Рациональные числа

Превратить периодическую запись обратно в дробь можно одним приёмом: домножить на такую степень десятки, чтобы период встал сам на себя, и вычесть. Хвосты уничтожатся.

Возьмём x = 0,(27). Период — две цифры, значит домножаем на 100:

После запятой у обоих чисел стоит одна и та же бесконечная цепочка 272727… Вычитаем — и она исчезает:

Проверить можно делением: 3 разделить на 11 действительно даёт 0,2727…

Если перед периодом есть лишние цифры, домножаем дважды — так, чтобы у обоих чисел после запятой остался ровно период. Пусть x = 0,2(3):

Хвост «(3)» одинаков у обоих, поэтому вычитание его убирает:

Отсюда мнемоника. В числителе — всё число до конца первого периода минус то, что стояло до периода. В знаменателе — девятки по числу цифр периода и нули по числу цифр перед периодом. Для 0,2(3) это   (23 - 2)/90 = 7/30. Но если мнемоника вылетела из головы, просто повтори вычитание руками — оно работает всегда.

Побочный результат этого приёма ставит в тупик каждого, кто видит его впервые. Возьми x = 0,(9). Тогда 10x = 9,(9), вычитаем: 9x = 9, то есть x = 1. Не «почти единица», а ровно единица. Ошибки здесь нет: у любого числа с конечной записью, кроме самого нуля, десятичных записей ровно две, и 0,(9) = 1 — самая известная такая пара.

Сложим два факта. Любую дробь можно развернуть в конечную или периодическую запись, и любую периодическую запись можно свернуть обратно в дробь. Получается точное описание: рациональные числа — это ровно те числа, чья десятичная запись конечна или периодична. Это рабочее определение для задания 20, когда про число надо доказать, что оно представимо дробью.

Задание 8 регулярно ставит рациональное число туда, где привычнее видеть целое, — в показатель степени. Определение такое:

Свойства самих корней — тема соседнего кода 1.3, здесь важно другое: показатель стал рациональным числом, а правила обращения с ним остались ровно те же, что были для целого показателя.

Почему требуется a > 0 — это не формальность, а необходимость, и её стоит понять один раз. Одно и то же рациональное число записывается разными дробями:   1/3 = 2/6. Разреши отрицательное основание — и одно выражение даст два разных ответа:

Определение, которое выдаёт два ответа на один вопрос, никуда не годится. Поэтому степень с дробным показателем определяют только для положительного основания — и в задании 8 отрицательных оснований под дробной степенью ты не встретишь.

Отрицательный показатель переворачивает дробь. Правило то же, что и для целых показателей:

Рабочий приём тут ровно один, и он решает почти любое такое вычисление: приведи основание к степени простого числа — дальше показатели просто перемножатся.

Смотри, что произошло: тройка из показателя основания сократилась со знаменателем дроби. Ради этого сокращения основание и раскладывают. Калькулятора на экзамене нет, поэтому числа в задании 8 подбирают так, чтобы сокращение происходило. Не вышло сократить — скорее всего, основание разложено не до конца.

И сразу про то, чего делать нельзя: показатель — не множитель. 27^(2/3) — это не  27 · 2/3 = 18. Это кубический корень из 27 в квадрате, то есть 9.

Код 1.2 привязан не только к заданию 8, но и к заданию 20 — тому самому, про числа и их свойства, на 4 балла. Только не обманывайся: само задание 20 чаще держится на целых числах и остатках, а это соседний код 1.1. Рациональные числа дают там свой набор инструментов, и он небольшой — ровно три штуки.

Первый: несократимость как данные. Фраза «дробь m/n несократима» — это не описание, а условие задачи, из которого сразу тянутся следствия. Знаменатель чётный — значит, числитель обязан быть нечётным, иначе двойку можно было бы сократить. Знаменатель делится на 3 — значит, числитель на 3 не делится. Каждое такое следствие уже готовый шаг доказательства.

Второй: общий знаменатель и контроль чётности. Сложив дроби, ты получаешь один числитель и один знаменатель — это и есть замкнутость в работе. Дальше вопрос «целое ли это число?» превращается в вопрос «делится ли числитель на знаменатель?», а это уже чистая делимость — аппарат соседнего кода 1.1. Чаще всего хватает чётности: разбор такой задачи ниже, во втором примере, и решает там именно она.

Третий: представимость. Чтобы доказать, что число рационально, достаточно предъявить дробь — либо прямо, либо свернув периодическую запись приёмом из блока выше. Обратная задача — доказать, что дробью число не представимо, — это уже код 1.7 про действительные числа, и техника там другая.

Больше в коде 1.2 для задания 20 ничего не заложено, и это честная новость: не пытайся вытянуть из темы то, чего в ней нет. Основной вес «Рациональных чисел» всё-таки в задании 8.