График функции, взаимно обратные функции

График функции — это множество всех точек с координатами $(x;\ f(x))$. Каждому $x$ из области определения соответствует ровно одна точка: по горизонтали откладываем аргумент, по вертикали — значение функции.

Из этого следует железное правило проверки: точка лежит на графике тогда и только тогда, когда её координаты обращают уравнение функции в верное равенство. Подставил координаты — совпало, значит точка на графике; не совпало — нет.

Именно это правило работает в задании 11. Если сказано, что график проходит через точку, её координаты можно смело подставлять в формулу — получится уравнение на неизвестные коэффициенты.

По готовому графику читают и свойства функции — это графическая часть задания 8 (вычисление производной и различение графика $f(x)$ и графика $f'(x)$ — отдельная тема про производную). Абсциссы точек пересечения с осью $Ox$ — это нули функции, то есть корни уравнения $f(x)=0$. Там, где график выше оси, $f(x)>0$, ниже — $f(x)<0$. Чтобы узнать значение $f(x_0)$, поднимаемся от точки $x_0$ на оси до графика и смотрим высоту.

Единственная техническая ловушка чтения — масштаб клетки. Одна клетка не обязана равняться единице: бывает и 2, и 0,5. Прежде чем снимать координаты, найди на осях подписанные числа и посчитай цену деления.

Из графика одной функции можно получить график другой сдвигами и растяжениями. Знать их наизусть выгодно: часто формулу узнают именно по тому, как знакомый график сместился.

Сдвиги. Прибавили число снаружи — сдвинули по вертикали; спрятали число внутрь, к аргументу — сдвинули по горизонтали, причём в противоположную знаку сторону:

Горизонтальный сдвиг — главная ловушка темы. В записи стоит $x-a$, а график едет вправо на $a$, а не влево. Проверить это можно так: у $y=f(x-a)$ прежнее значение достигается, когда $x-a$ равен старому аргументу, то есть при большем $x$ — значит, вправо.

Растяжения и отражения. Множитель снаружи тянет график по вертикали, множитель при аргументе сжимает по горизонтали, а минус переворачивает график относительно оси:

Отдельно про минусы: $y=-f(x)$ отражает график относительно оси $Ox$ (переворот вверх ногами), а $y=f(-x)$ — относительно оси $Oy$ (зеркало слева направо).

Это и есть задание 11. Тебе дают график и общий вид функции с буквами — коэффициенты нужно найти. Работает один приём: берёшь точки, через которые график заведомо проходит, и подставляешь их координаты в формулу. Каждая точка даёт одно уравнение; сколько неизвестных, столько точек и нужно.

Линейная $y=kx+b$. Коэффициент $b$ читается сразу — это ордината точки, где прямая пересекает ось $Oy$ (там $x=0$). Угловой коэффициент $k$ показывает наклон: на сколько поднимается график при сдвиге на одну единицу вправо. По двум точкам он равен отношению приращений:

Квадратичная $y=ax^2+bx+c$. Свободный член $c$ — тоже ордината пересечения с $Oy$. Дальше подставляешь ещё две точки (удобны нули и вершина) и решаешь систему. Если известна вершина $(x_0;\ y_0)$, помогает форма $y=a(x-x_0)^2+y_0$: остаётся найти только $a$ по одной точке.

Показательная $y=a^x$ и логарифмическая $y=\log_a x$ восстанавливаются по одной характерной точке: показательная всегда проходит через $(0;1)$, логарифмическая — через $(1;0)$, а основание $a$ находят по второй точке. Дробно-линейная $y=\dfrac{k}{x-a}+b$ выдаёт свои $a$ и $b$ положением асимптот — прямых, к которым график вплотную приближается, но не касается их: вертикальная асимптота стоит на $x=a$, горизонтальная — на $y=b$.

Универсальный совет: снимай координаты только с узлов сетки, где линия точно проходит через пересечение клеток. Точка, взятая на глаз между клетками, почти наверняка даст неверный коэффициент.

Функция переводит $x$ в $y$. Обратная функция делает ровно обратное: по значению $y$ возвращает тот самый $x$, из которого оно получилось. Обозначают её $f^{-1}$. Сразу предупреждение: это не единица делить на функцию. Запись $f^{-1}(x)$ означает обратную функцию, а не $\dfrac{1}{f(x)}$.

Обратная существует не у всякой функции, а только у взаимно однозначной: разным $x$ должны отвечать разные $y$, иначе по значению нельзя однозначно вернуться назад. Удобное достаточное условие — строгая монотонность: если функция всюду возрастает или всюду убывает, обратная у неё точно есть. Поэтому у $y=x^2$ на всей оси обратной нет (значение 4 дают и $x=2$, и $x=-2$), но стоит ограничиться $x\geqslant 0$ — и обратной становится $y=\sqrt{x}$.

Чтобы получить формулу обратной, выражают $x$ через $y$, а потом меняют обозначения местами. Например, у $y=2x+6$ обратная $y=\dfrac{x-6}{2}$. При переходе к обратной область определения и множество значений меняются местами: что было по горизонтали, становится по вертикали.

Главное свойство для графиков: графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$. Одна кривая — зеркальное отражение другой через эту диагональ. Классическая пара — показательная и логарифмическая с одним основанием: $y=a^x$ и $y=\log_a x$ взаимно обратны, потому что логарифм по определению спрашивает «в какую степень возвести основание» — то есть обращает возведение в степень.