Рациональные числа

Задание 7 КИМ (1 балл); также в 19 Макс. 1 балл ~3 минуты

Тема выглядит как шестой класс, но именно она даёт задание 7: посчитать без калькулятора за три минуты. И именно здесь решается, будет ли ответ конечной десятичной дробью, которую вообще можно записать в бланк, и как дробь в показателе степени превращается в корень.

Что такое рациональное число

Рациональное число — это число, которое можно записать дробью $\dfrac{m}{n}$ , где $m$ — целое, а $n$ — натуральное. Всё множество таких чисел обозначают $\mathbb{Q}$ . Слово «можно» тут несущее: число не обязано быть записано дробью — важно, что его так записать реально.

Отсюда сразу следует то, что многие упускают: любое целое число рационально. Семёрка — это $7/1$ , ноль — это $0/1$ , минус тройка — это $-3/1$ . Поэтому множества вкладываются одно в другое:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}

Конечная десятичная дробь тоже рациональна: $-0{,}25 = -\dfrac{1}{4}$ . И даже бесконечная периодическая: $0{,}(3) = 0{,}333\ldots = \dfrac{1}{3}$ — скобки означают, что тройка повторяется без конца. Любую такую периодическую запись тоже можно свернуть обратно в обыкновенную дробь.

Складывай, вычитай, умножай и дели рациональные числа сколько угодно (кроме деления на ноль) — из $\mathbb{Q}$ ты не выйдешь. Видно прямо из формулы сложения:

\dfrac{m}{n} + \dfrac{p}{q} = \dfrac{mq + np}{nq}

Справа снова целое, делённое на натуральное, — снова дробь. С произведением и частным то же самое. Это свойство называют замкнутостью. Практический смысл простой: сумму или разность нескольких дробей всегда можно свести к одной дроби, а с единственной дробью уже удобно рассуждать про её числитель и знаменатель по отдельности.

И последнее из базы. У одного и того же числа записей-дробей бесконечно много: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{300}{400}$ . Поэтому договорились работать с несократимой — той, у которой числитель и знаменатель взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме единицы.

У каждого рационального числа такая несократимая запись ровно одна, если знаменатель брать натуральным. Дальше вся тема держится на этом слове: почти каждое утверждение верно именно для несократимой дроби. Это не придирка — уже в следующем блоке признак конечной записи работает только после сокращения.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ: каждое целое число — тоже рациональное, знаменатель у него единица

Вложенные числовые множества на координатной прямой и модели дробей — Натуральные числа входят в целые, а целые — в множество рациональных чисел.

Конечная запись или периодическая — решает знаменатель

Раздели 3 на 8 столбиком — получишь 0,375, деление закончится. Раздели 1 на 3 — не закончится никогда: 0,333… Вопрос, который стоит и за заданием 7, и за форматом бланка: как понять заранее, чем кончится дело, не деля?

Признак. Несократимая дробь $\dfrac{m}{n}$ записывается конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда её знаменатель раскладывается только на двойки и пятёрки:

n = 2^a \cdot 5^b, \qquad a \geqslant 0,\ b \geqslant 0

Почему так — видно с обеих сторон, и оба рассуждения стоит понимать, а не запоминать. Конечная десятичная дробь — это всегда что-то, делённое на степень десятки: $0{,}375 = \dfrac{375}{1000}$ . А $10^s = 2^s \cdot 5^s$ — других простых множителей у степени десятки нет. Значит, у несократимой дроби с конечной записью знаменатель обязан делить какую-то степень десятки, а туда, кроме двоек и пятёрок, ничего не пролезает.

Обратно: если $n = 2^a \cdot 5^b$ , домножь числитель и знаменатель на недостающее. Возьми $s$ — наибольшее из $a$ и $b$ , тогда знаменатель станет ровно $10^s$ , и запись конечна. Проверь на $\dfrac{7}{40}$ : сорок — это $2^3 \cdot 5$ , до тысячи не хватает двух пятёрок, домножаем на 25:

\dfrac{7}{40} = \dfrac{7 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \dfrac{175}{1000} = 0{,}175

Слово «несократимая» здесь несёт весь смысл. Посмотри на $\dfrac{9}{12}$ . Знаменатель $12 = 2^2 \cdot 3$ , тройка есть — казалось бы, запись периодическая. Но $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ , и она конечна. Признак применяют не к той дроби, которую видят, а к той, которая останется после сокращения. Порядок жёсткий: сначала сократи, потом смотри на знаменатель.

