Формулы сокращённого умножения: все семь с примерами
(a + b)² = a² + 2ab + b², a² − b² = (a − b)(a + b), a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) — три из семи формул сокращённого умножения. Самостоятельным заданием они почти не встречаются, но работают внутри других: при упрощении выражений, сокращении дробей, решении уравнений и счёте без калькулятора. К каждой — пример, обратный ход и типичные ошибки.
Содержание материала
Семь основных формул
| Формула | Как читается | Пример |
|---|---|---|
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | квадрат суммы | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| (a − b)² = a² − 2ab + b² | квадрат разности | (x − 5)² = x² − 10x + 25 |
| a² − b² = (a − b)(a + b) | разность квадратов | x² − 49 = (x − 7)(x + 7) |
| (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | куб суммы | (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1 |
| (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | куб разности | (x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8 |
| a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | сумма кубов | x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4) |
| a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | разность кубов | x³ − 27 = (x − 3)(x² + 3x + 9) |
Обратите внимание на знаки в двух последних строках: в скобке с квадратами знак всегда противоположен знаку слева. У суммы кубов внутри стоит минус, у разности — плюс. Это самое частое место ошибки, и запоминается оно проще всего именно так: «знаки чередуются».
Как применять формулу в обратную сторону?
Формулу учат слева направо — раскрыть скобки. На экзамене чаще нужен обратный ход: увидеть в выражении свёрнутую формулу и разложить его на множители.
Пример. Дробь (x² − 16) / (x − 4) выглядит неприводимой, пока не заметить разность квадратов: числитель равен (x − 4)(x + 4), и после сокращения остаётся x + 4. Всё решение — одна строка, если формулу узнали, и тупик, если нет.
То же с суммой кубов. Выражение (x³ + 27) / (x + 3) сокращается до x² − 3x + 9 — снова одна строка вместо деления многочленов в столбик.
Как с помощью формул считать в уме?
Разность квадратов превращает умножение в вычитание. 97 · 103 — это (100 − 3)(100 + 3), то есть 10 000 − 9 = 9991. Считается быстрее, чем в столбик, и без ошибок в переносах.
Квадрат суммы работает так же: 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601. А 49² = (50 − 1)² = 2500 − 100 + 1 = 2401.
Приём выручает там, где калькулятор запрещён, — то есть на всех школьных экзаменах по математике.
Расширенные формулы
Их не требуют наизусть, но они экономят время.
| Формула | Где нужна |
|---|---|
| (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc | квадрат трёхчлена, задачи с тремя переменными |
| a⁴ − b⁴ = (a² − b²)(a² + b²) = (a − b)(a + b)(a² + b²) | разложение до конца, а не наполовину |
| a² + b² = (a + b)² − 2ab | когда известны сумма и произведение корней |
| a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − ac − bc) | олимпиадные задачи |
Четвёртая строка почти не встречается в школьной программе, но её любят на олимпиадах и в задачах повышенной сложности.
Какие ошибки делают в формулах сокращённого умножения?
Теряют удвоенное произведение. (a + b)² — это не a² + b². Проверить просто: подставьте числа. (2 + 3)² = 25, а 4 + 9 = 13. Разница ровно в 2ab = 12.
Путают знаки в кубах. В (a − b)³ знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус. Если в ответе два минуса подряд — где-то ошибка.
Не доводят разложение до конца. a⁴ − b⁴ раскладывают до (a² − b²)(a² + b²) и останавливаются, хотя первая скобка ещё раскладывается.
Пытаются разложить сумму квадратов. a² + b² на множители над действительными числами не раскладывается. Это не пробел в знаниях — такого разложения не существует, и искать его бесполезно.
Где на экзамене нужны формулы сокращённого умножения?
Формулы сокращённого умножения проходят в седьмом классе, но самостоятельным заданием почти не встречаются. Они работают внутри других задач: при упрощении выражений, решении уравнений, сокращении дробей, вычислениях без калькулятора.
В кодификаторе ФИПИ они входят в раздел преобразования алгебраических выражений — то есть формально проверяются в заданиях на упрощение, а фактически нужны почти везде, где есть буквы и степени.
Как выучить формулы за один вечер?
Не заучивайте семь строк подряд — так они перепутаются между собой. Работает другой порядок.
Сначала три формулы второй степени: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов. Их достаточно для большинства школьных задач, и они запоминаются за десять минут.
Потом две формулы третьей степени с кубами суммы и разности — они устроены одинаково, отличаются только знаками.
И последними — сумма и разность кубов. Именно в них чаще всего ошибаются со знаком, поэтому их стоит проговорить вслух: «сумма кубов — минус внутри, разность кубов — плюс внутри».
Проверяйте себя подстановкой чисел. Любая формула проверяется за двадцать секунд: возьмите a = 2, b = 3 и посчитайте обе стороны. Если сошлось — формула записана верно.
Проверьте себя
Восемь примеров по возрастанию сложности. Ответы — в следующем абзаце, но сначала решите: подглядывание убивает весь смысл проверки.
- Раскройте: (x + 4)²
- Раскройте: (2y − 3)²
- Разложите: x² − 81
- Разложите: 4a² − 25b²
- Разложите: x³ + 64
- Разложите: 8m³ − 27
- Сократите дробь: (x² − 9) / (x + 3)
- Посчитайте в уме: 98 · 102
Ответы: x² + 8x + 16; 4y² − 12y + 9; (x − 9)(x + 9); (2a − 5b)(2a + 5b); (x + 4)(x² − 4x + 16); (2m − 3)(4m² + 6m + 9); x − 3; 9996.
Если сошлось меньше шести — вернитесь к таблице и проговорите формулы вслух. Если сошлось всё, кроме пятого и шестого, дело только в знаках внутри второй скобки: там знак противоположен знаку между кубами.
Этот материал в PDF
Тот же справочник в печатной вёрстке: 3 стр., шрифты и таблицы внутри файла. Распечатать и повесить над столом или открыть с телефона без интернета.
«Напомнить в Telegram» — раз в неделю одно задание по этой таблице, ссылкой на сайт. Без регистрации, отключается командой /stop.
Вопросы и ответы
Сколько всего формул сокращённого умножения
Основных семь: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, сумма кубов, разность кубов. В учебниках иногда называют пять, объединяя кубы, а иногда одиннадцать, добавляя расширенные варианты вроде квадрата трёхчлена. Учить стоит семь, остальные выводятся.
В каком классе проходят формулы сокращённого умножения
В седьмом, в курсе алгебры. Разность квадратов и квадраты суммы и разности дают первыми, кубы — ближе к концу года. Дальше формулы используются постоянно, поэтому их держат в активной памяти до одиннадцатого класса.
Раскладывается ли сумма квадратов на множители
Над действительными числами — нет. a² + b² не раскладывается, и это не ошибка учебника, а свойство самого выражения. Разложение появляется только при переходе к комплексным числам, которых в школьной программе нет.
Зачем нужны формулы, если можно просто раскрыть скобки
Раскрыть скобки можно всегда, но обратный ход — свернуть выражение в формулу — без них невозможен. Именно он нужен при сокращении дробей и решении уравнений: там задача не раскрыть, а увидеть множители.
Источники
- ФИПИ: кодификатор ЕГЭ по математике — раздел преобразования алгебраических выражений
Ещё материалы
Закрепи в тренажёре
Справочник помогает вспомнить, тренажёр — не забыть. НейроМиша считает освоение по номерам заданий и сам решает, что дать следующим. Начать можно без регистрации.
