Сколько баллов даёт задание 18 ЕГЭ по профильной математике?

За задание 18 можно получить максимум 3 балла из 33 первичных баллов всей работы. Форма ответа — развёрнутое решение: доказательство и вычисление.

Какой уровень сложности у задания 18 по профильной математике?

Задание 18 относится к заданиям повышенного уровня сложности; таких в работе 11 из 20.

Сколько времени тратить на задание 18?

Закладывайте около 35 минут: на всю работу даётся 3 часа 55 минут при 20 заданий. Если решение не приходит за это время, отметьте номер и вернитесь к нему позже.

Какие темы нужно знать для задания 18?

По кодификатору ФИПИ задание 18 опирается на разделы: Фигуры на плоскости (планиметрия).

Задание 18 ЕГЭ по профильной математике: Планиметрия с доказательством

Развёрнутая планиметрия из двух пунктов: доказать утверждение об окружностях, касательных, вписанных или описанных фигурах, а затем найти длину, площадь или отношение. Пункт а оценивается сам по себе, поэтому доказательство без вычисления тоже приносит балл. Чертёж должен быть крупным и точным.

Страница обновлена 5 сентября 2026

Коротко о задании

Уровень сложности	повышенный
Максимальный балл	3 балла
Форма ответа	развёрнутое решение: доказательство и вычисление
Сколько минут закладывать	35 минут
Коды кодификатора	7.1 Фигуры на плоскости (планиметрия)

Проект демоверсии

Структура по проекту демоверсии ФИПИ 2027; официальную версию ФИПИ публикует в ноябре. По проекту спецификации ФИПИ 2027 (обсуждение до 30 сентября 2026).

Источник — ФИПИ, проект спецификации КИМ ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня (28 августа 2026).

Как решать

Постройте чертёж по условию, соблюдая пропорции, и отметьте равные углы.
Выпишите, что дано, и перенесите это прямо на рисунок.
Найдите ключевой факт: подобие, вписанный угол, свойство касательной, теорему о секущих.
Оформите доказательство пункта а как цепочку утверждений со ссылками на теоремы.
В пункте б выразите искомое через найденные отношения и досчитайте.

Типичные ошибки

Опираются в доказательстве на то, что видно на чертеже, но не следует из условия.
Применяют теоремы Менелая и Чевы с перепутанным порядком отношений.
Решают только вычислительный пункт, оставляя пункт а без обоснования.

Совет на экзамене

Чертите на весь лист и в двух вариантах, если конфигурация зависит от расположения точек. Мелкий рисунок скрывает подобие, которое и есть решение.

Теория по заданию 18

Фигуры на плоскостиКонспект с разбором

Пример с разбором

Пример

В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 4, AC = 5. Из вершины B провели биссектрису BL к стороне AC. а) Докажи, что AL : LC = 3 : 2. б) Найди длину биссектрисы BL.

Пункт а. Нужно именно доказательство, а не проверка на числах. Докажем общее свойство: биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон. Биссектриса BL разбивает треугольник на два — ABL и CBL. У них общая высота, опущенная из вершины B на прямую AC, поэтому площади относятся как основания:

\dfrac{S_{ABL}}{S_{CBL}} = \dfrac{AL}{LC}

С другой стороны, точка L лежит на биссектрисе угла B, а значит равноудалена от его сторон AB и BC. Тогда у тех же треугольников равны высоты, опущенные из L на AB и BC, и площади относятся как эти стороны:

\dfrac{S_{ABL}}{S_{CBL}} = \dfrac{AB}{BC}

Левые части одинаковы, значит равны и правые:

AL/LC = AB/BC = 6/4 = 3/2

. Свойство доказано в общем виде — это и есть пункт а. Теперь можно подставить числа: сторона AC = 5 делится в отношении 3 : 2, поэтому AL = 3, LC = 2. Пункт б. Длину биссектрисы даёт следствие теоремы Стюарта для биссектрисы: квадрат биссектрисы равен произведению прилежащих сторон минус произведение отрезков, на которые она рассекла третью сторону.

BL^2 = AB\cdot BC - AL\cdot LC = 6\cdot 4 - 3\cdot 2 = 24 - 6 = 18

Осталось извлечь корень. Считаем без калькулятора: 18 = 9·2, а корень из 9 выносится за знак.

BL = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

Ответ: а) AL : LC = 3 : 2 (доказано через отношение площадей треугольников ABL и CBL); б) BL = 3√2..

Разбор из темы «Фигуры на плоскости» в разделе теории.