График функции, взаимно обратные функции

График функции — это множество всех точек с координатами (x; f(x)). Каждому x из области определения соответствует ровно одна точка: по горизонтали откладываем аргумент, по вертикали — значение функции.

Из этого следует железное правило проверки: точка лежит на графике тогда и только тогда, когда её координаты обращают уравнение функции в верное равенство. Подставил координаты — совпало, значит точка на графике; не совпало — нет.

Именно это правило работает в задании 12. Если сказано, что график проходит через точку, её координаты можно смело подставлять в формулу — получится уравнение на неизвестные коэффициенты.

По готовому графику читают и свойства функции — это графическая часть задания 9 (вычисление производной и различение графика f(x) и графика f^′(x) — отдельная тема про производную). Абсциссы точек пересечения с осью Ox — это нули функции, то есть корни уравнения f(x) = 0. Там, где график выше оси, f(x) > 0, ниже — f(x) < 0. Чтобы узнать значение f(x₀), поднимаемся от точки x₀ на оси до графика и смотрим высоту.

Единственная техническая ловушка чтения — масштаб клетки. Одна клетка не обязана равняться единице: бывает и 2, и 0,5. Прежде чем снимать координаты, найди на осях подписанные числа и посчитай цену деления.

Из графика одной функции можно получить график другой сдвигами и растяжениями. Знать их наизусть выгодно: часто формулу узнают именно по тому, как знакомый график сместился.

Сдвиги. Прибавили число снаружи — сдвинули по вертикали; спрятали число внутрь, к аргументу — сдвинули по горизонтали, причём в противоположную знаку сторону:

Горизонтальный сдвиг — главная ловушка темы. В записи стоит x − a, а график едет вправо на a, а не влево. Проверить это можно так: у y = f(x − a) прежнее значение достигается, когда x − a равен старому аргументу, то есть при большем x — значит, вправо.

Растяжения и отражения. Множитель снаружи тянет график по вертикали, множитель при аргументе сжимает по горизонтали, а минус переворачивает график относительно оси:

Отдельно про минусы: y = −f(x) отражает график относительно оси Ox (переворот вверх ногами), а y = f(−x) — относительно оси Oy (зеркало слева направо).

Это и есть задание 12. Тебе дают график и общий вид функции с буквами — коэффициенты нужно найти. Работает один приём: берёшь точки, через которые график заведомо проходит, и подставляешь их координаты в формулу. Каждая точка даёт одно уравнение; сколько неизвестных, столько точек и нужно.

Линейная y = kx + b. Коэффициент b читается сразу — это ордината точки, где прямая пересекает ось Oy (там x = 0). Угловой коэффициент k показывает наклон: на сколько поднимается график при сдвиге на одну единицу вправо. По двум точкам он равен отношению приращений:

Квадратичная       y=ax²+bx+c. Свободный член c — тоже ордината пересечения с Oy. Дальше подставляешь ещё две точки (удобны нули и вершина) и решаешь систему. Если известна вершина (x₀; y₀), помогает форма       y=a(x-x₀)²+y₀: остаётся найти только a по одной точке.

Показательная   y=aˣ и логарифмическая   y=logₐ x восстанавливаются по одной характерной точке: показательная всегда проходит через (0; 1), логарифмическая — через (1; 0), а основание a находят по второй точке. Дробно-линейная       y=k/(x-a)+b выдаёт свои a и b положением асимптот — прямых, к которым график вплотную приближается, но не касается их: вертикальная асимптота стоит на x = a, горизонтальная — на y = b.

Универсальный совет: снимай координаты только с узлов сетки, где линия точно проходит через пересечение клеток. Точка, взятая на глаз между клетками, почти наверняка даст неверный коэффициент.

Функция переводит x в y. Обратная функция делает ровно обратное: по значению y возвращает тот самый x, из которого оно получилось. Обозначают её f⁻¹. Сразу предупреждение: это не единица делить на функцию. Запись f⁻¹(x) означает обратную функцию, а не 1/f(x).

Обратная существует не у всякой функции, а только у взаимно однозначной: разным x должны отвечать разные y, иначе по значению нельзя однозначно вернуться назад. Удобное достаточное условие — строгая монотонность: если функция всюду возрастает или всюду убывает, обратная у неё точно есть. Поэтому у   y=x² на всей оси обратной нет (значение 4 дают и x = 2, и x = −2), но стоит ограничиться x≥0 — и обратной становится y = √x.

Чтобы получить формулу обратной, выражают x через y, а потом меняют обозначения местами. Например, у y = 2x + 6 обратная    y=(x-6)/2. При переходе к обратной область определения и множество значений меняются местами: что было по горизонтали, становится по вертикали.

Главное свойство для графиков: графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x. Одна кривая — зеркальное отражение другой через эту диагональ. Классическая пара — показательная и логарифмическая с одним основанием:   y=aˣ и   y=logₐ x взаимно обратны, потому что логарифм по определению спрашивает «в какую степень возвести основание» — то есть обращает возведение в степень.