Задание 3 ЕГЭ по профильной математике: Стереометрия: объёмы и площади

Объём и площадь поверхности куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара, а также простые углы и расстояния между прямыми и плоскостями. Часто просят объём куска, отсечённого от известного тела, или сравнение объёмов при изменении линейных размеров.

Страница обновлена 5 сентября 2026

Коротко о задании

Уровень сложностибазовый
Максимальный балл1 балл
Форма ответацелое число или конечная десятичная дробь
Сколько минут закладывать3 минуты
Коды кодификатора
  • 7.2 Прямые и плоскости в пространстве
  • 7.3 Многогранники
  • 7.4 Тела и поверхности вращения

Проект демоверсии

Структура по проекту демоверсии ФИПИ 2027; официальную версию ФИПИ публикует в ноябре. По проекту спецификации ФИПИ 2027 (обсуждение до 30 сентября 2026).

Источник — ФИПИ, проект спецификации КИМ ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня (28 августа 2026).

Как решать

  1. Определите тело и выпишите нужную формулу из справочных материалов.
  2. Найдите недостающие линейные размеры через прямоугольный треугольник в сечении.
  3. Если тело составное, разбейте объём на части или вычтите отсечённый кусок.
  4. Проверьте, что все длины приведены к одной единице измерения.

Типичные ошибки

  • Забывают множитель одна треть в объёме пирамиды и конуса.
  • Принимают апофему за боковое ребро пирамиды и наоборот.
  • При увеличении линейных размеров в несколько раз меняют объём во столько же раз.
Совет на экзамене

Нарисуйте тело от руки и подпишите высоту отдельно от бокового ребра — после этого формула подставляется без раздумий.

Теория по заданию 3

Прямые и плоскости в пространствеКонспект с разбором МногогранникиКонспект с разбором Тела и поверхности вращенияКонспект с разбором

Пример с разбором

Пример
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a найди угол между скрещивающимися прямыми AB₁ и BC₁ — обе они диагонали граней куба.
Прямые AB1AB_1 и BC1BC_1 не лежат в одной плоскости — они скрещиваются. Значит, одну из них нужно параллельно перенести к другой, чтобы получить пересекающиеся прямые. Заметь, что BC1BC_1 параллельно и равно AD1AD_1: рёбра ADAD и BCBC параллельны и равны как противоположные стороны квадрата ABCDABCD, а рёбра DD1DD_1 и CC1CC_1 параллельны и равны. Поэтому угол между AB1AB_1 и BC1BC_1 равен углу между пересекающимися прямыми AB1AB_1 и AD1AD_1, то есть углу ∠B1AD1\angle B_1AD_1. Теперь всё в одном треугольнике AB1D1AB_1D_1. Каждая его сторона — диагональ грани куба, а диагональ квадрата со стороной aa равна a2a\sqrt2: AB1=AD1=B1D1=a2AB_1 = AD_1 = B_1D_1 = a\sqrt{2} Все три стороны равны — треугольник равносторонний, а в нём каждый угол равен 60°. Значит, искомый угол: ∠B1AD1=60∘\angle B_1AD_1 = 60^\circ Обрати внимание: ребро aa в ответ не вошло вовсе. Угол между прямыми не зависит от размера куба — масштаб углы не меняет, это стоит держать в голове как проверку. Ответ: 60°.

Разбор из темы «Прямые и плоскости в пространстве» в разделе теории.

Коротко

Вопросы про задание 3

Сколько баллов даёт задание 3 ЕГЭ по профильной математике?

За задание 3 можно получить максимум 1 балл из 33 первичных баллов всей работы. Форма ответа — целое число или конечная десятичная дробь.

Какой уровень сложности у задания 3 по профильной математике?

Задание 3 относится к заданиям базового уровня сложности; таких в работе 7 из 20.

Сколько времени тратить на задание 3?

Закладывайте около 3 минуты: на всю работу даётся 3 часа 55 минут при 20 заданий. Если решение не приходит за это время, отметьте номер и вернитесь к нему позже.

Какие темы нужно знать для задания 3?

По кодификатору ФИПИ задание 3 опирается на разделы: Прямые и плоскости в пространстве; Многогранники; Тела и поверхности вращения.