Первообразная, интеграл

Q: Как найти площадь фигуры через интеграл?

Шаги такие: 1) проверь знак функции на отрезке; 2) найди первообразную; 3) подставь пределы по формуле Ньютона–Лейбница; 4) для фигуры между двумя кривыми интегрируй разность; 5) проверь ответ.

Q: Что нужно запомнить по теме «Первообразная, интеграл»?

Главное: 1) ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ -1; 2) ∫dx/x = ln|x| + C; 3) ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a); 4) S = ∫ₐᵇ f(x) dx (f ≥ 0); 5) S = -∫ₐᵇ f(x) dx (f ≤ 0); 6) S = ∫ₐᵇ (f - g) dx (f — верхняя). Остальное — в разделе темы выше.

Первообразная для функции f — это такая функция F, производная которой равна f; первообразных бесконечно много, и отличаются они только постоянным слагаемым. На ЕГЭ тема нужна в задании 9 (1 балл): по формуле Ньютона–Лейбница находят площадь криволинейной трапеции, то есть фигуры под графиком функции.

Решать задание 9 ЕГЭ

Формулы первообразной и интеграла в одной таблице

От таблицы первообразных до площади фигуры: формула, смысл и условие
Формула	Что она даёт	Условие и тонкость
F^′(x) = f(x)	Определение первообразной F для функции f	Проверка обратным ходом: продифференцируй F — должна вернуться f
∫f(x) dx = F(x) + C	Все первообразные сразу (неопределённый интеграл)	Постоянную C в неопределённом интеграле пишут всегда
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C	Первообразная степени	Только при n ≠ −1: иначе в знаменателе ноль
∫dx/x = ln\|x\| + C	Единственный случай n = −1	Обязательно с модулем
∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C	Тригонометрические первообразные	У первообразной синуса знак минус
∫k f(x) dx = k∫f(x) dx; интеграл суммы — сумма интегралов	Первообразная многочлена по слагаемым	Постоянный множитель выносится за знак интеграла
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)	Определённый интеграл (формула Ньютона–Лейбница)	Сначала F(b), потом минус F(a); C сокращается
S = ∫ₐᵇ f(x) dx	Площадь криволинейной трапеции	Только если f(x) ≥ 0 на [a; b]
S = -∫ₐᵇ f(x) dx	Площадь фигуры под осью	Если f(x) ≤ 0 на [a; b]: интеграл считает площадь со знаком
S = ∫ₐᵇ (f(x) - g(x)) dx	Площадь между двумя графиками	Верхняя функция минус нижняя; a и b — корни уравнения f(x) = g(x)

Быстрые ответы

Что такое первообразная?

Первообразная для функции f — такая функция F, производная которой равна f. Первообразных у функции бесконечно много, и все они отличаются друг от друга только постоянным слагаемым.

Как найти площадь фигуры через интеграл?

Шаги такие:

проверь знак функции на отрезке
найди первообразную
подставь пределы по формуле Ньютона–Лейбница
для фигуры между двумя кривыми интегрируй разность
проверь ответ.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Первообразная, интеграл»?

Применяют степенную формулу к 1/x. Формула ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) запрещена при n = -1 — там деление на ноль. Первообразная для 1/x — это ln|x|, и модуль обязателен.

Что нужно запомнить по теме «Первообразная, интеграл»?

Главное:

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ -1
∫dx/x = ln|x| + C
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)
S = ∫ₐᵇ f(x) dx (f ≥ 0)
S = -∫ₐᵇ f(x) dx (f ≤ 0)
S = ∫ₐᵇ (f - g) dx (f — верхняя).

Остальное — в разделе темы выше.

Первообразная — это производная наоборот: дана функция, нужно восстановить ту, из которой она получилась дифференцированием. На профиле тема выходит в задании 9 как задача на площадь криволинейной трапеции — фигуры под графиком. Всё держится на трёх вещах: таблице первообразных, формуле Ньютона–Лейбница и умении не перепутать знак, когда фигура уходит под ось.

Обновлено 3 октября 2026

Что такое первообразная функции?

