Синус, косинус, тангенс числового аргумента

Q: Как решать задания по теме «Синус, косинус, тангенс числового аргумента»?

Шаги такие: 1) выбрось полные обороты; 2) разложи аргумент на «опора плюс острое»; 3) реши, меняется ли имя функции; 4) поставь знак по четверти; 5) подставь табличное значение; 6) проверь формат ответа.

Q: Что нужно запомнить по теме «Синус, косинус, тангенс числового аргумента»?

Главное: 1) sin² t + cos² t = 1; 2) tg t = (sin t)/(cos t), ctg t = (cos t)/(sin t); 3) 1 + tg² t = 1/(cos² t); 4) sin (t + 2π n) = sin t, tg(t + π n) = tg t. Остальное — в разделе темы выше.

Синус числа t — это ордината точки единичной окружности, в которую точка (1; 0) переходит при повороте на t радиан, а косинус — абсцисса той же точки. На ЕГЭ тема нужна в задании 8 (1 балл), где считают значения, и в задании 14 (2 балла), где по сериям корней отбирают ответы.

Проверь себя: мини-тест Решать задание 8 ЕГЭ

Формулы тригонометрии в одной таблице

Определения и тождества темы: что они дают и когда применимы
Правило	Формула	Когда применять и ограничения
Определение	cos t = x_P, sin t = y_P	Для любого числа t; поэтому \|sin t\| ≤ 1 и \|cos t\| ≤ 1
Радианы	π = 180°, 1° = π/180	Градусы умножают на π/180; sin 2 — синус 2 радиан, а не градусов
Основное тождество	sin² t + cos² t = 1	Только при одинаковом аргументе: (sin 30°)² + (cos 60°)² = 0,5
Тангенс и котангенс	tg t = (sin t)/(cos t), ctg t = (cos t)/(sin t)	Тангенс — при t ≠ π/2 + πn, котангенс — при t ≠ πn
Следствие тождества	1 + tg² t = 1/(cos² t)	Получается делением тождества на cos² t; так же 1 + ctg² t = 1/sin² t
Период	sin(t + 2πn) = sin t, tg(t + πn) = tgt	У синуса и косинуса период 2π, у тангенса — π
Чётность	cos(−t) = cos t, sin(−t) = −sin t	Косинус чётный, синус и тангенс нечётные
Приведение	sin (π/2 - t) = cos t	От π/2 и 3π/2 имя меняется, от π и 2π — нет; знак — исходной функции в четверти аргумента

Здесь синус перестаёт быть про треугольник: аргументом становится любое число, а всю тему держит одна картинка — единичная окружность. Из неё вытекают знаки по четвертям, основное тождество, формулы приведения и серии корней. Это задание 8 за 1 балл и половина работы в задании 14. Формул много, а в справочных материалах профиля их почти нет.

Обновлено 3 октября 2026

Что такое синус и косинус числа на единичной окружности?

Сначала синус и косинус вводят через прямоугольный треугольник, как отношение сторон. У такого определения жёсткий потолок: угол обязан быть острым. Синуса числа 100 в треугольнике не найти — такого треугольника нет.

Поэтому определение переносят на единичную окружность: центр в начале координат, радиус 1. Берём точку (1; 0) и поворачиваем её на t радиан — против часовой стрелки, если t > 0, и по часовой, если t < 0. Точка приезжает куда-то на окружность; назовём её P. Тогда по определению:

в строку: cos t = x_P, sin t = y_P

Косинус — абсцисса, синус — ордината. Это вся тема в одной строке: дальше мы будем только читать эту картинку. Число t тут — не градусы, а радианы. Один радиан — это центральный угол, который опирается на дугу длиной в радиус. Полный оборот равен 2π, половина оборота — π, а значит:

в строку: π = 180°, 1° = π/180 рад

Отсюда рабочие переводы, которые надо знать без вывода: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2. Правило одно: градусы умножаем на π/180.

Запись sin 2 означает синус числа 2, то есть 2 радиан, а не 2 градусов. И это уже полезно: число 2 больше π/2≈1,57, но меньше π≈3,14, значит точка P сидит во второй четверти — выше оси Ox и левее оси Oy. Отсюда сразу: sin 2 > 0, а cos 2 < 0. Ни таблицы, ни калькулятора для этого не понадобилось.

Два следствия из определения, которые экономят время на экзамене. Первое: sin t и cos t существуют для любого числа t — повернуть точку можно на сколько угодно. Второе: точка P не покидает окружность радиуса 1, поэтому её координаты не вылезают за границы от −1 до 1:

в строку: |sin t| ≤ 1, |cos t| ≤ 1

Поэтому у уравнения sin x = 2 корней нет вообще, и писать в ответ arcsin 2 нельзя — такого числа не существует.

Косинус — абсцисса точки P, синус — её ордината. Оба числа не выходят за пределы от −1 до 1.

Единичная окружность с проекциями радиуса и касательной рядом с Мишей — Координаты точки на единичной окружности задают косинус и синус, а касательная связана с тангенсом.

Знаки по четвертям, период, чётность

Три свойства читаются прямо с окружности, и учить их отдельно не нужно — достаточно понимать, что синус это ордината, а косинус это абсцисса.

Знаки. Синус положителен там, где точка выше оси Ox: в I и II четвертях. Косинус положителен там, где точка правее оси Oy: в I и IV. Тангенс — это их отношение, поэтому он положителен там, где знаки совпадают: в I и III четвертях.

Период. Обойди окружность на полный оборот — вернёшься в ту же точку, а значит координаты не изменятся. Отсюда для любого целого n:

в строку: sin (t + 2π n) = sin t, cos (t + 2π n) = cos t

У тангенса период вдвое меньше, и это не опечатка. Точки t и t + π лежат на концах одного диаметра: у них обе координаты меняют знак на противоположный. А в дроби sin t/cos t два минуса сокращаются — отношение остаётся прежним:

в строку: tg(t + π n) = tg t

Разница между 2πn и πn прямо стоит балла в задании 14: с неверным периодом отбор корней даёт лишние или потерянные ответы.

Чётность. Числу −t отвечает точка, симметричная точке t относительно оси Ox. Абсцисса при такой симметрии не меняется, а ордината меняет знак:

в строку: cos (-t) = cos t, sin (-t) = -sin t, tg(-t) = -tg t

Косинус — чётная функция, синус и тангенс — нечётные. Проверь на числах: cos(−π/3) = cos(π/3) = 0,5, а sin(−π/6) = −0,5.

Знак синуса читается по ординате, знак косинуса — по абсциссе, а тангенс положителен там, где их знаки совпадают.

Основное тождество и связь функций

Точка P(cos t; sin t) лежит на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Уравнение этой окружности — x² + y² = 1. Подставь координаты точки — и получишь главную формулу тригонометрии:

в строку: sin² t + cos² t = 1

Это основное тригонометрическое тождество. Запись sin² t означает (sin t)² — квадрат самого числа, а не «синус от t²».

Тождество работает только при одинаковом аргументе. Именно здесь легко потерять балл в задании 8: в бланк просят целое число или конечную десятичную дробь, единица выглядит правдоподобно, и рука пишет её не глядя. Сравни две строчки:

в строку: sin² 30° + cos² 30° = 1/4 + 3/4 = 1

в строку: (sin 30°)² + (cos 60°)² = 1/4 + 1/4 = 0,5

Внешне почти одно и то же, а ответы разные: во второй строке аргументы 30° и 60° различаются, и тождество к ней просто неприменимо — приходится считать в лоб по таблице.

Тангенс и котангенс определяются через синус с косинусом, и у каждого своё ограничение:

в строку: tg t = (sin t)/(cos t) (t ≠ π/2 + π n), ctg t = (cos t)/(sin t) (t ≠ π n)

Тангенс не определён там, где косинус обращается в ноль, то есть в точках π/2 + πn. Ограничений сверху и снизу у тангенса, в отличие от синуса, нет: он принимает любые действительные значения. Там, где определены оба, tgt·ctgt = 1.

Если разделить основное тождество на cos² t, а потом на sin² t, получатся ещё две формулы — выводить их за 10 секунд надёжнее, чем зубрить:

в строку: 1 + tg² t = 1/(cos² t), 1 + ctg² t = 1/(sin² t)

Главный рабочий приём темы: по одной функции и четверти находим все остальные. Пусть cos t = −0,6, причём t∈(π; 3π/2). Из тождества sin² t = 1 - 0,36 = 0,64, откуда sin t = ±0,8. Тождество даёт два варианта, и выбрать между ними может только четверть: t в третьей, синус там отрицателен, значит sin t = −0,8. Дальше tgt = (−0,8)/(−0,6) = 4/3. Без указания четверти задача имела бы два ответа — поэтому её в условии всегда дают.

Какие значения синуса, косинуса и тангенса нужно знать наизусть?

Калькулятор на экзамене запрещён, а в справочных материалах профиля таблицы значений нет. Значит, эти числа нужно знать наизусть — без них тригонометрическое задание 8 не решить.

в строку: градусы 0° 30° 45° 60° 90°; t 0 π/6 π/4 π/3 π/2; sin t 0 1/2 √2/2 √3/2 1; cos t 1 √3/2 √2/2 1/2 0; tg t 0 √3/3 1 √3 -

Прочерк в последней клетке не для красоты: tg(π/2) не существует, потому что cos(π/2) = 0, а на ноль не делят.

Таблицу удобно не заучивать построчно, а держать в голове три опоры. Первая: строка синуса растёт от 0 до 1, строка косинуса — та же самая, но задом наперёд. Вторая: в середине, при 45°, синус и косинус равны, потому что точка сидит ровно на биссектрисе первой четверти. Третья: тангенс — это частное строк, и его значения проверяются делением. Например, tg(π/6) = (1/2)/(√3/2) = 1/(√3) = √3/3.

Ноль и π/2 надёжнее не запоминать, а читать с окружности: числу 0 отвечает точка (1; 0) — значит косинус 1, синус 0. Числу π/2 отвечает верхняя точка (0; 1) — косинус 0, синус 1. Тем же способом достаются π и 3π/2: cos π = −1, sin π = 0, cos(3π/2) = 0, sin(3π/2) = −1.

Как пользоваться формулами приведения?

В таблице всего пять столбцов, а в заданиях встречаются 7π/6, 135° и 5π/4. Мост между ними — формулы приведения. Заучивать их десятками бессмысленно: работает одно правило из двух шагов.

Шаг 1. Меняется ли имя функции? Смотри, от чего отсчитываем аргумент. От π/2 или 3π/2 — функция меняется на «соседнюю»: синус на косинус, тангенс на котангенс, и наоборот. От π или 2π — имя остаётся прежним. Мнемоника: π и 2π лежат на горизонтальной оси — по горизонтали не меняем; π/2 и 3π/2 — на вертикальной, по вертикали меняем.

Шаг 2. Какой знак? Считай t «острым» — то есть числом из интервала (0; π/2), как острый угол в треугольнике, — найди четверть, в которую попал весь аргумент, и поставь знак исходной функции в этой четверти. Ключевое слово — исходной: той, что стоит слева, до всяких замен.

Разберём на трёх примерах. cos(π/2 + t): отсчитываем от π/2, значит имя меняем на синус; при остром t точка π/2 + t лежит во второй четверти, где косинус отрицателен, — ставим минус.

в строку: cos (π/2 + t) = -sin t

sin(π − t): отсчитываем от π — имя не трогаем; точка во второй четверти, синус там положителен. tg(π + t): имя не меняем, точка в третьей четверти, тангенс там положителен.

в строку: sin (π - t) = sin t, tg(π + t) = tg t

Отдельно выучи пару, которая постоянно встречается в задании 8:

в строку: sin (π/2 - t) = cos t, cos (π/2 - t) = sin t

Именно она объясняет, почему sin² 75° + sin² 15° = 1. Основное тождество тут сразу не применить — аргументы-то разные. Но 75° = 90° - 15°, поэтому sin 75° = cos 15°, и выражение превращается в cos² 15° + sin² 15° — вот теперь аргумент общий и ответ равен 1. Сравни с (sin 30°)² + (cos 60°)² = 0,5: там сумма в единицу не сворачивается, хотя выглядит похоже. Разница ровно одна — можно ли честно привести аргументы к общему.

Если аргумент больше полного оборота, сначала выбрось обороты. cos(13π/6) = cos(13π/6 − 2π) = cos(π/6) = √3/2.

И трезвая правда про экзамен: формул приведения в справочных материалах профиля нет. Там всего четыре формулы — синус и косинус двойного угла и синус с косинусом суммы. Всё остальное, включая приведение, знаки и таблицу, ты достаёшь из головы. Как раз поэтому правило из двух шагов ценнее списка из шестнадцати формул: список забывается, правило восстанавливается по окружности.

Что такое арксинус, арккосинус и арктангенс?

Обратный вопрос: известно значение синуса — чему равно само число? На окружности таких чисел бесконечно много, поэтому договорились выбирать одно, «главное», и для каждой функции свой участок.

Арксинус arcsin a — это число из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Арккосинус arccos a — число из отрезка [0; π] с косинусом a. Оба существуют только при |a|≤1. Арктангенс arctga — число из интервала (−π/2; π/2) с тангенсом a, и он определён при любом a.

Из-за разных участков отрицательный аргумент обрабатывается по-разному:

в строку: arcsin (-a) = -arcsin a, arctg(-a) = -arctg a, arccos (-a) = π - arccos a

Арккосинус выбивается не по прихоти: его отрезок [0; π] не симметричен относительно нуля, отрицательных чисел там нет вовсе. Поэтому arccos(−1/2) = π − π/3 = 2π/3, а вовсе не −π/3: число −π/3 лежит вне отрезка и арккосинусом быть не может.

Теперь серии корней — то, ради чего вся тема выходит в задание 14:

в строку: sin x = a ⇒ x = (-1)ⁿ arcsin a + π n, n ∈ ℤ

в строку: cos x = a ⇒ x = ±arccos a + 2π n, n ∈ ℤ

в строку: tg x = a ⇒ x = arctg a + π n, n ∈ ℤ

Запись n∈ℤ — не украшение: без неё ответ формально не записан. Возьми за правило дописывать её сразу, вместе с формулой.

Разберись с периодами, иначе отбор развалится — у каждой функции своя логика шага.

У косинуса на окружности две точки с нужной абсциссой, они симметричны относительно оси Ox — отсюда ±, а шаг 2πn совпадает с периодом.

У тангенса нужная точка повторяется через π, поэтому и шаг πn.

У синуса точек тоже две, но их склеили в одну запись множителем (-1)ⁿ: при чётном n получается одна серия, при нечётном — вторая. Так что πn у синуса — это не период (период равен 2π), а шаг склеенной записи.

Перепутать 2πn у косинуса с πn у тангенса — самая дорогая ошибка отбора.

Частные случаи через общую формулу тоже проходят, но записывать их лучше сразу коротко — так меньше шансов запутаться при отборе:

в строку: sin x = 0 ⇒ x = π n; sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2π n; sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2π n

в строку: cos x = 0 ⇒ x = π/2 + π n; cos x = 1 ⇒ x = 2π n; cos x = -1 ⇒ x = π + 2π n

Обрати внимание на cos x = 0: две серии ±π/2 + 2πn склеиваются в одну π/2 + πn. И ещё раз про границы: если |a| > 1, у уравнений с синусом и косинусом корней нет — это законный ответ, а не тупик.

На этом территория нашей темы заканчивается. Мы умеем решать простейшее уравнение — то, где слева стоит одна функция, а справа число: это чтение окружности, а не метод. Приёмы, которые сводят к простейшему настоящее уравнение из задания 14 — замена через тождество, однородные уравнения, разложение на множители, вспомогательный угол, — живут в теме кода 2.5 «Тригонометрические уравнения/неравенства». Преобразования выражений с двойным углом и суммой углов — в теме кода 1.8.

Аркфункции и серии корней

Главные значения и формулы корней простейших уравнений
Что ищем	Формула	Ограничения
Арксинус	arcsin a ∈ [-π/2; π/2]	\|a\| ≤ 1; arcsin(−a) = −arcsin a
Арккосинус	arccos a∈[0; π]	\|a\| ≤ 1; arccos(−a) = π − arccos a
Арктангенс	arctg a ∈ (-π/2; π/2)	Любое a; arctg(−a) = −arctg a
sin x = a	x = (-1)ⁿ arcsin a + π n	\|a\| ≤ 1, n ∈ ℤ; πn здесь шаг склеенной записи, а не период
cos x = a	x = ±arccos a + 2πn	\|a\| ≤ 1, n ∈ ℤ; при \|a\| > 1 корней нет
tg x = a	x = arctga + πn	Любое a, n ∈ ℤ
Частные случаи	sin x = 0 ⇒ x = π n; cos x = 0 ⇒ x = π/2 + π n	Записывают сразу коротко: так меньше путаницы при отборе

Разбор задания 8: вычисление значения

Пример

Найди значение выражения sin²(7π/6) + cos(4π/3) + tg(5π/4).

Считаем каждое слагаемое отдельно. Общий приём один: представить аргумент в виде «π плюс острое число», определить четверть и снять знак.Первое слагаемое. 7π/6 = π + π/6 — отсчитываем от π, поэтому имя функции не меняем. Точка попадает в третью четверть, синус там отрицателен:

sin 7π/6 = sin (π + π/6) = -sin π/6 = -1/2В выражении стоит квадрат синуса, а минус в квадрате пропадает:

sin²7π/6 = (-1/2)² = 1/4 = 0,25Второе слагаемое. 4π/3 = π + π/3: имя не меняем, точка снова в третьей четверти, косинус там отрицателен.

cos 4π/3 = cos (π + π/3) = -cos π/3 = -0,5Третье слагаемое. 5π/4 = π + π/4: имя не меняем, третья четверть, но тангенс в ней положителен — знаки синуса и косинуса совпали.

tg5π/4 = tg(π + π/4) = tgπ/4 = 1Складываем три числа:0,25 + (−0,5) + 1 = 0,75Проверь себя по формату: 0,75 — конечная десятичная дробь, ровно то, что принимает бланк части 1. Если бы вышло что-то вроде √3/2, это был бы сигнал вернуться и поискать ошибку в знаке или в приведении.Ответ: 0,75.

Разбор в стиле задания 14: серия корней и отбор

Пример

а) Реши уравнение cos x = −1/2. б) Найди корни, принадлежащие отрезку [0; 3π].

Пункт а). Сначала проверка на существование корней: | − 1/2|≤1, значит корни есть. Работает формула для косинуса — с плюс-минус и периодом 2π.Считаем арккосинус отрицательного числа по формуле arccos(−a) = π − arccos a. Так как arccos(1/2) = π/3, получаем arccos(−1/2) = π − π/3 = 2π/3.

x = ±arccos (-1/2) + 2π n = ±2π/3 + 2π n, n ∈ ℤПункт б). Отрезок [0; 3π] длиннее полного оборота, поэтому окружность тут неудобна: точки на ней начнут накладываться. Надёжнее перебрать n по каждой серии отдельно. Чтобы сравнивать без десятичных дробей, приведём границы к общему знаменателю: 0 = 0, 3π = 9π/3.Серия 1: x = 2π/3 + 2πn. При n = 0: x = 2π/3, и 0≤2π/3≤9π/3 — подходит. При n = 1: x = 2π/3 + 2π = 8π/3, и 8π/3 < 9π/3 — подходит.При n = 2: x = 2π/3 + 4π = 14π/3 — это больше 9π/3, вылетело. При n = −1: x = 2π/3 − 2π = −4π/3 — меньше нуля, тоже вылетело. Дальше проверять незачем: серия монотонно уходит от отрезка в обе стороны.Серия 2: x = −2π/3 + 2πn. При n = 0: x = −2π/3 < 0 — не подходит. При n = 1: x = −2π/3 + 2π = 4π/3, и 4π/3 < 9π/3 — подходит. При n = 2: x = −2π/3 + 4π = 10π/3 — больше 9π/3, не подходит.Собираем корни из обеих серий по возрастанию: 2π/3; 4π/3; 8π/3. Грубая проверка в уме: 3π≈9,4, а корни примерно 2,1; 4,2 и 8,4 — все внутри отрезка, четвёртого корня рядом нет.Обрати внимание, что забытая вторая серия стоила бы здесь корня 4π/3, а неверный период πn вместо 2πn подарил бы лишние числа, которые уравнению не удовлетворяют. По критериям задания 14 пункт б) весит столько же, сколько пункт а), — ошибка отбора стоит ровно балл.Ответ: а) x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ ℤ; б) 2π/3; 4π/3; 8π/3.

Как считать тригонометрическое значение в задании 8

1Выбрось полные обороты. У синуса и косинуса вычитай 2π (или 360°), у тангенса — π (или 180°), пока аргумент не уместится в один оборот. Значение от этого не меняется — это и есть периодичность.
2Разложи аргумент на «опора плюс острое». Опоры всего четыре: π/2, π, 3π/2, 2π. Например, 5π/4 = π + π/4, а 135° = 180° − 45°.
3Реши, меняется ли имя функции. Опора π или 2π — имя остаётся. Опора π/2 или 3π/2 — синус становится косинусом, тангенс котангенсом, и наоборот.
4Поставь знак по четверти. Определи, в какой четверти лежит аргумент, и возьми знак исходной функции в этой четверти — той, что стояла в условии, а не той, на которую поменяли имя.
5Подставь табличное значение для острого числа и доведи арифметику до конца. Если в выражении есть квадрат, возводи в квадрат уже после того, как снял знак, — минус при этом исчезнет.
6Проверь формат ответа. В бланк части 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Остался корень или дробь с π — ищи ошибку: либо потерян знак, либо аргументы в тождестве были разными, либо не дочитано условие.

Проверь себя

Шесть вопросов по тем местам, где на экзамене теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Чему равно значение выражения (sin 30°)² + (cos 60°)²?

Основное тождество здесь не работает: аргументы разные — 30° и 60°. Считаем в лоб по таблице: sin 30° = 1/2 и cos 60° = 1/2, значит сумма равна 1/4 + 1/4 = 0,5. А вот sin² 30° + cos² 30° действительно равно 1, потому что там аргумент один и тот же.

2.Число t принадлежит промежутку (π; 3π/2). Какие знаки у sin t, cos t и tg t?

Это третья четверть: точка лежит ниже оси Ox и левее оси Oy. Ордината отрицательна — значит sin t < 0; абсцисса отрицательна — значит cos t < 0. Тангенс равен их частному, а минус на минус даёт плюс: tg t > 0.

3.Известно, что cos t = 0,6 и число t принадлежит промежутку (3π/2; 2π). Чему равен sin t?

Из основного тождества sin² t = 1 − 0,6² = 1 − 0,36 = 0,64, откуда sin t = ±0,8. Выбрать знак может только четверть: промежуток (3π/2; 2π) — это четвёртая четверть, точка лежит ниже оси Ox, синус там отрицателен. Ответ −0,8.

4.Какая запись серии корней уравнения cos x = 1/2 верна?

У косинуса период 2π, поэтому шаг серии равен 2πn. Абсциссу 1/2 имеют две точки окружности, симметричные относительно оси Ox, — их и собирает знак ±. Запись с (−1)ⁿ относится к синусу, шаг πn — к тангенсу, а вариант без ± теряет половину корней.

5.Чему равно sin(π/2 + t)?

Опора π/2 стоит на вертикальной оси, поэтому имя функции меняется: синус становится косинусом. Знак берём у исходной функции — у синуса: при остром t точка π/2 + t лежит во второй четверти, где синус положителен. Значит sin(π/2 + t) = cos t. Проверка на числах: sin(2π/3) = √3/2 и cos(π/6) = √3/2.

6.Чему равен arccos(−1/2)?

Арккосинус по определению принимает значения только из отрезка [0; π], поэтому отрицательным он быть не может — вариант −π/3 отпадает сразу. По формуле arccos(−a) = π − arccos a получаем π − π/3 = 2π/3. Число 4π/3 из отрезка [0; π] тоже выпадает.

Какие ошибки делают при вычислении синуса, косинуса и тангенса?

Ошибка 1

Применяют основное тождество к разным аргументам. (sin 30°)² + (cos 60°)² равно 0,5, а не 1: аргументы 30° и 60° различаются. Тождество складывает квадраты синуса и косинуса одного и того же числа. Прежде чем свернуть сумму в единицу, посмотри на аргументы, а не на форму записи.

Ошибка 2

Берут знак не той функции. В cos(π/2 + t) имя меняется на синус, но знак определяется по косинусу — по той функции, что стояла в условии. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому ответ −sin t, а не sin t. Правило: имя меняем по опоре, знак ставим по исходной функции.

Ошибка 3

Путают периоды в сериях корней. У косинуса шаг 2πn, у тангенса — πn. Записал ±arccos a + πn — в отборе появятся числа, которые уравнению не удовлетворяют. Записал arctga + 2πn — потеряешь половину корней.

Ошибка 4

Теряют вторую серию у косинуса. Знак ± в формуле x = ±arccos a + 2πn означает две независимые серии, и перебирать n надо в каждой отдельно. В разборе выше именно вторая серия дала корень 4π/3.

Ошибка 5

Не дописывают n∈ℤ. Без этой оговорки серия корней не записана: n остаётся неизвестно чем. В части 2 решение проверяет эксперт, и такая мелочь бьёт по обоснованности ответа. Дописывай сразу вместе с формулой, а не «потом, если останется время».

Ошибка 6

Считают арккосинус отрицательного числа отрицательным. arccos(−1/2) = 2π/3, а не −π/3: арккосинус живёт на отрезке [0; π], где отрицательных чисел нет. Минус «выносится» только у арксинуса и арктангенса — их отрезки симметричны относительно нуля.

Ошибка 7

Ждут формулы приведения в справочных материалах. На профиле выдают ровно четыре формулы: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Приведения, таблицы значений, знаков по четвертям и формул половинного угла там нет — рассчитывать на подсказку в КИМ нельзя.

Ошибка 8

Пишут arcsin 2 и подобное. Синус и косинус не выходят за пределы от −1 до 1, поэтому при |a| > 1 у уравнения sin x = a корней нет. «Корней нет» — это полноценный ответ, а не признак того, что ты застрял.

Запомни для экзамена

1sin² t + cos² t = 1

2tg t = (sin t)/(cos t), ctg t = (cos t)/(sin t)

31 + tg² t = 1/(cos² t)

4sin(t + 2πn) = sin t, tg(t + πn) = tgt

5sin x = a ⇒ x = (-1)ⁿ arcsin a + π n

6cos x = a⇒x = ±arccos a + 2πn

7tgx = a⇒x = arctga + πn

8В справочных материалах профиля только четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α + β), cos(α + β). Приведение, знаки и таблица значений — наизусть.

На экзамене

Задание 8 стоит 1 балл — держись в пределах трёх минут. Числа в нём всегда «хорошие»: углы 30°, 45°, 60°, 90°, 135° и их родственники на окружности. Если считается тяжело, значит выбран длинный путь.
Ответ задания 8 — целое число или конечная десятичная дробь. Получился корень или выражение с π — это не «сложный ответ», а сигнал ошибки: чаще всего потерян знак или к разным аргументам применено основное тождество.
Калькулятор запрещён, из инструментов только линейка. Поэтому первое, что стоит сделать на черновике в начале работы, — набросать окружность с четвертями и таблицу значений, пока голова свежая. Потом её оттуда достаёшь, а не вспоминаешь под тикающие часы.
Задание 14 стоит 2 балла и состоит из двух пунктов. По критериям верно решённый один пункт даёт 1 балл, оба — 2. Отбор корней весит ровно столько же, сколько само решение уравнения, поэтому доводи пункт б) до конца, даже если время поджимает.
Способ отбора выбирай под отрезок. Отрезок короче оборота (2π) — рисуй окружность и отмечай точки, так нагляднее. Отрезок длиннее оборота или с несимметричными границами — перебирай n по каждой серии и записывай проверку неравенства: эксперт должен видеть, почему одни корни взяты, а другие отброшены.
Не проверяй бесконечно много значений n. Серия монотонна: как только очередной корень вышел за границу отрезка, следующие уйдут дальше — в ту же сторону. Двух «промахов» с каждого края достаточно, чтобы остановиться.

Словарь темы

Единичная окружность: Окружность радиуса 1 с центром в начале координат. На ней определяют синус и косинус любого числа: точку (1; 0) поворачивают на t радиан и смотрят на координаты получившейся точки.
Радиан: Центральный угол, опирающийся на дугу длиной в радиус. Полный оборот равен 2π радиан, поэтому π радиан = 180°. Градусы переводят в радианы умножением на π/180.
Синус числа t: Ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на t радиан. Не превосходит 1 по модулю и определён для любого числа t.
Косинус числа t: Абсцисса той же точки. Тоже не превосходит 1 по модулю и определён для любого t. Чётная функция: cos(−t) = cos t.
Тангенс числа t: Отношение sin t / cos t. Определён везде, кроме точек π/2 + πn, где косинус обращается в ноль. Значения ничем не ограничены, период равен π, а не 2π.
Основное тригонометрическое тождество: Равенство sin² t + cos² t = 1. Это уравнение единичной окружности, записанное через координаты точки. Работает только при одинаковом аргументе у обоих слагаемых.
Формулы приведения: Правило, сводящее синус, косинус или тангенс любого аргумента к острому. Имя функции меняется, если аргумент отсчитан от π/2 или 3π/2, и остаётся при π или 2π; знак берут у исходной функции по четверти.
Острое число: Число из интервала (0; π/2) — аналог острого угла треугольника. К нему сводят любой аргумент в формулах приведения, чтобы затем взять готовое табличное значение.
Арксинус, арккосинус, арктангенс: Числа, восстанавливаемые по известному значению функции: arcsin a лежит в [−π/2; π/2], arccos a — в [0; π], arctg a — в (−π/2; π/2). Первые два определены только при |a| ≤ 1.
Серия корней: Запись всех решений уравнения одной формулой с целым параметром n, например x = ±arccos a + 2πn, n ∈ ℤ. Без оговорки n ∈ ℤ запись неполна.
Отбор корней: Пункт б) задания 14: из бесконечной серии выбирают решения, попавшие в заданный отрезок. Оценивается наравне с решением самого уравнения.

Частые вопросы

Что такое синус числа?

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на t радиан, а косинус — абсцисса той же точки. Оба определены для любого числа t и по модулю не превосходят 1.

Как решать задания по теме «Синус, косинус, тангенс числового аргумента»?

Шаги такие:

выбрось полные обороты
разложи аргумент на «опора плюс острое»
реши, меняется ли имя функции
поставь знак по четверти
подставь табличное значение
проверь формат ответа.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Синус, косинус, тангенс числового аргумента»?

Применяют основное тождество к разным аргументам. (sin 30°)² + (cos 60°)² равно 0,5, а не 1: аргументы 30° и 60° различаются. Тождество складывает квадраты синуса и косинуса одного и того же числа. Прежде чем свернуть сумму в единицу, посмотри на аргументы, а не на форму записи.

Что нужно запомнить по теме «Синус, косинус, тангенс числового аргумента»?

Главное:

sin² t + cos² t = 1
tg t = (sin t)/(cos t), ctg t = (cos t)/(sin t)
1 + tg² t = 1/(cos² t)
sin (t + 2π n) = sin t, tg(t + π n) = tg t.

Остальное — в разделе темы выше.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 8 КИМ (1 балл); также в 14 (2 балла) Макс. 1 балл ~3 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 1.5 «Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс». В проекте КИМ 2027 вычисление значения выражения — задание 8, уравнение с отбором корней на 2 балла — задание 14.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 1.5 кодификатора ФИПИ-2026 по математике профильного уровня и в проекте КИМ 2027 проверяется заданиями 8 и 14.
Задание 8 — базовый уровень, 1 балл, краткий ответ; задание 14 — повышенный уровень, 2 балла, развёрнутое решение.
В задании 14 два пункта; 2 балла — оба пункта верно, 1 балл — верен только один пункт. Отбор корней весит столько же, сколько решение уравнения.
На профильном экзамене калькулятор запрещён (разрешена линейка), а в справочных материалах КИМ есть только четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β). Формул приведения и таблицы значений там нет.
Ответ части 1 — целое число или конечная десятичная дробь.
Определение: cos t — абсцисса, sin t — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на t радиан. Отсюда |sin t| ≤ 1 и |cos t| ≤ 1, а обе функции определены при любом t.
sin² t + cos² t = 1 (основное тригонометрическое тождество).
Контраст в задании 8: sin² 30° + cos² 30° = 1, но (sin 30°)² + (cos 60°)² = 0,5, а sin² 75° + sin² 15° = 1 только после приведения sin 75° = cos 15°.
Знаки по четвертям: sin положителен в I и II, cos — в I и IV, tg — в I и III.
Период синуса и косинуса равен 2π, период тангенса — π: sin(t + 2πn) = sin t, tg(t + πn) = tg t.
Чётность: cos(−t) = cos t, sin(−t) = −sin t, tg(−t) = −tg t.
tg t = sin t / cos t определён при t ≠ π/2 + πn; ctg t = cos t / sin t определён при t ≠ πn; 1 + tg² t = 1/cos² t и 1 + ctg² t = 1/sin² t.
Таблица значений для 0, π/6, π/4, π/3, π/2 (sin: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1; cos: 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0; tg: 0, √3/3, 1, √3, не существует).
Правило формул приведения: имя функции меняется на кофункцию при опорах π/2 и 3π/2 и сохраняется при π и 2π; знак определяется по четверти для исходной функции при остром t.
arcsin a ∈ [−π/2; π/2] и arccos a ∈ [0; π] определены при |a| ≤ 1; arctg a ∈ (−π/2; π/2) определён при любом a. arcsin(−a) = −arcsin a, arctg(−a) = −arctg a, arccos(−a) = π − arccos a.
Серии корней простейших уравнений: sin x = a → x = (−1)ⁿ arcsin a + πn; cos x = a → x = ±arccos a + 2πn; tg x = a → x = arctg a + πn, n ∈ ℤ. При |a| > 1 у первых двух корней нет.
Частные случаи: sin x = 0 → x = πn; sin x = ±1 → x = ±π/2 + 2πn; cos x = 0 → x = π/2 + πn; cos x = 1 → x = 2πn; cos x = −1 → x = π + 2πn.