Первообразная, интеграл

Задание 8 КИМ (1 балл) Макс. 1 балл за № 8 ~5 минут

Первообразная — это производная наоборот: дана функция, нужно восстановить ту, из которой она получилась дифференцированием. На профиле тема выходит в задании 8 как задача на площадь криволинейной трапеции — фигуры под графиком. Всё держится на трёх вещах: таблице первообразных, формуле Ньютона–Лейбница и умении не перепутать знак, когда фигура уходит под ось.

Первообразная — производная наоборот

Возьми функцию $F(x) = x^2$ и продифференцируй — получишь $f(x) = 2x$ . Первообразная задаёт обратный вопрос: дана $f(x) = 2x$ , какую функцию нужно было продифференцировать, чтобы её получить? Ответ — $x^2$ . Говорят так: первообразная для функции $f$ — это такая функция $F$ , производная которой равна $f$ .

F'(x) = f(x)

Здесь прячется первая тонкость. У функции $f(x) = 2x$ первообразная не одна. Подойдёт и $x^2$ , и $x^2 + 5$ , и $x^2 - 100$ : производная константы равна нулю, поэтому любое постоянное слагаемое при дифференцировании бесследно исчезает. Значит, первообразных бесконечно много, и все они отличаются друг от друга только числом-добавкой.

Всю эту семью записывают сразу через знак неопределённого интеграла:

\int f(x)\,dx = F(x) + C

Запись $\int f(x)\,dx$ читается как «все первообразные функции $f$ ». Буква $C$ — произвольная постоянная; забыть её при поиске неопределённого интеграла значит потерять часть ответа. Для площади эта $C$ позже сама сократится, но в неопределённом интеграле её пишут всегда.

Таблица первообразных и два правила

Раз первообразная — это дифференцирование наоборот, то и таблицу можно читать справа налево из таблицы производных. Несколько строк стоит знать наизусть: на профиле в справочных материалах лежат только четыре тригонометрические формулы, интегралов там нет.

\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

\int \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C

\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C

Первая формула — рабочая лошадка задания 8, но у неё есть запрет: она не работает при $n = -1$ . Причина видна сразу: подставь $n = -1$ — в знаменателе окажется $n + 1 = 0$ , а делить на ноль нельзя. Для этого единственного случая $f(x) = 1/x$ первообразная другая — $\ln|x|$ , и обязательно с модулем: логарифм определён только для положительных чисел, а $1/x$ существует и при отрицательных $x$ — модуль как раз это и исправляет.

Дальше два правила, которые превращают таблицу в инструмент. Постоянный множитель выносится за знак интеграла, а интеграл суммы равен сумме интегралов:

\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx, \qquad \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

Этого хватает, чтобы взять первообразную любого многочлена — по слагаемым. Например, $\int (3x^2 + 4x)\,dx = 3\cdot\tfrac{x^3}{3} + 4\cdot\tfrac{x^2}{2} = x^3 + 2x^2$ (плюс $C$ ). Проверить себя можно обратным ходом: продифференцируй $x^3 + 2x^2$ — вернётся $3x^2 + 4x$ . Совпало — значит, первообразная найдена верно.

Определённый интеграл и формула Ньютона–Лейбница

Неопределённый интеграл — это функция (точнее, целая семья функций). А площадь — это число. Чтобы из первообразной получить число, у интеграла ставят пределы: нижний $a$ и верхний $b$ . Получается определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ , и считается он по формуле Ньютона–Лейбница:

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Словами: находишь любую первообразную $F$ , подставляешь верхний предел, потом нижний, и вычитаешь второе из первого. Порядок важен — сначала $F(b)$ , затем минус $F(a)$ ; переставишь местами — получишь ответ с противоположным знаком.

Теперь видно, почему постоянную $C$ в определённом интеграле не пишут. Возьми первообразную вместе с ней, $F(x) + C$ , и подставь в формулу: $(F(b) + C) - (F(a) + C)$ . Обе $C$ сокращаются, остаётся чистое $F(b) - F(a)$ . Поэтому берут самую простую первообразную, с $C = 0$ , и про добавку больше не думают.

