Синус, косинус, тангенс числового аргумента

Точка $P(\cos t;\ \sin t)$ лежит на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Уравнение этой окружности — $x^2 + y^2 = 1$. Подставь координаты точки — и получишь главную формулу тригонометрии:

Это основное тригонометрическое тождество. Запись $\sin^2 t$ означает $(\sin t)^2$ — квадрат самого числа, а не «синус от t²».

Тождество работает только при одинаковом аргументе. Именно здесь легко потерять балл в задании 7: в бланк просят целое число или конечную десятичную дробь, единица выглядит правдоподобно, и рука пишет её не глядя. Сравни две строчки:

Внешне почти одно и то же, а ответы разные: во второй строке аргументы 30° и 60° различаются, и тождество к ней просто неприменимо — приходится считать в лоб по таблице.

Тангенс и котангенс определяются через синус с косинусом, и у каждого своё ограничение:

Тангенс не определён там, где косинус обращается в ноль, то есть в точках $\pi/2 + \pi n$. Ограничений сверху и снизу у тангенса, в отличие от синуса, нет: он принимает любые действительные значения. Там, где определены оба, $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1$.

Если разделить основное тождество на $\cos^2 t$, а потом на $\sin^2 t$, получатся ещё две формулы — выводить их за 10 секунд надёжнее, чем зубрить:

Главный рабочий приём темы: по одной функции и четверти находим все остальные. Пусть $\cos t = -0{,}6$, причём $t \in (\pi;\ 3\pi/2)$. Из тождества $\sin^2 t = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$, откуда $\sin t = \pm 0{,}8$. Тождество даёт два варианта, и выбрать между ними может только четверть: $t$ в третьей, синус там отрицателен, значит $\sin t = -0{,}8$. Дальше $\operatorname{tg} t = (-0{,}8)/(-0{,}6) = 4/3$. Без указания четверти задача имела бы два ответа — поэтому её в условии всегда дают.

Калькулятор на экзамене запрещён, а в справочных материалах профиля таблицы значений нет. Значит, эти числа нужно знать наизусть — без них тригонометрическое задание 7 не решить.

Прочерк в последней клетке не для красоты: $\operatorname{tg}(\pi/2)$ не существует, потому что $\cos(\pi/2) = 0$, а на ноль не делят.

Таблицу удобно не заучивать построчно, а держать в голове три опоры. Первая: строка синуса растёт от 0 до 1, строка косинуса — та же самая, но задом наперёд. Вторая: в середине, при 45°, синус и косинус равны, потому что точка сидит ровно на биссектрисе первой четверти. Третья: тангенс — это частное строк, и его значения проверяются делением. Например, $\operatorname{tg}(\pi/6) = \tfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \tfrac{1}{\sqrt{3}} = \tfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Ноль и $\pi/2$ надёжнее не запоминать, а читать с окружности: числу 0 отвечает точка $(1;\,0)$ — значит косинус 1, синус 0. Числу $\pi/2$ отвечает верхняя точка $(0;\,1)$ — косинус 0, синус 1. Тем же способом достаются $\pi$ и $3\pi/2$: $\cos \pi = -1$, $\sin \pi = 0$, $\cos(3\pi/2) = 0$, $\sin(3\pi/2) = -1$.

В таблице всего пять столбцов, а в заданиях встречаются $7\pi/6$, 135° и $5\pi/4$. Мост между ними — формулы приведения. Заучивать их десятками бессмысленно: работает одно правило из двух шагов.

Шаг 1. Меняется ли имя функции? Смотри, от чего отсчитываем аргумент. От $\pi/2$ или $3\pi/2$ — функция меняется на «соседнюю»: синус на косинус, тангенс на котангенс, и наоборот. От $\pi$ или $2\pi$ — имя остаётся прежним. Мнемоника: $\pi$ и $2\pi$ лежат на горизонтальной оси — по горизонтали не меняем; $\pi/2$ и $3\pi/2$ — на вертикальной, по вертикали меняем.

Шаг 2. Какой знак? Считай $t$ «острым» — то есть числом из интервала $(0;\ \pi/2)$, как острый угол в треугольнике, — найди четверть, в которую попал весь аргумент, и поставь знак исходной функции в этой четверти. Ключевое слово — исходной: той, что стоит слева, до всяких замен.

Разберём на трёх примерах. $\cos(\pi/2 + t)$: отсчитываем от $\pi/2$, значит имя меняем на синус; при остром $t$ точка $\pi/2 + t$ лежит во второй четверти, где косинус отрицателен, — ставим минус.

$\sin(\pi - t)$: отсчитываем от $\pi$ — имя не трогаем; точка во второй четверти, синус там положителен. $\operatorname{tg}(\pi + t)$: имя не меняем, точка в третьей четверти, тангенс там положителен.

Отдельно выучи пару, которая постоянно встречается в задании 7:

Именно она объясняет, почему $\sin^2 75^\circ + \sin^2 15^\circ = 1$. Основное тождество тут сразу не применить — аргументы-то разные. Но $75^\circ = 90^\circ - 15^\circ$, поэтому $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$, и выражение превращается в $\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ$ — вот теперь аргумент общий и ответ равен 1. Сравни с $(\sin 30^\circ)^2 + (\cos 60^\circ)^2 = 0{,}5$: там сумма в единицу не сворачивается, хотя выглядит похоже. Разница ровно одна — можно ли честно привести аргументы к общему.

Если аргумент больше полного оборота, сначала выбрось обороты. $\cos(13\pi/6) = \cos(13\pi/6 - 2\pi) = \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$.

И трезвая правда про экзамен: формул приведения в справочных материалах профиля нет. Там всего четыре формулы — синус и косинус двойного угла и синус с косинусом суммы. Всё остальное, включая приведение, знаки и таблицу, ты достаёшь из головы. Как раз поэтому правило из двух шагов ценнее списка из шестнадцати формул: список забывается, правило восстанавливается по окружности.

Обратный вопрос: известно значение синуса — чему равно само число? На окружности таких чисел бесконечно много, поэтому договорились выбирать одно, «главное», и для каждой функции свой участок.

Арксинус $\arcsin a$ — это число из отрезка $[-\pi/2;\ \pi/2]$, синус которого равен $a$. Арккосинус $\arccos a$ — число из отрезка $[0;\ \pi]$ с косинусом $a$. Оба существуют только при $|a| \leqslant 1$. Арктангенс $\operatorname{arctg} a$ — число из интервала $(-\pi/2;\ \pi/2)$ с тангенсом $a$, и он определён при любом $a$.

Из-за разных участков отрицательный аргумент обрабатывается по-разному:

Арккосинус выбивается не по прихоти: его отрезок $[0;\ \pi]$ не симметричен относительно нуля, отрицательных чисел там нет вовсе. Поэтому $\arccos(-1/2) = \pi - \pi/3 = 2\pi/3$, а вовсе не $-\pi/3$: число $-\pi/3$ лежит вне отрезка и арккосинусом быть не может.

Теперь серии корней — то, ради чего вся тема выходит в задание 13:

Запись $n \in \mathbb{Z}$ — не украшение: без неё ответ формально не записан. Возьми за правило дописывать её сразу, вместе с формулой.

Разберись с периодами, иначе отбор развалится — у каждой функции своя логика шага.

У косинуса на окружности две точки с нужной абсциссой, они симметричны относительно оси Ox — отсюда $\pm$, а шаг $2\pi n$ совпадает с периодом.

У тангенса нужная точка повторяется через $\pi$, поэтому и шаг $\pi n$.

У синуса точек тоже две, но их склеили в одну запись множителем $(-1)^n$: при чётном $n$ получается одна серия, при нечётном — вторая. Так что $\pi n$ у синуса — это не период (период равен $2\pi$), а шаг склеенной записи.

Перепутать $2\pi n$ у косинуса с $\pi n$ у тангенса — самая дорогая ошибка отбора.

Частные случаи через общую формулу тоже проходят, но записывать их лучше сразу коротко — так меньше шансов запутаться при отборе:

Обрати внимание на $\cos x = 0$: две серии $\pm\pi/2 + 2\pi n$ склеиваются в одну $\pi/2 + \pi n$. И ещё раз про границы: если $|a| > 1$, у уравнений с синусом и косинусом корней нет — это законный ответ, а не тупик.

На этом территория нашей темы заканчивается. Мы умеем решать простейшее уравнение — то, где слева стоит одна функция, а справа число: это чтение окружности, а не метод. Приёмы, которые сводят к простейшему настоящее уравнение из задания 13 — замена через тождество, однородные уравнения, разложение на множители, вспомогательный угол, — живут в теме кода 2.5 «Тригонометрические уравнения/неравенства». Преобразования выражений с двойным углом и суммой углов — в теме кода 1.8.