Степень с целым показателем

Q: Как решать задания по теме «Степень с целым показателем»?

Шаги такие: 1) опознай основания; 2) переведи десятичные дроби в обыкновенные; 3) убери скобки; 4) определи знак отдельно; 5) сложи и вычти показатели; 6) разверни минус в самом конце; 7) сверь форму ответа.

Q: Что нужно запомнить по теме «Степень с целым показателем»?

Главное: 1) aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; 2) (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; 3) (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ; 4) a⁻ⁿ = 1/aⁿ, (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ; 5) a⁰ = 1 (a ≠ 0); 0⁰, 0⁻ⁿ — не определены; 6) (-a)²ᵏ = a²ᵏ, -a²ᵏ = -(a²ᵏ). Остальное — в разделе темы выше.

Степень — это результат возведения основания в показатель: при натуральном n запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a. На ЕГЭ тема нужна в задании 8 (1 балл): там без калькулятора находят значение степенного выражения, а баллы чаще всего теряют на знаке и отрицательном показателе.

Решать задание 8 ЕГЭ

Правила степеней в одной таблице

Свойства степени с целым показателем и условия их применения
Правило	Формула	Когда применять и ограничения
Нулевой показатель	a⁰ = 1	Только при a ≠ 0; 0⁰ не определено. (7¹³ − 5)⁰ = 1 без вычислений
Отрицательный показатель	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	a ≠ 0; минус переворачивает число, а не делает его отрицательным
Умножение и деление	aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	Только при одинаковых основаниях; m и n — любые целые
Степень степени	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	Показатели перемножаются: так 4⁵ превращается в 2¹⁰
Произведение и частное	(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ	Только для произведения, не для суммы: (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ; справа налево 2³·5³ = 10³
Дробь в отрицательной степени	(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ	Десятичное основание сначала переводят в дробь: 0,2⁻² = 5² = 25
Знак степени	(-a)²ᵏ = a²ᵏ, (-a)²ᵏ⁺¹ = -a²ᵏ⁺¹	Знак решает чётность показателя; без скобок минус в основание не входит: −2⁴ = −16
Дробный показатель	a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)	a > 0; при отрицательной дроби сначала переворачивают основание

Быстрые ответы

Что такое степень?

Степень — результат возведения основания в показатель. При натуральном показателе n запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a, а для нулевого и отрицательного показателя определение задают так, чтобы правила действий со степенями продолжали выполняться.

Как решать задания по теме «Степень с целым показателем»?

Шаги такие:

опознай основания
переведи десятичные дроби в обыкновенные
убери скобки
определи знак отдельно
сложи и вычти показатели
разверни минус в самом конце
сверь форму ответа.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Степень с целым показателем»?

Теряют скобки у отрицательного основания. -2⁴ = -16, но (-2)⁴ = 16. Возведение в степень выполняется раньше умножения на −1, поэтому без скобок минус в степень не идёт. Если основание отрицательное, пиши скобки в черновике всегда, даже когда «и так понятно».

Что нужно запомнить по теме «Степень с целым показателем»?

Главное:

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
a⁻ⁿ = 1/aⁿ, (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ
a⁰ = 1 (a ≠ 0); 0⁰, 0⁻ⁿ — не определены
(-a)²ᵏ = a²ᵏ, -a²ᵏ = -(a²ᵏ).

Остальное — в разделе темы выше.

Пять правил, ноль и минус в показателе — вот и всё содержание темы. Но на ней стоят логарифмы, показательные уравнения и заметная часть задания 8. А балл здесь теряют на мелочах: на знаке (−2⁴ и (−2)⁴ — разные числа), на неопределённости 0⁰ и на порядке действий, когда показатель сразу отрицательный и дробный. Каждая такая мелочь стоит целого балла.

Обновлено 18 октября 2026

Что такое степень с нулевым и отрицательным показателем?

Натуральный показатель — это просто счётчик множителей: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2. Пока показатель натуральный, всё честно считается по определению. Но что такое 2⁰ — ноль множителей? А 2⁻³ — «минус три множителя»? Через подсчёт множителей это не объясняется никак. Определение приходится придумывать заново.

Придумывают его не наугад, и это важно понять один раз. Для натуральных показателей работает правило деления aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Разумно потребовать, чтобы оно продолжало работать и для новых показателей — иначе зачем их вводить.

Возьмём m = n. С одной стороны, aⁿ : aⁿ = 1 — число делится само на себя. С другой стороны, по правилу это aⁿ⁻ⁿ = a⁰. Сравниваем:

в строку: a⁰ = 1 (a ≠ 0)

Тот же ход даёт отрицательный показатель. Посчитаем 2³ : 2⁵ двумя способами. В лоб: 8 : 32 = 1/4. По правилу: 2³⁻⁵ = 2⁻². Значит, 2⁻² = 1/4 = 1/2². В общем виде:

в строку: a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0)

Теперь посмотри, где здесь прячется оговорка a≠0. Мы всё время делили на aⁿ — а делить на ноль нельзя. Поэтому выражения 0⁰ и 0⁻ⁿ не определены: их неоткуда взять, никакого «правдоподобного» значения у них в школьном курсе нет. А вот 0ⁿ при натуральном n прекрасно определён и равен нулю.

Запомни главное следствие: ноль и минус в показателе — это не отдельные экзотические правила, которые надо зубрить, а продолжение той же лестницы. И это проверяется руками на любом числе: возьми 3⁻² и просто спустись по лестнице от 3⁰ = 1 — дважды поделив на 3, получишь 1/9, ровно то же, что даёт правило 3⁻² = 1/3². Одна лестница, два способа спуститься к одному ответу.

Каждый шаг вправо уменьшает показатель на 1 и делит значение на 2. Продли лестницу — и 2⁰ = 1 с отрицательными показателями получатся сами.

Проверь себя за 10 секунд

Чему равно значение выражения −3²?

Возведение в степень идёт раньше умножения на −1, поэтому показатель относится только к тройке: сначала 3² = 9, потом минус. Итог −9. Число 9 получилось бы у выражения (−3)², где основанием служит вся скобка вместе с минусом.

Ещё 5 вопросов — к мини-тесту

Последовательное уменьшение числа множителей и переход к обратным величинам — При уменьшении показателя на единицу степень делят на основание, а отрицательный показатель даёт обратную величину.

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 8 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Найдите значение выражения 81^(3/4) / 3^2.

Показать ответ
Задание 2 из 2

Найдите значение выражения 32^(2/5) + 27^(1/3).

Показать ответ

Какие свойства у степени с целым показателем?

Вся тема держится на пяти равенствах. Выучить их надо буквально: в справочных материалах профильного экзамена их нет.

в строку: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

в строку: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

Ради чего мы городили ноль и минус: все пять работают для любых целых m и n — положительных, нулевых, отрицательных — при a≠0 и b≠0. Никаких отдельных правил «для отрицательных показателей» не существует. Правила те же самые, просто теперь показатели можно складывать и вычитать свободно, не следя за тем, что больше.

Два условия, в которых чаще всего промахиваются.

Первое: одинаковые основания. Правила умножения и деления складывают показатели только тогда, когда основание одно и то же. Запись 2³ · 5³ по этому правилу не считается вообще — там разные основания. Зато к ней применимо другое правило, (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ, прочитанное справа налево: 2³ · 5³ = 10³ = 1000. Проверь в лоб: 8·125 = 1000.

Второе: правила про произведение, а не про сумму. Скобку (a+b)ⁿ раскрыть по ним нельзя, и равенства (a+b)ⁿ = aⁿ + bⁿ не существует. Одного контрпримера хватит навсегда: (2+3)² = 25, а 2² + 3² = 13.

Кстати, про контрпримеры. Если на экзамене засомневался в правиле, не вспоминай — проверь на маленьких числах прямо в черновике. 2³ · 2² = 8 · 4 = 32 = 2⁵: показатели сложились, а не перемножились. Пятнадцать секунд — и сомнения нет.

Как возводить число в отрицательную степень?

Первое и самое важное: минус в показателе не делает число отрицательным. Он делает его перевёрнутым. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125 — это положительное число, и никакого «минус восемь» здесь нет. Знак результата определяет только основание, а показатель отвечает за то, перевернём мы дробь или нет.

Частный случай, который стоит опознавать сразу: a⁻¹ = 1/a — это просто обратное число.

Если основание — дробь, отрицательный показатель её переворачивает. Это не новое правило, а следствие двух старых:

в строку: (a/b)⁻ⁿ = 1/(a/b)ⁿ = bⁿ/aⁿ = (b/a)ⁿ

На практике это экономит время: (1/4)⁻² = 4² = 16. Перевернул — и считаешь обычную степень, никаких дробей в знаменателе.

Десятичные основания сначала переводи в обыкновенные дроби, иначе без калькулятора будет больно. 0,2⁻²: замечаем, что 0,2 = 1/5, переворачиваем и получаем 5² = 25. То же с 0,5⁻³ = 2³ = 8 и 0,25⁻¹ = 4.

Обратный ход тоже пригодится — в задании 8 ответ надо записать целым числом или конечной десятичной дробью. Степени десятки переводятся мгновенно: 10⁻² = 0,01, 10⁻³ = 0,001.

Знак: место, где теряют балл

Здесь всё решают скобки, и это стоит проговорить вслух один раз, чтобы больше не путаться.

Возведение в степень выполняется раньше умножения на −1. Поэтому в записи -2⁴ показатель относится только к двойке: сначала 2⁴ = 16, потом минус. Итог: -2⁴ = -16. А в записи (-2)⁴ основание — это всё, что в скобках, вместе с минусом. Четыре отрицательных множителя перемножаются, минусы гасятся попарно. Выходит (-2)⁴ = 16.

Когда основание уже отрицательное, знак результата решает чётность показателя:

в строку: (-a)²ᵏ = a²ᵏ, (-a)²ᵏ⁺¹ = -a²ᵏ⁺¹

Проще словами: чётный показатель — результат положительный, минусы разбились на пары и сократились. Нечётный — одному минусу пары не хватило, он и остаётся в ответе. (-3)² = 9, (-3)³ = -27.

Отрицательный показатель на это правило не влияет вообще — он занимается дробью, а не знаком. Сначала определи знак по чётности, потом переворачивай: (-2)⁻³ = 1/(-2)³ = 1/(-8) = -0,125. Показатель нечётный — минус остался; показатель отрицательный — дробь перевернулась. Два независимых решения, каждое по своему правилу.

И ещё одна мелочь, которая на экзамене превращается в потерянный балл. Ноль в показателе гасит основание целиком, каким бы громоздким оно ни было: (7¹³ - 5)⁰ = 1, потому что скобка заведомо не ноль. Считать 7¹³ не нужно.

Скобки решают знак: слева в степень идёт −2, справа — только 2, а минус остаётся снаружи множителем.

Главный приём задания 8: одно основание

Правила складывают показатели только при одинаковых основаниях. Значит, первый ход в любом вычислении — привести всё к одному основанию. Практически все степенные выражения в задании 8 собраны из степеней двойки, тройки или пятёрки, и составитель прячет это за числами вроде 4, 8, 16, 27 или 125.

Смотри, как это работает. Выражение (4⁵ · 8²)/2¹⁷ выглядит страшновато, пока в нём три разных основания. Заменяем: 4 = 2², значит 4⁵ = (2²)⁵ = 2¹⁰; 8 = 2³, значит 8² = (2³)² = 2⁶. Дальше всё складывается само:

в строку: (4⁵ · 8²)/2¹⁷ = (2¹⁰ · 2⁶)/2¹⁷ = 2¹⁶/2¹⁷ = 2⁻¹ = 0,5

Второй приём — разложить основание на множители, если оно составное. Возьмём 6⁷/(2⁷ · 3⁵). Никакое из оснований к другому не сводится, но 6 = 2·3, а правило (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ позволяет это разнести:

в строку: 6⁷/(2⁷ · 3⁵) = (2⁷ · 3⁷)/(2⁷ · 3⁵) = 3⁷⁻⁵ = 3² = 9

Чтобы этот приём работал на скорости, нужны в голове три коротких ряда. Степени двойки до 1024, тройки до 729, пятёрки до 625 — этого хватает на подавляющее большинство заданий. Калькулятора на экзамене не будет, а узнавать 243 как 3⁵ надо мгновенно, иначе приём просто не запустится.

Мост к дробному показателю

Тема называется «степень с целым показателем», но в задании 8 регулярно попадаются записи вроде 27^(2/3) или 16^(3/4). Это уже соседняя тема — арифметический корень натуральной степени, код 1.3. Разбирать её здесь не будем, но мост навести стоит, потому что мост короткий.

Дробный показатель — это тот же корень, записанный по-другому. Если тему 1.3 ты ещё не проходил, вот короткая опора. Корень n-й степени из a — это такое число, которое в степени n даёт само a. Например, ³√8 = 2, потому что 2³ = 8. Полный разбор корней — в теме 1.3; сюда за мостом удобнее возвращаться уже после неё. Связь с показателем такая:

в строку: a^(1/n) = ⁿ√a, a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) (a > 0)

Ценно вот что: все пять правил из этой темы продолжают работать и там. Ради этого дробный показатель и придумали — точно так же, как раньше придумали ноль и минус. Поэтому 81^(3/4) = (3⁴)^(3/4) = 3^(4 · 3/4) = 3³ = 27 — сработало обычное правило (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, ничего нового.

Единственное место, где стоит притормозить, — порядок действий, когда показатель дробный и отрицательный сразу. Минус относится ко всей дроби, поэтому основание переворачивается первым, до всяких корней. Разберём (1/32)^(-2/5): сначала минус переворачивает основание — получаем 32^(2/5), и только теперь работаем с дробью: 32^(2/5) = (2⁵)^(2/5) = 2² = 4. Ответ 4. Если полезть за корнем раньше, чем перевернёшь дробь, запутаешься гарантированно.

Подробности про корни, их область определения и преобразования — в теме кода 1.3. Здесь достаточно знать, что фундамент у обеих тем общий: те же пять правил.

Разбор: приводим к одному основанию

Пример

Найди значение выражения (2⁻³ · 4⁴)/8².

Основания разные — 2, 4 и 8, — но все три являются степенями двойки. Значит, приводим выражение к основанию 2.Переписываем каждый кусок. Для скобок работает правило (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ:4⁴ = (2²)⁴ = 2⁸, 8² = (2³)² = 2⁶Подставляем и собираем числитель по правилу умножения — показатели складываются:2⁻³ · 2⁸ = 2⁻³⁺⁸ = 2⁵Теперь делим. Показатели вычитаются, и отрицательный результат нас уже не пугает:2⁵/2⁶ = 2⁵⁻⁶ = 2⁻¹Осталось развернуть отрицательный показатель в дробь и записать десятичной, как требует бланк № 1:2⁻¹ = 1/2 = 0,5Проверка в лоб, если осталось время: 2⁻³ = 1/8, 4⁴ = 256, 8² = 64. Тогда 1/8 · 256 = 32, а 32:64 = 0,5. Сошлось.Ответ: 0,5.

Разбор: знак и перевёрнутая дробь в одном выражении

Пример

Найди значение выражения

(-3)⁵ · (-3)⁻³ + (1/2)⁻³.

В выражении два независимых слагаемых. Считаем каждое отдельно и не пытаемся связать их правилами — основания разные.Первое слагаемое. Основание одно и то же — число (−3) целиком, вместе с минусом. Значит, работает правило умножения, и показатели складываются. То, что один из них отрицательный, ничего не меняет:(-3)⁵ · (-3)⁻³ = (-3)^(5 + (-3)) = (-3)² = 9Показатель получился чётным — результат положительный. Обрати внимание, чего мы не делали: не считали (-3)⁵ = -243 и не возились с дробью -1/27. Правило избавило от обоих вычислений.Второе слагаемое. Основание — дробь, показатель отрицательный: переворачиваем основание и считаем обычную степень.

(1/2)⁻³ = (2/1)³ = 2³ = 8Складываем результаты:9 + 8 = 17Ответ целый — это хороший признак: в задании 8 числа всегда подобраны так, чтобы всё сошлось без калькулятора.Ответ: 17.

Как найти значение выражения со степенями?

1Опознай основания. Посмотри, к какому одному числу сводятся все основания: 4, 8, 16, 32 — это двойка; 9, 27, 81, 243 — тройка; 25, 125, 625 — пятёрка. Составное основание вроде 6 или 12 раскладывай на множители: 6ⁿ = 2ⁿ · 3ⁿ.
2Переведи десятичные дроби в обыкновенные. 0,2 = 1/5, 0,25 = 1/4, 0,5 = 1/2. В таком виде степень видна сразу, а в десятичном — нет.
3Убери скобки. Правила (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ и (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ превращают этажи в один показатель. После этого шага у тебя останутся только произведения и частные степеней с одинаковым основанием.
4Определи знак отдельно. Основание отрицательное — реши судьбу минуса по чётности показателя и дальше считай с положительным числом. Смешивать знак с арифметикой показателей — прямой путь к ошибке.
5Сложи и вычти показатели. Умножение — плюс, деление — минус. Отрицательные показатели складывай как обычные числа: 5 + (−3) = 2. Не разворачивай их в дроби заранее — это лишняя работа.
6Разверни минус в самом конце. Только когда остался один показатель, примени a⁻ⁿ = 1/aⁿ и досчитай число.
7Сверь форму ответа. В бланк № 1 идёт целое число или конечная десятичная дробь. Получилась 0,5 или 25 — нормально. Получилась 1/3 или 1/9 — это не конечная дробь, значит где-то ошибка: вернись и проверь знаки показателей.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где в задании 8 теряют балл. Считай в уме, калькулятора на экзамене всё равно не будет.

1.Чему равно значение выражения −3²?

2.Чему равно значение выражения (1/4)⁻²?

Отрицательный показатель переворачивает основание: (1/4)⁻² = 4² = 16. Минус в показателе не делает число отрицательным — он отвечает только за переворот дроби, поэтому варианты со знаком минус отпадают сразу.

3.Чему равно значение выражения 2³·5³?

Основания разные, поэтому складывать показатели нельзя — правило a^m·a^n = a^(m+n) требует одинакового основания. Зато показатели одинаковые, и работает (ab)^n = a^n·b^n, прочитанное справа налево: 2³·5³ = (2·5)³ = 10³ = 1000. Проверка в лоб: 8·125 = 1000.

4.Чему равно 0⁰?

Правило a⁰ = 1 выведено делением a^n на a^n, а делить на ноль нельзя — поэтому оно действует только при a ≠ 0. По той же причине не определено и 0⁻ⁿ. А вот 0ⁿ при натуральном n определён и равен нулю: 0³ = 0.

5.Чему равно значение выражения 15⁴/(3⁴·5²)?

Раскладываем составное основание: 15 = 3·5, поэтому 15⁴ = 3⁴·5⁴ по правилу (ab)^n = a^n·b^n. Подставляем: 3⁴·5⁴/(3⁴·5²) = 5⁴⁻² = 5² = 25. Тройки сократились полностью.

6.Чему равно значение выражения (−2)⁻³?

Два независимых шага. Показатель нечётный, значит знак отрицательный: (−2)³ = −8. Показатель отрицательный, значит дробь переворачивается: (−2)⁻³ = 1/(−8) = −0,125. Вариант 0,125 получается, если забыть про знак, а −8 — если забыть про переворот.

Какие ошибки делают в вычислениях со степенями?

Ошибка 1

Теряют скобки у отрицательного основания. -2⁴ = -16, но (-2)⁴ = 16. Возведение в степень выполняется раньше умножения на −1, поэтому без скобок минус в степень не идёт. Если основание отрицательное, пиши скобки в черновике всегда, даже когда «и так понятно».

Ошибка 2

Считают, что минус в показателе даёт отрицательное число. 2⁻³ = 1/8, а не −8. Знак ответа зависит только от основания и чётности показателя; минус в показателе переворачивает дробь и к знаку отношения не имеет.

Ошибка 3

Перемножают показатели вместо сложения. 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128, а не 2¹². Показатели перемножаются в другом правиле — при возведении степени в степень: (2³)⁴ = 2¹². Два похожих правила, и путают их постоянно.

Ошибка 4

Складывают показатели при разных основаниях. Правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ требует одинакового основания. Для 2³ · 5³ оно неприменимо; здесь работает (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ, и ответ 10³ = 1000.

Ошибка 5

Раскрывают степень суммы. Равенства (a+b)ⁿ = aⁿ + bⁿ не существует: все пять правил говорят про произведение и частное, а не про сумму. Контрпример на всю жизнь: (2+3)² = 25, а 2² + 3² = 13.

Ошибка 6

Забывают оговорку a≠0. a⁰ = 1 верно для любого основания, кроме нуля. Выражения 0⁰ и 0⁻ⁿ не определены — придумывать им «логичное» значение не надо. При этом 0ⁿ = 0 при натуральном n — совершенно нормальная запись.

Ошибка 7

Путают порядок при отрицательном дробном показателе. В (1/32)^(-2/5) минус относится ко всему показателю, поэтому основание переворачивается первым: (1/32)^(-2/5) = 32^(2/5) = 4. Кто лезет за корнем до переворота — запутывается в дробях и не доходит до ответа.

Ошибка 8

Считают большие степени вместо того, чтобы сократить. Увидев 6⁷/(2⁷ · 3⁵), начинают перемножать 6 семь раз. Калькулятора нет, время уходит, ошибка почти неизбежна. Сначала приведи к одному основанию и сократи — останется 3² = 9.

Запомни для ЕГЭ

1aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

2(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

a⁻ⁿ = 1/aⁿ, (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ

5a⁰ = 1 (a ≠ 0); 0⁰, 0⁻ⁿ — не определены

6(-a)²ᵏ = a²ᵏ, -a²ᵏ = -(a²ᵏ)

7Двойка: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

8Тройка: 3, 9, 27, 81, 243, 729. Пятёрка: 5, 25, 125, 625

На экзамене

Задание 8 — базовый уровень, 1 балл, примерно 3 минуты. Это одно из самых дешёвых по времени заданий части 1: тратить на него десять минут нельзя, дальше идут задания по 2, 3 и 4 балла.
Свойств степеней в справочных материалах нет. На профиле выдают всего четыре формулы — синус и косинус двойного угла и синус с косинусом суммы углов. Всё остальное, включая эти пять правил, ты держишь в голове сам.
Первый ход всегда один: привести к одному основанию. Если основания не сводятся друг к другу, разложи составное на множители — 6 = 2·3, 12 = 2² · 3, 15 = 3·5.
Отрицательные показатели не разворачивай в дроби, пока не досчитал показатель до конца. Сложить −3 + 8 − 6 = −1 проще, чем возиться с тремя дробями, а результат тот же.
Ответ в задании 8 — целое число или конечная десятичная дробь. Если у тебя вышло 1/3 или 1/7, это не «неудобный ответ», а сигнал ошибки: проверь знаки показателей и вернись к шагу с приведением оснований.
Приём с проверкой на маленьких числах (см. выше) работает и на других правилах. Забыл, что делать с показателями при делении, — не вспоминай, а посчитай: 2⁵/2³ = 32/8 = 4 = 2². Показатели вычлись, а не поделились — ответ получен за пятнадцать секунд и без всякой памяти.
Тема отдаёт балл не только в задании 8. Показательные уравнения из заданий 7 и 14 начинаются ровно с этого приёма: 2ˣ · 4ˣ = 64 решается только после приведения к одному основанию. Так что эти пять правил ты возвращаешь себе не один раз за экзамен.

Словарь темы

Степень: Результат возведения основания в показатель. При натуральном показателе n запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей a. Для нулевого и отрицательного показателя определение задаётся отдельно — так, чтобы правила действий со степенями продолжали выполняться.
Основание степени: Число, которое возводят в степень. В записи (−2)⁴ основание равно −2, а в записи −2⁴ основание равно 2, и минус к нему не относится. Скобки здесь несут смысл, а не оформление.
Показатель степени: Число, которое пишется сверху и говорит, что делать с основанием. Целый показатель бывает натуральным, нулевым или отрицательным.
Целый показатель: Показатель из множества целых чисел: …, −2, −1, 0, 1, 2, … Именно на нём построена эта тема. Дробный показатель — соседняя тема кода 1.3.
Взаимно обратные числа: Пара чисел, произведение которых равно 1. Обратное к a записывается как a⁻¹ = 1/a и существует при a ≠ 0. Отсюда же и правило a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Приведение к одному основанию: Приём, с которого начинается почти любое вычисление со степенями: все основания заменяют степенями одного числа (4 = 2², 27 = 3³), после чего работают правила сложения и вычитания показателей.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 8 КИМ (1 балл) Макс. 1 балл ~3 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 1.4 «Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени». В кодификаторе 2027 степень с рациональным показателем входит в тот же элемент 1.4, что и степень с целым показателем. В проекте КИМ 2027 вычисление значения выражения — задание 8.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 1.4 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня и проверяется заданием 8.
Задание 8 — базовый уровень, 1 балл, ориентировочно 3 минуты; формулировка «Найдите значение выражения».
Ответ задания 8 — целое число или конечная десятичная дробь, записывается в бланк № 1.
Калькулятор на экзамене запрещён, а справочные материалы профильного уровня содержат только 4 формулы тригонометрии — свойств степеней там нет.
a⁰ = 1 при a ≠ 0 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0 — это доопределения, которые выбраны так, чтобы правило a^m : a^n = a^(m−n) сохранилось для всех целых показателей.
0⁰ и 0⁻ⁿ не определены; 0ⁿ = 0 при натуральном n.
Пять свойств степени (a^m·a^n = a^(m+n); a^m/a^n = a^(m−n); (a^m)^n = a^(mn); (ab)^n = a^n·b^n; (a/b)^n = a^n/b^n) верны для любых целых m и n при a ≠ 0, b ≠ 0.
(a + b)^n ≠ a^n + b^n — правила относятся к произведению и частному, а не к сумме.
−2⁴ = −16, а (−2)⁴ = 16: возведение в степень выполняется раньше умножения на −1, поэтому без скобок минус в основание не входит.
Знак степени отрицательного основания определяется чётностью показателя: (−3)² = 9, (−3)³ = −27; отрицательный показатель на знак не влияет: (−2)⁻³ = −0,125.
(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ; в частности (1/4)⁻² = 16, 0,2⁻² = 25, 0,5⁻³ = 8, 0,25⁻¹ = 4, 10⁻² = 0,01.
Степени двойки до 1024, тройки до 729 и пятёрки до 625 покрывают основания, которые реально встречаются в задании 8.
В мосте к дробному показателю: 81^(3/4) = 27 и (1/32)^(−2/5) = 4, причём отрицательный показатель переворачивает основание до извлечения корня.
Приведение к одному основанию — тот же первый шаг в показательных уравнениях заданий 7 и 14, поэтому тема отдаёт балл не только в задании 8.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 18 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.