Применение производной к исследованию функций

Задание 8 КИМ (1 балл); также в 12 (1 балл) Макс. 1 балл за № 8 ~4 минуты

Производная — это инструмент, которым функцию «просвечивают»: по её знаку видно, где функция растёт, где падает и где разворачивается. На профиле это задания 8 и 12 — найти точку экстремума, наибольшее или наименьшее значение на отрезке. Разберём метод по шагам. Две главные ловушки темы: принять нуль производной сразу за экстремум и забыть про концы отрезка.

Производная показывает, куда идёт функция

Исследовать функцию — значит понять её поведение, не строя график по точкам: где она поднимается, где опускается, где у неё вершины и провалы. Ключ ко всему этому — знак производной. Как считать саму производную (таблица, правила суммы и множителя) — тема кода 4.1; здесь мы считаем это умение готовым и учимся по производной читать функцию.

Правило короткое и его стоит помнить наизусть: производная — это скорость изменения функции. Скорость положительна — значение растёт, скорость отрицательна — падает.

f'(x) > 0 \ \text{на промежутке} \Rightarrow f \ \text{возрастает}; \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \ \text{убывает}

Одна тонкость, на которой в задании 8 регулярно теряют балл: знак производной говорит о том, растёт функция или падает, а не о том, положительна ли она сама. Функция вполне может подниматься, оставаясь в минусе, — например, от −8 к −2. Не смешивай знак $f(x)$ (где график) со знаком $f'(x)$ (куда график идёт).

На этом одном правиле держатся оба вопроса, ради которых тема и существует на экзамене: найти точку экстремума (где функция разворачивается) и найти наибольшее или наименьшее значение на отрезке. Разберём их по очереди.

Экстремум — там, где производная меняет знак

Точку, где $f'(x_0) = 0$ , называют стационарной: касательная к графику в ней горизонтальна. Но горизонтальная касательная сама по себе ещё не значит, что там вершина холма или дно ямы. Это самое важное место темы и любимая ловушка составителей.

Формально $f'(x_0) = 0$ — лишь необходимое условие: в точке экстремума производная обращается в ноль, но обратное неверно. Классический контрпример — $f(x) = x^3$ . Её производная $f'(x) = 3x^2$ равна нулю при $x = 0$ , но экстремума там нет: и слева, и справа производная положительна, функция всё время возрастает — просто на мгновение замирает и разгоняется снова.

Значит, стационарная точка — только кандидат. Чтобы он оказался настоящим экстремумом, нужно достаточное условие: производная должна сменить знак при переходе через эту точку.

f' : \ - \to + \ \Rightarrow \ \text{минимум}; \qquad f' : \ + \to - \ \Rightarrow \ \text{максимум}

Логика простая: функция сначала убывала ( $f' < 0$ ), потом стала возрастать ( $f' > 0$ ) — между ними у неё дно, точка минимума. Сменила рост на спад — вершина, точка максимума. Знак не сменился (как у $x^3$ ) — экстремума нет.

Пройдём метод на функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$ . Приравниваем производную к нулю:

f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x+3)(x-1) = 0 \ \Rightarrow\ x = -3 \ \text{или}\ x = 1

Два кандидата. Расставляем знаки производной по множителям. При $x < -3$ обе скобки отрицательны, произведение положительно — $f' > 0$ . Между $-3$ и $1$ одна скобка сменила знак — $f' < 0$ . При $x > 1$ снова $f' > 0$ . Получилась цепочка + − +. В точке $x = -3$ знак сменился с плюса на минус — это точка максимума, в точке $x = 1$ с минуса на плюс — точка минимума.

И различай два слова, которые на экзамене легко перепутать. Точка минимума — это значение аргумента $x$ (здесь $x = 1$ ). А минимум — уже само значение функции $y = f(1) = -5$ . Задание спрашивает то одно, то другое, и это разные ответы.

В вершине и на дне касательная горизонтальна (f' = 0). Слева от максимума f' > 0, между максимумом и минимумом f' < 0, справа снова f' > 0 — цепочка знаков + − +

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Второй вопрос задания 12: «найдите наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке $[a;\,b]$ ». Здесь спрятана ошибка, которая стоит балла чаще всего в этой теме, — забыть про концы отрезка.

Почему концы важны. Непрерывная функция (её график — сплошная линия без разрывов и скачков) на отрезке своё самое большое и самое маленькое значение обязательно где-то принимает. Но эта точка не всегда внутри: функция может расти до самого правого конца или падать до левого, так и не развернувшись внутри отрезка. Тогда рекорд стоит именно на конце, а стационарной точки внутри может и не быть вовсе.

Отсюда рабочий алгоритм. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в стационарной точке внутри отрезка, либо на одном из концов. Поэтому найди стационарные точки, отбери те, что лежат внутри $[a;\,b]$ , вычисли значение функции в них и на обоих концах $a$ и $b$ , а затем сравни получившиеся числа и выбери нужное.

Обрати внимание на две вещи. Первая: сравниваем сами значения $f(x)$ , а не точки. Вторая: различать минимум и максимум по знакам производной здесь уже не нужно — достаточно посчитать все значения-кандидаты и сравнить их напрямую. Это заметно короче, чем полное исследование со сменой знаков.

Если же вместо отрезка дан открытый промежуток или луч и внутри него ровно одна стационарная точка — ответ именно она. Единственный минимум на промежутке и есть наименьшее значение, единственный максимум — наибольшее. Но как только в условии появляются концы отрезка, из рассмотрения их не выкидывай.

Наибольшее значение стоит на левом конце a, а самое маленькое — в стационарной точке внутри отрезка. Вот почему концы нельзя пропускать

Сравнение значений функции в концах отрезка и во внутренней стационарной точке — На закрытом отрезке сравнивают значения в стационарных точках и на обоих концах.

Когда дают график производной (№ 8)

Отдельный тип задания 8: дан не график функции, а график её производной $f'(x)$ , и по нему нужно рассказать про саму функцию. Здесь подстерегает главная путаница — принять график производной за график функции. Перед глазами $f'$ , а вопрос почти всегда про $f$ .

Читается такой график по двум уже знакомым правилам. Где график производной выше оси ( $f' > 0$ ), там функция возрастает. Где ниже оси ( $f' < 0$ ) — убывает. А точки, где график производной пересекает ось и меняет знак, — это точки экстремума функции.

Отсюда быстрый приём для частого вопроса «сколько у функции точек экстремума»: посчитай, сколько раз график производной пересекает ось со сменой знака. Если производная лишь касается оси, не переходя на другую сторону (как у $x^3$ в нуле), — эта точка не считается: там нет смены знака, значит нет и экстремума.

И тот же признак различает максимум с минимумом. Пересечение оси сверху вниз (с плюса на минус) — точка максимума функции. Снизу вверх (с минуса на плюс) — точка минимума. Не наоборот: держи в голове, что минимум — это разворот с падения на рост, то есть $-\to+$ .

Разбор: наибольшее значение на отрезке (№ 12)

Пример

Найдите наибольшее значение функции f(x) = x³ − 6x² + 5 на отрезке [1; 5].

Ищем стационарные точки. Считаем производную и приравниваем к нулю:

f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4) = 0 \ \Rightarrow\ x = 0 \ \text{или}\ x = 4

Отбираем те, что внутри отрезка. Отрезок —

[1;\,5]

. Точка

x = 4

внутри, а

x = 0

за пределами отрезка — её отбрасываем сразу.Считаем значения-кандидаты: в стационарной точке внутри и на обоих концах. Именно здесь чаще всего теряют балл — берут только

x = 4

и забывают про концы.

f(1) = 1 - 6 + 5 = 0, \qquad f(4) = 64 - 96 + 5 = -27, \qquad f(5) = 125 - 150 + 5 = -20

Сравниваем три числа и выбираем наибольшее:

0 > -20 > -27

. Самое большое значение —

0

, и достигается оно на конце

x = 1

, а вовсе не в стационарной точке

x = 4

— там как раз минимум.Вот почему концы нельзя пропускать: если бы мы взяли только стационарную точку, получили бы −27 и ошиблись бы в ответе на 27.Ответ: 0 (достигается на конце x = 1).

Как исследовать функцию производной

1Посчитай производную и приравняй к нулю. Решение уравнения

f'(x) = 0

даёт стационарные точки — кандидатов в экстремумы. Как дифференцировать — тема кода 4.1; здесь это готовый инструмент.

2Расставь знаки производной на числовой прямой. Удобнее всего по множителям разложенной производной: подставь любое число из каждого промежутка. Плюс — функция возрастает, минус — убывает.

3Определи характер точки по смене знака. С минуса на плюс — минимум, с плюса на минус — максимум. Знак не сменился — экстремума нет, просто стационарная точка.

4Для отрезка сравни значения на концах. Наибольшее и наименьшее на

[a;\,b]

ищи, вычисляя

f

в стационарных точках внутри и на концах

a

b

, а потом сравнивая числа. Концы — обязательные кандидаты.

5Ответь ровно на заданный вопрос. Спросили точку — это значение

x

. Спросили наибольшее или наименьшее значение — подставь и найди

y = f(x)

. Это разные ответы.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.В точке x₀ производная функции меняет знак с плюса на минус. Что это за точка для функции?

Слева от x₀ производная положительна — функция возрастает, справа отрицательна — убывает. Рост сменился спадом, значит в x₀ у функции вершина — точка максимума. Смена знака производной с плюса на минус всегда даёт максимум, с минуса на плюс — минимум.

2.Найдите точку минимума функции f(x) = x³ − 12x.

Производная f'(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2) обращается в ноль при x = 2 и x = −2. Знаки образуют цепочку + − +: в точке x = −2 смена с плюса на минус (максимум), в точке x = 2 с минуса на плюс (минимум). Точка минимума — 2.

3.На отрезке [−3; 5] производная функции всюду положительна. В какой точке функция принимает наибольшее значение?

Раз f' > 0 на всём отрезке, функция возрастает от левого конца к правому. Самое большое значение стоит в самой правой точке x = 5, самое маленькое — в x = −3. Стационарных точек внутри нет, поэтому ответ дают именно концы.

4.Дан график производной f'(x). В точке x₀ он пересекает ось Ox, меняя знак с минуса на плюс. Что это за точка для самой функции f?

Слева от x₀ производная отрицательна — функция убывает, справа положительна — возрастает. Функция сначала падает, потом растёт, значит в x₀ у неё дно — точка минимума. Про само значение f(x₀) график производной ничего не сообщает: не путай график f' с графиком f.

5.Производная функции равна f'(x) = 3x². Сколько у функции точек экстремума?

Выражение 3x² обращается в ноль только при x = 0, но знака не меняет: и слева, и справа оно положительно. Значит функция всюду возрастает, экстремума нет. Это ровно случай f(x) = x³ + C: горизонтальная касательная в нуле есть, а разворота нет.

6.Найдите наименьшее значение функции f(x) = x² − 6x + 11 на отрезке [0; 5].

Производная f'(x) = 2x − 6 равна нулю при x = 3 — точка внутри отрезка. Считаем кандидатов: f(3) = 9 − 18 + 11 = 2, f(0) = 11, f(5) = 25 − 30 + 11 = 6. Наименьшее из чисел 2, 11, 6 — это 2, и достигается оно в стационарной точке x = 3.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1

Считают нуль производной сразу экстремумом. Равенство $f'(x_0) = 0$ — только кандидат: это стационарная точка. Экстремум есть, лишь если производная меняет знак. У $f(x) = x^3$ производная в нуле обращается в ноль, но экстремума нет — функция всюду возрастает. Всегда проверяй смену знака.

Ошибка 2

Забывают концы отрезка в наибольшем/наименьшем значении. Рекорд непрерывной функции на $[a;\,b]$ достигается в стационарной точке внутри или на конце. Считать надо значения и в стационарных точках, и в $a$ , и в $b$ , а потом сравнивать. Пропустил концы — потерял балл.

Ошибка 3

Путают максимум с минимумом. Минимум — там, где производная меняет знак с минуса на плюс ( $-\to+$ ), максимум — с плюса на минус ( $+\to-$ ). Перепутал направление смены — и ответ противоположный. Держи опору: минимум это дно, разворот с падения на рост.

Ошибка 4

Путают точку экстремума и само значение. Точка минимума — это $x$ , где дно; минимум (наименьшее значение) — это $y = f(x)$ в этой точке. Задание 12 спрашивает то одно, то другое. Перечитай вопрос перед тем, как записать ответ в бланк.

Ошибка 5

Путают график функции с графиком её производной. В задании 8 часто дают именно график $f'(x)$ . Возрастание функции читается по тому, что производная выше оси, а не по тому, растёт ли сам график производной. Сначала пойми, чей график перед тобой.

Ошибка 6

Для наибольшего значения берут стационарную точку, не проверив её характер. Стационарная точка внутри отрезка может оказаться минимумом — тогда наибольшее значение будет на конце, как в разборе выше (рекорд на $x = 1$ , а в стационарной точке минимум). Поэтому и сравнивают все значения-кандидаты, а не хватаются за первую же стационарную точку.

Запомни для ЕГЭ

1f'(x) > 0 — функция возрастает; f'(x) < 0 — убывает

2Минимум: f' меняет знак − на +. Максимум: + на −

3f'(x₀) = 0 — только кандидат, проверь смену знака

(x^n)' = n x^{n-1}

5Наиб/наим на [a; b]: стационарные точки внутри и оба конца a, b

6Точка экстремума — это x; наибольшее значение — это y = f(x)

На экзамене

Задания 8 и 12 стоят по 1 баллу каждое и решаются ориентировочно за 3–4 минуты. Не зависай: связка «знак производной — направление, смена знака — экстремум» закрывает почти все их варианты.
В задании 8 первым делом пойми, чей график перед тобой — функции или её производной. Если производной, читай по знаку: выше оси — функция растёт, ниже — падает, пересечение со сменой знака — экстремум.
В задании 12 на наибольшее/наименьшее значение сразу выписывай кандидатов: стационарные точки внутри отрезка плюс оба конца. Различать среди них максимумы и минимумы не обязательно — просто подставь все и сравни числа.
Для квадратичной функции точка экстремума — это вершина параболы $x = -\dfrac{b}{2a}$ : при $a > 0$ минимум, при $a < 0$ максимум. Производная даст тот же ответ, но вершина быстрее.
Калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах профиля нет — там всего четыре тригонометрические формулы. Производную $(x^n)' = n x^{n-1}$ и правила знай наизусть; числа в ответах всегда «хорошие», получился корявый корень — ищи ошибку.
Перед тем как записать ответ, перечитай вопрос: спрашивают точку (значение x) или значение функции (y). На этой мелочи в задании 12 теряют больше баллов, чем на самой производной.

Словарь темы

Стационарная точкаТочка, в которой производная равна нулю: f'(x) = 0. Касательная к графику в ней горизонтальна. Это кандидат в экстремумы, но ещё не обязательно экстремум.

Точка экстремумаЗначение аргумента x, при котором функция меняет возрастание на убывание (точка максимума) или убывание на возрастание (точка минимума). Определяется по смене знака производной при переходе через точку.

Максимум и минимум функцииСамо значение функции y = f(x) в точке максимума или минимума — в отличие от точки экстремума, которая является значением аргумента x. Задание 12 спрашивает то одно, то другое.

Необходимое условие экстремумаЕсли у функции во внутренней точке есть экстремум, то её производная там равна нулю или не существует (второй случай — график с изломом, «уголком», как у y = |x| в нуле: вершина есть, а производной нет; в заданиях 8 и 12 такого не встречается — там всюду f'(x₀) = 0). Обратное неверно: контрпример f(x) = x³, где f'(0) = 0, но экстремума нет.

Достаточное условие экстремумаЕсли производная при переходе через точку меняет знак — экстремум есть: с минуса на плюс это минимум, с плюса на минус максимум. Без смены знака экстремума нет.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезкеСамое большое и самое маленькое значение функции на отрезке [a; b]. Для непрерывной функции достигается в стационарной точке внутри отрезка либо на одном из его концов.

Источники и проверка

14 источников

Тема соответствует коду 4.2 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня «Применение производной к исследованию функций» (охват: экстремумы, наибольшее/наименьшее значение) и проверяется заданиями 8 и 12.
Задание 8 — базовый уровень, 1 балл; задание 12 — повышенный уровень, 1 балл; оба входят в часть 1 (задания 1–12 с кратким ответом по 1 баллу).
Достаточный признак монотонности: если f'(x) > 0 на промежутке, функция возрастает; если f'(x) < 0 — убывает.
Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): в точке экстремума производная равна нулю или не существует; оно не достаточно. Контрпример f(x) = x³: f'(x) = 3x² = 0 при x = 0, но знак не меняется — экстремума нет, функция всюду возрастает.
Достаточный признак экстремума по первой производной: смена знака f' с − на + даёт минимум, с + на − — максимум; без смены знака экстремума нет.
Точка экстремума (точка максимума/минимума) — это значение аргумента x, а максимум/минимум (наибольшее/наименьшее значение) — значение функции y = f(x). Это разные вопросы задания 12.
Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке [a; b] достигается либо в стационарной точке внутри отрезка, либо на одном из концов; концы обязательно включаются в сравнение.
Разбор примера просчитан независимо: наибольшее значение f(x) = x³ − 6x² + 5 на [1; 5] равно 0 и достигается на конце x = 1; в стационарной точке x = 4 находится минимум −27.
По графику производной: где f'(x) выше оси — функция возрастает, где ниже — убывает; точки пересечения оси со сменой знака — точки экстремума. Число точек экстремума равно числу пересечений оси со сменой знака; пересечение сверху вниз даёт максимум, снизу вверх — минимум.
Точку экстремума квадратичной функции можно находить по вершине параболы x = −b/(2a): при a > 0 это минимум, при a < 0 — максимум.
На профильной математике калькулятор запрещён, а таблицы производных в справочных материалах нет — выдаются только четыре тригонометрические формулы (sin 2α, cos 2α, sin(α+β), cos(α+β)).
Проверочные вопросы просчитаны независимо.
Блок interactive в теме отсутствует, потому что подходящей лаборатории нет.
Значение trainerTopic «Функции и производная» существует в банке тренажёра и объединяет задания на производную и экстремумы.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 8

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике