Формулы и алгоритмы
для 70+ баллов

Ключевые графики

• |x - a| + |y - b| = r — ромб с центром (a; b)
• (x - a)² + (y - b)² = r² — окружность радиуса r
• y = ax + b — пучок прямых
• y = |f(x)| — часть графика ниже оси Ox отражается вверх
• |y| = f(x) — график симметричен относительно оси Ox

Алгоритм: графический метод

1. Перепишите условие в виде f(x) = g(x, a), отделив параметр от переменной.
2. Постройте семейство графиков: одна линия зафиксирована, вторая двигается вместе с a.
3. Найдите критические значения a — те, при которых меняется число точек пересечения.
4. Выпишите ответ по промежуткам: при каких a сколько решений.

Инструменты делимости

• на 3 и на 9 — делится сумма цифр
• на 4 — делится число из двух последних цифр
• на 11 — делится знакочередующаяся сумма цифр
• (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
• (a · b) mod n = ((a mod n) · (b mod n)) mod n
• a² mod 4 = 0 или 1 — других остатков не бывает
• a² mod 3 = 0 или 1
• a · b = НОД(a, b) · НОК(a, b)
• НОД(a, a + k) = НОД(a, k)

Алгоритм: оценка плюс пример

1. Оценка: докажите границу — через неравенство, делимость или чётность.
2. Пример: предъявите конкретные числа, на которых эта граница достигается.
3. Свяжите два пункта выводом: лучше быть не может, а такое значение существует.

Объёмы

• Призма: V = S_осн · h
• Пирамида: V = (1/3) · S_осн · h
• Цилиндр: V = π · r² · h
• Конус: V = (1/3) · π · r² · h
• Шар: V = (4/3) · π · r³
• Усечённая пирамида: V = (h/3) · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂))

Координатный метод

• Скалярное произведение: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
• Угол между прямыми: cos α = |AB · CD| / (|AB| · |CD|)
• Угол между плоскостями: cos α = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|)
• Векторное произведение: [a × b] = (a₂b₃ - a₃b₂; a₃b₁ - a₁b₃; a₁b₂ - a₂b₁)

Алгоритм: координаты вместо чертежа

1. Начало координат — в вершину с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами, оси направьте вдоль рёбер.
2. Выпишите координаты всех нужных точек; вектор AB считается как B минус A.
3. Нормаль к плоскости получите векторным произведением: n = [AB × AC].
4. Расстояние от точки M до плоскости: d = |n · AM| / |n|.

Формулы

• sin²x + cos²x = 1
• sin 2x = 2 · sin x · cos x
• cos 2x = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x
• sin a + sin b = 2 · sin((a+b)/2) · cos((a-b)/2)
• cos a - cos b = -2 · sin((a+b)/2) · sin((a-b)/2)
• sin x = a → x = (-1)ⁿ · arcsin a + πn
• cos x = a → x = ±arccos a + 2πn
• tg x = a → x = arctg a + πn

Алгоритм: отбор корней

1. Решите уравнение и запишите серии корней вида x = ... + πn.
2. Подставьте серию в двойное неравенство с границами промежутка.
3. Найдите целые n, которые этому неравенству удовлетворяют.
4. Подставьте найденные n обратно и выпишите конкретные значения x.

Свойства логарифмов

• log_a(xy) = log_ax + log_ay
• log_a(x/y) = log_ax - log_ay
• log_a(x^k) = k · log_ax
• log_ab = log_cb / log_ca = 1 / log_ba
• при a > 1: log_af > log_ag → f > g > 0
• при 0 < a < 1: log_af > log_ag → 0 < f < g

Алгоритм: метод интервалов

1. Перенесите всё в одну сторону, чтобы осталось f(x) больше либо равно нулю.
2. Выпишите область допустимых значений: основания больше нуля и не равны единице, подлогарифменные выражения строго положительны.
3. Разложите выражение на множители или сделайте замену переменной.
4. Отметьте нули множителей на числовой прямой и определите знак на каждом промежутке.
5. Ответ — пересечение полученного множества с областью допустимых значений.

Площади

• Треугольник: S = (1/2) · a · h
• Треугольник: S = (1/2) · a · b · sin C
• Формула Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p = (a+b+c)/2
• Через описанную окружность: S = abc / (4R)
• Через вписанную окружность: S = p · r
• Трапеция: S = ((a + b)/2) · h
• Параллелограмм: S = a · h = a · b · sin A

Окружности

• r = S / p — радиус вписанной окружности
• R = a / (2 · sin A) — теорема синусов
• Вписанный угол = половина центрального
• Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°
• Касательные из одной точки равны

Алгоритм

1. Отметьте на чертеже все данные и все прямые углы, которые следуют из условия.
2. Увидели окружность — сразу ищите вписанные углы и равные касательные.
3. Подберите формулу площади под то, что известно: сторона и высота, две стороны и угол, три стороны.
4. Если элемента не хватает, свяжите треугольники подобием либо теоремой синусов или косинусов.

Формулы

• ax² + bx + c = 0, D = b² - 4ac
• x = (-b ± √D) / (2a)
• Теорема Виета: x₁ + x₂ = -b/a, x₁ · x₂ = c/a
• Дробно-рациональное: знаменатель ≠ 0
• Иррациональное: √f = g требует g ≥ 0 и f ≥ 0

Алгоритм

1. Определите тип уравнения и сразу выпишите область допустимых значений.
2. Приведите к стандартному виду: избавьтесь от дробей, корней, логарифмов.
3. Решите полученное уравнение — обычно оно сводится к квадратному.
4. Отбросьте корни, не входящие в область допустимых значений, и проверьте оставшиеся подстановкой.

Таблица производных

• (xⁿ)' = n · x^n-1
• (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x
• (tg x)' = 1 / cos²x
• (e^x)' = e^x, (a^x)' = a^x · ln a
• (ln x)' = 1/x, (√x)' = 1 / (2√x)
• (f · g)' = f'g + fg'
• (f / g)' = (f'g - fg') / g²
• (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x) — цепное правило

Алгоритм: наибольшее и наименьшее значение на отрезке

1. Найдите производную и решите уравнение f'(x) = 0.
2. Оставьте только критические точки, попавшие внутрь отрезка.
3. Вычислите значение функции в этих точках и на обоих концах отрезка.
4. Выберите наибольшее или наименьшее из полученных чисел.