Монотонность, экстремумы
Монотонность и экстремумы — это промежутки, где функция только возрастает или только убывает, и точки, где рост сменяется спадом или наоборот; и то и другое находят по знаку производной. На ЕГЭ тема нужна в задании 9 (1 балл): по графику производной ищут промежутки возрастания и точки экстремума, а с 2027 года здесь же — точка минимума и наибольшее значение на отрезке.
Признаки монотонности и экстремума в одной таблице
| Правило | Признак или формула | Что это даёт |
|---|---|---|
| Возрастание | f′(x) > 0 на промежутке | Функция возрастает, график идёт вверх слева направо |
| Убывание | f′(x) < 0 на промежутке | Функция убывает, график идёт вниз |
| Необходимое условие экстремума | f'(x₀) = 0 или производная не существует | Стационарная точка — только кандидат: у x³ в нуле экстремума нет |
| Точка минимума | Знак f' меняется с − на + в точке x₀ | Функция убывала, потом стала возрастать |
| Точка максимума | Знак f' меняется с + на − в точке x₀ | Функция возрастала, потом стала убывать |
| Вершина параболы | x = -b/(2a) | При a > 0 это точка минимума, при a < 0 — максимума |
| График производной (№ 9) | Выше оси — f' > 0, ниже оси — f' < 0 | Пересечение оси со сменой знака — точка экстремума функции |
| Наибольшее и наименьшее на отрезке (№ 9) | Значения f в стационарных точках внутри [a; b] и на обоих концах | Сравнить все значения-кандидаты и выбрать самое большое или самое маленькое |
Быстрые ответы
Что такое точка экстремума?
Точка экстремума — значение аргумента x, при котором функция меняет возрастание на убывание (точка максимума) или убывание на возрастание (точка минимума). Её определяют по смене знака производной.
Что такое монотонность?
Свойство функции только возрастать или только убывать на промежутке. Промежуток, где функция сохраняет направление, называют промежутком монотонности.
Как решать задания по теме «Монотонность, экстремумы»?
Шаги такие:
- посчитай производную и приравняй к нулю
- расставь знаки производной на числовой прямой
- определи характер каждой точки по смене знака
- ответь ровно на заданный вопрос
- для отрезка добавь концы.
Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Монотонность, экстремумы»?
Считают нуль производной сразу экстремумом. Равенство f'(x₀) = 0 — только кандидат: это стационарная точка. Экстремум есть, лишь если производная меняет знак. У f(x) = x³ производная в нуле обращается в ноль, но экстремума нет — функция всюду возрастает. Всегда проверяй смену знака.
Монотонность и экстремумы — про то, где функция растёт, где падает и где разворачивается. На профиле это задание 9: по графику производной найти промежутки возрастания, точку минимума или наибольшее значение на отрезке. Вся тема на одной связке: знак производной задаёт направление, а смена знака — экстремум. Главные ловушки — спутать нуль производной с экстремумом и забыть про концы отрезка.
Как по производной понять, где функция возрастает и убывает?
Начнём с самих слов, потому что задание 9 любит спрашивать именно их смысл. Функция возрастает на промежутке, если большему аргументу отвечает большее значение: для любых x₁ < x₂ из этого промежутка выполняется f(x₁) < f(x₂). График такой функции идёт вверх, если смотреть слева направо. Функция убывает, если наоборот: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂), график идёт вниз. Если на промежутке функция только растёт или только падает, её называют монотонной, а сам промежуток — промежутком монотонности.
Определять монотонность прямо по определению неудобно: перебрать все пары x₁ < x₂ нельзя. Поэтому работает универсальный инструмент — производная. Правило короткое и его стоит помнить наизусть:
Смысл прозрачный: производная — это скорость изменения функции. Скорость положительна — значение растёт, скорость отрицательна — падает. Как считать саму производную (таблица, правила суммы и множителя) — тема кода 4.1; здесь мы считаем это умение уже освоенным и учимся по знаку производной читать поведение функции.
Важная тонкость про направление: знак производной говорит о том, растёт функция или падает, а не о том, положительна ли она сама. Функция может принимать отрицательные значения и при этом возрастать — например, подниматься от −10 к −3. Не путай знак f(x) со знаком f′(x): первое про то, где график, второе про то, куда он идёт.
Проверь себя за 10 секунд
На промежутке (2; 7) производная функции всюду положительна: f'(x) > 0. Как ведёт себя функция на этом промежутке?
Положительная производная означает, что функция возрастает: скорость изменения больше нуля, значение растёт. Раз f' > 0 на всём промежутке, функция строго возрастает и никакого экстремума внутри нет. Знак производной задаёт именно направление, а не значение функции.
Задача ЕГЭ по теме
Два задания 9 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.
-
Задание 1 из 2
Функция f(x) определена на отрезке [-4; 6]. Её производная f'(x) = (x+2)(x-3). Найдите точку минимума функции f(x).
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Функция f(x) определена на отрезке [-3; 8]. Её производная f'(x) = 2(x-1)(x-5). На каком промежутке функция f(x) убывает? В ответе укажите длину этого промежутка.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Всегда ли в нуле производной есть экстремум?
Это самое важное место темы и любимая ловушка составителей. Точку, где f'(x₀) = 0, называют стационарной. В такой точке касательная к графику (прямая, которая в этой точке идёт вдоль графика) горизонтальна. Но горизонтальная касательная сама по себе ещё не значит, что там вершина холма или дно ямы.
Формально это необходимое условие: если у функции в некоторой внутренней точке экстремум, то её производная там равна нулю (или не существует). Обратное — неверно. Классический контрпример — f(x) = x³. Её производная f'(x) = 3x² обращается в ноль при x = 0, но экстремума там нет: слева от нуля производная положительна и справа положительна, функция всё время возрастает. Просто на мгновение останавливается и разгоняется снова.
Значит, стационарная точка — это лишь кандидат. Чтобы он оказался настоящим экстремумом, нужно достаточное условие: производная должна сменить знак при переходе через эту точку.
Логика простая: если функция сначала убывала (f′ < 0), а потом стала возрастать (f′ > 0), то между ними у неё дно — точка минимума. Сменила рост на спад — вершина, точка максимума. Не сменила знак вовсе (как у x³) — никакого экстремума, функция едет дальше в ту же сторону.
И различай два слова, которые на экзамене легко перепутать. Точка максимума — это значение аргумента x, при котором функция достигает вершины. А максимум — это уже само значение функции y = f(x) в этой точке. Задание 9 (с 2027 года в него входят и такие вопросы) спрашивает то одно, то другое: «найдите точку минимума» и «найдите наименьшее значение» — это разные вопросы с разными ответами.
Как читать график производной в задании 9?
Отдельный тип задания 9: дан не график функции, а график её производной f′(x), и по нему нужно рассказать про саму функцию. Здесь и подстерегает главная путаница — принять график производной за график функции. Не смешивай их: у тебя перед глазами f′, а вопрос почти всегда про f.
Читается график производной по двум правилам, которые ты уже знаешь:
Где график производной выше оси (f′ > 0), там функция возрастает. Где ниже оси (f′ < 0) — убывает. А точки, где график производной пересекает ось и при этом меняет знак, — это точки экстремума функции.
Отсюда быстрый приём для вопроса «сколько у функции точек экстремума»: посчитай, сколько раз график производной пересекает ось со сменой знака. Если производная лишь касается оси, не переходя на другую сторону (как у x³ в нуле), — эта точка не считается.
Посмотри на схему ниже. График производной идёт выше оси, потом ныряет под неё и снова выходит наверх. На первом пересечении знак меняется с плюса на минус — здесь у функции максимум. На втором с минуса на плюс — минимум. Между ними функция убывает, а по краям возрастает. Двух пересечений со сменой знака достаточно, чтобы уверенно ответить: у функции две точки экстремума.
Ищем точку минимума и максимума (№ 9)
Другой тип задания 9 — не график, а формула: «найдите точку минимума функции f(x)». Работает один и тот же алгоритм из знака производной.
Возьмём f(x) = x³ - 3x² - 9x. Находим производную и приравниваем к нулю:
Две стационарные точки — два кандидата. Теперь расставим знаки производной на числовой прямой. Множители подсказывают: при x < −1 обе скобки отрицательны, произведение положительно — f′ > 0. Между −1 и 3 одна скобка сменила знак — f′ < 0. При x > 3 снова f′ > 0. Получается цепочка знаков + − +.
Читаем по достаточному условию. В точке x = −1 знак меняется с плюса на минус — это точка максимума. В точке x = 3 с минуса на плюс — точка минимума. Если в задании спросили точку минимума, ответ — 3.
Для квадратичной функции даже производная не нужна: график — парабола, и её вершина находится по формуле x = -b/(2a). Ветви вверх (a > 0) — вершина это минимум, ветви вниз (a < 0) — максимум. Например, у f(x) = x² - 8x + 3 точка минимума x = 8/2 = 4 — тот же ответ дала бы и производная f′(x) = 2x − 8 = 0.
Как найти наибольшее и наименьшее значение на отрезке?
Третий частый вопрос задания 9: «найдите наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке [a; b]». И вот здесь спрятана ошибка, которая стоит балла чаще всего в этой теме, — забыть про концы отрезка.
Разберёмся, почему концы важны. Непрерывная функция на отрезке своё самое большое и самое маленькое значение обязательно где-то принимает. Но эта точка не всегда внутри: функция может расти до самого правого конца или падать до левого, так и не развернувшись внутри отрезка. Тогда рекорд стоит именно на конце, а никакой стационарной точки внутри может и не быть вовсе.
Отсюда рабочий алгоритм. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в стационарной точке внутри отрезка, либо на одном из концов. Поэтому найди стационарные точки и отбери те, что лежат внутри [a; b]. Затем вычисли значение функции в них и на обоих концах a и b, сравни получившиеся числа и выбери самое большое или самое маленькое.
Обрати внимание: сравниваем сами значения f(x), а не точки. И различать минимум и максимум по знакам производной здесь уже не обязательно — достаточно посчитать все значения-кандидаты и сравнить.
Если же вместо отрезка дан открытый промежуток или луч, а внутри него ровно одна стационарная точка, ответ — именно она. Единственный минимум на промежутке — это и есть наименьшее значение, единственный максимум — наибольшее. Но как только появляются концы отрезка, их из рассмотрения не выкидывай.
Разбор: наибольшее значение на отрезке (№ 9)
Как найти точку экстремума или наибольшее значение
- 1Посчитай производную и приравняй к нулю. Решение уравнения f′(x) = 0 даёт стационарные точки — кандидатов в экстремумы. Как дифференцировать — тема кода 4.1; здесь считаем это умение готовым.
- 2Расставь знаки производной на числовой прямой. Отметь стационарные точки и определи знак f′ на каждом промежутке — удобнее всего по множителям разложенной производной. Знак задаёт направление: плюс — возрастает, минус — убывает.
- 3Определи характер каждой точки по смене знака. С минуса на плюс — точка минимума, с плюса на минус — точка максимума. Знак не сменился — экстремума нет, это просто стационарная точка.
- 4Ответь ровно на заданный вопрос. Спросили точку — это значение x. Спросили наибольшее или наименьшее значение — подставь и найди y = f(x). Это разные ответы.
- 5Для отрезка добавь концы. Наибольшее и наименьшее значение на [a; b] ищи, сравнивая f в стационарных точках внутри и на концах a, b. Концы — обязательные кандидаты.
Проверь себя
Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.
1.На промежутке (2; 7) производная функции всюду положительна: f'(x) > 0. Как ведёт себя функция на этом промежутке?
Положительная производная означает, что функция возрастает: скорость изменения больше нуля, значение растёт. Раз f' > 0 на всём промежутке, функция строго возрастает и никакого экстремума внутри нет. Знак производной задаёт именно направление, а не значение функции.
2.Известно, что f'(x₀) = 0. Верно ли, что x₀ — обязательно точка экстремума?
Равенство f'(x₀) = 0 — только необходимое условие: это стационарная точка, кандидат в экстремумы. Экстремум есть лишь тогда, когда производная меняет знак при переходе через точку. Контрпример: f(x) = x³, f'(0) = 0, но слева и справа f' > 0 — функция всё время возрастает, экстремума в нуле нет. Последний вариант тоже неверен: экстремумы как раз и ищут среди точек, где f' = 0.
3.Найдите точку минимума функции f(x) = x² − 10x + 3.
Производная f'(x) = 2x − 10 обращается в ноль при x = 5. Слева от неё f' < 0 (функция убывает), справа f' > 0 (возрастает) — значит, x = 5 точка минимума. Тот же ответ даёт формула вершины параболы x = −b/(2a) = 10/2 = 5. Число 3 — свободный член, на абсциссу вершины оно не влияет. А число 10 в этой формуле — это −b, поэтому именно оно и задаёт точку минимума.
4.На отрезке [1; 4] производная функции всюду отрицательна. В какой точке функция принимает наибольшее значение на этом отрезке?
Раз f' < 0 на всём отрезке, функция убывает от левого конца к правому. Самое большое значение стоит в самой левой точке x = 1, самое маленькое — в x = 4. Стационарных точек внутри нет, поэтому ответ дают именно концы отрезка.
5.Чтобы найти наибольшее значение непрерывной функции на отрезке [a; b], достаточно вычислить её значения только в стационарных точках внутри отрезка. Так ли это?
Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в стационарной точке внутри, либо на конце. Поэтому сравнивают значения f во всех стационарных точках внутри И в точках a, b. Пропуск концов — самая частая потеря балла в задании 9: рекорд нередко стоит именно на конце.
6.График производной f'(x) пересекает ось Ox в точке x₀, меняя знак с минуса на плюс. Что это за точка для самой функции f?
Слева от x₀ производная отрицательна — функция убывает, справа положительна — возрастает. Функция сначала падает, потом растёт, значит в x₀ у неё дно — точка минимума. Смена знака производной с минуса на плюс всегда даёт минимум, с плюса на минус — максимум. Про само значение f(x₀) (равно ли оно нулю) график производной ничего не говорит.
Какие ошибки делают в задачах на экстремумы?
Считают нуль производной сразу экстремумом. Равенство f'(x₀) = 0 — только кандидат: это стационарная точка. Экстремум есть, лишь если производная меняет знак. У f(x) = x³ производная в нуле обращается в ноль, но экстремума нет — функция всюду возрастает. Всегда проверяй смену знака.
Забывают концы отрезка в наибольшем/наименьшем значении. Рекорд непрерывной функции на [a; b] достигается в стационарной точке внутри или на конце. Считать надо значения и в стационарных точках, и в a, и в b, а потом сравнивать. Пропустил концы — потерял балл.
Путают точку экстремума и само значение. Точка максимума — это x, где вершина; максимум (наибольшее значение) — это y = f(x) в этой точке. Задание 9 спрашивает то одно, то другое. Перечитай вопрос перед тем, как записать ответ в бланк.
Неверно расставляют знаки производной. Знак f′ на промежутке определяют по множителям разложенной производной, а не на глаз. Ошибся со знаком на одном участке — и минимум превратился в максимум. Проверяй знак подстановкой любого числа из промежутка.
Путают график функции с графиком её производной. В задании 9 часто дают именно график f′(x). Возрастание функции читается по тому, что производная выше оси, а не по тому, растёт ли сам график производной. Сначала пойми, чей график перед тобой.
Смешивают знак функции со знаком производной. f(x) < 0 не мешает функции возрастать — она может подниматься, оставаясь в минусе. Направление задаёт f′, а не сам знак f. Это разные вопросы: где график и куда он идёт.
Запомни для ЕГЭ
На экзамене
- Задание 9 стоит 1 балл и решается за 3–4 минуты. Не зависай: связка «знак производной — направление, смена знака — экстремум» закрывает почти все его варианты.
- В задании 9 первым делом пойми, чей график перед тобой — функции или её производной. Если производной, читай по знаку: выше оси — функция растёт, ниже — падает, пересечение со сменой знака — экстремум.
- Если в задании 9 спрашивают наибольшее/наименьшее значение, сразу выписывай кандидатов: стационарные точки внутри отрезка плюс оба конца. Для квадратичной функции точка экстремума — это вершина параболы x = −b/(2a), производная даже не нужна.
- Калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах профиля нет — там всего четыре тригонометрические формулы. Производную (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ и правила знай наизусть; числа в ответах всегда «хорошие», получился корявый корень — ищи ошибку.
- Перед тем как записать ответ, перечитай вопрос: спрашивают точку (значение x) или значение функции (y). На этой мелочи в задании 9 теряют больше баллов, чем на самой производной.
- Нашёл ответ — проверь его смыслом: точка минимума кубической функции должна лежать там, где производная переходит с минуса на плюс, а наибольшее значение на отрезке не может быть меньше значения на конце. Быстрая сверка ловит арифметику.
Словарь темы
- Возрастающая функция
- Функция, у которой на промежутке большему аргументу соответствует большее значение: для любых x₁ < x₂ выполняется f(x₁) < f(x₂). Её график идёт вверх слева направо, а производная на промежутке положительна.
- Убывающая функция
- Функция, у которой большему аргументу соответствует меньшее значение: x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂). График идёт вниз, производная на промежутке отрицательна.
- Монотонность
- Свойство функции только возрастать или только убывать на промежутке. Промежуток, где функция сохраняет направление, называют промежутком монотонности.
- Стационарная точка
- Точка, в которой производная равна нулю: f'(x) = 0. Касательная к графику в ней горизонтальна. Это кандидат в экстремумы, но не обязательно экстремум.
- Критическая точка
- Более широкое понятие, чем стационарная точка: производная в ней либо равна нулю, либо не существует. У многочленов, где производная есть всюду, критические точки совпадают со стационарными — поэтому в этой теме достаточно слова «стационарная».
- Точка экстремума
- Значение аргумента x, при котором функция меняет возрастание на убывание (точка максимума) или убывание на возрастание (точка минимума). Определяется по смене знака производной.
- Наибольшее и наименьшее значение на отрезке
- Самое большое и самое маленькое значение функции на отрезке [a; b]. Для непрерывной функции достигается в стационарной точке внутри отрезка или на одном из его концов.
Частые вопросы
Что нужно запомнить по теме «Монотонность, экстремумы»?
Главное:
- f'(x) > 0 — функция возрастает; f'(x) < 0 — убывает
- f'(x₀) = 0 — стационарная точка, ещё не экстремум
- Экстремум там, где f' меняет знак: − на + минимум, + на − максимум
- (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹.
Остальное — в разделе темы выше.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram
Источники и проверка
4 документа
- Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
- ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено ): 4.2 «Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы»; 3.2 «Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции». В проекте КИМ 2027 чтение графика производной и поиск наибольшего и наименьшего значения функции собраны в задании 9; производная нужна и в новом задании 17.
Что сверено по документам
- Тема относится к элементам кодификатора ФИПИ о промежутках монотонности, максимумах и минимумах функции и о применении производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы; в КИМ 2027 проверяется заданием 9, куда вошёл и поиск наибольшего и наименьшего значения функции.
- В КИМ 2027 задание 9 — базовый уровень, 1 балл, часть 1 (задания 1–13 с кратким ответом по 1 баллу); отдельного номера на наибольшее и наименьшее значение функции больше нет, эта формулировка вошла в задание 9.
- Достаточный признак монотонности: если f'(x) > 0 на промежутке, функция возрастает; если f'(x) < 0 — убывает.
- Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): в точке экстремума производная равна нулю или не существует. Оно не достаточно — стационарная точка не обязана быть экстремумом; контрпример f(x) = x³, f'(0) = 0, экстремума нет.
- Достаточный признак экстремума (первая производная): при переходе через точку смена знака f' с − на + даёт минимум, с + на − — максимум; без смены знака экстремума нет.
- Точка экстремума (точка максимума/минимума) — это значение аргумента x, а наибольшее/наименьшее значение (максимум/минимум) — значение функции y = f(x). Это разные вопросы задания 9.
- Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке [a; b] достигается либо в критической точке внутри отрезка, либо на одном из концов; концы обязательно включаются в сравнение.
- Наибольшее значение f(x) = x³ − 12x + 5 на отрезке [0; 3] равно 5 и достигается на конце x = 0.
- Точку минимума квадратичной функции можно находить по вершине параболы x = −b/(2a): при a > 0 это минимум, при a < 0 — максимум. Для f(x) = x² − 8x + 3 точка минимума x = 4; для f(x) = x² − 10x + 3 — x = 5.
- По графику производной: где f'(x) выше оси — функция возрастает, где ниже — убывает, а точки пересечения оси со сменой знака — точки экстремума. Число точек экстремума равно числу пересечений оси со сменой знака.
- На профильной математике калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах нет — выдаются только четыре тригонометрические формулы (sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β)).
Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено . Как мы готовим материалы.
Закрепи на тренажёре
Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.