А если после сокращения в знаменателе остался хоть один простой множитель, кроме 2 и 5, деление не закончится никогда — и запись будет бесконечной периодической. Не «какой-то бесконечной», а именно периодической, и вот почему.

При делении столбиком на $n$ остаток может быть только одним из чисел $0, 1, \ldots, n-1$ — их всего $n$ штук. Значит, не позже чем через $n$ шагов остаток либо обнулится, и деление закончится, либо повторится — а вместе с повтором остатка по кругу пойдёт и цепочка цифр.

Третьего варианта у рационального числа нет: либо конечная запись, либо периодическая.

И вот зачем это на экзамене. В бланк № 1 разрешено писать целое число или конечную десятичную дробь — больше ничего. Получилось в задании 7 число $\dfrac{3}{8}$ — паниковать не надо: $8 = 2^3$ , запись конечна, пиши 0,375. А если вышло $\dfrac{1}{3}$ , то в бланк это не переносится никак — и значит, ошибка где-то в решении: ответ задания части 1 обязан укладываться в этот формат.

Судьба десятичной записи решается знаменателем несократимой дроби

Обратный ход: периодическая дробь в обыкновенную

Превратить периодическую запись обратно в дробь можно одним приёмом: домножить на такую степень десятки, чтобы период встал сам на себя, и вычесть. Хвосты уничтожатся.

Возьмём $x = 0{,}(27)$ . Период — две цифры, значит домножаем на 100:

x = 0{,}(27), \qquad 100x = 27{,}(27)

После запятой у обоих чисел стоит одна и та же бесконечная цепочка 272727… Вычитаем — и она исчезает:

100x - x = 27 \ \Rightarrow \ 99x = 27 \ \Rightarrow \ x = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}

Проверить можно делением: 3 разделить на 11 действительно даёт 0,2727…

Если перед периодом есть лишние цифры, домножаем дважды — так, чтобы у обоих чисел после запятой остался ровно период. Пусть $x = 0{,}2(3)$ :

10x = 2{,}(3), \qquad 100x = 23{,}(3)

Хвост «(3)» одинаков у обоих, поэтому вычитание его убирает:

100x - 10x = 23 - 2 \ \Rightarrow \ 90x = 21 \ \Rightarrow \ x = \dfrac{21}{90} = \dfrac{7}{30}

Отсюда мнемоника. В числителе — всё число до конца первого периода минус то, что стояло до периода. В знаменателе — девятки по числу цифр периода и нули по числу цифр перед периодом. Для 0,2(3) это $\dfrac{23 - 2}{90} = \dfrac{7}{30}$ . Но если мнемоника вылетела из головы, просто повтори вычитание руками — оно работает всегда.

Побочный результат этого приёма ставит в тупик каждого, кто видит его впервые. Возьми $x = 0{,}(9)$ . Тогда $10x = 9{,}(9)$ , вычитаем: $9x = 9$ , то есть $x = 1$ . Не «почти единица», а ровно единица. Ошибки здесь нет: у любого числа с конечной записью, кроме самого нуля, десятичных записей ровно две, и $0{,}(9) = 1$ — самая известная такая пара.

Сложим два факта. Любую дробь можно развернуть в конечную или периодическую запись, и любую периодическую запись можно свернуть обратно в дробь. Получается точное описание: рациональные числа — это ровно те числа, чья десятичная запись конечна или периодична. Это рабочее определение для задания 19, когда про число надо доказать, что оно представимо дробью.

Дробь в показателе степени

Задание 7 регулярно ставит рациональное число туда, где привычнее видеть целое, — в показатель степени. Определение такое:

a^{m/n} = \sqrt[n]{a^{m}}, \qquad a > 0,\ m \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N},\ n \geqslant 2

Свойства самих корней — тема соседнего кода 1.3, здесь важно другое: показатель стал рациональным числом, а правила обращения с ним остались ровно те же, что были для целого показателя.

Почему требуется a > 0 — это не формальность, а необходимость, и её стоит понять один раз. Одно и то же рациональное число записывается разными дробями: $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$ . Разреши отрицательное основание — и одно выражение даст два разных ответа:

(-8)^{1/3} = \sqrt[3]{-8} = -2, \qquad (-8)^{2/6} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2

Определение, которое выдаёт два ответа на один вопрос, никуда не годится. Поэтому степень с дробным показателем определяют только для положительного основания — и в задании 7 отрицательных оснований под дробной степенью ты не встретишь.

Отрицательный показатель переворачивает дробь. Правило то же, что и для целых показателей:

a^{-r} = \dfrac{1}{a^{r}}, \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{r}

Рабочий приём тут ровно один, и он решает почти любое такое вычисление: приведи основание к степени простого числа — дальше показатели просто перемножатся.

27^{2/3} = \left(3^{3}\right)^{2/3} = 3^{\,3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^{2} = 9

16^{3/4} = \left(2^{4}\right)^{3/4} = 2^{3} = 8, \qquad \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-2/3} = \left(2^{-3}\right)^{-2/3} = 2^{2} = 4

Смотри, что произошло: тройка из показателя основания сократилась со знаменателем дроби. Ради этого сокращения основание и раскладывают. Калькулятора на экзамене нет, поэтому числа в задании 7 подбирают так, чтобы сокращение происходило. Не вышло сократить — скорее всего, основание разложено не до конца.

И сразу про то, чего делать нельзя: показатель — не множитель. $27^{2/3}$ — это не $27 \cdot \dfrac{2}{3} = 18$ . Это кубический корень из 27 в квадрате, то есть 9.

Как рациональные числа выходят в задании 19

Код 1.2 привязан не только к заданию 7, но и к заданию 19 — тому самому, про числа и их свойства, на 4 балла. Только не обманывайся: само задание 19 чаще держится на целых числах и остатках, а это соседний код 1.1. Рациональные числа дают там свой набор инструментов, и он небольшой — ровно три штуки.

Первый: несократимость как данные. Фраза «дробь $\dfrac{m}{n}$ несократима» — это не описание, а условие задачи, из которого сразу тянутся следствия. Знаменатель чётный — значит, числитель обязан быть нечётным, иначе двойку можно было бы сократить. Знаменатель делится на 3 — значит, числитель на 3 не делится. Каждое такое следствие уже готовый шаг доказательства.

Второй: общий знаменатель и контроль чётности. Сложив дроби, ты получаешь один числитель и один знаменатель — это и есть замкнутость в работе. Дальше вопрос «целое ли это число?» превращается в вопрос «делится ли числитель на знаменатель?», а это уже чистая делимость — аппарат соседнего кода 1.1. Чаще всего хватает чётности: разбор такой задачи ниже, во втором примере, и решает там именно она.

Третий: представимость. Чтобы доказать, что число рационально, достаточно предъявить дробь — либо прямо, либо свернув периодическую запись приёмом из блока выше. Обратная задача — доказать, что дробью число не представимо, — это уже код 1.7 про действительные числа, и техника там другая.

Больше в коде 1.2 для задания 19 ничего не заложено, и это честная новость: не пытайся вытянуть из темы то, чего в ней нет. Основной вес «Рациональных чисел» всё-таки в задании 7.

Как считать задание 7 с дробями и дробными показателями

1Убери десятичные дроби из основания. 0,2 неудобно, 1/5 — удобно,

5^{-1}

— идеально. Переводи десятичную запись в обыкновенную сразу, до всяких степеней.

2Разложи каждое основание на степень простого числа. 27 = 3³, 16 = 2⁴, 81 = 3⁴, 1/8 = 2⁻³, 0,04 = 5⁻². После этого выражение почти всегда сворачивается само.

3Перемножь показатели по правилу

(a^{p})^{q} = a^{pq}

. Дробный показатель здесь сократится со степенью основания — ради этого и делался шаг 2.

4Отрицательный показатель переверни.

a^{-r} = \dfrac{1}{a^{r}}

. Если в основании дробь, это просто переворот:

\left(\dfrac{8}{27}\right)^{-2/3} = \left(\dfrac{27}{8}\right)^{2/3}

. Знак самого числа при этом не меняется.

5Складывай в обыкновенных дробях, а в десятичную переводи один раз — в самом конце. Калькулятора нет, и промежуточные десятичные дроби только добавляют шансов ошибиться.

6Переведи ответ в формат бланка. Получилась обыкновенная дробь — сократи, проверь знаменатель на «только двойки и пятёрки» и запиши конечной десятичной:

\dfrac{199}{4} = 49{,}75

. Разделитель — запятая. Знаменатель не сошёлся к двойкам и пятёркам — возвращайся искать ошибку.

Разбор: задание 7 со степенями

Пример

Найди значение выражения

81^{3/4} - \left(\dfrac{8}{27}\right)^{-2/3} + 0{,}2^{-2}

Три слагаемых с тремя разными основаниями — считаем каждое отдельно, потом собираем. Начинаем всегда с разложения оснований.Первое слагаемое. 81 — это 3⁴, показатели перемножаются, и четвёрка сокращается со знаменателем дроби:

81^{3/4} = \left(3^{4}\right)^{3/4} = 3^{\,4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^{3} = 27

Второе слагаемое. Показатель отрицательный — переворачиваем дробь в основании, знак показателя становится плюсом:

\left(\dfrac{8}{27}\right)^{-2/3} = \left(\dfrac{27}{8}\right)^{2/3}

Теперь замечаем, что 27/8 — это куб дроби 3/2, потому что 27 = 3³ и 8 = 2³:

\left(\dfrac{27}{8}\right)^{2/3} = \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)^{2/3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}

Третье слагаемое. Десятичную дробь сразу переводим в обыкновенную и дальше в степень: 0,2 = 1/5 = 5⁻¹.

0{,}2^{-2} = \left(5^{-1}\right)^{-2} = 5^{\,(-1) \cdot (-2)} = 5^{2} = 25

Собираем всё вместе. Минус относится ко второму слагаемому целиком, поэтому вычитаем 9/4:

27 - \dfrac{9}{4} + 25 = 52 - \dfrac{9}{4} = \dfrac{208 - 9}{4} = \dfrac{199}{4}

Последний шаг — формат бланка. Дробь 199/4 несократима, знаменатель 4 = 2², только двойки — значит, десятичная запись конечна и ответ записать можно:

\dfrac{199}{4} = 49{,}75

Если бы в знаменателе после сокращения осталась, скажем, тройка, это был бы сигнал вернуться и искать арифметическую ошибку: у задания части 1 такого ответа быть не может.Ответ: 49,75.

Разбор: дроби в стиле задания 19

Пример

Дробь

\dfrac{m}{4}

несократима,

k

— целое число. Может ли сумма

\dfrac{m}{4} + \dfrac{k}{6}

быть целым числом?

Условие «несократима» само по себе в вычислениях не участвует. Первым делом переводим его в свойство числа m — иначе оно так и останется лежать без дела.Что даёт несократимость. У четвёрки единственный простой делитель — двойка. Раз у m и 4 нет общих делителей, кроме единицы, значит m на двойку не делится: m нечётное. Это всё, что нам понадобится.Теперь складываем дроби. Общий знаменатель у 4 и 6 — это 12:

\dfrac{m}{4} + \dfrac{k}{6} = \dfrac{3m}{12} + \dfrac{2k}{12} = \dfrac{3m + 2k}{12}

Предположим, что сумма всё-таки равна целому числу N, и посмотрим, к чему это приведёт:

\dfrac{3m + 2k}{12} = N \ \Rightarrow \ 3m + 2k = 12N

Смотрим на чётность обеих частей. Справа

12N

чётно при любом целом N — двенадцать само чётное.Слева: m нечётное, значит 3m — произведение двух нечётных — тоже нечётное. Слагаемое 2k чётно при любом целом k. Нечётное плюс чётное даёт нечётное.Нечётное число не может равняться чётному. Значит, предположение неверно, и целой суммы не бывает.Обрати внимание на устройство решения: ни одного вычисления, только цепочка «несократимость → чётность → противоречие». Так и выглядит рабочий кусок задания 19, когда в нём появляются дроби.Ответ: Нет, не может ни при каком целом k: числитель 3m + 2k всегда нечётен, а чтобы сумма была целой, он обязан делиться на 12..

Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где эта тема стоит балла. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Какая из дробей записывается конечной десятичной дробью?

Признак применяют к несократимой дроби, поэтому сначала сокращаем: 9/12 = 3/4, знаменатель 4 = 2², только двойки — запись конечна, 3/4 = 0,75. Остальные три дроби уже несократимы, и в знаменателях сидят лишние простые множители: 30 = 2·3·5, 14 = 2·7, 21 = 3·7. Каждая из них даёт бесконечную периодическую запись.

2.Чему равно значение выражения (1/32)^(−2/5)?

1/32 = 2⁻⁵, дальше показатели перемножаются: (2⁻⁵)^(−2/5) = 2^((−5)·(−2/5)) = 2² = 4. Минус в показателе означает не отрицательный ответ, а переворот дроби — можно было сразу написать (1/32)^(−2/5) = 32^(2/5) = (2⁵)^(2/5) = 2² = 4.

3.Запиши число 0,1(6) обыкновенной дробью.

Домножаем так, чтобы после запятой у обоих чисел остался только период: 100x = 16,(6) и 10x = 1,(6). Вычитаем — хвосты уничтожаются: 90x = 15, значит x = 15/90 = 1/6. Вариант 16/99 — это 0,(16), там период начинается сразу после запятой и цифра 1 в него входит; у нас же единица стоит до периода, поэтому её и вычитают.

4.В задании 7 у тебя получился ответ 3/8. Что писать в бланк № 1?

Бланк № 1 принимает целое число или конечную десятичную дробь, поэтому обыкновенная дробь 3/8 не подходит. Знаменатель 8 = 2³ — только двойки, значит запись конечна и точна: 3/8 = 0,375. Округлять нельзя: ответ должен быть точным, а 0,375 записывается полностью, без обрезки.

5.Известно, что дробь m/4 несократима. Что из этого следует про целое число m?

Единственный простой делитель четвёрки — двойка. Несократимость значит, что общих делителей, кроме единицы, у m и 4 нет, поэтому m на 2 не делится, то есть m нечётное. Простым при этом m быть не обязано: дробь 9/4 несократима, а 9 — составное число.

Где здесь теряется балл

Ошибка 1

Проверяют знаменатель, не сократив дробь. Увидели 9/12, нашли тройку в разложении 12 = 2²·3 и записали «периодическая». А 9/12 = 3/4 = 0,75 — запись конечная. Признак «только двойки и пятёрки» работает исключительно для несократимой дроби, поэтому порядок действий жёсткий: сначала сокращение, потом разложение знаменателя.

Ошибка 2

Умножают основание на дробный показатель. $27^{2/3}$ — это не $27 \cdot \dfrac{2}{3} = 18$ . Показатель не множитель: $27^{2/3} = \sqrt[3]{27^{2}} = \sqrt[3]{729} = 9$ .

Ошибка 3

Переносят минус из показателя в ответ. $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-2/3}$ равно 4, а не −4. Отрицательный показатель переворачивает дробь, а знака самого числа не трогает: основание степени с дробным показателем всегда положительно — значит, и результат положителен.

Ошибка 4

Записывают в бланк обыкновенную дробь или округляют. Часть 1 принимает целое число или конечную десятичную дробь. Число 3/4 в бланке — это «0,75», а не «3/4» и не «0,8». А если ответ принципиально не переводится в конечную десятичную — вышло, например, 1/3, — это сигнал вернуться и пересчитать: у задания части 1 такого ответа быть не может.

Ошибка 5

Теряют вычитание при переводе периодической дроби. 0,2(3) — это $\dfrac{23 - 2}{90} = \dfrac{7}{30}$ , а не 23/90 (это, кстати, совсем другое число — 0,2(5)). Двойка стоит до периода, поэтому её вычитают. Забыл формулу — разверни вычитание руками: 100x − 10x = 23 − 2.

Ошибка 6

Считают, что целые числа не рациональные. Семёрка рациональна: 7 = 7/1. Ноль тоже: 0 = 0/1. Это прямо следует из определения — знаменатель у целого числа равен единице, и никакого запрета на это в определении нет.

Запомни для ЕГЭ

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}, \quad m \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N}

a^{m/n} = \sqrt[n]{a^{m}}, \quad a > 0

a^{-r} = \dfrac{1}{a^{r}}, \quad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{r}

\text{несократимая } \dfrac{m}{n} \text{ конечна} \iff n = 2^{a} \cdot 5^{b}

0{,}(27) = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}, \quad 0{,}2(3) = \dfrac{23 - 2}{90} = \dfrac{7}{30}

25^{3/2} = \left(5^{2}\right)^{3/2} = 5^{3} = 125

7Ответ части 1 — целое число или конечная десятичная дробь. 3/4 записывается как 0,75

На экзамене

Задание 7 — базовый уровень, 1 балл, и по нашему разбору спецификации на него разумно закладывать около трёх минут. Это не задание, над которым думают: либо основание разложилось на степень простого числа, либо ты смотришь не туда. Не увидел за минуту, к какому простому приводить, — отметь и вернись позже.
Свойств степеней в справочных материалах нет. На профиле выдают всего четыре формулы, и все тригонометрические: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Всё, что нужно этой теме, придётся помнить самому.
Калькулятор запрещён, поэтому числа в задании 7 подобраны под устный счёт. Если вычисление получается громоздким — это почти всегда признак, что основание разложено не до конца, а не повод считать столбиком.
Перед переносом ответа в бланк проверь формат. Обыкновенную дробь надо превратить в конечную десятичную, разделитель — запятая: 0,75, а не 0.75.
Задание 19 стоит 4 балла, и код 1.2 к нему привязан — но сама тема «Рациональные числа» весит один балл задания 7. В задании 19 дроби чаще инструмент, а не сюжет: сюжет там обычно про целые числа и остатки, то есть про соседний код 1.1. Не переоценивай тему из-за присутствия девятнадцатого номера в списке.
Если дроби всё-таки появились в задании 19, помни про устройство его критериев: пункты а), б) и в) стоят не поровну — пункт в) весит больше остальных. При нехватке времени сначала честно закрывай пункт а): это самый дешёвый балл в задании.

Словарь темы

Рациональное числоЧисло, представимое дробью m/n, где m — целое, а n — натуральное. Множество всех таких чисел обозначают ℚ. Целые числа тоже рациональны: у них знаменатель равен единице.

Взаимно простые числаДва числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы. Составными при этом они быть могут: 9 и 4 взаимно просты, хотя ни одно из них не простое.

Несократимая дробьДробь, у которой числитель и знаменатель взаимно просты. У каждого рационального числа такая запись ровно одна, если знаменатель брать натуральным. Почти все утверждения темы верны только для несократимой дроби.

Период десятичной дробиГруппа цифр, которая бесконечно повторяется в десятичной записи. Её пишут в скобках: 0,41(6) означает 0,41666…

Периодическая десятичная дробьБесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого места цифры повторяются группами. Любое рациональное число записывается либо конечной, либо периодической десятичной дробью — третьего не дано.

Степень с рациональным показателемВыражение a^(m/n) при a > 0, равное корню степени n из a^m. Для отрицательного основания не определено: одно и то же рациональное число записывается разными дробями, и ответы разошлись бы.

Замкнутость множестваСвойство множества не выпускать за свои пределы. Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на ноль) двух рациональных чисел снова рациональны — значит, ℚ замкнуто относительно этих действий.

Источники и проверка

16 источников

Тема соответствует коду 1.2 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня и называется «Рациональные числа».
Ядро темы — задание 7 (базовый уровень, 1 балл, ~3 минуты), а не задание 19. Поля level «Б» и maxScore 1 относятся к primaryKim 7.
Задание 19 — высокий уровень, 4 балла, «числа и их свойства»; в нём пункт в) весит больше пунктов а) и б), а пункт а) даёт минимальный балл.
Задание 19 в реальном банке почти целиком про целые/натуральные числа и остатки (код 1.1), а не про дроби. Поэтому тема не завышает свой вес.
Ответы части 1 (№ 1–12, включая № 7) записываются в бланк № 1 как целое число или конечная десятичная дробь. Следовательно, 3/4 записывается как 0,75, а ответ вида 1/3 в части 1 невозможен.
Признак: несократимая дробь m/n записывается конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда n = 2^a · 5^b.
Десятичная запись любого рационального числа конечна или периодична; иных вариантов нет.
Перевод периодической дроби в обыкновенную: 0,(27) = 27/99 = 3/11; 0,2(3) = (23 − 2)/90 = 21/90 = 7/30; 0,1(6) = 15/90 = 1/6; 0,(9) = 1.
Степень с рациональным показателем определяется как a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) только при a > 0.
Задание 7 реально спрашивает степени с рациональным показателем вида 27^(2/3) = 9, 16^(3/4) = 8, (1/8)^(−2/3) = 4.
Все числовые результаты примеров и вопросов проверены вручную.
На профиле в справочных материалах выдают только 4 формулы, все тригонометрические; свойств степеней и корней там нет.
Калькулятор на экзамене запрещён.
Соседние коды не затронуты: свойства арифметического корня — код 1.3, степень с целым показателем — 1.4, иррациональность и доказательство непредставимости дробью — 1.7, признаки делимости и остатки — 1.1.
Блока interactive в теме нет, потому что подходящей лаборатории не существует.
Формулировки блока «Где здесь теряется балл» описывают механизм ошибки, а не её частоту.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 7

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике