Тригонометрические функции

Задания 11 и 12 КИМ (по 1 баллу) Макс. 1 балл ~4 минуты

Здесь синус и косинус становятся функциями: у них появляются график, период, область значений и амплитуда. Тема закрывает сразу два задания — №11, где параметры функции восстанавливают по графику, и №12, где ищут наибольшее и наименьшее значение. Главная ловушка — путаница между амплитудой, периодом T = 2π/B и сдвигом в записи y = A·sin(Bx + C) + D.

Синус и косинус как функции: график, период, знак

В теме про синус числового аргумента (код 1.5) мы считали $\sin t$ для одного числа. Теперь взгляд другой: пробегаем $x$ по всей оси и смотрим, как ведёт себя функция $y = \sin x$ . Каждому числу отвечает ордината точки единичной окружности, а когда точка бесконечно наматывает круги, ордината колеблется вверх-вниз — получается волна, синусоида.

Область значений. Точка не покидает окружность радиуса 1, поэтому её координаты не выходят за границы. Значит, и синус, и косинус любого числа лежат в отрезке от −1 до 1:

-1 \leqslant \sin x \leqslant 1, \qquad -1 \leqslant \cos x \leqslant 1

Период. Полный оборот возвращает точку на место, координаты повторяются. Наименьшее число, через которое график в точности накладывается сам на себя, называют периодом; у синуса и косинуса он равен $2\pi$ .

Чётность. Числу $-x$ отвечает точка, зеркальная относительно оси Ox: абсцисса та же, ордината меняет знак. Отсюда косинус — чётная функция (график симметричен относительно оси Oy), а синус — нечётная (график симметричен относительно начала координат):

\cos(-x) = \cos x, \qquad \sin(-x) = -\sin x

Графики $y = \sin x$ и $y = \cos x$ — это одна и та же волна: косинус получается из синуса сдвигом влево на $\pi/2$ . Синусоида проходит через начало координат, косинусоида стартует с максимума при $x = 0$ , потому что $\cos 0 = 1$ .

Графики y = sin x и y = cos x: область значений [−1; 1], период 2π. Косинус — тот же синус, сдвинутый влево на π/2.

Графики синуса и косинуса с одинаковой амплитудой и периодом — Синус и косинус образуют периодические волны одинаковой амплитуды со сдвигом по аргументу.

Тангенс: период вдвое короче и разрывы

Тангенс определяется через частное $\operatorname{tg} x = \sin x / \cos x$ , и от этого у него другой характер, чем у синуса с косинусом.

Область определения. Делить на ноль нельзя, поэтому тангенс не существует там, где $\cos x = 0$ , то есть в точках $x = \pi/2 + \pi n$ . В этих местах график разрывается — к вертикальным прямым $x = \pi/2 + \pi n$ ветви подходят всё ближе, но не пересекают их.

Область значений. В отличие от синуса, у тангенса нет потолка и пола: он принимает любые действительные значения. Поэтому уравнение $\operatorname{tg} x = 100$ корни имеет, а $\sin x = 100$ — нет.

Период. У тангенса он равен $\pi$ , вдвое короче, чем у синуса. Точки $x$ и $x + \pi$ лежат на концах одного диаметра, у обеих координат меняется знак, а в дроби два минуса сокращаются — значение тангенса остаётся прежним:

\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x

Тангенс, как и синус, нечётен: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ , график симметричен относительно начала координат. На экзамене график тангенса встречается реже синусоиды, но путаница «период $\pi$ , а не $2\pi$ » стоит балла в задании 11.

Главная формула темы: y = A·sin(Bx + C) + D

Почти вся синусоида на экзамене — это преобразованный синус вида $y = A\sin(Bx + C) + D$ . Четыре коэффициента отвечают за четыре независимых действия с графиком. Разберём каждый — именно здесь чаще всего путаются.

y = A\sin(Bx + C) + D

A — амплитуда. Множитель $A$ растягивает волну по вертикали. Амплитуда — это $|A|$ , расстояние от средней линии до вершины. При $A < 0$ график вдобавок переворачивается вверх ногами. Важно: амплитуда — это не само наибольшее значение, а половина размаха между вершиной и впадиной.

D — сдвиг по вертикали. Слагаемое $D$ поднимает всю волну на $D$ вверх. Прямая $y = D$ становится средней линией — осью, вокруг которой график колеблется. Отсюда сразу область значений:

E(y) = [\,D - |A|;\ D + |A|\,]

B — сжатие по горизонтали и период. Множитель $B$ перед $x$ сжимает волну вдоль оси: чем больше $B$ , тем чаще колебания. Период считается по формуле, которую надо знать наизусть:

T = \dfrac{2\pi}{|B|}

Проверь на числах: у $y = \sin 3x$ период $2\pi/3$ — втрое короче обычного; у $y = \cos(x/2)$ период $2\pi/(1/2) = 4\pi$ — вдвое длиннее. Частая ошибка — умножить на $B$ вместо деления.

C — горизонтальный сдвиг (сдвиг фазы). Чтобы его увидеть, вынеси $B$ за скобку: $A\sin(B(x + C/B)) + D$ . Значит, график сдвинут по горизонтали на $-C/B$ . Простой ориентир: $y = \sin(x + \pi/3)$ сдвинут влево на $\pi/3$ , а $y = \sin(x - \pi/3)$ — вправо на $\pi/3$ . Знак «внутри» и направление сдвига противоположны.

Параметры синусоиды: A — амплитуда (от средней линии до вершины), D — сдвиг средней линии по вертикали, T = 2π/B — период.

Наибольшее и наименьшее значение — задание 12 без производной

Задание 12 просит найти наибольшее или наименьшее значение функции. Для многочленов там нужна производная (это соседняя тема, код 4.2). Но если функция чисто тригонометрическая, производную можно не трогать — ответ читается из области значений.

Базовый случай — одна функция с коэффициентами: $y = a\sin x + b$ . Так как $\sin x$ пробегает отрезок от −1 до 1, слагаемое $a\sin x$ пробегает от $-|a|$ до $|a|$ , а вся функция колеблется вокруг $b$ с размахом $|a|$ в обе стороны:

b - |a| \leqslant a\sin x + b \leqslant b + |a|

Модуль здесь обязателен: даже если $a$ отрицателен, размах в обе стороны одинаков. Например, $y = 5 - 12\cos x$ принимает значения от $5 - 12 = -7$ до $5 + 12 = 17$ : наименьшее −7, наибольшее 17.

Чуть сложнее — сумма синуса и косинуса одного аргумента: $y = a\sin x + b\cos x$ . Такая сумма — это тоже одна синусоида, только с другой амплитудой, и её размах даёт корень из суммы квадратов коэффициентов:

-\sqrt{a^2 + b^2} \leqslant a\sin x + b\cos x \leqslant \sqrt{a^2 + b^2}

Отсюда, например, наибольшее значение $3\sin x + 4\cos x$ равно $\sqrt{9 + 16} = 5$ . Само преобразование, которое сворачивает такую сумму в $\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x + \varphi)$ (метод вспомогательного угла), разбираем в теме кода 2.5. Здесь достаточно знать сам факт про корень из суммы квадратов — на задание 12 этого хватает.

Как восстановить формулу по графику — задание 11

Задание 11 показывает синусоиду и просит найти какой-нибудь параметр или значение функции. Обратный ход — от картинки к формуле $y = A\sin(Bx + C) + D$ — собирается из тех же четырёх коэффициентов, только теперь их снимают с графика.

Средняя линия D — это середина между вершиной и впадиной. Если наибольшее значение на графике $y_{\max}$ , а наименьшее $y_{\min}$ , то:

D = \dfrac{y_{\max} + y_{\min}}{2}, \qquad |A| = \dfrac{y_{\max} - y_{\min}}{2}

Период T измеряют между двумя одинаковыми точками графика — от вершины до соседней вершины или от впадины до впадины. Меньше всего ошибок, если брать именно вершины: их положение видно точно. Дальше $|B| = 2\pi/T$ .

Знак и сдвиг определяются по тому, что происходит в удобной точке (обычно $x = 0$ ): график там на вершине, на средней линии или во впадине. Если в $x = 0$ сразу максимум, удобно считать функцию косинусом с положительным $A$ .

Последний шаг — проверка на контрольной точке: подставь $x$ любой заметной точки графика в собранную формулу. Совпало значение — формула верна, не совпало — ищи ошибку в знаке или периоде. Эта проверка занимает секунды и ловит почти все промахи задания 11.

Разбор задания 11: восстановить параметры

Пример

Дана функция y = a·cos(bx) + c: наибольшее значение равно 5 и достигается при x = 0, наименьшее равно −1, а соседний максимум — в точке x = π. Найди значение a + b + c.

Средняя линия c. Это середина между вершиной и впадиной графика:

c = \dfrac{y_{\max} + y_{\min}}{2} = \dfrac{5 + (-1)}{2} = 2

Амплитуда. Половина размаха между вершиной и впадиной:

|a| = \dfrac{y_{\max} - y_{\min}}{2} = \dfrac{5 - (-1)}{2} = 3

Максимум достигается при

x = 0

, а

\cos 0 = 1

— своё наибольшее значение. Значит множитель

a

положителен:

a = 3

.Коэффициент b. Период — это расстояние между соседними максимумами: от

x = 0

до

x = \pi

, то есть

T = \pi

. Из формулы периода:

|b| = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2 \ \Rightarrow\ b = 2

Проверка. Собрали

y = 3\cos 2x + 2

. При

x = 0

3 \cdot 1 + 2 = 5

— совпало с максимумом. Формула верна.Остаётся сложить коэффициенты:

a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7

Ответ: 7.

Разбор задания 12: наибольшее значение

Пример

Найди наибольшее значение функции y = 8·sin x + 6·cos x − 4.

В функции есть сумма синуса и косинуса одного аргумента:

8\sin x + 6\cos x

. Её размах даёт корень из суммы квадратов коэффициентов:

\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10

Значит, эта сумма принимает значения от −10 до 10, и её наибольшее значение равно 10.Слагаемое −4 просто опускает всю функцию на 4. Максимум достигается, когда скобка максимальна:

y_{\max} = 10 - 4 = 6

Производная тут не понадобилась: функция чисто тригонометрическая, и ответ вышел из области значений. Для смешанных функций вроде

x + 2\cos x

так уже нельзя — там работает производная (тема кода 4.2).Ответ: 6.

Как читать синусоиду в задании 11

1Найди среднюю линию. Это уровень, вокруг которого колеблется график:

D = (y_{\max} + y_{\min})/2

, полусумма наибольшего и наименьшего значений.

2Найди амплитуду. Половина размаха от впадины до вершины:

|A| = (y_{\max} - y_{\min})/2

3Измерь период по вершинам. Расстояние между двумя соседними вершинами (или впадинами) — это

T

. Отсюда

|B| = 2\pi/T

. Не умножай на B — именно дели.

4Определи знак и сдвиг. Посмотри, где график при

x = 0

: на вершине, на средней линии или во впадине. Отсюда подбирается знак

A

и горизонтальный сдвиг.

5Проверь на контрольной точке. Подставь

x

заметной точки графика в собранную формулу. Значение совпало — ответ верный; не совпало — ошибка в знаке или периоде.

Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где в заданиях 11 и 12 теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1.Чему равен период функции y = sin 3x?

Период считается по формуле T = 2π/|B|, где B — множитель перед x. Здесь B = 3, поэтому T = 2π/3 — колебания втрое чаще обычных. Ответ 6π получился бы, если умножить на B вместо деления.

2.Какова область значений функции y = 4·sin x − 1?

Синус лежит в [−1; 1], поэтому 4·sin x лежит в [−4; 4]. Вычитаем 1 — весь отрезок сдвигается вниз на единицу: [−5; 3]. Наименьшее −5 (при sin x = −1), наибольшее 3 (при sin x = 1).

3.График функции y = a·sin x + b достигает максимума 7 и минимума −3. Чему равна амплитуда |a|?

Амплитуда — это половина размаха между вершиной и впадиной: |a| = (7 − (−3))/2 = 10/2 = 5. Число 2 — это средняя линия b = (7 + (−3))/2, а не амплитуда; 7 — само наибольшее значение, его с амплитудой и путают.

4.Какая из функций чётная (её график симметричен относительно оси Oy)?

Косинус — чётная функция: cos(−x) = cos x, значит график симметричен относительно оси Oy. Синус, тангенс и котангенс нечётны (симметрия относительно начала координат): у них f(−x) = −f(x).

5.Чему равно наибольшее значение функции y = 3 + 2·cos x?

Косинус не превосходит 1, поэтому 2·cos x не превосходит 2, а вся функция — 3 + 2 = 5. Максимум достигается, когда cos x = 1. Наименьшее значение было бы 3 − 2 = 1.

6.Чему равно наибольшее значение функции y = 3·sin x + 4·cos x?

Сумма синуса и косинуса одного аргумента ограничена корнем из суммы квадратов коэффициентов: √(3² + 4²) = √25 = 5. Ответ 7 получается ошибочным сложением 3 + 4, а 25 — если забыть извлечь корень.

Типичные ошибки

Ошибка 1

Путают амплитуду с наибольшим значением. У функции $y = 2\sin x + 3$ амплитуда равна 2, а не 5. Амплитуда — это $|A|$ , половина размаха от средней линии до вершины; наибольшее значение $D + |A| = 5$ — это уже другое число.

Ошибка 2

Считают период неверной формулой. Период равен $T = 2\pi/|B|$ — делим на множитель при $x$ . У $y = \sin 2x$ период $\pi$ , а не $4\pi$ . Умножение на $B$ вместо деления — самая частая ошибка задания 11.

Ошибка 3

Путают период тангенса. У синуса и косинуса период $2\pi$ , а у тангенса — $\pi$ , вдвое короче. Если на графике тангенс, а ты взял период $2\pi$ , все параметры поедут.

Ошибка 4

Ошибаются в направлении горизонтального сдвига. В $y = \sin(x + \pi/3)$ график сдвинут влево на $\pi/3$ , а не вправо: знак внутри скобки и направление сдвига противоположны. Общий сдвиг равен $-C/B$ .

Ошибка 5

Теряют модуль в области значений. Область значений $y = a\sin x + b$ — это $[b - |a|;\ b + |a|]$ . Даже при отрицательном $a$ размах в обе стороны одинаков, поэтому берётся именно $|a|$ .

Ошибка 6

Берут производную там, где она не нужна. Наибольшее и наименьшее значение $a\sin x + b$ или $a\sin x + b\cos x$ читаются из области значений, без производной. Производную бережём для смешанных функций вроде $x + 2\cos x$ (это тема кода 4.2).

Запомни для экзамена

y = A\sin(Bx + C) + D

T = \dfrac{2\pi}{|B|}

\text{амплитуда} = |A|, \quad \text{сред. линия } y = D

E(y) = [\,D - |A|;\ D + |A|\,]

|a\sin x + b\cos x| \leqslant \sqrt{a^2 + b^2}

6sin и cos: период 2π, значения [−1; 1]. tg: период π, значения — вся прямая, разрывы при π/2 + πn.

7cos — чётная (симметрия относительно Oy); sin и tg — нечётные (относительно начала координат).

На экзамене

Задания 11 и 12 стоят по 1 баллу — держись в пределах 3–4 минут на каждое. Не залипай: если параметр не читается за минуту, отметь и вернись позже.
В задании 11 с синусоидой всегда начинай со средней линии и амплитуды — это полусумма и полуразность крайних значений. Период меряй между одинаковыми точками, лучше от вершины к вершине.
В задании 12 первым делом посмотри, «чистая» ли тригонометрия. Если это a·sin x + b или a·sin x + b·cos x — производная не нужна, ответ читается из области значений. Производную доставай только для смешанных функций (тема 4.2).
В области значений a·sin x + b не забывай модуль: размах в обе стороны одинаков, отрезок [b − |a|; b + |a|].
Проверь формат ответа: в задании 11 и 12 в бланк идёт целое число или конечная десятичная дробь. Если в ответе остался корень или π — это сигнал ошибки, чаще всего в знаке или периоде.
Калькулятор запрещён, а из тригонометрии в справочных материалах профиля выдают лишь четыре формулы (sin 2α, cos 2α, sin(α ± β), cos(α ± β)). Периоды, область значений и вид графиков надо помнить самому.

Эксперимент

Лаборатория: конструктор графиков

Разобраться с параметрами синусоиды можно и по блоку «Главная формула темы»: выбери режим y = A·sin(Bx + C), меняй A, B и C по одному и следи, как A растягивает волну по вертикали, B меняет период (T = 2π/B), а C сдвигает график по горизонтали.

Открыть лабораторию в веб-кабинете

Словарь темы

АмплитудаВеличина |A| в записи y = A·sin(Bx + C) + D — расстояние от средней линии до вершины графика, то есть половина размаха между наибольшим и наименьшим значениями. Это не само наибольшее значение.

ПериодНаименьшее число T, через которое график функции в точности повторяется. У синуса и косинуса период 2π, у тангенса — π. Для y = sin(Bx) период равен 2π/|B|.

Область значенийМножество всех значений, которые принимает функция. У синуса и косинуса это отрезок [−1; 1]; у функции a·sin x + b — отрезок [b − |a|; b + |a|]; у тангенса — вся числовая прямая.

Средняя линияГоризонтальная прямая y = D, вокруг которой колеблется график y = A·sin(Bx + C) + D. Проходит ровно посередине между вершинами и впадинами.

Сдвиг фазыГоризонтальный сдвиг графика y = A·sin(Bx + C) относительно y = A·sin(Bx). Равен −C/B: при положительном C/B график уходит влево.

Чётная и нечётная функцияФункция чётна, если f(−x) = f(x) (график симметричен относительно оси Oy) — таков косинус. Нечётна, если f(−x) = −f(x) (симметрия относительно начала координат) — таковы синус и тангенс.

Источники и проверка

12 источников

Тема соответствует коду 3.4 кодификатора ФИПИ по профильной математике и озаглавлена «Тригонометрические функции».
Тема проверяется заданиями 11 и 12 (повышенный уровень, по 1 баллу).
sin x и cos x определены для любого x, ограничены отрезком [−1; 1] и имеют период 2π; косинус чётен, синус нечётен.
tg x не определён при x = π/2 + πn (там cos x = 0), принимает любые действительные значения, имеет период π и нечётен.
У y = A·sin(Bx + C) + D амплитуда равна |A|, средняя линия — y = D, период T = 2π/|B|, горизонтальный сдвиг равен −C/B, а область значений — [D − |A|; D + |A|].
Область значений a·sin x + b есть [b − |a|; b + |a|]; сумма a·sin x + b·cos x по модулю не превосходит √(a² + b²).
Наибольшее/наименьшее значение чисто тригонометрической функции (a·sin x + b, a·sin x + b·cos x) находится через область значений, а производная нужна для смешанных функций и относится к соседней теме.
Параметры синусоиды восстанавливаются по графику: D = (y_max + y_min)/2, |A| = (y_max − y_min)/2, |B| = 2π/T, где T — расстояние между соседними вершинами.
На профиле в справочных материалах выдаются только четыре тригонометрические формулы: sin 2α, cos 2α, sin(α ± β), cos(α ± β); графики, периоды и область значений надо знать наизусть.
Числа в примерах не скопированы из ФИПИ и считаются вручную без калькулятора; ответы — целые или конечные десятичные дроби.
Блок interactive указывает на реально существующую веб-лабораторию «Функции» (функцию-конструктор графиков) с режимом тригонометрической функции.
Тема не залезает в соседние коды: решение тригонометрических уравнений — код 2.5, преобразование выражений (двойной угол, вспомогательный угол) — коды 1.8/2.5, синус/косинус числа и таблица значений — код 1.5, исследование производной — код 4.2.

Утверждения сверены со спецификацией и кодификатором ФИПИ и с банком заданий НейроМиши, проверено редакцией, обновлено 2026-07-16.

Прогресс сохранится на этом устройстве.

Закрепи на тренажёре

Прочитал теорию — реши задания по теме. Миша подберёт уровень и разберёт ошибки.

Решать задания по теме Проверь себя: 6 заданий за 3 минуты

Ещё по заданию 11

К списку темВсе темы ЕГЭ по профильной математике