Возьми функцию F(x) = x² и продифференцируй — получишь f(x) = 2x. Первообразная задаёт обратный вопрос: дана f(x) = 2x, какую функцию нужно было продифференцировать, чтобы её получить? Ответ — x². Говорят так: первообразная для функции f — это такая функция F, производная которой равна f.

в строку: F'(x) = f(x)

Здесь прячется первая тонкость. У функции f(x) = 2x первообразная не одна. Подойдёт и x², и x² + 5, и x² - 100: производная константы равна нулю, поэтому любое постоянное слагаемое при дифференцировании бесследно исчезает. Значит, первообразных бесконечно много, и все они отличаются друг от друга только числом-добавкой.

Всю эту семью записывают сразу через знак неопределённого интеграла:

в строку: ∫f(x) dx = F(x) + C

Запись ∫f(x) dx читается как «все первообразные функции f». Буква C — произвольная постоянная; забыть её при поиске неопределённого интеграла значит потерять часть ответа. Для площади эта C позже сама сократится, но в неопределённом интеграле её пишут всегда.

Проверь себя за 10 секунд

Какая функция является первообразной для f(x) = 1/x?

Степенная формула xⁿ⁺¹/(n+1) при n = −1 не работает: в знаменателе появился бы ноль. Для 1/x первообразная — ln|x|, и модуль обязателен: без него функция была бы не определена при отрицательных x, где 1/x спокойно существует.

Ещё 4 вопроса — к мини-тесту

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 9 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Функция f(x) определена на отрезке [-3; 8]. Её производная f'(x) = 2(x-1)(x-5). На каком промежутке функция f(x) убывает? В ответе укажите длину этого промежутка.

Показать ответ
Задание 2 из 2

Прямая y = -4x + b является касательной к параболе y = x^2 + 2x + 3. Найдите b.

Показать ответ

Как найти первообразную по таблице и правилам?

Раз первообразная — это дифференцирование наоборот, то и таблицу можно читать справа налево из таблицы производных. Несколько строк стоит знать наизусть: на профиле в справочных материалах лежат только четыре тригонометрические формулы, интегралов там нет.

в строку: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)

в строку: ∫dx/x = ln|x| + C

в строку: ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C

Первая формула — рабочая лошадка задания 9, но у неё есть запрет: она не работает при n = −1. Причина видна сразу: подставь n = −1 — в знаменателе окажется n + 1 = 0, а делить на ноль нельзя. Для этого единственного случая f(x) = 1/x первообразная другая — ln|x|, и обязательно с модулем: логарифм определён только для положительных чисел, а 1/x существует и при отрицательных x — модуль как раз это и исправляет.

Дальше два правила, которые превращают таблицу в инструмент. Постоянный множитель выносится за знак интеграла, а интеграл суммы равен сумме интегралов:

в строку: ∫k f(x) dx = k∫f(x) dx, ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx

Этого хватает, чтобы взять первообразную любого многочлена — по слагаемым. Например, ∫ (3x² + 4x) dx = 3 · x³/3 + 4 · x²/2 = x³ + 2x² (плюс C). Проверить себя можно обратным ходом: продифференцируй x³ + 2x² — вернётся 3x² + 4x. Совпало — значит, первообразная найдена верно.

Как вычислить определённый интеграл по формуле Ньютона–Лейбница?

Неопределённый интеграл — это функция (точнее, целая семья функций). А площадь — это число. Чтобы из первообразной получить число, у интеграла ставят пределы: нижний a и верхний b. Получается определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x) dx, и считается он по формуле Ньютона–Лейбница:

в строку: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

Словами: находишь любую первообразную F, подставляешь верхний предел, потом нижний, и вычитаешь второе из первого. Порядок важен — сначала F(b), затем минус F(a); переставишь местами — получишь ответ с противоположным знаком.

Теперь видно, почему постоянную C в определённом интеграле не пишут. Возьми первообразную вместе с ней, F(x) + C, и подставь в формулу: (F(b) + C) − (F(a) + C). Обе C сокращаются, остаётся чистое F(b) − F(a). Поэтому берут самую простую первообразную, с C = 0, и про добавку больше не думают.

Посчитаем для примера ∫₁² x² dx. Первообразная x³/3, дальше по формуле:

в строку: ∫₁² x² dx = x³/3|₁² = 8/3 - 1/3 = 7/3

Вертикальная черта с пределами — это просто удобная запись того же вычитания: «подставь 2, потом 1, вычти». Пока перед нами чистая арифметика — но именно так будет считаться и площадь под графиком.

Площадь криволинейной трапеции

Вот главное, ради чего тема попала в задание 9. Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная сверху графиком y = f(x), снизу осью Ox, а с боков — вертикальными прямыми x = a и x = b. Если на всём отрезке [a; b] график не опускается ниже оси, то есть f(x)≥0, её площадь равна определённому интегралу:

в строку: S = ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

Ради этого мы и возились с первообразными: площадь фигуры с кривой границей, которую не берёт ни одна формула из геометрии, сводится к вычитанию двух значений первообразной. Условие f(x)≥0 — не формальность: без него формула даёт неверный знак.

В задании 9 площадь спрашивают двумя способами. Либо дают формулу функции и просят посчитать интеграл, как мы сейчас сделаем в разборе. Либо дают график с закрашенной фигурой: тогда площадь иногда быстрее найти, посчитав целые клетки под кривой, — если по условию каждая клетка равна единице площади. И постоянная ловушка чтения графика: смотри, что именно нарисовано — график самой функции f или её первообразной F. Если дан график f, площадь считают интегрированием; а если сразу график F, то ответ — это просто разность его значений F(b) − F(a), без всякого интегрирования.

Криволинейная трапеция под графиком f между x = a и x = b. При f ≥ 0 её площадь S равна определённому интегралу от a до b

Площадь под неотрицательным графиком функции между точками a и b — Для неотрицательной функции определённый интеграл от a до b равен площади под графиком.

Когда фигура ниже оси или между двумя кривыми

Формула S = ∫ₐᵇ f dx честно работает, только пока график выше оси. Если на отрезке f(x)≤0, интеграл выйдет отрицательным — а площадь отрицательной не бывает. Дело не в ошибке: определённый интеграл считает площадь со знаком. То, что над осью, идёт с плюсом, то, что под осью, — с минусом. Чтобы получить обычную, положительную площадь фигуры под осью, у интеграла просто меняют знак:

в строку: S = -∫ₐᵇ f(x) dx (f(x) ≤ 0 на [a;b])

Если же фигура зажата между двумя графиками — сверху y = f(x), снизу y = g(x), — её площадь считают через интеграл их разности, верхняя минус нижняя:

в строку: S = ∫ₐᵇ (f(x) - g(x)) dx

Пределы a и b здесь — абсциссы точек пересечения графиков, их находят из уравнения f(x) = g(x). Легко ошибиться в том, какая функция сверху: перепутаешь местами — получишь ответ с минусом. Быстрая проверка — подставь любую точку между a и b: чьё значение больше, та функция и есть верхняя. Заодно приём с разностью снимает вопрос про знак: он работает, даже если часть фигуры ушла под ось.

Например, парабола y = x² и прямая y = x + 2 пересекаются там, где x² = x + 2, то есть при x = −1 и x = 2. Между ними прямая идёт выше параболы, поэтому:

в строку: S = ∫₋₁² ((x + 2) - x²) dx = (x²/2 + 2x - x³/3)|₋₁² = 10/3 - (-7/6) = 4,5

Определённый интеграл считает площадь со знаком: над осью — плюс, под осью — минус. Для площади фигуры под осью знак интеграла меняют

Разбор: площадь под параболой

Пример

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 3x², осью Ox и прямыми x = 1 и x = 2.

Сначала проверим главное условие. На отрезке [1; 2] функция y = 3x² положительна: квадрат неотрицателен, а множитель 3 знак не меняет. Значит, фигура — обычная криволинейная трапеция, и её площадь равна интегралу

S = ∫₁² 3x² dx.Находим первообразную: выносим множитель 3 и применяем табличную формулу для x² (степень n = 2, значит n + 1 = 3):

F(x) = ∫3x² dx = 3 · x³/3 = x³Множитель 3 удачно сократился с тройкой в знаменателе — первообразная вышла совсем простой. Теперь формула Ньютона–Лейбница: подставляем верхний предел 2, потом нижний 1, и вычитаем.

S = x³ |₁² = 2³ - 1³ = 8 - 1 = 7Проверим обратным ходом: производная x³ равна 3x² — исходная функция вернулась, первообразная верна. Площадь получилась целым числом, как и должно быть в ответе задания части 1.Ответ: S = 7.

Как найти площадь фигуры через интеграл?

1Проверь знак функции на отрезке. Если f(x)≥0 на всём [a; b] — площадь равна интегралу напрямую. Если график уходит под ось, интеграл даст знак минус, и площадь берут с обратным знаком.
2Найди первообразную. Разбей функцию на слагаемые, вынеси числовые множители, к каждому слагаемому примени табличную формулу. Постоянную C в определённом интеграле не пиши — она всё равно сократится.
3Подставь пределы по формуле Ньютона–Лейбница. Сначала верхний предел b, потом нижний a, и вычти: F(b) − F(a). Порядок не переставляй.
4Для фигуры между двумя кривыми интегрируй разность. Пределы — точки пересечения из уравнения f(x) = g(x), под интегралом — верхняя функция минус нижняя.
5Проверь ответ. Продифференцируй первообразную — должна вернуться исходная функция. И убедись, что площадь положительна: отрицательный результат — верный признак потерянного знака.

Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на задании 9 теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Какая функция является первообразной для f(x) = 1/x?

2.F — первообразная функции f на отрезке [a; b]. Чему равен определённый интеграл от a до b от f(x) dx?

Формула Ньютона–Лейбница: подставляем в первообразную сначала верхний предел, потом нижний, и вычитаем — F(b) − F(a). Перестановка местами даёт ответ с противоположным знаком, а подставлять нужно именно первообразную F, а не саму f.

3.Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком y = 2x, осью Ox и прямыми x = 0 и x = 3.

На отрезке [0; 3] функция положительна, поэтому S = ∫₀³ 2x dx = x²|₀³ = 9 − 0 = 9. Здесь фигура — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 6, и его площадь ½·3·6 = 9 совпадает: интеграл и геометрия дают один ответ.

4.График функции f на отрезке [a; b] целиком лежит ниже оси Ox. Чему равна площадь фигуры между графиком и осью?

Под осью интеграл получается отрицательным, а площадь отрицательной не бывает. Значит, берём интеграл с обратным знаком: S = −∫ₐᵇ f(x) dx, и результат выходит положительным. Сам интеграл здесь — это площадь со знаком минус, а не готовый ответ.

5.Сколько различных первообразных у функции f(x) = 2x?

Если x² — первообразная, то и x² + 5, и x² − 3 тоже: производная константы равна нулю, поэтому добавление любого числа ничего не меняет. Первообразных бесконечно много, и записывают их все сразу как x² + C.

Какие ошибки делают в задачах на первообразную и интеграл?

Ошибка 1

Применяют степенную формулу к 1/x. Формула ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) запрещена при n = −1 — там деление на ноль. Первообразная для 1/x — это ln|x|, и модуль обязателен.

Ошибка 2

Путают порядок в формуле Ньютона–Лейбница. Всегда F(b) − F(a): из значения в верхнем пределе вычитают значение в нижнем. Перестановка даёт ответ с противоположным знаком, а в площади это сразу выглядит как отрицательное число.

Ошибка 3

Берут интеграл как площадь, когда фигура под осью. Если f(x) < 0 на отрезке, интеграл отрицателен. Это площадь со знаком, а не сама площадь. Настоящую площадь получают, сменив знак: S = -∫ₐᵇ f dx.

Ошибка 4

В площади между кривыми вычитают не в ту сторону. Под интегралом должна стоять верхняя функция минус нижняя. Перепутал — получил минус. Проверь, какая функция выше, подстановкой любой точки между пределами.

Ошибка 5

Забывают проверить первообразную обратным ходом. Нашёл первообразную — продифференцируй её. Если не вернулась исходная функция, где-то потерян множитель или знак. Эта проверка занимает секунды и ловит почти любую ошибку.

Ошибка 6

Путают график f и график F. В задании 9 по картинке важно понять, что нарисовано: сама функция или её первообразная. Площадь под графиком f — это F(b) − F(a), но если дан уже график F, ответ читается прямо с него, без интегрирования.

Запомни для ЕГЭ

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ -1

∫dx/x = ln|x| + C

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

S = ∫ₐᵇ f(x) dx (f ≥ 0)

S = -∫ₐᵇ f(x) dx (f ≤ 0)

S = ∫ₐᵇ (f - g) dx (f — верхняя)

7В определённом интеграле C не пишут — она сокращается

На экзамене

Задание 9 базовое, 1 балл — держи темп 3–5 минут. Тип «на площадь» узнаётся сразу по словам «площадь фигуры» или по закрашенной области на рисунке.
Первым делом реши, что тебе дали. Формула функции — считай интеграл. График с сеткой — иногда быстрее сосчитать целые клетки под кривой, если по условию клетка равна единице площади.
Перед интегрированием глянь, не уходит ли график под ось на этом отрезке. Уходит — готовься сменить знак или считать по модулю, иначе площадь выйдет отрицательной.
Ответ задания 9 — целое число или конечная десятичная дробь. Получил громоздкую дробь вроде 7/3 — это сигнал перепроверить пределы и первообразную: в бланк такое почти никогда не идёт.
Секундная проверка первообразной — продифференцировать её обратно. Вернулась исходная функция — можно подставлять пределы. Это дешевле, чем потом искать ошибку во всём решении.

Словарь темы

Первообразная: Функция F, производная которой равна данной функции f (то есть F′ = f). Отвечает на вопрос «что нужно продифференцировать, чтобы получить f».
Неопределённый интеграл: Множество всех первообразных функции f, записывается ∫ f(x) dx = F(x) + C. Результат — целая семья функций, отличающихся на постоянное слагаемое.
Определённый интеграл: Число, равное F(b) − F(a), где F — первообразная f, а a и b — нижний и верхний пределы. Для неотрицательной функции равно площади под графиком.
Криволинейная трапеция: Фигура, ограниченная сверху графиком y = f(x), снизу осью Ox и по бокам прямыми x = a, x = b. При f ≥ 0 её площадь равна ∫ₐᵇ f(x) dx.
Формула Ньютона–Лейбница: Правило вычисления определённого интеграла: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Связывает интеграл с первообразной.
Постоянная интегрирования: Произвольное число C в записи неопределённого интеграла F(x) + C. Возникает потому, что производная константы равна нулю; в определённом интеграле сокращается.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 9 КИМ (1 балл) Макс. 1 балл за № 9 ~5 минут

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 4.3 «Первообразная. Интеграл». В проекте КИМ 2027 нахождение площадей фигур с помощью интеграла названо в задании 9.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 4.3 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня: «Первообразная, интеграл (площадь криволинейной трапеции)», проверяется заданием 9.
Первообразная функции f — это функция F, для которой F'(x) = f(x); первообразных бесконечно много, они отличаются на постоянное слагаемое, а всё семейство записывается неопределённым интегралом ∫f(x)dx = F(x) + C.
Табличные первообразные: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C только при n ≠ −1; ∫dx/x = ln|x| + C (с модулем); ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C.
Постоянный множитель выносится за знак интеграла, а интеграл суммы равен сумме интегралов.
Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона–Лейбница ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a); постоянная C при этом сокращается.
Площадь криволинейной трапеции (фигуры под графиком y = f(x) между x = a и x = b при f ≥ 0) равна S = ∫ₐᵇ f(x) dx.
Если график лежит ниже оси (f ≤ 0), площадь фигуры равна −∫ₐᵇ f(x) dx, потому что определённый интеграл даёт площадь со знаком.
Площадь фигуры между двумя графиками (сверху f, снизу g) равна S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, где a и b — абсциссы точек пересечения из уравнения f(x) = g(x).
Задание 9 — базовый уровень, 1 балл, ответ — целое число или конечная десятичная дробь; в него входит нахождение площади с помощью интеграла.
∫₁² x² dx = 7/3; площадь под графиком y = 3x² на отрезке [1; 2] равна 7; ∫₀³ 2x dx = 9.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 3 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.