13

, получаем

\log_3 0{,}4 > -1

.Для

\log_{0{,}4} 3

эталон свой:

-1 = \log_{0{,}4} 0{,}4^{-1} = \log_{0{,}4} 2{,}5

. Основание 0,4 < 1, логарифм убывает — при сравнении аргументов знак меняется. Так как

3 > 2{,}5

, получаем

\log_{0{,}4} 3 < -1

.Шаг 3. Собираем цепочку. Одно число меньше −1, второе больше −1, третье больше 1:

\log_{0{,}4} 3 < -1 < \log_3 0{,}4 < 0 < 1 < \log_3 5

Сравни два средних шага между собой — в них вся тема. Аргументы сравнивались одинаково, а знак в ответе развернулся, и только потому, что во втором случае основание оказалось меньше единицы.Ответ: log₀,₄ 3 < log₃ 0,4 < log₃ 5.

Как считать логарифмическое выражение

1Оцени, что мешает. Мешать может ровно три вещи: разные основания, сумма или разность логарифмов вместо одного, логарифм в показателе степени. Каждая лечится своим приёмом — определи, что именно перед тобой, до того как начнёшь писать.

2Приведи основания к одному. Чаще всего все числа в задании — степени одного и того же основания (двойки, тройки, пятёрки). Тогда работает

\log_a b = \log_c b / \log_c a

с удобным

c

, либо частный случай

\log_{a^k} b = \tfrac1k \log_a b

3Сверни сумму и разность в один логарифм. Сумма даёт произведение аргументов, разность — частное. Множитель перед логарифмом заноси внутрь как степень аргумента. После свёртки некрасивые числа обычно сокращаются — в этом и был замысел составителя.

4Логарифм в показателе — разбей степень.

a^{k + \log_a b} = a^k \cdot b

. Если основание степени не совпало с основанием логарифма, приведи его:

25^{\log_5 3} = 5^{2\log_5 3} = 5^{\log_5 9} = 9

5Досчитай по определению, а не по формулам. Когда остался один логарифм, формулы кончились. Спроси прямо: в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент? Дробный или отрицательный ответ здесь — норма, а не сигнал об ошибке.

6Проверь ответ подстановкой. Получил

\log_9 27 = 1{,}5

— возведи 9 в степень 1,5 и убедись, что вышло 27. Это десять секунд и полная гарантия от ошибки в знаке или в перевёрнутой дроби.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где в этой теме теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Чему равно log₄ 64 + log₄ (1/16)?

Считаем по определению каждое слагаемое. 4³ = 64, поэтому log₄ 64 = 3. Далее 4⁻² = 1/16, поэтому log₄ (1/16) = −2. Сумма: 3 + (−2) = 1. Отрицательное значение логарифма здесь абсолютно нормально: аргумент меньше единицы при основании больше единицы, стороны от единицы разные — значит логарифм отрицателен.

2.Чему равно log₂ 3 + log₂ 5?

Сумма логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм произведения аргументов: log₂ 3 + log₂ 5 = log₂ (3·5) = log₂ 15. Аргументы перемножаются, основание не трогаем. Вариант log₂ 8 получается, если по ошибке сложить аргументы; вариант с произведением логарифмов — самая частая выдумка в этой теме, такого свойства не существует.

3.Найди значение выражения 3^(2 + log₃ 4).

В показателе сумма, поэтому разбиваем степень на множители: 3^(2 + log₃ 4) = 3² · 3^(log₃ 4). Основания степени и логарифма совпали, значит по основному логарифмическому тождеству 3^(log₃ 4) = 4. Итого 9 · 4 = 36.

4.Какое из этих чисел отрицательно?

Логарифм отрицателен ровно тогда, когда основание и аргумент лежат по разные стороны от единицы. У log₀,₅ 3 основание 0,5 меньше единицы, а аргумент 3 больше — стороны разные, число отрицательное. У log₀,₅ 0,25 обе величины меньше единицы, сторона одна: log₀,₅ 0,25 = 2, оно положительное. log₃ 9 = 2, а log₂ 5 лежит между 2 и 3 — оба положительны.

5.Известно, что log₀,₃ x > log₀,₃ 7. Что верно про x?

Основание 0,3 меньше единицы, значит логарифм убывает: большему значению логарифма отвечает меньший аргумент. При переходе к аргументам знак неравенства меняется, получаем x < 7. Плюс ОДЗ: аргумент логарифма строго положителен, то есть x > 0. Итоговый ответ — 0 < x < 7. Если бы основание было больше единицы, вышло бы x > 7.

6.Чему равно log₉ 27?

И 9, и 27 — степени тройки: 9 = 3², 27 = 3³. Переходим к основанию 3: log₉ 27 = log₃ 27 / log₃ 9 = 3/2 = 1,5. Проверка подстановкой: 9^1,5 = (√9)³ = 3³ = 27. Сошлось. Дробный ответ у логарифма — обычное дело, ждать целого числа не нужно.

Где теряют балл

Ошибка 1

Превращают логарифм произведения в произведение логарифмов. Верно только $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ — сумма, не произведение. Числа не дадут соврать: $\log_2(4\cdot8) = \log_2 32 = 5$ , а $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 6$ . Сомневаешься в свойстве — подставь степени двойки и проверь за десять секунд.

Ошибка 2

Раскладывают логарифм суммы. Для $\log_a(x+y)$ формулы не существует вообще. $\log_2(4+4) = 3$ , а $\log_2 4 + \log_2 4 = 4$ . Сумму в аргументе сначала сворачивают в произведение обычной алгеброй, и только потом применяют свойства.

Ошибка 3

Путают частное логарифмов с логарифмом частного. Логарифм частного даёт разность: $\log_2(8/4) = \log_2 2 = 1$ . А дробь из двух логарифмов — это переход к новому основанию: $\log_2 8 / \log_2 4 = \log_4 8 = 1{,}5$ . Разные операции, разные ответы.

Ошибка 4

Применяют свойства без условий. $\log_a x^2 = 2\log_a x$ верно только при $x > 0$ : при $x = -3$ слева стоит существующий $\log_a 9$ , справа — несуществующий $2\log_a(-3)$ . Без оговорок верна запись $\log_a x^2 = 2\log_a|x|$ . В задании 15 это ровно та деталь, на которой строят ловушку.

Ошибка 5

Не меняют знак при основании меньше единицы. При $0 < a < 1$ логарифм убывает, и переход от логарифмов к аргументам разворачивает неравенство. Проверить направление можно на пальцах: $\log_{0{,}5} 4 = -2$ , а $\log_{0{,}5} 8 = -3$ — аргумент вырос, логарифм упал.

Ошибка 6

Меняют местами основание и аргумент. $\log_2 8 = 3$ , но $\log_8 2 = \tfrac13$ — это взаимно обратные числа, а не одно и то же. Их произведение равно единице, и этим удобно себя проверять: $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ .

Ошибка 7

Считают, что логарифм обязан быть положительным. Строго положителен только аргумент. Само значение бывает любым: $\log_3 \tfrac19 = -2$ , $\log_5 1 = 0$ , $\log_9 27 = 1{,}5$ . Отрицательный или дробный ответ в задании 7 — не повод пересчитывать всё заново.

Запомни для ЕГЭ

\log_a b = c \iff a^c = b

a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0

a^{\log_a b} = b, \quad \log_a a^{\,c} = c

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y

\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y

\log_a x^{\,p} = p\log_a x, \quad \log_{a^k} b = \dfrac{1}{k}\log_a b

\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}, \quad \log_a b \cdot \log_b a = 1

8a > 1 — логарифм возрастает, знак при переходе к аргументам сохраняется. 0 < a < 1 — убывает, знак меняется

На экзамене

Логарифмических формул в справочных материалах нет. На профильной математике выдают всего четыре формулы, и все четыре тригонометрические: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Определение логарифма, свойства и переход к новому основанию — только наизусть.
Это меняет тактику подготовки: список из блока «Запомни» должен воспроизводиться на черновике за минуту, без единой заминки.
Задание 7 стоит 1 балл — закладывай на него около трёх минут. Числа там всегда «хорошие»: степени двойки, тройки и пятёрки, логарифмы с целым или коротким дробным ответом. Если в вычислениях полезло что-то, что без калькулятора не берётся, — это не сложное задание, а твоя ошибка в преобразованиях. Вернись на шаг назад и ищи, что должно было сократиться.
Проверка подстановкой занимает секунды и ловит почти любую ошибку этой темы. Получил число $c$ в ответе на $\log_a b$ — возведи $a$ в степень $c$ и сверься с $b$ . Не сошлось — скорее всего, перевёрнута дробь или потерян минус.
Ответ части 1 записывается как целое число или конечная десятичная дробь, и десятичный разделитель — запятая. Получил 3/2 — пиши в бланк 1,5.
В задании 15 логарифм — частый гость, и первые два вопроса там всегда одни и те же: с какой стороны от единицы основание и что требует ОДЗ. Сам разбор неравенств идёт в отдельной теме, но если в решении вообще нет ОДЗ и анализа знака основания — по критериям это ноль.

Словарь темы

ЛогарифмПоказатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент: log_a b = c означает ровно то же, что a^c = b. Существует при a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Основание логарифмаЧисло a в записи log_a b — то, которое возводят в степень. Строго положительно и не равно единице. Именно от того, больше оно единицы или меньше, зависит направление неравенства при сравнении логарифмов.

Аргумент логарифмаЧисло b в записи log_a b, его же называют подлогарифмическим выражением. Всегда строго положительно — это и есть ОДЗ любого выражения с логарифмом.

ОДЗОбласть допустимых значений — множество значений переменной, при которых все выражения в записи имеют смысл. Для логарифма это одновременно основание больше нуля и не равно единице, аргумент больше нуля.

Основное логарифмическое тождествоРавенство a^(log_a b) = b. Не новое свойство, а определение логарифма, записанное одной строкой: степень и логарифм по одному основанию гасят друг друга.

Десятичный логарифмЛогарифм по основанию 10, для которого завели короткую запись: lg b = log₁₀ b. Отдельных правил не имеет, все свойства логарифма работают для него как обычно.

Натуральный логарифмЛогарифм по основанию e ≈ 2,718, записывается ln b = log_e b. Как и десятичный, подчиняется всем общим свойствам логарифма.

Переход к новому основаниюПриём, позволяющий переписать log_a b через логарифмы по любому другому допустимому основанию c: log_a b = log_c b / log_c a. Нужен, когда в выражении встретились логарифмы с разными основаниями.

ПотенцированиеДействие, обратное логарифмированию: переход от равенства логарифмов к равенству самих аргументов. Законно только при выполнении ОДЗ — иначе появляются посторонние корни.

Источники и проверка

17 источников

Тема соответствует коду 1.6 кодификатора ФИПИ по профильной математике («Логарифм числа»), проверяется в заданиях 7 и 15, primaryKim 7, уровень Б, макс. 1 балл.
Определение: log_a b = c равносильно a^c = b при a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Основное логарифмическое тождество a^(log_a b) = b и обратное log_a(a^c) = c.
Свойства при a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0: log_a(xy) = log_a x + log_a y; log_a(x/y) = log_a x − log_a y; log_a x^p = p·log_a x; log_(a^k) b = (1/k)·log_a b при k ≠ 0.
log_a x² = 2·log_a x верно только при x > 0; в общем случае log_a x² = 2·log_a |x|.
log_a(xy) ≠ log_a x · log_a y и log_a(x + y) не раскладывается ни в какую комбинацию log_a x и log_a y.
Переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a при c > 0, c ≠ 1. Следствия: log_a b · log_b a = 1 (при b ≠ 1) и log_a x / log_a y = log_y x.
Функция y = log_a x возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; при переходе от сравнения логарифмов к сравнению аргументов знак неравенства во втором случае меняется. График при любом допустимом основании проходит через точку (1; 0).
Логарифм положителен, когда основание и аргумент лежат по одну сторону от единицы, и отрицателен, когда по разные.
Логарифм оценивается целыми числами через ближайшие степени основания: 3 < log₂ 10 < 4 и 1 < log₃ 5 < 2.
Ответы примеров темы: log₃ 45 − log₃ 5 + 3^(1+log₃ 2) = 8; log₀,₄ 3 < log₃ 0,4 < log₃ 5.
Задания вида «Найдите значение выражения» с логарифмами — это задание 7 (базовый уровень, 1 балл), числа в них подобраны под счёт без калькулятора.
Калькулятор на профильной математике запрещён, а в справочных материалах выдают только четыре тригонометрические формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β). Логарифмических формул среди них нет.
Ответ части 1 записывается как целое число или конечная десятичная дробь, десятичный разделитель — запятая.
В задании 15 логарифмические неравенства встречаются часто, и решение начинается с ОДЗ и сравнения основания с единицей; само решение неравенств относится к другим темам кодификатора.
Обозначения lg b = log₁₀ b и ln b = log_e b, где e ≈ 2,718.
Блок interactive отсутствует: подходящей лаборатории для этой темы нет.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 7

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике