Математика
Формулы планиметрии и стереометрии для ЕГЭ 2027
Здесь собраны формулы, которых хватает на пять геометрических номеров профильной математики: планиметрию, векторы и стереометрию в обеих частях работы. Каждая строка таблицы — сама формула, условие, при котором она работает, и короткое замечание. В конце десять задач с ответами: по ним видно, какие строки уже держатся в голове.
Этот материал в PDF
Тот же справочник в печатной вёрстке: 7 стр., шрифты и таблицы внутри файла. Распечатать и повесить над столом или открыть с телефона без интернета.
Содержание материала
- Как устроены геометрические задания
- Треугольник: площадь
- Треугольник: стороны и углы
- Треугольник: линии, точки, подобие
- Прямоугольный треугольник
- Четырёхугольники
- Окружность
- Координаты и векторы
- Многогранники: объёмы и поверхности
- Тела вращения
- Подобие тел и перпендикулярность
- Десять задач для проверки
- Как пользоваться справочником
- Типичные ошибки
Как устроены геометрические задания
По проекту спецификации ЕГЭ 2027 профильная математика — это 20 заданий и 235 минут, максимум 33 первичных балла. Часть 1 — тринадцать номеров с кратким ответом по одному баллу, часть 2 — семь заданий с развёрнутым решением.
Геометрия занимает пять номеров. В первой части это задание 1 (планиметрия: углы, площади, подобие), задание 2 (векторы: операции и скалярное произведение) и задание 3 (стереометрия: углы, расстояния, объёмы) — по одному баллу. Во второй части это задание 15 (стереометрия: сечения, расстояния, углы) и задание 18 (планиметрия: доказательство и вычисление) — по три балла. Вместе геометрия даёт 9 первичных баллов из 33.
Нумерация 2027 года новая: стереометрия с развёрнутым решением переехала с четырнадцатого места на пятнадцатое, планиметрия — с семнадцатого на восемнадцатое, первые три номера остались на местах. Набор формул для обеих частей один и тот же, разница в оформлении: в номерах 1, 2 и 3 достаточно получить число, а в 15 и 18 эксперт оценивает обоснование каждого перехода. Проект спецификации обсуждается до 30 сентября 2026 года.
Треугольник: площадь
| Формула | Когда применять | Замечание |
|---|---|---|
| S = ½·a·hₐ | сторона и высота к ней | hₐ — высота именно к стороне a |
| S = ½·a·b·sin C | две стороны и угол | угол обязан лежать между ними |
| S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) | известны три стороны | формула Герона, p — полупериметр |
| S = p·r | полупериметр и вписанная окружность | отсюда же берут r = S/p |
| S = abc/(4R) | три стороны и описанная окружность | отсюда R = abc/(4S) |
| S = ½·a·b | прямоугольный треугольник | a и b — катеты |
| S = a²√3/4 | равносторонний треугольник | его высота h = a√3/2 |
| Медиана делит треугольник на две равновеликие части | сравнение частей фигуры | верно для любой из трёх медиан |
| Площади при общей высоте относятся как основания | сторона разбита точкой | базовый приём задания 18 |
Треугольник: стороны и углы
| Формула | Когда применять | Замечание |
|---|---|---|
| A + B + C = 180° | известны два угла | острые углы прямоугольного дают в сумме 90° |
| c² = a² + b² − 2ab·cos C | две стороны и угол либо три стороны | при C = 90° это теорема Пифагора |
| a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R | сторона и противолежащий угол | даёт радиус: R = a/(2·sin A) |
| Каждая сторона меньше суммы двух других | существует ли такой треугольник | неравенство треугольника |
Треугольник: линии, точки, подобие
| Формула | Когда применять | Замечание |
|---|---|---|
| Средняя линия MN = ½·AC, MN параллельна AC | соединены середины сторон | отсекает подобный треугольник, k = ½ |
| Медианы делятся точкой пересечения как 2 : 1 от вершины | дана точка пересечения медиан | делятся все три, а не одна |
| mₐ = ½·√(2b² + 2c² − a²) | три стороны, нужна медиана | mₐ проведена к стороне a |
| Биссектриса из A даёт BD : DC = AB : AC | биссектриса делит сторону BC | отношение прилежащих сторон |
| lₐ² = AB·AC − BD·DC | нужна длина биссектрисы | BD и DC — отрезки стороны BC |
| Периметры подобных фигур относятся как k, площади как k² | подобие с коэффициентом k | чаще всего задаётся двумя углами |
Прямоугольный треугольник
| Формула | Когда применять | Замечание |
|---|---|---|
| c² = a² + b² | известны две стороны | c — гипотенуза, самая длинная |
| h = a·b/c | высота к гипотенузе | следует из двух записей площади |
| h² = c₁·c₂ | проекции катетов на гипотенузу | c₁ + c₂ = c |
| a² = c·c₁ | катет через гипотенузу и проекцию | катет — среднее пропорциональное |
| Медиана к гипотенузе равна её половине | медиана из прямого угла | она же радиус описанной окружности |
| R = c/2, центр — середина гипотенузы | описанная окружность | угол на диаметре всегда прямой |
| r = (a + b − c)/2 | вписанная окружность | только для прямоугольного треугольника |
| Катет против угла 30° равен половине гипотенузы | в треугольнике есть угол 30° | второй катет даёт Пифагор |
| sin α = a/c, cos α = b/c, tg α = a/b | острый угол и стороны | a — противолежащий катет, b — прилежащий |
| Тройки 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 | стороны подозрительно круглые | узнавание экономит минуту счёта |
Четырёхугольники
| Формула | Когда применять | Замечание |
|---|---|---|
| Параллелограмм: S = a·hₐ | сторона и высота к ней | высота к выбранному основанию |
| Параллелограмм: S = a·b·sin α | две соседние стороны и угол | угол между этими сторонами |
| Параллелограмм: d₁² + d₂² = 2(a² + b²) | в условии обе диагонали | диагонали делятся пополам |
| Прямоугольник: S = ab, d = √(a² + b²) | известны стороны | диагонали равны между собой |
| Квадрат: S = a², d = a√2 | известна сторона | r = a/2, R = a√2/2 |
| Ромб: S = ½·d₁·d₂ | известны обе диагонали | диагонали перпендикулярны |
| Ромб: S = a²·sin α, d₁² + d₂² = 4a² | сторона и угол | все стороны ромба равны |
| Трапеция: S = (a + b)/2·h | основания и высота | это средняя линия на высоту |
| Трапеция: средняя линия m = (a + b)/2 | середины боковых сторон | параллельна основаниям |
| Четырёхугольник: S = ½·d₁·d₂·sin φ | диагонали и угол между ними | при φ = 90° даёт формулу ромба |
| Вписанный: сумма противоположных углов 180° | описана окружность | признак работает и обратно |
| Описанный: a + c = b + d | вписана окружность | суммы противоположных сторон равны |
Окружность
| Формула | Когда применять | Замечание |
|---|---|---|
| C = 2πR, S = πR² | известен радиус | π обычно оставляют в ответе |
| Дуга в α градусов: l = πRα/180° | дуга задана градусами | при α = 360° выходит вся окружность |
| Сектор: S = πR²α/360° | часть круга между радиусами | сегмент — сектор минус треугольник |
| Сектор через дугу: S = ½·l·R | известна длина дуги | угол при этом не нужен |
| Вписанный угол вдвое меньше центрального на ту же дугу | в условии оба угла | самое частое соотношение задания 1 |
| Угол, опирающийся на диаметр, равен 90° | хорда проходит через центр | так появляется прямоугольный треугольник |
| Вписанные углы на одну дугу равны | углы смотрят на одну хорду | вершины по одну сторону от хорды |
| Хорда a = 2R·sin(α/2) | радиус и центральный угол | обратный ход даёт угол по хорде |
| Пересекающиеся хорды: AP·PB = CP·PD | точка внутри круга | произведения отрезков равны |
| Касательная и секущая: PT² = PA·PB | точка вне круга | PT — касательная, PA и PB — секущая |
| Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания | в условии есть касательная | сразу даёт прямой угол |
| Отрезки касательных из одной точки равны | две касательные из точки | отсюда равенства в описанных фигурах |
Координаты и векторы
| Формула | Когда применять | Замечание |
|---|---|---|
| AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | координаты двух точек | это же длина вектора AB |
| Середина: ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2) | середина или центр симметрии | каждая координата — среднее |
| Координаты вектора AB: {x₂ − x₁; y₂ − y₁} | вектор задан двумя точками | из конца вычитают начало |
| Длина вектора: √(x² + y²) | вектор задан координатами | в пространстве добавляется z² |
| Скалярное произведение: x₁x₂ + y₁y₂ | оба вектора в координатах | результат — число, не вектор |
| Скалярное произведение: длина на длину и на cos φ | известны длины и угол | при φ = 90° равно нулю |
| cos φ = скалярное произведение делить на произведение длин | нужен угол между векторами | минус означает тупой угол |
| Перпендикулярность: скалярное произведение равно 0 | проверка прямого угла | частая формулировка задания 2 |
| Коллинеарность: x₁·y₂ = x₂·y₁ | проверка параллельности | координаты пропорциональны |
| В пространстве: x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ | трёхмерные координаты | плоские формулы переносятся с z |
| Окружность: (x − x₀)² + (y − y₀)² = R² | окружность задана уравнением | центр (x₀; y₀), радиус R |
Многогранники: объёмы и поверхности
| Формула | Когда применять | Замечание |
|---|---|---|
| Призма: V = S(осн)·h | основание любой формы | h — расстояние между основаниями |
| Прямая призма: S(бок) = P(осн)·h | рёбра перпендикулярны основанию | P — периметр основания |
| Прямоугольный параллелепипед: V = a·b·c | известны три измерения | частный случай прямой призмы |
| Прямоугольный параллелепипед: S(полн) = 2(ab + bc + ac) | нужна вся поверхность | три пары равных граней |
| Диагональ прямоугольного параллелепипеда: d² = a² + b² + c² | нужна диагональ коробки | Пифагор, применённый дважды |
| Куб: V = a³, S(полн) = 6a², d = a√3 | все рёбра равны | шесть квадратных граней |
| Пирамида: V = ⅓·S(осн)·h | площадь основания и высота | высота из вершины перпендикулярна основанию |
| Правильная пирамида: S(бок) = ½·P(осн)·l | все боковые грани равны | l — апофема, а не ребро |
Тела вращения
| Формула | Когда применять | Замечание |
|---|---|---|
| Цилиндр: V = πR²h | радиус и высота | основание — круг, отсюда πR² |
| Цилиндр: S(бок) = 2πRh, S(полн) = 2πR(R + h) | нужна поверхность | развёртка боковой — прямоугольник |
| Конус: V = ⅓πR²h | радиус и высота | треть цилиндра с теми же R и h |
| Конус: l = √(R² + h²) | нужна образующая | R, h и l дают прямоугольный треугольник |
| Конус: S(бок) = πRl, S(полн) = πR(R + l) | нужна поверхность | входит образующая, а не высота |
| Усечённый конус: V = ⅓πh(R² + R·r + r²) | у конуса срезана вершина | R и r — радиусы оснований |
| Шар: V = 4πR³/3, площадь сферы 4πR² | известен радиус | при R = 3 числа совпадают |
Подобие тел и перпендикулярность
| Утверждение | Когда применять | Замечание |
|---|---|---|
| Площади подобных фигур относятся как k² | размеры увеличены в k раз | k — отношение соответственных отрезков |
| Объёмы подобных тел относятся как k³ | тела подобны | удвоение размеров даёт восьмикратный объём |
| Плоскость, параллельная основанию, отсекает подобную пирамиду | сечение параллельно основанию | объёмы как куб отношения высот |
| Прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна двум пересекающимся прямым в ней | доказательство перпендикулярности | двух параллельных прямых не хватает |
| Теорема о трёх перпендикулярах | наклонная и прямая в плоскости | прямая перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна её проекции |
| Угол между прямой и плоскостью — угол с её проекцией | наклонная встречает плоскость | он наименьший из всех таких углов |
| Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра | расстояние в задании 15 | основание перпендикуляра — проекция точки |
| Двугранный угол измеряется линейным углом | сечение перпендикулярно ребру | обе стороны угла перпендикулярны ребру |
Десять задач для проверки
- Стороны треугольника 13, 14 и 15. Найдите площадь, радиус вписанной и радиус описанной окружности. Ответ: 84, 4 и 8,125.
- Стороны треугольника 13 и 14, угол между ними 30°. Найдите площадь. Ответ: 45,5.
- Две стороны треугольника 5 и 8, угол между ними 60°. Найдите третью сторону. Ответ: 7.
- Диагонали ромба равны 30 и 40. Найдите сторону и площадь. Ответ: 25 и 600.
- Основания трапеции 8 и 14, высота 5. Найдите среднюю линию и площадь. Ответ: 11 и 55.
- Хорды AB и CD пересекаются в точке P, причём AP = 4, PB = 9, CP = 6. Найдите PD. Ответ: 6.
- Центральный угол 80°, радиус 9. Найдите вписанный угол на ту же дугу и длину дуги. Ответ: 40° и 4π.
- Даны векторы {3; 4} и {8; −6}. Найдите скалярное произведение и угол между ними. Ответ: 0 и 90°.
- Рёбра прямоугольного параллелепипеда 3, 4 и 12. Найдите диагональ и объём. Ответ: 13 и 144.
- Радиус основания конуса 6, высота 8. Найдите образующую, боковую поверхность и объём. Ответ: 10, 60π и 96π.
Как пользоваться справочником
- Разделите таблицы на две стопки: формулы, которые восстанавливаются за десять секунд, и все остальные. Учить нужно только вторую стопку.
- К каждой формуле привяжите картинку: теорема косинусов держится в памяти не буквами, а треугольником с двумя подписанными сторонами и углом между ними.
- Читайте столбец «Когда применять» первым: формулу выбирают по тому, что дано, а не по тому, что требуется найти.
- Держите наготове два способа для площади треугольника: через сторону с высотой и через две стороны с синусом угла.
- Стереометрию сводите к плоскости: почти каждое задание 3 и 15 решается в одном удачно выбранном сечении, а дальше работают формулы планиметрии.
Типичные ошибки
- Берут в формуле S = ½·a·b·sin C угол, который не лежит между сторонами a и b. Формула даст число, но не площадь.
- Путают апофему и боковое ребро пирамиды: в S(бок) = ½·P·l входит апофема, то есть высота боковой грани.
- Подставляют в боковую поверхность конуса высоту вместо образующей: величины связаны как l = √(R² + h²).
- Считают, что объёмы подобных тел относятся как коэффициент: удвоение радиуса даёт объём в восемь раз больше.
- Применяют r = (a + b − c)/2 к произвольному треугольнику: формула верна только для прямоугольного, иначе нужна r = S/p.
- Записывают в задании 18 голый ответ: три балла там дают за доказательство и вычисление вместе.
Вопросы и ответы
Сколько геометрии в профильной математике 2027 года?
Пять заданий из двадцати: номера 1, 2 и 3 в первой части по одному баллу и номера 15 и 18 во второй части по три балла. Вместе это 9 первичных баллов из 33.
Что изменилось в нумерации геометрических заданий?
Планиметрия с развёрнутым решением была семнадцатым номером и стала восемнадцатым, стереометрия была четырнадцатым и стала пятнадцатым. Задания 1, 2 и 3 остались на прежних местах.
Какие формулы нужны чаще всего?
Три записи площади треугольника, теорема косинусов, теорема синусов с радиусом описанной окружности, свойство вписанного угла и объёмы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса.
Можно ли пользоваться калькулятором?
Нет, из инструментов на экзамене разрешена линейка. Числа в условиях обычно подобраны так, что ответ выходит целым или простой десятичной дробью.
Обязательно ли делать чертёж?
В планиметрии да, и чем крупнее, тем лучше: на мелком рисунке разные отрезки выглядят равными случайно. В стереометрии решает выбранное сечение.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня: 20 заданий, 235 минут, 33 первичных балла
- ФИПИ: планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года — новая нумерация профильной математики и распределение баллов по заданиям
- ФИПИ: открытый банк заданий ЕГЭ — формулировки заданий 1, 2 и 3 и требования к форме записи краткого ответа
Ещё материалы
Закрепи в тренажёре
Справочник помогает вспомнить, тренажёр — не забыть. НейроМиша считает освоение по номерам заданий и сам решает, что дать следующим. Начать можно без регистрации.
