Тригонометрические функции

Q: Как решать задания по теме «Тригонометрические функции»?

Шаги такие: 1) найди среднюю линию; 2) найди амплитуду; 3) измерь период по вершинам; 4) определи знак и сдвиг; 5) проверь на контрольной точке.

Q: Что нужно запомнить по теме «Тригонометрические функции»?

Главное: 1) y = A sin (Bx + C) + D; 2) T = 2π/|B|; 3) амплитуда = |A|, сред. линия y = D; 4) E(y) = [ D - |A|; D + |A| ]; 5) |a sin x + b cos x| ≤ √(a² + b²). Остальное — в разделе темы выше.

Тригонометрические функции — это функции y = sin x, y = cos x и y = tg x числового аргумента; их графики повторяются с периодом 2π у синуса и косинуса и π у тангенса. На ЕГЭ тема нужна в задании 12 (1 балл): там параметры синусоиды восстанавливают по графику. Пригодится она и там, где ищут наибольшее и наименьшее значение функции.

Решать задание 12 ЕГЭ

Свойства синуса, косинуса и тангенса

Область определения, область значений, период и чётность трёх основных функций
Свойство	sin x и cos x	tg x
Область определения	Любое x	x≠π/2 + πn: там cos x = 0
Область значений	[−1; 1]	Любые действительные числа
Период	2π	π
Чётность	Косинус чётный, синус нечётный	Нечётный
Вид графика	Волна; косинусоида — синусоида, сдвинутая влево на π/2	Ветви с разрывами у прямых x = π/2 + πn

Быстрые ответы

Что такое период функции?

Период функции — наименьшее число T, через которое её график в точности повторяется. У синуса и косинуса период 2π, у тангенса — π, а для y = sin(Bx) период равен 2π/|B|.

Как решать задания по теме «Тригонометрические функции»?

Шаги такие:

найди среднюю линию
найди амплитуду
измерь период по вершинам
определи знак и сдвиг
проверь на контрольной точке.

Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Тригонометрические функции»?

Путают амплитуду с наибольшим значением. У функции y = 2 sin x + 3 амплитуда равна 2, а не 5. Амплитуда — это |A|, половина размаха от средней линии до вершины; наибольшее значение D + |A| = 5 — это уже другое число.

Что нужно запомнить по теме «Тригонометрические функции»?

Главное:

y = A sin (Bx + C) + D
T = 2π/|B|
амплитуда = |A|, сред. линия y = D
E(y) = [ D - |A|; D + |A| ]
|a sin x + b cos x| ≤ √(a² + b²).

Остальное — в разделе темы выше.

Здесь синус и косинус становятся функциями: у них появляются график, период, область значений и амплитуда. Тема закрывает задание №12, где параметры функции восстанавливают по графику, и помогает в задачах, где ищут наибольшее и наименьшее значение. Главная ловушка — путаница между амплитудой, периодом T = 2π/B и сдвигом в записи y = A·sin(Bx + C) + D.

Обновлено 3 октября 2026

Как выглядят графики синуса и косинуса и какие у них свойства?

В теме про синус числового аргумента (код 1.5) мы считали sin t для одного числа. Теперь взгляд другой: пробегаем x по всей оси и смотрим, как ведёт себя функция y = sin x. Каждому числу отвечает ордината точки единичной окружности, а когда точка бесконечно наматывает круги, ордината колеблется вверх-вниз — получается волна, синусоида.

Область значений. Точка не покидает окружность радиуса 1, поэтому её координаты не выходят за границы. Значит, и синус, и косинус любого числа лежат в отрезке от −1 до 1:

в строку: -1 ≤ sin x ≤ 1, -1 ≤ cos x ≤ 1

Период. Полный оборот возвращает точку на место, координаты повторяются. Наименьшее число, через которое график в точности накладывается сам на себя, называют периодом; у синуса и косинуса он равен 2π.

Чётность. Числу −x отвечает точка, зеркальная относительно оси Ox: абсцисса та же, ордината меняет знак. Отсюда косинус — чётная функция (график симметричен относительно оси Oy), а синус — нечётная (график симметричен относительно начала координат):

в строку: cos (-x) = cos x, sin (-x) = -sin x

Графики y = sin x и y = cos x — это одна и та же волна: косинус получается из синуса сдвигом влево на π/2. Синусоида проходит через начало координат, косинусоида стартует с максимума при x = 0, потому что cos 0 = 1.

Графики y = sin x и y = cos x: область значений [−1; 1], период 2π. Косинус — тот же синус, сдвинутый влево на π/2.

Проверь себя за 10 секунд

Чему равен период функции y = sin 3x?

Период считается по формуле T = 2π/|B|, где B — множитель перед x. Здесь B = 3, поэтому T = 2π/3 — колебания втрое чаще обычных. Ответ 6π получился бы, если умножить на B вместо деления.

Ещё 5 вопросов — к мини-тесту

Графики синуса и косинуса с одинаковой амплитудой и периодом — Синус и косинус образуют периодические волны одинаковой амплитуды со сдвигом по аргументу.

Задача ЕГЭ по теме

Два задания 12 ЕГЭ из тренажёра: введите ответ — проверка сразу, без регистрации.

Задание 1 из 2

Функция y = kx + b проходит через точки (2; 5) и (6; 13). Найдите k + b.

Показать ответ
Задание 2 из 2

Функция y = (x-1)^2 - 4. Найдите абсциссу вершины параболы и укажите, в какую сторону направлены ветви (вверх или вниз). В ответе запишите абсциссу вершины.

Показать ответ

Чем функция тангенс отличается от синуса и косинуса?

Тангенс определяется через частное tgx = sin x/cos x, и от этого у него другой характер, чем у синуса с косинусом.

Область определения. Делить на ноль нельзя, поэтому тангенс не существует там, где cos x = 0, то есть в точках x = π/2 + πn. В этих местах график разрывается — к вертикальным прямым x = π/2 + πn ветви подходят всё ближе, но не пересекают их.

Область значений. В отличие от синуса, у тангенса нет потолка и пола: он принимает любые действительные значения. Поэтому уравнение tgx = 100 корни имеет, а sin x = 100 — нет.

Период. У тангенса он равен π, вдвое короче, чем у синуса. Точки x и x + π лежат на концах одного диаметра, у обеих координат меняется знак, а в дроби два минуса сокращаются — значение тангенса остаётся прежним:

в строку: tg(x + π) = tg x

Тангенс, как и синус, нечётен: tg(−x) = −tgx, график симметричен относительно начала координат. На экзамене график тангенса встречается реже синусоиды, но путаница «период π, а не 2π» стоит балла в задании 12.

Что означают коэффициенты A, B, C и D в формуле синусоиды?

Почти вся синусоида на экзамене — это преобразованный синус вида y = A sin(Bx + C) + D. Четыре коэффициента отвечают за четыре независимых действия с графиком. Разберём каждый — именно здесь чаще всего путаются.

в строку: y = A sin (Bx + C) + D

A — амплитуда. Множитель A растягивает волну по вертикали. Амплитуда — это |A|, расстояние от средней линии до вершины. При A < 0 график вдобавок переворачивается вверх ногами. Важно: амплитуда — это не само наибольшее значение, а половина размаха между вершиной и впадиной.

D — сдвиг по вертикали. Слагаемое D поднимает всю волну на D вверх. Прямая y = D становится средней линией — осью, вокруг которой график колеблется. Отсюда сразу область значений:

в строку: E(y) = [ D - |A|; D + |A| ]

B — сжатие по горизонтали и период. Множитель B перед x сжимает волну вдоль оси: чем больше B, тем чаще колебания. Период считается по формуле, которую надо знать наизусть:

в строку: T = 2π/|B|

Проверь на числах: у y = sin 3x период 2π/3 — втрое короче обычного; у y = cos(x/2) период 2π/(1/2) = 4π — вдвое длиннее. Частая ошибка — умножить на B вместо деления.

C — горизонтальный сдвиг (сдвиг фазы). Чтобы его увидеть, вынеси B за скобку: A sin(B(x + C/B)) + D. Значит, график сдвинут по горизонтали на −C/B. Простой ориентир: y = sin(x + π/3) сдвинут влево на π/3, а y = sin(x − π/3) — вправо на π/3. Знак «внутри» и направление сдвига противоположны.

Параметры синусоиды: A — амплитуда (от средней линии до вершины), D — сдвиг средней линии по вертикали, T = 2π/B — период.

Как найти наибольшее и наименьшее значение тригонометрической функции?

Найти наибольшее или наименьшее значение функции — с 2027 года эта формулировка входит в задание 9. Для многочленов там нужна производная (это соседняя тема, код 4.2). Но если функция чисто тригонометрическая, производную можно не трогать — ответ читается из области значений.

Базовый случай — одна функция с коэффициентами: y = a sin x + b. Так как sin x пробегает отрезок от −1 до 1, слагаемое a sin x пробегает от −|a| до |a|, а вся функция колеблется вокруг b с размахом |a| в обе стороны:

в строку: b - |a| ≤ a sin x + b ≤ b + |a|

Модуль здесь обязателен: даже если a отрицателен, размах в обе стороны одинаков. Например, y = 5 − 12 cos x принимает значения от 5 − 12 = −7 до 5 + 12 = 17: наименьшее −7, наибольшее 17.

Чуть сложнее — сумма синуса и косинуса одного аргумента: y = a sin x + b cos x. Такая сумма — это тоже одна синусоида, только с другой амплитудой, и её размах даёт корень из суммы квадратов коэффициентов:

в строку: -√(a² + b²) ≤ a sin x + b cos x ≤ √(a² + b²)

Отсюда, например, наибольшее значение 3 sin x + 4 cos x равно √(9 + 16) = 5. Само преобразование, которое сворачивает такую сумму в √(a²+b²) sin (x + φ) (метод вспомогательного угла), разбираем в теме кода 2.5. Здесь достаточно знать сам факт про корень из суммы квадратов — на задание 9 этого хватает.

Как восстановить формулу по графику — задание 12

Задание 12 показывает синусоиду и просит найти какой-нибудь параметр или значение функции. Обратный ход — от картинки к формуле y = A sin(Bx + C) + D — собирается из тех же четырёх коэффициентов, только теперь их снимают с графика.

Средняя линия D — это середина между вершиной и впадиной. Если наибольшее значение на графике yₘₐₓ, а наименьшее yₘᵢₙ, то:

в строку: D = (yₘₐₓ + yₘᵢₙ)/2, |A| = (yₘₐₓ - yₘᵢₙ)/2

Период T измеряют между двумя одинаковыми точками графика — от вершины до соседней вершины или от впадины до впадины. Меньше всего ошибок, если брать именно вершины: их положение видно точно. Дальше |B| = 2π/T.

Знак и сдвиг определяются по тому, что происходит в удобной точке (обычно x = 0): график там на вершине, на средней линии или во впадине. Если в x = 0 сразу максимум, удобно считать функцию косинусом с положительным A.

Последний шаг — проверка на контрольной точке: подставь x любой заметной точки графика в собранную формулу. Совпало значение — формула верна, не совпало — ищи ошибку в знаке или периоде. Эта проверка занимает секунды и ловит почти все промахи задания 12.

Коэффициенты y = A·sin(Bx + C) + D

Что делает каждый коэффициент и как снять его с графика в задании 12
Коэффициент	Что делает с графиком	Как найти по графику
A	Растягивает по вертикали, амплитуда равна \|A\|; при A < 0 переворачивает график	\|A\| = (yₘₐₓ - yₘᵢₙ)/2
D	Сдвигает по вертикали, y = D — средняя линия	D = (yₘₐₓ + yₘᵢₙ)/2
B	Сжимает по горизонтали, период T = 2π/\|B\|	\|B\| = 2π/T, T — от вершины до соседней вершины
C	Сдвигает по горизонтали на −C/B	По поведению графика в удобной точке, обычно x = 0
Все вместе	Область значений E(y) = [ D − \|A\|; D + \|A\| ]	Проверка: подставить x заметной точки графика в собранную формулу

Разбор задания 12: восстановить параметры

Пример

Дана функция y = a·cos(bx) + c: наибольшее значение равно 5 и достигается при x = 0, наименьшее равно −1, а соседний максимум — в точке x = π. Найди значение a + b + c.

Средняя линия c. Это середина между вершиной и впадиной графика:c = (yₘₐₓ + yₘᵢₙ)/2 = (5 + (-1))/2 = 2Амплитуда. Половина размаха между вершиной и впадиной:|a| = (yₘₐₓ - yₘᵢₙ)/2 = (5 - (-1))/2 = 3Максимум достигается при x = 0, а cos 0 = 1 — своё наибольшее значение. Значит множитель a положителен: a = 3.Коэффициент b. Период — это расстояние между соседними максимумами: от x = 0 до x = π, то есть T = π. Из формулы периода:|b| = 2π/T = 2π/π = 2 ⇒ b = 2Проверка. Собрали y = 3 cos 2x + 2. При x = 0: 3·1 + 2 = 5 — совпало с максимумом. Формула верна.Остаётся сложить коэффициенты:a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7Ответ: 7.

Разбор задания 9: наибольшее значение

Пример

Найди наибольшее значение функции y = 8·sin x + 6·cos x − 4.

В функции есть сумма синуса и косинуса одного аргумента: 8 sin x + 6 cos x. Её размах даёт корень из суммы квадратов коэффициентов:√(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10Значит, эта сумма принимает значения от −10 до 10, и её наибольшее значение равно 10.Слагаемое −4 просто опускает всю функцию на 4. Максимум достигается, когда скобка максимальна:yₘₐₓ = 10 - 4 = 6Производная тут не понадобилась: функция чисто тригонометрическая, и ответ вышел из области значений. Для смешанных функций вроде x + 2 cos x так уже нельзя — там работает производная (тема кода 4.2).Ответ: 6.

Как читать синусоиду в задании 12

1Найди среднюю линию. Это уровень, вокруг которого колеблется график: D = (yₘₐₓ + yₘᵢₙ)/2, полусумма наибольшего и наименьшего значений.
2Найди амплитуду. Половина размаха от впадины до вершины: |A| = (yₘₐₓ - yₘᵢₙ)/2.
3Измерь период по вершинам. Расстояние между двумя соседними вершинами (или впадинами) — это T. Отсюда |B| = 2π/T. Не умножай на B — именно дели.
4Определи знак и сдвиг. Посмотри, где график при x = 0: на вершине, на средней линии или во впадине. Отсюда подбирается знак A и горизонтальный сдвиг.
5Проверь на контрольной точке. Подставь x заметной точки графика в собранную формулу. Значение совпало — ответ верный; не совпало — ошибка в знаке или периоде.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где в заданиях 9 и 12 теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Чему равен период функции y = sin 3x?

2.Какова область значений функции y = 4·sin x − 1?

Синус лежит в [−1; 1], поэтому 4·sin x лежит в [−4; 4]. Вычитаем 1 — весь отрезок сдвигается вниз на единицу: [−5; 3]. Наименьшее −5 (при sin x = −1), наибольшее 3 (при sin x = 1).

3.График функции y = a·sin x + b достигает максимума 7 и минимума −3. Чему равна амплитуда |a|?

Амплитуда — это половина размаха между вершиной и впадиной: |a| = (7 − (−3))/2 = 10/2 = 5. Число 2 — это средняя линия b = (7 + (−3))/2, а не амплитуда; 7 — само наибольшее значение, его с амплитудой и путают.

4.Какая из функций чётная (её график симметричен относительно оси Oy)?

Косинус — чётная функция: cos(−x) = cos x, значит график симметричен относительно оси Oy. Синус, тангенс и котангенс нечётны (симметрия относительно начала координат): у них f(−x) = −f(x).

5.Чему равно наибольшее значение функции y = 3 + 2·cos x?

Косинус не превосходит 1, поэтому 2·cos x не превосходит 2, а вся функция — 3 + 2 = 5. Максимум достигается, когда cos x = 1. Наименьшее значение было бы 3 − 2 = 1.

6.Чему равно наибольшее значение функции y = 3·sin x + 4·cos x?

Сумма синуса и косинуса одного аргумента ограничена корнем из суммы квадратов коэффициентов: √(3² + 4²) = √25 = 5. Ответ 7 получается ошибочным сложением 3 + 4, а 25 — если забыть извлечь корень.

Какие ошибки делают с графиками тригонометрических функций?

Ошибка 1

Путают амплитуду с наибольшим значением. У функции y = 2 sin x + 3 амплитуда равна 2, а не 5. Амплитуда — это |A|, половина размаха от средней линии до вершины; наибольшее значение D + |A| = 5 — это уже другое число.

Ошибка 2

Считают период неверной формулой. Период равен T = 2π/|B| — делим на множитель при x. У y = sin 2x период π, а не 4π. Умножение на B вместо деления — самая частая ошибка задания 12.

Ошибка 3

Путают период тангенса. У синуса и косинуса период 2π, а у тангенса — π, вдвое короче. Если на графике тангенс, а ты взял период 2π, все параметры поедут.

Ошибка 4

Ошибаются в направлении горизонтального сдвига. В y = sin(x + π/3) график сдвинут влево на π/3, а не вправо: знак внутри скобки и направление сдвига противоположны. Общий сдвиг равен −C/B.

Ошибка 5

Теряют модуль в области значений. Область значений y = a sin x + b — это [b − |a|; b + |a|]. Даже при отрицательном a размах в обе стороны одинаков, поэтому берётся именно |a|.

Ошибка 6

Берут производную там, где она не нужна. Наибольшее и наименьшее значение a sin x + b или a sin x + b cos x читаются из области значений, без производной. Производную бережём для смешанных функций вроде x + 2 cos x (это тема кода 4.2).

Запомни для экзамена

1y = A sin(Bx + C) + D

2T = 2π/|B|

3амплитуда = |A|, сред. линияy = D

4E(y) = [ D − |A|; D + |A| ]

5|a sin x + b cos x| ≤ √(a² + b²)

6sin и cos: период 2π, значения [−1; 1]. tg: период π, значения — вся прямая, разрывы при π/2 + πn.

7cos — чётная (симметрия относительно Oy); sin и tg — нечётные (относительно начала координат).

На экзамене

Задания 9 и 12 стоят по 1 баллу — держись в пределах 3–4 минут на каждое. Не залипай: если параметр не читается за минуту, отметь и вернись позже.
В задании 12 с синусоидой всегда начинай со средней линии и амплитуды — это полусумма и полуразность крайних значений. Период меряй между одинаковыми точками, лучше от вершины к вершине.
В задании 9 на наибольшее или наименьшее значение первым делом посмотри, «чистая» ли тригонометрия. Если это a·sin x + b или a·sin x + b·cos x — производная не нужна, ответ читается из области значений. Производную доставай только для смешанных функций (тема 4.2).
В области значений a·sin x + b не забывай модуль: размах в обе стороны одинаков, отрезок [b − |a|; b + |a|].
Проверь формат ответа: в заданиях 9 и 12 в бланк идёт целое число или конечная десятичная дробь. Если в ответе остался корень или π — это сигнал ошибки, чаще всего в знаке или периоде.
Калькулятор запрещён, а из тригонометрии в справочных материалах профиля выдают лишь четыре формулы (sin 2α, cos 2α, sin(α ± β), cos(α ± β)). Периоды, область значений и вид графиков надо помнить самому.

Эксперимент

Лаборатория: конструктор графиков

Разобраться с параметрами синусоиды можно и по блоку «Главная формула темы»: выбери режим y = A·sin(Bx + C), меняй A, B и C по одному и следи, как A растягивает волну по вертикали, B меняет период (T = 2π/B), а C сдвигает график по горизонтали.

Открыть лабораторию в веб-кабинете

Словарь темы

Амплитуда: Величина |A| в записи y = A·sin(Bx + C) + D — расстояние от средней линии до вершины графика, то есть половина размаха между наибольшим и наименьшим значениями. Это не само наибольшее значение.
Период: Наименьшее число T, через которое график функции в точности повторяется. У синуса и косинуса период 2π, у тангенса — π. Для y = sin(Bx) период равен 2π/|B|.
Область значений: Множество всех значений, которые принимает функция. У синуса и косинуса это отрезок [−1; 1]; у функции a·sin x + b — отрезок [b − |a|; b + |a|]; у тангенса — вся числовая прямая.
Средняя линия: Горизонтальная прямая y = D, вокруг которой колеблется график y = A·sin(Bx + C) + D. Проходит ровно посередине между вершинами и впадинами.
Сдвиг фазы: Горизонтальный сдвиг графика y = A·sin(Bx + C) относительно y = A·sin(Bx). Равен −C/B: при положительном C/B график уходит влево.
Чётная и нечётная функция: Функция чётна, если f(−x) = f(x) (график симметричен относительно оси Oy) — таков косинус. Нечётна, если f(−x) = −f(x) (симметрия относительно начала координат) — таковы синус и тангенс.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое · задание раз в неделю в Telegram

Задание 12 КИМ (1 балл); также в 17 (2 балла) Макс. 1 балл ~4 минуты

Источники и проверка

4 документа

Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ). ФИПИ, проект 2027 года.
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027. ФИПИ, проект 2027 года.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.
Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371) — на него опирается кодификатор ЕГЭ.

Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027 (проект ФИПИ от 28.08.2026, сверено 23 сентября 2026): 3.4 «Тригонометрические функции, их свойства и графики». В проекте КИМ 2027 свойства и графики функций проверяет задание 12 (бывшее 11); отдельного задания на наибольшее и наименьшее значение нет, это умение вошло в задание 9.

Что сверено по документам

Тема соответствует коду 3.4 кодификатора ФИПИ по профильной математике и озаглавлена «Тригонометрические функции».
Тема проверяется заданием 12 (повышенный уровень, 1 балл); поиск наибольшего и наименьшего значения функции с 2027 года входит в задание 9 (1 балл).
sin x и cos x определены для любого x, ограничены отрезком [−1; 1] и имеют период 2π; косинус чётен, синус нечётен.
tg x не определён при x = π/2 + πn (там cos x = 0), принимает любые действительные значения, имеет период π и нечётен.
У y = A·sin(Bx + C) + D амплитуда равна |A|, средняя линия — y = D, период T = 2π/|B|, горизонтальный сдвиг равен −C/B, а область значений — [D − |A|; D + |A|].
Область значений a·sin x + b есть [b − |a|; b + |a|]; сумма a·sin x + b·cos x по модулю не превосходит √(a² + b²).
Наибольшее и наименьшее значения чисто тригонометрической функции (a·sin x + b, a·sin x + b·cos x) находятся через область значений, без производной.
Параметры синусоиды восстанавливаются по графику: D = (y_max + y_min)/2, |A| = (y_max − y_min)/2, |B| = 2π/T, где T — расстояние между соседними вершинами.
На профиле в справочных материалах выдаются только четыре тригонометрические формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α ± β), cos(α ± β); графики, периоды и область значений надо знать наизусть.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ, проверено редакцией НейроМиши, обновлено 3 октября 2026. Как мы готовим материалы.

Прогресс сохранится на этом устройстве.