Действительные числа (вещественные): что это такое, виды и примеры

Q: Что такое действительное число?

Действительные (вещественные) числа — все рациональные и иррациональные числа вместе. Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, а каждой точке — число.

Q: Как решать задания по теме «Действительные числа»?

Шаги такие: 1) загони всё под один корень; 2) зажми между соседними точными квадратами; 3) посмотри, к какому краю ближе; 4) уточняй возведением в квадрат, а не извлечением корня; 5) сравнивая два числа, возведи в квадрат оба. Остальные шаги — в разделе темы выше.

Q: Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Действительные числа»?

Считают иррациональным всё, где есть корень. √16 = 4 и √(0,25) = 0,5 — рациональные числа. Для натурального n корень √n иррационален только тогда, когда n не является точным квадратом.

Q: Что нужно запомнить по теме «Действительные числа»?

Главное: 1) √(x²) = |x|; 2) |x| = {x, x ≥ 0; -x, x < 0}; 3) a√b = √(a² b), a ≥ 0, b ≥ 0; 4) a < b ⇔ a² < b², a ≥ 0, b ≥ 0. Остальное — в разделе темы выше.

Действительные (вещественные) числа — это все рациональные и иррациональные числа вместе: каждому из них соответствует точка числовой прямой, а каждой точке — число. На ЕГЭ тема нужна в задании 8 (1 балл): там без калькулятора раскрывают модуль, зажимают корень между целыми и записывают ответ по правилам округления.

Решать задание 8 ЕГЭ

Правила темы в одной таблице

Признаки, формулы и приёмы оценки: когда их применять
Правило	Запись или признак	Когда применять и ограничения
Рациональное или иррациональное	конечная или периодическая запись — рациональное; бесконечная непериодическая — иррациональное	Практический признак вместо определения через дробь: 0,(3) = 1/3, а √2 и π иррациональны
Корень из натурального	√n ∈ ℚ ⇔ n = k²	Знак корня сам по себе ничего не решает: √16 = 4, а √17 иррационален
Операции	рациональное + иррациональное = иррациональное	Два иррациональных могут дать рациональное: √2 · √2 = 2
Модуль	\|x\| = {x, x ≥ 0; -x, x < 0}	Сначала определи знак выражения внутри, потом раскрывай
Корень из квадрата	√(x²) = \|x\|	Совпадает с x только при x ≥ 0
Соседние квадраты	16 < 17 < 25⇒4 < √17 < 5	Работает, потому что корень — возрастающая функция
Множитель под корень	a√b = √(a² b)	a ≥ 0, b ≥ 0; так 2√3 = √12 и оценивается между 3 и 4
Сравнение через квадраты	a < b ⇔ a² < b²	Только при a ≥ 0 и b ≥ 0; у отрицательных квадрат порядок переворачивает
Округление	первая отбрасываемая цифра 0–4 — разряд не меняется, 5–9 — растёт на единицу	Один раз, от исходного числа и в самом конце: 3,146 до десятых — 3,1, а не 3,2

Быстрые ответы

Что такое действительное число?

Действительные (вещественные) числа — все рациональные и иррациональные числа вместе. Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, а каждой точке — число.

Как решать задания по теме «Действительные числа»?

Шаги такие:

загони всё под один корень
зажми между соседними точными квадратами
посмотри, к какому краю ближе
уточняй возведением в квадрат, а не извлечением корня
сравнивая два числа, возведи в квадрат оба.

Остальные шаги — в разделе темы выше.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Действительные числа»?

Считают иррациональным всё, где есть корень. √16 = 4 и √(0,25) = 0,5 — рациональные числа. Для натурального n корень √n иррационален только тогда, когда n не является точным квадратом.

Что нужно запомнить по теме «Действительные числа»?

Главное:

√(x²) = |x|
|x| = {x, x ≥ 0; -x, x < 0}
a√b = √(a² b), a ≥ 0, b ≥ 0
a < b ⇔ a² < b², a ≥ 0, b ≥ 0.

Остальное — в разделе темы выше.

Действительные числа — это вся числовая прямая целиком. Но кодификатор требует от темы не рассуждений про множества, а трёх рабочих навыков без калькулятора: раскрыть модуль, зажать иррациональное число между целыми и округлить ответ так, как принимает бланк № 1.

Обновлено 18 октября 2026

Что такое действительные числа и какие они бывают?

Действительные числа — это все числа, которые можно отметить точкой на числовой прямой. Каждой точке прямой отвечает ровно одно действительное число, и наоборот. Слово «вещественное» означает ровно то же самое: это синонимы, просто в российской школе принято говорить «действительное».

Всё множество действительных чисел распадается на две части, и третьей не бывает. Рациональное число — то, которое можно записать дробью m/n, где m целое, а n — натуральное. Иррациональное — то, которое так записать нельзя.

Определение через дробь на экзамене неудобно: попробуй за минуту доказать, что дроби не существует. Поэтому пользуйся практическим признаком — по десятичной записи:

Запись конечная (0,25) или бесконечная периодическая (0,(3)) — число рациональное. Запись бесконечная непериодическая — число иррациональное. Например, 0,25 = 1/4 и 0,(3) = 1/3 рациональны, а √2 и π — нет.

Главная ловушка темы: знак корня сам по себе ничего не решает. Рука тянется объявить иррациональным любое выражение, где есть √. Но √16 = 4 — обычное натуральное число, а √(0,25) = 0,5 — конечная десятичная дробь.

Точное правило для натурального n такое: √n рационален тогда и только тогда, когда n — точный квадрат (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...). Во всех остальных случаях — иррационален. Поэтому √17 иррационален, а √49 — нет.

Держи в голове первые квадраты до 20² = 400: на них строится вся оценка в этой теме, а таблицы квадратов на экзамене не выдают.

Как умножать, делить и выносить множитель из-под корня — это тема кода 1.3. Здесь корень нужен нам не как объект преобразований, а как типичное иррациональное число, которое надо уметь оценить и сравнить.

Проверь себя за 10 секунд

Какое из этих чисел иррационально?

√16 = 4 — натуральное число, знак корня сам по себе иррациональности не даёт. 0,(6) — бесконечная периодическая дробь, а значит рациональное число (это 2/3). 7/3 рационально по самому виду записи. Остаётся √2: число 2 не является точным квадратом, поэтому корень из него иррационален.

Ещё 5 вопросов — к мини-тесту

Рациональные и иррациональные точки вместе заполняют непрерывную действительную числовую прямую — Действительная прямая объединяет рациональные и иррациональные числа: каждой её точке соответствует число.

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 8 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Найдите значение выражения: log_2(32).

Показать ответ
Задание 2 из 2

Найдите значение выражения: 5^(log_5(7) + 2).

Показать ответ

Арифметика: что сохраняется, а что нет

Сложение, вычитание, умножение и деление на действительных числах работают по тем же законам, что и на дробях из средней школы: переместительный, сочетательный, распределительный. Результат любой из этих операций — снова действительное число. Единственное исключение — деление на ноль: оно не определено, и никакой ноль в знаменателе «сократить» нельзя.

А вот иррациональность при операциях не сохраняется, и это не абстракция — на этом эффекте и строятся задания № 8 с корнями.

Рациональное плюс иррациональное — всегда иррационально. Убедись сам: будь сумма r + i рациональной, тогда и i = (r + i) − r оказалось бы рациональным — как разность двух дробей. А оно иррационально. Значит, рациональной сумма быть не может. По той же причине иррациональное, умноженное на любое ненулевое рациональное, снова иррационально.

А вот два иррациональных вместе могут дать рациональное. Проверь сам:

в строку: √2 · √2 = 2, (2 + √3) + (2 - √3) = 4

Оба множителя и оба слагаемых иррациональны, а результат — целое число. Отсюда практический вывод, который экономит нервы на экзамене: увидел корни в условии задания 8 — не спеши считать, что ответ будет «некрасивым».

Ответ части 1 обязан быть целым числом или конечной десятичной дробью, значит корни где-то сократятся, свернутся или уничтожатся. Если после всех преобразований у тебя в ответе всё ещё торчит √2 — почти наверняка ошибка в вычислениях, а не «такое задание попалось».

Что такое модуль числа и как его раскрыть?

Модуль числа x — это расстояние от точки x до нуля на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицателен. Числа −3 и 3 стоят по разные стороны от нуля, но на одинаковом удалении, — значит, модуль у них общий: | − 3| = |3| = 3.

Формально модуль задают двумя случаями:

в строку: |x| = {x, x ≥ 0; -x, x < 0}

Вторая строчка определения — источник частой ошибки. Запись «−x» не означает «отрицательное число». Если x = −3, то −x = −(−3) = 3. Минус здесь не делает число отрицательным, а разворачивает его знак — и как раз поэтому результат выходит положительным.

Теперь то, ради чего модуль вообще попал в эту тему. Квадратный корень по определению неотрицателен, поэтому:

в строку: √(x²) = |x|, а не x

Подставь x = −3 и убедись: слева √((-3)²) = √9 = 3, а справа было бы −3. Совпадают эти две записи только при x≥0.

Отсюда железное правило: чтобы раскрыть модуль, надо сначала узнать знак того, что стоит внутри. Не «убрать минус», не «стереть скобки» — именно определить знак. А если внутри стоит иррациональное число вроде √7 − 3, узнать его знак можно только оценкой. Ровно этим и займёмся дальше.

Модуль — расстояние до нуля, поэтому у −3 и 3 он одинаковый

Прикидка и оценка: зажать число между целыми

Из оборудования на профильной математике разрешена только линейка — считать придётся руками. Значит, вопрос «а сколько примерно равно √17» надо уметь закрывать в уме. Кодификатор называет этот навык прикидкой и оценкой результата, и он же кормит задание 14: чтобы отобрать корни на отрезке, надо понимать, куда эти корни попадают.

Сразу разведём два слова, чтобы дальше не путаться. Оценка — это зажать число между границами, например между двумя соседними целыми. Прикидка — грубая проверка ответа «на глаз», по порядку величины, уже после вычислений. Три приёма ниже — про оценку; к прикидке вернёмся в самом конце блока.

Приём первый: соседние точные квадраты. Ищем два квадрата, между которыми зажат подкоренной результат. Для √17 это 16 и 25:

в строку: 16 < 17 < 25 ⇒ √16 < √17 < √25 ⇒ 4 < √17 < 5

Шаг работает потому, что корень — возрастающая функция: большему подкоренному числу отвечает больший корень. Заметь, что 17 почти вплотную к 16, значит и √17 сидит рядом с 4, а не посередине. Уточняем до десятых: 4,1² = 16,81 < 17, а 4,2² = 17,64 > 17, то есть 4,1 < √17 < 4,2.

Приём второй: занести множитель под корень. Число 2√3 оценить в лоб трудно — сначала спрячем двойку внутрь:

в строку: 2√3 = √(2² · 3) = √12, 9 < 12 < 16 ⇒ 3 < 2√3 < 4

Уточняем тем же способом: 3,4² = 11,56 меньше 12, а 3,5² = 12,25 уже больше. Значит 3,4 < 2√3 < 3,5 — этой точности хватает для любого отбора корней.

Приём третий: сравнение через квадраты. Для неотрицательных чисел возведение в квадрат не меняет порядок:

в строку: a < b ⇔ a² < b² (a ≥ 0, b ≥ 0)

Что больше, 2√3 или 3√2? Возводим оба в квадрат: (2√3)² = 12 и (3√2)² = 18. Двенадцать меньше восемнадцати, значит 2√3 < 3√2. Никаких приближённых значений не понадобилось вовсе. Оговорка про неотрицательность существенна: у отрицательных чисел квадрат порядок переворачивает, ведь −5 < −2, а 25 > 4.

И последнее — собственно прикидка. Прежде чем записать ответ, оцени, каким он должен получиться по порядку величины. Ждал число около четырёх, а вышло 40 — потерян или лишний множитель. Ждал положительное, а получил минус — перепутан знак. Прикидка не доказывает, что решение верное, но грубую ошибку ловит за пять секунд.

√17 зажат между 4 и 5 и лежит близко к 4, потому что 17 близко к 16

По каким правилам округлять приближённый ответ?

Требование к части 1 жёсткое: задание 1–13 засчитано, только если в бланке ответов № 1 стоит верный ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Ни √2, ни π, ни обыкновенная дробь 1/3 в это не укладываются. Поэтому округление — не школьная формальность, а способ вообще донести ответ до проверяющей машины.

Правило округления. Найди разряд, до которого округляешь, и посмотри на первую отбрасываемую цифру — ту, что стоит сразу за ним. Если она от 0 до 4 — оставляешь разряд как есть. Если от 5 до 9 — увеличиваешь его на единицу. Остальные цифры справа просто исчезают.

Разберём на одном числе 3,146, чтобы разница была видна:

Округляем до сотых: разряд сотых — цифра 4, первая отбрасываемая — 6. Шесть больше пяти, поэтому 4 становится 5, и получается 3,15. Округляем то же число до десятых: разряд десятых — цифра 1, первая отбрасываемая — 4. Четыре меньше пяти, поэтому единица остаётся, и получается 3,1.

Здесь и живёт главная ошибка темы: округление цепочкой. Соблазн такой — сначала округлить 3,146 до сотых (3,15), а потом уже 3,15 до десятых (3,2). Ответ 3,2 неверен. Правильный — 3,1. Округление всегда делается за один шаг и от исходного числа, а не по ступенькам.

Отсюда же второе правило: округляй только в самом конце. Если округлить промежуточный результат и продолжить им считать, погрешность пойдёт дальше по решению и разрастётся. Итоговый ответ разойдётся с эталоном, и балл потеряется на ровном месте. Промежуточные шаги веди в точных значениях: дробями, корнями, буквами.

И чисто техническое, но обидное. В бланке № 1 дробная часть отделяется запятой, а не точкой: 0,25, а не 0.25. Минус, если он есть, занимает отдельную клетку.

Напоследок — как понять, до какого разряда округлять. Никак не угадывай: это всегда написано в условии. «Ответ округлите до сотых», «до целого числа», «до десятых» — фраза стоит прямо в задании. Если такой фразы нет, значит ответ обязан получиться точным, и округлять нечего.

Разбор: модуль, который не раскрыть без оценки

Пример

Найди значение выражения √((√7 − 3)²) + √7.

Первым делом — не трогай квадрат со скобкой руками. Здесь работает единственная формула:

√(a²) = |a| ⇒ √((√7-3)²) = |√7-3|Соблазн написать сразу √7 − 3 — и это будет ошибкой, если выражение внутри отрицательно. Значит, надо выяснить знак.Оцениваем √7. Соседние точные квадраты — 4 и 9:4 < 7 < 9 ⇒ 2 < √7 < 3Верхняя граница — ровно то, что нужно: √7 < 3, поэтому √7 − 3 < 0. Выражение под модулем отрицательно.Раскрываем модуль по второй строке определения — для отрицательного аргумента берём противоположное:|√7 − 3| = −(√7 − 3) = 3 − √7Проверь себя прикидкой: √7≈2,6, значит 3 − √7≈0,4 — положительное, как и обязан быть модуль.Собираем выражение целиком:(3 − √7) + √7 = 3Корни уничтожились, ответ — целое число, как и требует бланк № 1. А если бы модуль раскрыли неправильно, вышло бы (√7 − 3) + √7 = 2√7 − 3 — иррациональное число, которое в бланк просто не записать. Это и есть сигнал, что где-то ошибка.Ответ: 3.

Разбор: оценить и округлить без калькулятора

Пример

Не пользуясь калькулятором, оцени число 2√6: между какими соседними целыми числами оно лежит и чему оно равно, если округлить до десятых?

Шаг 1. Заносим множитель под корень, чтобы работать с одним числом:2√6 = √(2² · 6) = √24Шаг 2. Ищем соседние точные квадраты. Ближайшие к 24 — это 16 = 4² и 25 = 5²:16 < 24 < 25 ⇒ 4 < 2√6 < 5Первая часть вопроса закрыта: число лежит между 4 и 5. Причём 24 почти дотягивает до 25, значит наше число сидит вплотную к пятёрке.Шаг 3. Уточняем до десятых. Проверяем кандидатов возведением в квадрат — сравнивать с 24 удобнее, чем извлекать корень:4,8² = 23,04 < 24, 4,9² = 24,01 > 24Значит 4,8 < 2√6 < 4,9. Число зажато между двумя соседними десятыми.Шаг 4. Решаем, куда округлять. Граница между «вниз» и «вверх» — середина отрезка, то есть 4,85. Возводим и её:4,85² = 23,5225 < 24 ⇒ 2√6 > 4,85Наше число правее середины, то есть ближе к 4,9, чем к 4,8. Округляем вверх.Прикидка сходится: 24 лежит почти вплотную к 25, поэтому ответ и обязан был прижаться к пятёрке.И держи в голове рамку: сама «оцени и округли» — это навык-заготовка под отбор корней в задании 14, а не типовое задание 8. В задании 8 «найдите значение выражения» ответ всегда точный, округлять там нечего.Ответ: 4 < 2√6 < 5; с точностью до десятых 2√6 ≈ 4,9.

Как оценить «некрасивое» число без калькулятора?

1Загони всё под один корень. Множитель снаружи мешает оценивать. Заноси его внутрь: a√b = √(a² b) при a≥0. Теперь оценивать надо одно число, а не произведение.
2Зажми между соседними точными квадратами. Найди ближайшие квадраты снизу и сверху — получишь две соседние целые границы. Для этого и нужны наизусть квадраты до 20² = 400.
3Посмотри, к какому краю ближе. Подкоренное число почти дотянуло до верхнего квадрата — значит, корень прижат к правой границе. Едва оторвалось от нижнего — к левой. Нередко дальше этого шага идти и не нужно.
4Уточняй возведением в квадрат, а не извлечением корня. Проверяй кандидатов: 4,8², 4,9² и так далее. Умножать в столбик ты умеешь, а извлекать корень вручную — нет, и не нужно.
5Сравнивая два числа, возведи в квадрат оба. Для неотрицательных a < b ⇔ a² < b². Приближённые значения при этом не нужны совсем — сравнение выходит точным.
6Округляй один раз, в самом конце, от исходного числа. Смотри на первую отбрасываемую цифру: 0–4 — вниз, 5–9 — вверх. Никаких цепочек через промежуточные разряды и никакого округления посреди решения.

Проверь себя

Шесть вопросов по навыкам темы 1.7: раскрытие модуля и вычисление реально встречаются в задании 8, а оценка и округление работают в других заданиях — 14, а также 3–5 и 13. Считай в уме и на бумаге — калькулятора на экзамене не будет.

1.Какое из этих чисел иррационально?

2.Чему равно √((−6)²)?

Считаем по порядку действий: (−6)² = 36, затем √36 = 6. Это иллюстрация формулы √(x²) = |x|, а не √(x²) = x: при отрицательном x правая часть дала бы −6, а корень отрицательным быть не может по определению.

3.Между какими соседними целыми числами лежит √50?

Ищем соседние точные квадраты вокруг 50: это 49 = 7² и 64 = 8². Из 49 < 50 < 64 следует 7 < √50 < 8. Причём 50 почти вплотную к 49, поэтому √50 лежит совсем рядом с семёркой (≈ 7,07). Вариант «24 и 26» — попытка поделить 50 пополам, к корню это отношения не имеет.

4.Округли 4,749 до десятых.

Разряд десятых — цифра 7. Первая отбрасываемая цифра — та, что стоит сразу за ней, то есть 4. Четыре меньше пяти, поэтому семёрка не меняется: ответ 4,7. Вариант 4,8 — результат округления цепочкой (4,749 → 4,75 → 4,8), а так делать нельзя: округляют один раз и от исходного числа.

5.Что больше: 3√2 или 2√5?

Оба числа положительны, поэтому сравнение сохранится при возведении в квадрат: (3√2)² = 9 · 2 = 18, (2√5)² = 4 · 5 = 20. Так как 18 < 20, получаем 3√2 < 2√5, то есть больше именно 2√5. Приближённые значения не понадобились — сравнение вышло точным.

6.Чему равно |√3 − 2|?

Сначала определяем знак выражения внутри модуля. Оцениваем √3: из 1 < 3 < 4 следует 1 < √3 < 2. Значит √3 < 2, и разность √3 − 2 отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному: |√3 − 2| = −(√3 − 2) = 2 − √3. Проверка прикидкой: √3 ≈ 1,7, поэтому 2 − √3 ≈ 0,3 — положительное, как и должно быть у модуля.

Какие ошибки делают в задачах на действительные числа?

Ошибка 1

Считают иррациональным всё, где есть корень. √16 = 4 и √(0,25) = 0,5 — рациональные числа. Для натурального n корень √n иррационален только тогда, когда n не является точным квадратом.

Ошибка 2

Пишут √(x²) = x. Верно только √(x²) = |x|. Подставь x = −3: слева 3, справа −3. Совпадают эти записи лишь при x≥0.

Ошибка 3

Раскрывают модуль, не выяснив знак того, что внутри. Модуль — не «стёрка для минуса». Пока не доказано, что √7 − 3 < 0, писать |√7 − 3| = 3 − √7 нельзя — а доказывается это только оценкой.

Ошибка 4

Читают «−x» как «отрицательное число». В строке определения |x| = −x при x < 0 минус разворачивает знак, а не навязывает его: при x = −3 получается −(−3) = 3, положительное число.

Ошибка 5

Округляют цепочкой. 4,749 до десятых — это 4,7, а не 4,8. Промежуточный проход через 4,75 запрещён: смотрят на первую отбрасываемую цифру исходного числа, и округляют за один шаг.

Ошибка 6

Округляют в середине решения. Погрешность идёт дальше по вычислениям и разрастается, ответ расходится с эталоном. Промежуточные шаги веди точно — дробями, корнями, буквами, — а округляй только последнее число.

Ошибка 7

Ставят точку вместо запятой в бланке № 1. Дробную часть отделяет запятая: 0,25, а не 0.25. Минус занимает отдельную клетку.

Ошибка 8

Оставляют в ответе части 1 корень или π. Засчитывается только целое число или конечная десятичная дробь. Получил в задании 1–13 ответ 2√7 − 3 — значит, либо выражение сворачивается дальше, либо в условии просили округлить, либо где-то арифметическая ошибка.

Запомни для ЕГЭ

1√(x²) = |x|

|x| = {x, x ≥ 0; -x, x < 0}

3a√b = √(a² b), a ≥ 0, b ≥ 0

4a < b ⇔ a² < b², a ≥ 0, b ≥ 0

5√n иррационален тогда и только тогда, когда натуральное n — не точный квадрат

6Округляем один раз, от исходного числа: первая отбрасываемая цифра 0–4 — вниз, 5–9 — вверх

На экзамене

Задание 8 стоит 1 балл — закладывай на него около трёх минут. Это база, которую надо забирать быстро: впереди задания части 2 по 2, 3 и 4 балла.
Из оборудования разрешена только линейка, а справочные материалы на профиле — это ровно четыре формулы: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы углов. Ни таблицы квадратов, ни приближённых значений корней там нет. Квадраты до 20² = 400 держи в голове.
Увидел в задании 8 корни — не пугайся. Ответ части 1 обязан быть целым числом или конечной десятичной дробью, значит иррациональности где-то свернутся. Остался корень в ответе — ищи ошибку, а не «неудачный вариант».
Перед тем как раскрыть модуль, вслух проговори знак того, что внутри. Если внутри корень — оцени его соседними квадратами. Это две секунды, и они закрывают самую частую ошибку темы.
Разряд округления никогда не угадывается — он написан в условии словами «ответ округлите до сотых» или «до целого числа». Такая фраза встречается не только в задании 8, но и в заданиях по вероятности, стереометрии и экономике, так что правило пригодится по всей работе. Нет фразы — ответ обязан выйти точным.
Прикидку делай перед тем, как переносить ответ в бланк. Ждал число около четырёх, а получил 40 — где-то потерян множитель. Прикидка не доказывает правильность, но грубую ошибку ловит мгновенно.
Навык оценки нужен не только здесь. В задании 14 второй пункт — отбор корней на отрезке, и он стоит ровно столько же баллов, сколько само решение уравнения. Без умения понять, куда попадает число вроде 2√3, этот пункт не закрыть.

Словарь темы

Действительное число: Любое число, которому отвечает точка числовой прямой. Каждое действительное число либо рационально, либо иррационально — третьего не дано. Слово «вещественное» — полный синоним, но в российской школе принято говорить «действительное».
Рациональное число: Число, представимое дробью m/n, где m целое, а n натуральное. Практический признак: десятичная запись конечна (0,25) или бесконечна и периодична (0,(3)).
Иррациональное число: Действительное число, которое нельзя записать дробью m/n. Его десятичная запись бесконечна и непериодична. Примеры: √2, √17, π.
Точный квадрат: Натуральное число, равное квадрату натурального: 1, 4, 9, 16, 25, 36 и так далее. Корень из точного квадрата рационален, из любого другого натурального числа — иррационален.
Числовая прямая: Прямая с выбранными началом отсчёта, направлением и единичным отрезком. Между её точками и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие: каждой точке — одно число, каждому числу — одна точка.
Модуль числа: Расстояние от точки x до нуля на числовой прямой; обозначается |x|. Равен x при x ≥ 0 и −x при x < 0, поэтому никогда не бывает отрицательным. Величина |a − b| — расстояние между точками a и b.
Округление: Замена числа ближайшим к нему числом с меньшим количеством разрядов. Выполняется по первой отбрасываемой цифре: 0–4 — разряд не меняется, 5–9 — увеличивается на единицу. Делается один раз и от исходного числа.
Прикидка: Грубая оценка ожидаемого результата до или после вычисления — чтобы поймать ошибку в порядке величины или в знаке. Правильности решения не доказывает, но грубую ошибку обнаруживает мгновенно.
Оценка числа: Указание двух границ, между которыми лежит число: например, 4 < √17 < 5. Для корней границы ищут по соседним точным квадратам, а уточняют возведением кандидатов в квадрат.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 8 КИМ (1 балл) Макс. 1 балл ~3 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 1.7 «Действительные числа. Арифметические операции. Приближённые вычисления, округление, прикидка и оценка». В проекте КИМ 2027 вычисление значения выражения — задание 8.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 1.7 кодификатора ФИПИ-2026 по математике, охват которого: «Действительные числа. Арифметические операции с действительными числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений» (уровень БУ, УУ; элемент присутствовал в кодификаторах прошлых лет).
Тема проверяется заданием 8 (базовый уровень, 1 балл).
Задание части 1 (1–13) засчитывается, только если в бланке ответов № 1 зафиксирован верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Дробная часть ответа в бланке № 1 отделяется запятой, а не точкой; минус — разрешённый символ.
Из оборудования на профильной математике разрешена линейка; калькулятора нет. Справочные материалы содержат ровно четыре формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β).
Формулировка «Ответ округлите до сотых / до десятых / до целого числа» реально встречается в заданиях экзамена, поэтому правило округления работает не только в задании 8.
Задание 8 — это «Найдите значение выражения» с ответом в виде целого числа или короткой десятичной дроби, считаемым без калькулятора.
Каждое действительное число либо рационально, либо иррационально; рациональное — представимо дробью m/n; между точками числовой прямой и действительными числами есть взаимно однозначное соответствие.
Признак по десятичной записи: конечная или бесконечная периодическая дробь — рациональное число; бесконечная непериодическая — иррациональное. Примеры: 0,25 = 1/4, 0,(3) = 1/3.
Для натурального n число √n рационально тогда и только тогда, когда n — точный квадрат; иначе иррационально. Отсюда √16 = 4 и √0,25 = 0,5 рациональны, а √2, √7, √17 — нет.
Рациональное плюс иррациональное — всегда иррационально; ненулевое рациональное, умноженное на иррациональное, иррационально; но сумма или произведение двух иррациональных может быть рациональным.
√(x²) = |x|, а не x. Модуль равен x при x ≥ 0 и −x при x < 0, поэтому всегда неотрицателен; |a − b| — расстояние между точками a и b.
Оценка корня соседними точными квадратами: 4 < √17 < 5, точнее 4,1 < √17 < 4,2; 3 < 2√3 < 4, точнее 3,4 < 2√3 < 3,5; 4 < 2√6 < 5, с округлением до десятых 2√6 ≈ 4,9.
Для неотрицательных a и b верно a < b ⟺ a² < b², поэтому сравнение через квадраты точно: 2√3 < 3√2 и 3√2 < 2√5. Для отрицательных чисел это неверно.
Правило округления: смотрят на первую отбрасываемую цифру; 0–4 — разряд не меняется, 5–9 — увеличивается на единицу. Округление выполняется один раз и от исходного числа: 3,146 → 3,15 (до сотых) и 3,146 → 3,1 (до десятых); 4,749 → 4,7 (до десятых), а не 4,8.
Навык оценки числа нужен в задании 14 для отбора корней на отрезке, и пункт б) там весит столько же, сколько само решение.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 18 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.