Степень с целым показателем

Вся тема держится на пяти равенствах. Выучить их надо буквально: в справочных материалах профильного экзамена их нет.

Ради чего мы городили ноль и минус: все пять работают для любых целых $m$ и $n$ — положительных, нулевых, отрицательных — при $a \ne 0$ и $b \ne 0$. Никаких отдельных правил «для отрицательных показателей» не существует. Правила те же самые, просто теперь показатели можно складывать и вычитать свободно, не следя за тем, что больше.

Два условия, в которых чаще всего промахиваются.

Первое: одинаковые основания. Правила умножения и деления складывают показатели только тогда, когда основание одно и то же. Запись $2^3 \cdot 5^3$ по этому правилу не считается вообще — там разные основания. Зато к ней применимо другое правило, $(ab)^n = a^n b^n$, прочитанное справа налево: $2^3 \cdot 5^3 = 10^3 = 1000$. Проверь в лоб: 8·125 = 1000.

Второе: правила про произведение, а не про сумму. Скобку $(a+b)^n$ раскрыть по ним нельзя, и равенства $(a+b)^n = a^n + b^n$ не существует. Одного контрпримера хватит навсегда: $(2+3)^2 = 25$, а $2^2 + 3^2 = 13$.

Кстати, про контрпримеры. Если на экзамене засомневался в правиле, не вспоминай — проверь на маленьких числах прямо в черновике. $2^3 \cdot 2^2 = 8 \cdot 4 = 32 = 2^5$: показатели сложились, а не перемножились. Пятнадцать секунд — и сомнения нет.

Первое и самое важное: минус в показателе не делает число отрицательным. Он делает его перевёрнутым. $2^{-3} = \tfrac{1}{2^3} = \tfrac18 = 0{,}125$ — это положительное число, и никакого «минус восемь» здесь нет. Знак результата определяет только основание, а показатель отвечает за то, перевернём мы дробь или нет.

Частный случай, который стоит опознавать сразу: $a^{-1} = \tfrac1a$ — это просто обратное число.

Если основание — дробь, отрицательный показатель её переворачивает. Это не новое правило, а следствие двух старых:

На практике это экономит время: $\left(\tfrac14\right)^{-2} = 4^2 = 16$. Перевернул — и считаешь обычную степень, никаких дробей в знаменателе.

Десятичные основания сначала переводи в обыкновенные дроби, иначе без калькулятора будет больно. $0{,}2^{-2}$: замечаем, что $0{,}2 = \tfrac15$, переворачиваем и получаем $5^2 = 25$. То же с $0{,}5^{-3} = 2^3 = 8$ и $0{,}25^{-1} = 4$.

Обратный ход тоже пригодится — в задании 7 ответ надо записать целым числом или конечной десятичной дробью. Степени десятки переводятся мгновенно: $10^{-2} = 0{,}01$, $10^{-3} = 0{,}001$.

Правила складывают показатели только при одинаковых основаниях. Значит, первый ход в любом вычислении — привести всё к одному основанию. Практически все степенные выражения в задании 7 собраны из степеней двойки, тройки или пятёрки, и составитель прячет это за числами вроде 4, 8, 16, 27 или 125.

Смотри, как это работает. Выражение $\dfrac{4^5 \cdot 8^2}{2^{17}}$ выглядит страшновато, пока в нём три разных основания. Заменяем: $4 = 2^2$, значит $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$; $8 = 2^3$, значит $8^2 = (2^3)^2 = 2^6$. Дальше всё складывается само:

Второй приём — разложить основание на множители, если оно составное. Возьмём $\dfrac{6^7}{2^7 \cdot 3^5}$. Никакое из оснований к другому не сводится, но $6 = 2 \cdot 3$, а правило $(ab)^n = a^n b^n$ позволяет это разнести:

Чтобы этот приём работал на скорости, нужны в голове три коротких ряда. Степени двойки до 1024, тройки до 729, пятёрки до 625 — этого хватает на подавляющее большинство заданий. Калькулятора на экзамене не будет, а узнавать 243 как $3^5$ надо мгновенно, иначе приём просто не запустится.

Тема называется «степень с целым показателем», но в задании 7 регулярно попадаются записи вроде $27^{2/3}$ или $16^{3/4}$. Это уже соседняя тема — арифметический корень натуральной степени, код 1.3. Разбирать её здесь не будем, но мост навести стоит, потому что мост короткий.

Дробный показатель — это тот же корень, записанный по-другому. Если тему 1.3 ты ещё не проходил, вот короткая опора. Корень $n$-й степени из $a$ — это такое число, которое в степени $n$ даёт само $a$. Например, $\sqrt[3]{8} = 2$, потому что $2^3 = 8$. Полный разбор корней — в теме 1.3; сюда за мостом удобнее возвращаться уже после неё. Связь с показателем такая:

Ценно вот что: все пять правил из этой темы продолжают работать и там. Ради этого дробный показатель и придумали — точно так же, как раньше придумали ноль и минус. Поэтому $81^{3/4} = (3^4)^{3/4} = 3^{4 \cdot 3/4} = 3^3 = 27$ — сработало обычное правило $(a^m)^n = a^{mn}$, ничего нового.

Единственное место, где стоит притормозить, — порядок действий, когда показатель дробный и отрицательный сразу. Минус относится ко всей дроби, поэтому основание переворачивается первым, до всяких корней. Разберём $\left(\tfrac{1}{32}\right)^{-2/5}$: сначала минус переворачивает основание — получаем $32^{2/5}$, и только теперь работаем с дробью: $32^{2/5} = (2^5)^{2/5} = 2^2 = 4$. Ответ 4. Если полезть за корнем раньше, чем перевернёшь дробь, запутаешься гарантированно.

Подробности про корни, их область определения и преобразования — в теме кода 1.3. Здесь достаточно знать, что фундамент у обеих тем общий: те же пять правил.