Таблица производных и правила дифференцирования

В каких заданиях ЕГЭ нужна производная?

По проекту спецификации ЕГЭ 2027 профильная математика — это 20 заданий, 235 минут и 33 первичных балла. Производная нужна в двух номерах. Задание 9 — базового уровня, один балл: функция и производная по графику, экстремумы, касательная, первообразная и площадь через интеграл. Задание 17 — новое задание второй части с развёрнутым решением, до двух баллов: реальную ситуацию нужно описать функцией и исследовать её средствами начал анализа.

В 2026 году производная проверялась в заданиях 8 и 12: по графику и через поиск точки экстремума или наибольшего значения по формуле. В проекте 2027 года задание 17 собрано из тем прежних заданий 9 и 12, поэтому вычислять производную по формуле по-прежнему нужно, только теперь с обоснованием.

Проект спецификации обсуждается до 30 сентября 2026 года, нумерация ещё может уточниться. Таблица и правила от этого не зависят.

Таблица производных элементарных функций

Первые строки таблицы — это одна формула для степени: константа, x, корень и дробь 1/x получаются из (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹ при n = 0, 1, 1/2 и −1. Запоминать их отдельно не обязательно, но на экзамене быстрее узнавать сразу.

Правила дифференцирования

Проверка значения в точке: для f(x) = x³ − 2x производная f′(x) = 3x² − 2, и f′(2) = 3 · 4 − 2 = 10. Для f(x) = (x − 1) · eˣ производная f′(x) = eˣ + (x − 1) · eˣ = x · eˣ, и f′(0) = 0.

Сложную функцию дифференцируют снаружи внутрь: сначала производная внешней функции, аргумент при этом не трогают, потом множитель — производная того, что стояло внутри. Если внутри линейное выражение kx + b, множитель равен просто k.

Геометрический смысл

Если касательная на рисунке идёт вниз слева направо, производная отрицательна, и знак минус нельзя потерять при подсчёте по клеткам.

Физический смысл

Отрицательный корень в задаче о движении отбрасывают: время отсчитывают от начала наблюдения. В примере с t² − 2t − 3 = 0 второй корень t = −1 не подходит.

Монотонность и экстремумы

Точка экстремума — это значение x, а экстремум функции — значение y в этой точке. На экзамене спрашивают то одно, то другое, и путаница здесь стоит балла.

Исследование функции: разбор

1. Найдите точки экстремума функции y = x³ − 3x² − 9x + 4. Производная y′ = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3), нули x = −1 и x = 3. Знаки: при x < −1 производная положительна, между −1 и 3 отрицательна, при x > 3 снова положительна. Значит, x = −1 — точка максимума, x = 3 — точка минимума. Значения: y(−1) = −1 − 3 + 9 + 4 = 9, y(3) = 27 − 27 − 27 + 4 = −23.
2. Найдите точку минимума функции y = x² − 8 ln x + 1. Область определения x > 0. Производная y′ = 2x − 8/x = 2(x² − 4)/x. На области определения нуль один: x = 2. Слева от 2 производная отрицательна (при x = 1 она равна −6), справа положительна (при x = 4 она равна 6). Ответ: 2.
3. Найдите точку минимума функции y = (x − 2) · eˣ. По правилу произведения y′ = eˣ + (x − 2) · eˣ = (x − 1) · eˣ. Множитель eˣ всегда положителен, поэтому знак определяет x − 1: минус слева от 1, плюс справа. Ответ: 1.
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ − 3x на отрезке [0; 2]. Производная y′ = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), внутри отрезка нуль только x = 1. Значения: y(0) = 0, y(1) = 1 − 3 = −2, y(2) = 8 − 6 = 2. Наибольшее значение 2, наименьшее −2.
5. Модель: участок у стены. Прямоугольный участок примыкает к стене, с трёх других сторон его огораживают забором длиной 40 м. Сторону, перпендикулярную стене, обозначим x, тогда сторона вдоль стены 40 − 2x, а x меняется от 0 до 20. Площадь S(x) = x(40 − 2x) = 40x − 2x², производная S′(x) = 40 − 4x равна нулю при x = 10. Слева от 10 производная положительна, справа отрицательна, это максимум. Наибольшая площадь S(10) = 10 · 20 = 200 м². Так устроено решение задания 17: переменная с границами, функция, производная, знаки и ответ в единицах условия.

Как читать графики в задании 9?

• Если нарисован график производной, точки экстремума функции — это места, где график производной пересекает ось абсцисс: сверху вниз — максимум, снизу вверх — минимум.
• Функция возрастает там, где график производной выше оси, и убывает там, где ниже. Касание оси без перехода на другую сторону экстремума не даёт.
• Если нарисован график самой функции, производная положительна на участках подъёма, отрицательна на участках спуска и равна нулю в вершинах.
• Значение производной по касательной на рисунке ищут как отношение приращений: выберите две точки прямой в узлах клеток и разделите разность ординат на разность абсцисс.

С чего начинать, когда нужно найти производную?

1. Перед дифференцированием упростите: раскройте скобки, запишите корень и дробь как степень. (x² + 1)/x проще продифференцировать как x + x⁻¹.
2. Определите последнее действие в формуле: сумма, произведение, частное или функция от функции. Это и есть правило, с которого начинают.
3. В задачах на экстремум всегда проверяйте смену знака производной, а не только её нуль.
4. На отрезке сравнивайте значения во всех критических точках внутри и на обоих концах: наибольшее значение может оказаться на границе.
5. Проверяйте себя числом: подставьте x = 1 или x = 0 в ответ и в производную, полученную другим способом.

Какие ошибки чаще всего делают с производной?

• Считают производную произведения как произведение производных: (x · eˣ)′ не равно 1 · eˣ, правильно (x + 1) · eˣ.
• Забывают множитель внутренней функции: (sin 3x)′ = 3 cos 3x, а не cos 3x.
• Путают знак у косинуса: (cos x)′ = −sin x, а (sin x)′ = cos x без минуса.
• Ищут экстремумы функции по её собственному графику так, как по графику производной, и наоборот.
• Записывают в ответ значение функции вместо точки экстремума или точку вместо наибольшего значения.