Справочник формул для базовой математики ЕГЭ 2027
Здесь собраны формулы, которых хватает на все двадцать одно задание базовой математики. В каждой строке — сама формула, короткий пример её работы и номера, где она встречается. Часть формул выдают на экзамене вместе с бланком, часть придётся помнить; это отмечено отдельно в каждом разделе.
Этот материал в PDF
Тот же справочник в печатной вёрстке: 4 стр., шрифты и таблицы внутри файла. Распечатать и повесить над столом или открыть с телефона без интернета.
Содержание материала
- Как устроен экзамен
- Проценты и доли
- Формулы сокращённого умножения
- Степени и корни
- Логарифмы
- Тригонометрия
- Прогрессии
- Плоские фигуры: площади и длины
- Тела: объёмы и поверхности
- Теорема Пифагора, подобие и средние линии
- Вероятность
- Единицы измерения и перевод
- Чтение графиков и таблиц
- Как пользоваться справочником
- Типичные ошибки
Как устроен экзамен
Базовая математика — 21 задание и 180 минут. Все задания с кратким ответом и все по одному баллу, максимум — 21 первичный балл. Времени почти по девять минут на номер, и запас обычно остаётся: главный риск здесь не скорость, а невнимательность.
Результат переводят не в стобалльную шкалу, а в школьную оценку. Оценка «3», с которой экзамен считается сданным, начинается с 7 первичных баллов из 21. То есть достаточно семи верных ответов, и почти все они закрываются формулами из этого справочника. Точное соответствие баллов и оценок Рособрнадзор утверждает перед экзаменом; в последние годы порог не менялся.
Ответ — целое число, конечная десятичная дробь или последовательность цифр. Последовательность нужна в четырёх номерах: 2, 7, 8 и 18. Калькулятор запрещён, из инструментов разрешена только линейка без справочной информации. Зато справочные материалы с формулами степеней, логарифмов, площадей и объёмов выдают вместе с бланком.
Проект спецификации ЕГЭ 2027 базовую математику не меняет: 21 задание, 21 балл, 180 минут. Изменения этого года затронули профильный уровень, историю и информатику.
Проценты и доли
Формул как таковых здесь две, остальное — техника перехода к множителям. В справочных материалах этого раздела нет.
| Формула | Пример применения | Номера |
|---|---|---|
| p % от a равны a·p/100 | 12 % от 2500 равны 2500·0,12 = 300 | 1, 15, 20 |
| Часть от целого: p = часть/целое·100 % | 18 из 60 — это 18/60·100 % = 30 % | 1, 15 |
| Рост на p %: умножить на (1 + p/100) | Цена 800 выросла на 15 %: 800·1,15 = 920 | 15, 20 |
| Снижение на p %: умножить на (1 − p/100) | Цена 920 упала на 15 %: 920·0,85 = 782 | 15 |
| Два изменения подряд: множители перемножаются | Плюс 20 %, затем минус 20 %: 1,2·0,8 = 0,96, итог ниже начального | 15, 20 |
| Сложные проценты: S = S₀(1 + p/100)ⁿ | Вклад 10 000 под 8 % на 2 года: 10000·1,08² = 11 664 | 4, 15 |
Формулы сокращённого умножения
Нужны для быстрого счёта без калькулятора. В справочных материалах напечатаны только первые три — формулы с кубами придётся помнить.
| Формула | Пример применения | Номера |
|---|---|---|
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | 102² = 100² + 2·100·2 + 2² = 10 404 | 14, 17 |
| (a − b)² = a² − 2ab + b² | 98² = 10 000 − 400 + 4 = 9604 | 14, 17 |
| a² − b² = (a − b)(a + b) | 87² − 13² = 74·100 = 7400 | 14 |
| (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | Раскрытие куба суммы при упрощении выражения | 14 |
| a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | Сокращение дроби с суммой кубов в числителе | 14, 17 |
| a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | Сокращение дроби с разностью кубов | 14, 17 |
Степени и корни
Эти свойства напечатаны в справочных материалах, которые выдают вместе с бланком.
| Формула | Пример применения | Номера |
|---|---|---|
| aⁿ·aᵐ = aⁿ⁺ᵐ | 2⁵·2³ = 2⁸ = 256 | 14, 16 |
| aⁿ/aᵐ = aⁿ⁻ᵐ | 7⁹/7⁷ = 7² = 49 | 14, 16 |
| (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ | (3²)⁴ = 3⁸ = 6561 | 16 |
| (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | 4⁵·25⁵ = 100⁵ | 14, 16 |
| a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 5⁻² = 1/25 = 0,04 | 16 |
| a⁰ = 1 при a ≠ 0 | 2026⁰ = 1 | 16 |
| √a·√b = √(ab) | √8·√2 = √16 = 4 | 14, 16 |
| √a/√b = √(a/b) | √50/√2 = √25 = 5 | 14, 16 |
| (√a)² = a при a ≥ 0 | (√13)² = 13 | 16, 17 |
| a^(1/n) = ⁿ√a | 8^(1/3) = 2 | 16 |
Логарифмы
Свойства логарифма тоже входят в справочные материалы. Определение: logₐb — это степень, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
| Формула | Пример применения | Номера |
|---|---|---|
| logₐ(a) = 1, logₐ(1) = 0 | log₇7 = 1, log₇1 = 0 | 16 |
| logₐ(xy) = logₐx + logₐy | log₂12 + log₂(4/3) = log₂16 = 4 | 16 |
| logₐ(x/y) = logₐx − logₐy | log₃54 − log₃2 = log₃27 = 3 | 16 |
| logₐ(xᵏ) = k·logₐx | log₅25³ = 3·2 = 6 | 16 |
| a^(logₐb) = b | 4^(log₄9) = 9 | 16, 17 |
| logₐb = c равносильно aᶜ = b | log₂x = 5 даёт x = 32 | 17, 18 |
Тригонометрия
Значения стандартных углов и основное тождество есть в справочных материалах. В базовой математике тригонометрия ограничена прямоугольным треугольником и простейшими уравнениями.
| Формула | Пример применения | Номера |
|---|---|---|
| sin α = противолежащий катет / гипотенуза | Катет 3, гипотенуза 5, значит sin α = 0,6 | 10, 12 |
| cos α = прилежащий катет / гипотенуза | Катет 4, гипотенуза 5, значит cos α = 0,8 | 10, 12 |
| tg α = противолежащий / прилежащий = sin α / cos α | Катеты 3 и 4 дают tg α = 0,75 | 10, 12 |
| sin²α + cos²α = 1 | Если sin α = 0,6, то cos α = 0,8 при остром α | 16 |
| sin 30° = ½, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2 | Высота равностороннего треугольника со стороной 6 равна 6·√3/2 | 12, 16 |
| cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = ½ | Проекция наклонной длиной 8 под углом 60° равна 4 | 12, 16 |
Прогрессии
Формул прогрессий в справочных материалах нет — их нужно помнить. Встречаются в текстовых задачах и задачах на перебор.
| Формула | Пример применения | Номера |
|---|---|---|
| aₙ = a₁ + (n − 1)d | a₁ = 5, d = 3: десятый член равен 5 + 27 = 32 | 20, 21 |
| Sₙ = (a₁ + aₙ)/2·n | Сумма 5 + 8 + … + 32 равна (5 + 32)/2·10 = 185 | 20, 21 |
| bₙ = b₁·qⁿ⁻¹ | b₁ = 2, q = 3: пятый член равен 2·81 = 162 | 20, 21 |
| Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1 | Сумма 2 + 6 + 18 + 54 + 162 равна 2·242/2 = 242 | 20, 21 |
Плоские фигуры: площади и длины
Раздел напечатан в справочных материалах, но искать формулу на экзамене дольше, чем вспомнить.
| Формула | Пример применения | Номера |
|---|---|---|
| Прямоугольник: S = ab | Участок 12 на 25 м имеет площадь 300 м² | 9, 10 |
| Треугольник: S = ½·a·hₐ | Основание 10, высота 6, значит S = 30 | 9, 12 |
| Треугольник через угол: S = ½·ab·sin γ | Стороны 8 и 10 под углом 30°: S = ½·80·0,5 = 20 | 12 |
| Параллелограмм: S = a·hₐ | Основание 9, высота 4, значит S = 36 | 9 |
| Трапеция: S = (a + b)/2·h | Основания 6 и 10, высота 4: S = 32 | 9 |
| Ромб: S = ½·d₁·d₂ | Диагонали 12 и 8 дают S = 48 | 9 |
| Правильный треугольник: S = a²√3/4 | Сторона 4: S = 16·√3/4 = 4√3 | 9, 12 |
| Круг: S = πr², длина окружности C = 2πr | r = 5: S = 25π, C = 10π | 9, 13 |
Тела: объёмы и поверхности
Тоже есть в справочных материалах. В базовой математике π чаще всего просят оставить в ответе или считать по указанию условия.
| Формула | Пример применения | Номера |
|---|---|---|
| Прямоугольный параллелепипед: V = abc | Коробка 20 на 30 на 10 см имеет объём 6000 см³ | 11 |
| Куб: V = a³, S(полн) = 6a² | Ребро 4: V = 64, полная поверхность 96 | 11 |
| Прямая призма: V = S(осн)·h | Основание 15, высота 8, значит V = 120 | 11 |
| Пирамида: V = ⅓·S(осн)·h | Основание 18, высота 5: V = 30 | 11 |
| Цилиндр: V = πr²h, S(бок) = 2πrh | r = 3, h = 10: V = 90π | 13 |
| Конус: V = ⅓πr²h, S(бок) = πrl | r = 3, h = 4: V = 12π | 13 |
| Шар: V = 4/3·πr³, S(пов) = 4πr² | r = 3: V = 36π, поверхность 36π | 13 |
Теорема Пифагора, подобие и средние линии
| Формула | Пример применения | Номера |
|---|---|---|
| c² = a² + b² | Катеты 6 и 8 дают гипотенузу 10 | 10, 12 |
| Пифагоровы тройки: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 | Катеты 5 и 12 сразу дают гипотенузу 13 без вычислений | 10, 12 |
| Подобие: отношение сторон равно коэффициенту k | Тень 2 м у столба 6 м; человек ростом 1,8 м даёт тень 0,6 м | 10 |
| Площади подобных фигур относятся как k² | Стороны увеличили втрое — площадь выросла в 9 раз | 9, 13 |
| Объёмы подобных тел относятся как k³ | Радиус увеличили вдвое — объём вырос в 8 раз | 13 |
| Средняя линия треугольника: MN = ½·AC | Основание 14, значит средняя линия равна 7 | 12 |
| Средняя линия трапеции: MN = (a + b)/2 | Основания 7 и 11 дают среднюю линию 9 | 12 |
Вероятность
| Формула | Пример применения | Номера |
|---|---|---|
| P(A) = m/n, где m — благоприятные исходы, n — все | В партии 200 деталей, бракованных 6: P = 6/200 = 0,03 | 5 |
| P(не A) = 1 − P(A) | Если P(попадания) = 0,8, то P(промаха) = 0,2 | 5 |
| Сумма вероятностей всех исходов равна 1 | Три исхода с вероятностями 0,5 и 0,2 дают третий 0,3 | 5 |
| Для равновозможных исходов P = 1/n | Один жребий из 25 участников: P = 0,04 | 5 |
Единицы измерения и перевод
Ошибка в переводе единиц стоит того же балла, что и ошибка в формуле, но встречается чаще.
| Соотношение | Пример применения | Номера |
|---|---|---|
| 1 м² = 10 000 см², 1 км² = 1 000 000 м² | Комната 4 на 5 м — это 200 000 см² | 9, 10 |
| 1 га = 10 000 м², 1 сотка (ар) = 100 м² | Участок 12 соток равен 1200 м² | 10 |
| 1 л = 1 дм³ = 1000 см³, 1 м³ = 1000 л | Бак 60 л вмещает 60 000 см³ | 11, 13 |
| 1 т = 1000 кг, 1 ц = 100 кг | 3,5 т равны 3500 кг | 1, 20 |
| 1 км/ч = 5/18 м/с, 1 м/с = 3,6 км/ч | 72 км/ч — это 20 м/с | 4, 20 |
| 1 сутки = 86 400 с, 1 час = 3600 с | Полтора часа равны 5400 с | 4, 20 |
Чтение графиков и таблиц
Формул здесь нет, есть приёмы, но они закрывают четыре номера сразу — 2, 3, 7 и 8.
- Сначала подписи осей и цена деления, потом сами точки. Половина потерянных баллов в номере 3 — это неверно понятый масштаб.
- Ведите к оси горизонтальную линию карандашом, а не оценивайте высоту столбца на глаз.
- Для номера 7 отмечайте на графике нули и знак производной: почти все формулировки после этого читаются сразу.
- Для номера 2 проверяйте выбранное значение обратным ходом: подставьте и представьте предмет, нелепость видна мгновенно.
- Ответ-последовательность в номерах 2, 7, 8 и 18 засчитывается только при полном совпадении набора цифр.
Как пользоваться справочником
- Разделите формулы на две стопки: те, что напечатаны в выдаваемых на экзамене материалах (степени, логарифмы, площади, объёмы, тригонометрические значения), и те, которых там нет (проценты, формулы с кубами, прогрессии, вероятность, единицы). Учить наизусть нужно вторую стопку.
- К каждой формуле привяжите один свой пример с числами. Формула без примера забывается за неделю, формула с примером — держится до экзамена.
- Решая задачу, сначала выпишите известные величины столбиком с единицами, и только потом ищите формулу. Половина ошибок обнаруживается уже на этом шаге.
- Раз в неделю прогоняйте раздел «Единицы измерения»: это самая дешёвая тренировка на балл, потому что перевод встречается в семи номерах из двадцати одного.
- За две недели до экзамена перепишите от руки те десять формул, которые чаще всего не вспоминаются. Рукописный список работает лучше перечитывания.
Типичные ошибки
- Считают процент от новой величины, когда в условии он берётся от исходной. В задачах на подорожание и скидку база меняется от действия к действию — выписывайте её явно.
- Складывают проценты вместо перемножения множителей. Рост на 20 % и последующее падение на 20 % дают не ноль, а минус 4 %.
- Забывают перевести единицы: метры и сантиметры, литры и кубические сантиметры, километры в час и метры в секунду.
- Округляют не в ту сторону в номере 1. Автобусы, пачки бумаги и упаковки округляют вверх, даже если дробная часть мала.
- Теряют требование «наименьший корень» или «наибольшее значение» в номере 17. Подчеркните эти слова до начала решения.
- Пишут неполный набор цифр в номерах-последовательностях. Частично верный ответ там не засчитывается.
- Считают в уме там, где калькулятора нет, а действий много. Столбик на черновике дешевле пересчёта всей задачи.
Вопросы и ответы
Сколько заданий и баллов в базовой математике?
Двадцать одно задание, все с кратким ответом и все по одному баллу. Максимум — 21 первичный балл, на работу отводится 180 минут.
Сколько нужно набрать, чтобы сдать?
Оценка «3» начинается с 7 первичных баллов из 21. Соответствие баллов и оценок утверждают перед экзаменом, но в последние годы этот порог не менялся.
Какие формулы выдают на экзамене?
Таблицу квадратов целых чисел от 0 до 99, свойства арифметического квадратного корня и корни квадратного уравнения, квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов, свойства степеней и логарифмов, площади плоских фигур, объёмы и площади поверхностей тел, значения тригонометрических функций стандартных углов. Проценты, формулы с кубами, прогрессии и вероятность в справочные материалы не входят.
Можно ли пользоваться калькулятором?
Нет. Из инструментов разрешена только линейка без справочной информации. Все вычисления делаются письменно, поэтому техника счёта здесь не менее важна, чем знание формул.
В каких номерах ответ записывается последовательностью цифр?
В четырёх: 2, 7, 8 и 18. Такой ответ засчитывается только при полном совпадении набора цифр с эталоном, частично верный не даёт ничего.
Меняется ли базовая математика в 2027 году?
Нет. Структура, число заданий, баллы и продолжительность прежние. Изменения 2027 года коснулись профильной математики, истории и информатики.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — число заданий, баллы, продолжительность и состав справочных материалов базовой математики
- ФИПИ: планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года — подтверждает, что базовый уровень математики в 2027 году не меняется
- Рособрнадзор: методические рекомендации по проведению ЕГЭ в ППЭ — перечень разрешённых средств обучения, запрет калькулятора и требования к линейке
- Рособрнадзор: официальный сайт — минимальные баллы и шкала перевода первичных баллов в школьную оценку
- ФИПИ: открытый банк заданий ЕГЭ — формулировки заданий и формат записи ответа по каждому номеру
Ещё материалы
Закрепи в тренажёре
Справочник помогает вспомнить, тренажёр — не забыть. НейроМиша считает освоение по номерам заданий и сам решает, что дать следующим. Начать можно без регистрации.