Посчитаем для примера $\int_1^2 x^2\,dx$ . Первообразная $x^3/3$ , дальше по формуле:

\int_1^2 x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_1^2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}

Вертикальная черта с пределами — это просто удобная запись того же вычитания: «подставь 2, потом 1, вычти». Пока перед нами чистая арифметика — но именно так будет считаться и площадь под графиком.

Площадь криволинейной трапеции

Вот главное, ради чего тема попала в задание 8. Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная сверху графиком $y = f(x)$ , снизу осью $Ox$ , а с боков — вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$ . Если на всём отрезке $[a; b]$ график не опускается ниже оси, то есть $f(x) \geqslant 0$ , её площадь равна определённому интегралу:

S = \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Ради этого мы и возились с первообразными: площадь фигуры с кривой границей, которую не берёт ни одна формула из геометрии, сводится к вычитанию двух значений первообразной. Условие $f(x) \geqslant 0$ — не формальность: без него формула даёт неверный знак.

В задании 8 площадь спрашивают двумя способами. Либо дают формулу функции и просят посчитать интеграл, как мы сейчас сделаем в разборе. Либо дают график с закрашенной фигурой: тогда площадь иногда быстрее найти, посчитав целые клетки под кривой, — если по условию каждая клетка равна единице площади. И постоянная ловушка чтения графика: смотри, что именно нарисовано — график самой функции $f$ или её первообразной $F$ . Если дан график $f$ , площадь считают интегрированием; а если сразу график $F$ , то ответ — это просто разность его значений $F(b) - F(a)$ , без всякого интегрирования.

Криволинейная трапеция под графиком f между x = a и x = b. При f ≥ 0 её площадь S равна определённому интегралу от a до b

Площадь под неотрицательным графиком функции между точками a и b — Для неотрицательной функции определённый интеграл от a до b равен площади под графиком.

Когда фигура ниже оси или между двумя кривыми

Формула $S = \int_a^b f\,dx$ честно работает, только пока график выше оси. Если на отрезке $f(x) \leqslant 0$ , интеграл выйдет отрицательным — а площадь отрицательной не бывает. Дело не в ошибке: определённый интеграл считает площадь со знаком. То, что над осью, идёт с плюсом, то, что под осью, — с минусом. Чтобы получить обычную, положительную площадь фигуры под осью, у интеграла просто меняют знак:

S = -\int_a^b f(x)\,dx \qquad (f(x) \leqslant 0 \text{ на } [a;b])

Если же фигура зажата между двумя графиками — сверху $y = f(x)$ , снизу $y = g(x)$ , — её площадь считают через интеграл их разности, верхняя минус нижняя:

S = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx

Пределы $a$ и $b$ здесь — абсциссы точек пересечения графиков, их находят из уравнения $f(x) = g(x)$ . Легко ошибиться в том, какая функция сверху: перепутаешь местами — получишь ответ с минусом. Быстрая проверка — подставь любую точку между $a$ и $b$ : чьё значение больше, та функция и есть верхняя. Заодно приём с разностью снимает вопрос про знак: он работает, даже если часть фигуры ушла под ось.

Например, парабола $y = x^2$ и прямая $y = x + 2$ пересекаются там, где $x^2 = x + 2$ , то есть при $x = -1$ и $x = 2$ . Между ними прямая идёт выше параболы, поэтому:

S = \int_{-1}^{2} \big((x + 2) - x^2\big)\,dx = \left(\dfrac{x^2}{2} + 2x - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{2} = \dfrac{10}{3} - \left(-\dfrac{7}{6}\right) = 4{,}5

Определённый интеграл считает площадь со знаком: над осью — плюс, под осью — минус. Для площади фигуры под осью знак интеграла меняют

Разбор: площадь под параболой

Пример

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 3x², осью Ox и прямыми x = 1 и x = 2.

Сначала проверим главное условие. На отрезке

[1; 2]

функция

y = 3x^2

положительна: квадрат неотрицателен, а множитель 3 знак не меняет. Значит, фигура — обычная криволинейная трапеция, и её площадь равна интегралу

S = \int_1^2 3x^2\,dx

.Находим первообразную: выносим множитель 3 и применяем табличную формулу для

x^2

(степень

n = 2

, значит

n + 1 = 3

F(x) = \int 3x^2\,dx = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} = x^3

Множитель 3 удачно сократился с тройкой в знаменателе — первообразная вышла совсем простой. Теперь формула Ньютона–Лейбница: подставляем верхний предел 2, потом нижний 1, и вычитаем.

S = x^3 \Big|_1^2 = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7

Проверим обратным ходом: производная

x^3

равна

3x^2

— исходная функция вернулась, первообразная верна. Площадь получилась целым числом, как и должно быть в ответе задания части 1.Ответ: S = 7.

Как найти площадь через интеграл

1Проверь знак функции на отрезке. Если

f(x) \geqslant 0

на всём

[a; b]

— площадь равна интегралу напрямую. Если график уходит под ось, интеграл даст знак минус, и площадь берут с обратным знаком.

2Найди первообразную. Разбей функцию на слагаемые, вынеси числовые множители, к каждому слагаемому примени табличную формулу. Постоянную

C

в определённом интеграле не пиши — она всё равно сократится.

3Подставь пределы по формуле Ньютона–Лейбница. Сначала верхний предел

b

, потом нижний

a

, и вычти:

F(b) - F(a)

. Порядок не переставляй.

4Для фигуры между двумя кривыми интегрируй разность. Пределы — точки пересечения из уравнения

f(x) = g(x)

, под интегралом — верхняя функция минус нижняя.

5Проверь ответ. Продифференцируй первообразную — должна вернуться исходная функция. И убедись, что площадь положительна: отрицательный результат — верный признак потерянного знака.

Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на задании 8 теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Какая функция является первообразной для f(x) = 1/x?

Степенная формула xⁿ⁺¹/(n+1) при n = −1 не работает: в знаменателе появился бы ноль. Для 1/x первообразная — ln|x|, и модуль обязателен: без него функция была бы не определена при отрицательных x, где 1/x спокойно существует.

2.F — первообразная функции f на отрезке [a; b]. Чему равен определённый интеграл от a до b от f(x) dx?

Формула Ньютона–Лейбница: подставляем в первообразную сначала верхний предел, потом нижний, и вычитаем — F(b) − F(a). Перестановка местами даёт ответ с противоположным знаком, а подставлять нужно именно первообразную F, а не саму f.

3.Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком y = 2x, осью Ox и прямыми x = 0 и x = 3.

На отрезке [0; 3] функция положительна, поэтому S = ∫₀³ 2x dx = x²|₀³ = 9 − 0 = 9. Здесь фигура — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 6, и его площадь ½·3·6 = 9 совпадает: интеграл и геометрия дают один ответ.

4.График функции f на отрезке [a; b] целиком лежит ниже оси Ox. Чему равна площадь фигуры между графиком и осью?

Под осью интеграл получается отрицательным, а площадь отрицательной не бывает. Значит, берём интеграл с обратным знаком: S = −∫ₐᵇ f(x) dx, и результат выходит положительным. Сам интеграл здесь — это площадь со знаком минус, а не готовый ответ.

5.Сколько различных первообразных у функции f(x) = 2x?

Если x² — первообразная, то и x² + 5, и x² − 3 тоже: производная константы равна нулю, поэтому добавление любого числа ничего не меняет. Первообразных бесконечно много, и записывают их все сразу как x² + C.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Применяют степенную формулу к $1/x$ . Формула $\int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1)$ запрещена при $n = -1$ — там деление на ноль. Первообразная для $1/x$ — это $\ln|x|$ , и модуль обязателен.

Ошибка 2

Путают порядок в формуле Ньютона–Лейбница. Всегда $F(b) - F(a)$ : из значения в верхнем пределе вычитают значение в нижнем. Перестановка даёт ответ с противоположным знаком, а в площади это сразу выглядит как отрицательное число.

Ошибка 3

Берут интеграл как площадь, когда фигура под осью. Если $f(x) < 0$ на отрезке, интеграл отрицателен. Это площадь со знаком, а не сама площадь. Настоящую площадь получают, сменив знак: $S = -\int_a^b f\,dx$ .

Ошибка 4

В площади между кривыми вычитают не в ту сторону. Под интегралом должна стоять верхняя функция минус нижняя. Перепутал — получил минус. Проверь, какая функция выше, подстановкой любой точки между пределами.

Ошибка 5

Забывают проверить первообразную обратным ходом. Нашёл первообразную — продифференцируй её. Если не вернулась исходная функция, где-то потерян множитель или знак. Эта проверка занимает секунды и ловит почти любую ошибку.

Ошибка 6

Путают график $f$ и график $F$ . В задании 8 по картинке важно понять, что нарисовано: сама функция или её первообразная. Площадь под графиком $f$ — это $F(b) - F(a)$ , но если дан уже график $F$ , ответ читается прямо с него, без интегрирования.

Запомни для ЕГЭ

\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C,\ n \neq -1

\int \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

S = \int_a^b f(x)\,dx \ \ (f \geqslant 0)

S = -\int_a^b f(x)\,dx \ \ (f \leqslant 0)

S = \int_a^b (f - g)\,dx \ \ (f \text{ — верхняя})

7В определённом интеграле C не пишут — она сокращается

На экзамене

Задание 8 базовое, 1 балл — держи темп 3–5 минут. Тип «на площадь» узнаётся сразу по словам «площадь фигуры» или по закрашенной области на рисунке.
Первым делом реши, что тебе дали. Формула функции — считай интеграл. График с сеткой — иногда быстрее сосчитать целые клетки под кривой, если по условию клетка равна единице площади.
Перед интегрированием глянь, не уходит ли график под ось на этом отрезке. Уходит — готовься сменить знак или считать по модулю, иначе площадь выйдет отрицательной.
Ответ задания 8 — целое число или конечная десятичная дробь. Получил громоздкую дробь вроде $7/3$ — это сигнал перепроверить пределы и первообразную: в бланк такое почти никогда не идёт.
Секундная проверка первообразной — продифференцировать её обратно. Вернулась исходная функция — можно подставлять пределы. Это дешевле, чем потом искать ошибку во всём решении.

Словарь темы

ПервообразнаяФункция F, производная которой равна данной функции f (то есть F′ = f). Отвечает на вопрос «что нужно продифференцировать, чтобы получить f».

Неопределённый интегралМножество всех первообразных функции f, записывается ∫ f(x) dx = F(x) + C. Результат — целая семья функций, отличающихся на постоянное слагаемое.

Определённый интегралЧисло, равное F(b) − F(a), где F — первообразная f, а a и b — нижний и верхний пределы. Для неотрицательной функции равно площади под графиком.

Криволинейная трапецияФигура, ограниченная сверху графиком y = f(x), снизу осью Ox и по бокам прямыми x = a, x = b. При f ≥ 0 её площадь равна ∫ₐᵇ f(x) dx.

Формула Ньютона–ЛейбницаПравило вычисления определённого интеграла: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Связывает интеграл с первообразной.

Постоянная интегрированияПроизвольное число C в записи неопределённого интеграла F(x) + C. Возникает потому, что производная константы равна нулю; в определённом интеграле сокращается.

Источники и проверка

10 источников

Тема соответствует коду 4.3 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня: «Первообразная, интеграл (площадь криволинейной трапеции)», проверяется заданием 8.
Первообразная функции f — это функция F, для которой F'(x) = f(x); первообразных бесконечно много, они отличаются на постоянное слагаемое, а всё семейство записывается неопределённым интегралом ∫f(x)dx = F(x) + C.
Табличные первообразные: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C только при n ≠ −1; ∫dx/x = ln|x| + C (с модулем); ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C.
Постоянный множитель выносится за знак интеграла, а интеграл суммы равен сумме интегралов.
Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона–Лейбница ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a); постоянная C при этом сокращается.
Площадь криволинейной трапеции (фигуры под графиком y = f(x) между x = a и x = b при f ≥ 0) равна S = ∫ₐᵇ f(x) dx.
Если график лежит ниже оси (f ≤ 0), площадь фигуры равна −∫ₐᵇ f(x) dx, потому что определённый интеграл даёт площадь со знаком.
Площадь фигуры между двумя графиками (сверху f, снизу g) равна S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, где a и b — абсциссы точек пересечения из уравнения f(x) = g(x).
Задание 8 — базовый уровень, 1 балл, ответ — целое число или конечная десятичная дробь; в него входит нахождение площади с помощью интеграла.
Числовые результаты в теме верны: ∫₁² x² dx = 7/3; площадь под y = 3x² на [1;2] равна 7; ∫₀³ 2x dx = 9.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 8

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике