Монотонность, экстремумы

Задание 8 КИМ (1 балл); также в 12 (1 балл) Макс. 1 балл за № 8 ~4 минуты

Монотонность и экстремумы — про то, где функция растёт, где падает и где разворачивается. На профиле это задания 8 и 12: по графику производной найти промежутки возрастания, точку минимума или наибольшее значение на отрезке. Вся тема на одной связке: знак производной задаёт направление, а смена знака — экстремум. Главные ловушки — спутать нуль производной с экстремумом и забыть про концы отрезка.

Возрастание, убывание и знак производной

Начнём с самих слов, потому что задание 8 любит спрашивать именно их смысл. Функция возрастает на промежутке, если большему аргументу отвечает большее значение: для любых $x_1 < x_2$ из этого промежутка выполняется $f(x_1) < f(x_2)$ . График такой функции идёт вверх, если смотреть слева направо. Функция убывает, если наоборот: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ , график идёт вниз. Если на промежутке функция только растёт или только падает, её называют монотонной, а сам промежуток — промежутком монотонности.

Определять монотонность прямо по определению неудобно: перебрать все пары $x_1 < x_2$ нельзя. Поэтому работает универсальный инструмент — производная. Правило короткое и его стоит помнить наизусть:

f'(x) > 0 \ \text{на промежутке} \Rightarrow f \ \text{возрастает}; \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \ \text{убывает}

Смысл прозрачный: производная — это скорость изменения функции. Скорость положительна — значение растёт, скорость отрицательна — падает. Как считать саму производную (таблица, правила суммы и множителя) — тема кода 4.1; здесь мы считаем это умение уже освоенным и учимся по знаку производной читать поведение функции.

Важная тонкость про направление: знак производной говорит о том, растёт функция или падает, а не о том, положительна ли она сама. Функция может принимать отрицательные значения и при этом возрастать — например, подниматься от −10 к −3. Не путай знак $f(x)$ со знаком $f'(x)$ : первое про то, где график, второе про то, куда он идёт.

На спуске касательная наклонена вниз (f' < 0), на подъёме — вверх (f' > 0), в самой нижней точке горизонтальна (f' = 0)

Нуль производной и экстремум — не одно и то же

Это самое важное место темы и любимая ловушка составителей. Точку, где $f'(x_0) = 0$ , называют стационарной. В такой точке касательная к графику (прямая, которая в этой точке идёт вдоль графика) горизонтальна. Но горизонтальная касательная сама по себе ещё не значит, что там вершина холма или дно ямы.

Формально это необходимое условие: если у функции в некоторой внутренней точке экстремум, то её производная там равна нулю (или не существует). Обратное — неверно. Классический контрпример — $f(x) = x^3$ . Её производная $f'(x) = 3x^2$ обращается в ноль при $x = 0$ , но экстремума там нет: слева от нуля производная положительна и справа положительна, функция всё время возрастает. Просто на мгновение останавливается и разгоняется снова.

Значит, стационарная точка — это лишь кандидат. Чтобы он оказался настоящим экстремумом, нужно достаточное условие: производная должна сменить знак при переходе через эту точку.

f' : \ - \to + \ \text{в точке} \ x_0 \Rightarrow \text{минимум}; \qquad f' : \ + \to - \Rightarrow \text{максимум}

Логика простая: если функция сначала убывала ( $f' < 0$ ), а потом стала возрастать ( $f' > 0$ ), то между ними у неё дно — точка минимума. Сменила рост на спад — вершина, точка максимума. Не сменила знак вовсе (как у $x^3$ ) — никакого экстремума, функция едет дальше в ту же сторону.

И различай два слова, которые на экзамене легко перепутать. Точка максимума — это значение аргумента $x$ , при котором функция достигает вершины. А максимум — это уже само значение функции $y = f(x)$ в этой точке. Задание 12 спрашивает то одно, то другое: «найдите точку минимума» и «найдите наименьшее значение» — это разные вопросы с разными ответами.

График функции и согласованная таблица знаков производной, Миша указывает на смену знака — Минимум возникает при смене знака производной с минуса на плюс, максимум — с плюса на минус.

Как читать график производной (№ 8)

Отдельный тип задания 8: дан не график функции, а график её производной $f'(x)$ , и по нему нужно рассказать про саму функцию. Здесь и подстерегает главная путаница — принять график производной за график функции. Не смешивай их: у тебя перед глазами $f'$ , а вопрос почти всегда про $f$ .

Читается график производной по двум правилам, которые ты уже знаешь:

Где график производной выше оси ( $f' > 0$ ), там функция возрастает. Где ниже оси ( $f' < 0$ ) — убывает. А точки, где график производной пересекает ось и при этом меняет знак, — это точки экстремума функции.

Отсюда быстрый приём для вопроса «сколько у функции точек экстремума»: посчитай, сколько раз график производной пересекает ось со сменой знака. Если производная лишь касается оси, не переходя на другую сторону (как у $x^3$ в нуле), — эта точка не считается.

Посмотри на схему ниже. График производной идёт выше оси, потом ныряет под неё и снова выходит наверх. На первом пересечении знак меняется с плюса на минус — здесь у функции максимум. На втором с минуса на плюс — минимум. Между ними функция убывает, а по краям возрастает. Двух пересечений со сменой знака достаточно, чтобы уверенно ответить: у функции две точки экстремума.

График производной f'(x): пока он выше оси, функция растёт; ныряет под ось — функция убывает. Первое пересечение (+ на −) даёт максимум, второе (− на +) — минимум

Ищем точку минимума и максимума (№ 12)

Другой тип задания 12 — не график, а формула: «найдите точку минимума функции $f(x)$ ». Работает один и тот же алгоритм из знака производной.

Возьмём $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$ . Находим производную и приравниваем к нулю:

f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1) = 0 \ \Rightarrow\ x = -1 \ \text{или}\ x = 3

Две стационарные точки — два кандидата. Теперь расставим знаки производной на числовой прямой. Множители подсказывают: при $x < -1$ обе скобки отрицательны, произведение положительно — $f' > 0$ . Между $-1$ и $3$ одна скобка сменила знак — $f' < 0$ . При $x > 3$ снова $f' > 0$ . Получается цепочка знаков + − +.

Читаем по достаточному условию. В точке $x = -1$ знак меняется с плюса на минус — это точка максимума. В точке $x = 3$ с минуса на плюс — точка минимума. Если в задании спросили точку минимума, ответ — $3$ .

Для квадратичной функции даже производная не нужна: график — парабола, и её вершина находится по формуле $x = -\dfrac{b}{2a}$ . Ветви вверх ( $a > 0$ ) — вершина это минимум, ветви вниз ( $a < 0$ ) — максимум. Например, у $f(x) = x^2 - 8x + 3$ точка минимума $x = \dfrac{8}{2} = 4$ — тот же ответ дала бы и производная $f'(x) = 2x - 8 = 0$ .

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Третий частый вопрос задания 12: «найдите наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке $[a;\,b]$ ». И вот здесь спрятана ошибка, которая стоит балла чаще всего в этой теме, — забыть про концы отрезка.

Разберёмся, почему концы важны. Непрерывная функция на отрезке своё самое большое и самое маленькое значение обязательно где-то принимает. Но эта точка не всегда внутри: функция может расти до самого правого конца или падать до левого, так и не развернувшись внутри отрезка. Тогда рекорд стоит именно на конце, а никакой стационарной точки внутри может и не быть вовсе.

Отсюда рабочий алгоритм. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в стационарной точке внутри отрезка, либо на одном из концов. Поэтому найди стационарные точки и отбери те, что лежат внутри $[a;\,b]$ . Затем вычисли значение функции в них и на обоих концах $a$ и $b$ , сравни получившиеся числа и выбери самое большое или самое маленькое.

Обрати внимание: сравниваем сами значения $f(x)$ , а не точки. И различать минимум и максимум по знакам производной здесь уже не обязательно — достаточно посчитать все значения-кандидаты и сравнить.

Если же вместо отрезка дан открытый промежуток или луч, а внутри него ровно одна стационарная точка, ответ — именно она. Единственный минимум на промежутке — это и есть наименьшее значение, единственный максимум — наибольшее. Но как только появляются концы отрезка, их из рассмотрения не выкидывай.

Разбор: наибольшее значение на отрезке (№ 12)

Пример

Найдите наибольшее значение функции f(x) = x³ − 12x + 5 на отрезке [0; 3].

Ищем стационарные точки. Считаем производную и приравниваем к нулю:

f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2) = 0 \ \Rightarrow\ x = 2 \ \text{или}\ x = -2

Отбираем те, что внутри отрезка. Отрезок —

[0;\,3]

. Точка

x = 2

внутри, а

x = -2

за пределами отрезка — её отбрасываем сразу.Считаем значения-кандидаты: в стационарной точке внутри и на обоих концах. Именно здесь чаще всего теряют балл — берут только

x = 2

и забывают про концы.

f(0) = 5, \qquad f(2) = 8 - 24 + 5 = -11, \qquad f(3) = 27 - 36 + 5 = -4

Сравниваем три числа и выбираем наибольшее:

5 > -4 > -11

. Самое большое значение —

5

, и достигается оно на конце

x = 0

, а вовсе не в стационарной точке

x = 2

— там как раз минимум.Вот почему концы нельзя пропускать: если бы мы посмотрели только на стационарную точку, получили бы −11 и ошиблись бы в ответе на целых 16.Ответ: 5 (достигается на конце x = 0).

Как найти точку экстремума или наибольшее значение

1Посчитай производную и приравняй к нулю. Решение уравнения

f'(x) = 0

даёт стационарные точки — кандидатов в экстремумы. Как дифференцировать — тема кода 4.1; здесь считаем это умение готовым.

2Расставь знаки производной на числовой прямой. Отметь стационарные точки и определи знак

f'

на каждом промежутке — удобнее всего по множителям разложенной производной. Знак задаёт направление: плюс — возрастает, минус — убывает.

3Определи характер каждой точки по смене знака. С минуса на плюс — точка минимума, с плюса на минус — точка максимума. Знак не сменился — экстремума нет, это просто стационарная точка.

4Ответь ровно на заданный вопрос. Спросили точку — это значение

x

. Спросили наибольшее или наименьшее значение — подставь и найди

y = f(x)

. Это разные ответы.

5Для отрезка добавь концы. Наибольшее и наименьшее значение на

[a;\,b]

ищи, сравнивая

f

в стационарных точках внутри и на концах

a

b

. Концы — обязательные кандидаты.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.На промежутке (2; 7) производная функции всюду положительна: f'(x) > 0. Как ведёт себя функция на этом промежутке?

Положительная производная означает, что функция возрастает: скорость изменения больше нуля, значение растёт. Раз f' > 0 на всём промежутке, функция строго возрастает и никакого экстремума внутри нет. Знак производной задаёт именно направление, а не значение функции.

2.Известно, что f'(x₀) = 0. Верно ли, что x₀ — обязательно точка экстремума?

Равенство f'(x₀) = 0 — только необходимое условие: это стационарная точка, кандидат в экстремумы. Экстремум есть лишь тогда, когда производная меняет знак при переходе через точку. Контрпример: f(x) = x³, f'(0) = 0, но слева и справа f' > 0 — функция всё время возрастает, экстремума в нуле нет. Последний вариант тоже неверен: экстремумы как раз и ищут среди точек, где f' = 0.

3.Найдите точку минимума функции f(x) = x² − 10x + 3.

Производная f'(x) = 2x − 10 обращается в ноль при x = 5. Слева от неё f' < 0 (функция убывает), справа f' > 0 (возрастает) — значит, x = 5 точка минимума. Тот же ответ даёт формула вершины параболы x = −b/(2a) = 10/2 = 5. Число 3 — свободный член, на абсциссу вершины оно не влияет. А число 10 в этой формуле — это −b, поэтому именно оно и задаёт точку минимума.

4.На отрезке [1; 4] производная функции всюду отрицательна. В какой точке функция принимает наибольшее значение на этом отрезке?

Раз f' < 0 на всём отрезке, функция убывает от левого конца к правому. Самое большое значение стоит в самой левой точке x = 1, самое маленькое — в x = 4. Стационарных точек внутри нет, поэтому ответ дают именно концы отрезка.

5.Чтобы найти наибольшее значение непрерывной функции на отрезке [a; b], достаточно вычислить её значения только в стационарных точках внутри отрезка. Так ли это?

Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в стационарной точке внутри, либо на конце. Поэтому сравнивают значения f во всех стационарных точках внутри И в точках a, b. Пропуск концов — самая частая потеря балла в задании 12: рекорд нередко стоит именно на конце.

6.График производной f'(x) пересекает ось Ox в точке x₀, меняя знак с минуса на плюс. Что это за точка для самой функции f?

Слева от x₀ производная отрицательна — функция убывает, справа положительна — возрастает. Функция сначала падает, потом растёт, значит в x₀ у неё дно — точка минимума. Смена знака производной с минуса на плюс всегда даёт минимум, с плюса на минус — максимум. Про само значение f(x₀) (равно ли оно нулю) график производной ничего не говорит.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Считают нуль производной сразу экстремумом. Равенство $f'(x_0) = 0$ — только кандидат: это стационарная точка. Экстремум есть, лишь если производная меняет знак. У $f(x) = x^3$ производная в нуле обращается в ноль, но экстремума нет — функция всюду возрастает. Всегда проверяй смену знака.

Ошибка 2

Забывают концы отрезка в наибольшем/наименьшем значении. Рекорд непрерывной функции на $[a;\,b]$ достигается в стационарной точке внутри или на конце. Считать надо значения и в стационарных точках, и в $a$ , и в $b$ , а потом сравнивать. Пропустил концы — потерял балл.

Ошибка 3

Путают точку экстремума и само значение. Точка максимума — это $x$ , где вершина; максимум (наибольшее значение) — это $y = f(x)$ в этой точке. Задание 12 спрашивает то одно, то другое. Перечитай вопрос перед тем, как записать ответ в бланк.

Ошибка 4

Неверно расставляют знаки производной. Знак $f'$ на промежутке определяют по множителям разложенной производной, а не на глаз. Ошибся со знаком на одном участке — и минимум превратился в максимум. Проверяй знак подстановкой любого числа из промежутка.

Ошибка 5

Путают график функции с графиком её производной. В задании 8 часто дают именно график $f'(x)$ . Возрастание функции читается по тому, что производная выше оси, а не по тому, растёт ли сам график производной. Сначала пойми, чей график перед тобой.

Ошибка 6

Смешивают знак функции со знаком производной. $f(x) < 0$ не мешает функции возрастать — она может подниматься, оставаясь в минусе. Направление задаёт $f'$ , а не сам знак $f$ . Это разные вопросы: где график и куда он идёт.

Запомни для ЕГЭ

1f'(x) > 0 — функция возрастает; f'(x) < 0 — убывает

2f'(x₀) = 0 — стационарная точка, ещё не экстремум

3Экстремум там, где f' меняет знак: − на + минимум, + на − максимум

(x^n)' = n x^{n-1}

5Наиб/наим на [a; b]: сравни f в стационарных точках внутри и на концах a, b

6Точка максимума — это x; наибольшее значение — это y = f(x)

На экзамене

Задания 8 и 12 стоят по 1 баллу каждое и решаются за 3–4 минуты. Не зависай: связка «знак производной — направление, смена знака — экстремум» закрывает почти все их варианты.
В задании 8 первым делом пойми, чей график перед тобой — функции или её производной. Если производной, читай по знаку: выше оси — функция растёт, ниже — падает, пересечение со сменой знака — экстремум.
В задании 12 на наибольшее/наименьшее значение сразу выписывай кандидатов: стационарные точки внутри отрезка плюс оба конца. Для квадратичной функции точка экстремума — это вершина параболы x = −b/(2a), производная даже не нужна.
Калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах профиля нет — там всего четыре тригонометрические формулы. Производную $(x^n)' = n x^{n-1}$ и правила знай наизусть; числа в ответах всегда «хорошие», получился корявый корень — ищи ошибку.
Перед тем как записать ответ, перечитай вопрос: спрашивают точку (значение x) или значение функции (y). На этой мелочи в задании 12 теряют больше баллов, чем на самой производной.
Нашёл ответ — проверь его смыслом: точка минимума кубической функции должна лежать там, где производная переходит с минуса на плюс, а наибольшее значение на отрезке не может быть меньше значения на конце. Быстрая сверка ловит арифметику.

Словарь темы

Возрастающая функцияФункция, у которой на промежутке большему аргументу соответствует большее значение: для любых x₁ < x₂ выполняется f(x₁) < f(x₂). Её график идёт вверх слева направо, а производная на промежутке положительна.

Убывающая функцияФункция, у которой большему аргументу соответствует меньшее значение: x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂). График идёт вниз, производная на промежутке отрицательна.

МонотонностьСвойство функции только возрастать или только убывать на промежутке. Промежуток, где функция сохраняет направление, называют промежутком монотонности.

Стационарная точкаТочка, в которой производная равна нулю: f'(x) = 0. Касательная к графику в ней горизонтальна. Это кандидат в экстремумы, но не обязательно экстремум.

Критическая точкаБолее широкое понятие, чем стационарная точка: производная в ней либо равна нулю, либо не существует. У многочленов, где производная есть всюду, критические точки совпадают со стационарными — поэтому в этой теме достаточно слова «стационарная».

Точка экстремумаЗначение аргумента x, при котором функция меняет возрастание на убывание (точка максимума) или убывание на возрастание (точка минимума). Определяется по смене знака производной.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезкеСамое большое и самое маленькое значение функции на отрезке [a; b]. Для непрерывной функции достигается в стационарной точке внутри отрезка или на одном из его концов.

Источники и проверка

15 источников

Тема соответствует коду 3.3 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня «Монотонность, экстремумы» и проверяется заданиями 8 и 12.
Задание 8 — базовый уровень, 1 балл; задание 12 — повышенный уровень, 1 балл; оба входят в часть 1 (задания 1–12 с кратким ответом по 1 баллу).
Достаточный признак монотонности: если f'(x) > 0 на промежутке, функция возрастает; если f'(x) < 0 — убывает.
Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): в точке экстремума производная равна нулю или не существует. Оно не достаточно — стационарная точка не обязана быть экстремумом; контрпример f(x) = x³, f'(0) = 0, экстремума нет.
Достаточный признак экстремума (первая производная): при переходе через точку смена знака f' с − на + даёт минимум, с + на − — максимум; без смены знака экстремума нет.
Точка экстремума (точка максимума/минимума) — это значение аргумента x, а наибольшее/наименьшее значение (максимум/минимум) — значение функции y = f(x). Это разные вопросы задания 12.
Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке [a; b] достигается либо в критической точке внутри отрезка, либо на одном из концов; концы обязательно включаются в сравнение.
Разбор примера просчитан: наибольшее значение f(x) = x³ − 12x + 5 на [0; 3] равно 5 и достигается на конце x = 0.
Точку минимума квадратичной функции можно находить по вершине параболы x = −b/(2a): при a > 0 это минимум, при a < 0 — максимум. Для f(x) = x² − 8x + 3 точка минимума x = 4; для f(x) = x² − 10x + 3 — x = 5.
По графику производной: где f'(x) выше оси — функция возрастает, где ниже — убывает, а точки пересечения оси со сменой знака — точки экстремума. Число точек экстремума равно числу пересечений оси со сменой знака.
Механика вычисления производной (таблица, правила) относится к теме кода 4.1 «Производная», а применение производной к полному исследованию функции — к коду 4.2; тема 3.3 фокусируется на свойствах функции (монотонность, экстремумы) и их связи со знаком производной.
На профильной математике калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах нет — выдаются только четыре тригонометрические формулы (sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β)).
Проверочные вопросы просчитаны независимо.
Блок interactive в теме отсутствует, потому что подходящей лаборатории нет.
Значение trainerTopic «Производная, экстремумы» существует в банке тренажёра.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 8

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике