Свойства логарифмов: формулы и примеры для ЕГЭ

В каких заданиях ЕГЭ встречаются логарифмы?

По проекту спецификации ЕГЭ 2027 профильная математика — это 20 заданий, 235 минут и 33 первичных балла. Логарифмы проверяют как минимум в трёх номерах. Задание 7 — простейшее уравнение базового уровня, один балл: логарифмическое уравнение здесь один из стандартных типов. Задание 8 — вычисление значения выражения со степенями и логарифмами, тоже базовое и на один балл. Задание 16 — неравенство повышенного уровня с развёрнутым решением, до двух баллов, и в демоверсии это как раз логарифмическое неравенство.

По кодификатору ФИПИ логарифмическая функция относится и к заданию 12 (графики функций), а логарифмические уравнения — к заданию 14, хотя отдельно логарифмам эти номера не посвящены.

Проект спецификации 2027 года обсуждается до 30 сентября 2026 года, нумерация ещё может уточниться. Сами формулы от этого не меняются.

Определение и область допустимых значений

Логарифм — это показатель степени, в которую возводят основание, чтобы получить число. Отсюда три ограничения: отрицательное основание не годится, единица в любой степени даёт единицу, а положительное основание — только положительные числа.

Основное логарифмическое тождество

В задании 8 тождество работает, когда основание степени и основание логарифма совпадают или приводятся к одному числу, как в последней строке: 9 = 3².

Логарифм произведения, частного и степени

Формулы работают в обе стороны. В вычислениях их обычно применяют справа налево: сумму логарифмов сворачивают в логарифм произведения, чтобы под знаком логарифма оказалась точная степень основания.

Отдельная оговорка про чётную степень. Если x может быть отрицательным, то logₐ x² равно 2 · logₐ от модуля x, а не 2 · logₐ x. Выражение log₃ x² определено при всех x, кроме нуля, а 2 · log₃ x — только при положительных x. Замена одного на другое в уравнении теряет корни.

Переход к новому основанию

Переход к новому основанию нужен, когда в выражении встретились логарифмы с разными основаниями. Удобное новое основание — то, степенями которого являются все числа в задаче: для 4, 8, 16 и 32 это 2, для 9, 27 и 81 это 3.

Частные случаи

Монотонность и неравенства

Главное правило неравенств: при основании больше единицы знак неравенства между аргументами сохраняется, при основании меньше единицы — меняется на противоположный. Это следует из того, возрастает функция y = logₐ x или убывает.

Как решать уравнения с логарифмами?

Каждое решение начинается с области допустимых значений. Её выписывают до преобразований, а найденные корни проверяют именно по ней.

1. log₃ (2x − 1) = 2. ОДЗ: 2x − 1 > 0, то есть x > 0,5. По определению 2x − 1 = 3² = 9, откуда x = 5. Корень входит в ОДЗ. Ответ: 5.
2. log₂ (x + 1) + log₂ (x − 1) = 3. ОДЗ: x > 1. Сумма логарифмов равна log₂ ((x + 1)(x − 1)), поэтому x² − 1 = 8, x² = 9, x = 3 или x = −3. Корень −3 не входит в ОДЗ: при нём оба логарифма не существуют. Ответ: 3.
3. log₅ (x² − 4x) = log₅ (2x − 5). Приравниваем аргументы: x² − 4x = 2x − 5, x² − 6x + 5 = 0, x = 1 или x = 5. Проверка: при x = 1 аргумент 2x − 5 = −3, логарифм не существует. При x = 5 оба аргумента равны 5. Ответ: 5.
4. log₂² x − 3 · log₂ x + 2 = 0. ОДЗ: x > 0. Замена t = log₂ x даёт t² − 3t + 2 = 0, t = 1 или t = 2. Отсюда x = 2 или x = 4, оба положительны. Ответ: 2 и 4.
5. log₃ x² = 2. ОДЗ: x ≠ 0. По определению x² = 9, x = 3 или x = −3, оба корня подходят. Если сначала написать 2 · log₃ x = 2, получится только x = 3: корень −3 потерян.
6. logₓ (2x + 3) = 2. ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. По определению x² = 2x + 3, x² − 2x − 3 = 0, x = 3 или x = −1. Отрицательное основание запрещено. Проверка: log₃ 9 = 2. Ответ: 3.

Неравенства с логарифмами: разбор

1. log₂ (x − 3) < 2. ОДЗ: x > 3. Основание 2 больше единицы, знак сохраняется: x − 3 < 4, x < 7. С учётом ОДЗ ответ: (3; 7).
2. log_(1/3) (2x − 1) ≥ −2. ОДЗ: x > 0,5. Правая часть −2 = log_(1/3) 9, потому что (1/3)⁻² = 9. Основание меньше единицы, знак меняется: 2x − 1 ≤ 9, x ≤ 5. Ответ: (0,5; 5].
3. log₂ x + log₂ (x − 2) ≤ 3. ОДЗ: x > 2. Сворачиваем: x(x − 2) ≤ 8, x² − 2x − 8 ≤ 0, (x − 4)(x + 2) ≤ 0, то есть −2 ≤ x ≤ 4. Пересечение с ОДЗ: (2; 4].
4. logₓ (6 − x) ≥ 1. ОДЗ: 0 < x < 6, x ≠ 1. Переносим: logₓ (6 − x) − logₓ x ≥ 0. По методу рационализации знак разности совпадает со знаком (x − 1)(6 − x − x), получаем (x − 1)(6 − 2x) ≥ 0, то есть 1 ≤ x ≤ 3. Без точки x = 1 ответ: (1; 3]. Проверка: при x = 4 выходит log₄ 2 = 0,5 < 1, точка исключена верно.

На каких ловушках ОДЗ теряют баллы?

• Сворачивание суммы расширяет ОДЗ. log₂ (x + 1) + log₂ (x − 1) требует обоих положительных аргументов, а log₂ (x² − 1) — только их произведения. Отсюда посторонний корень −3 в примере 2.
• Вынос чётной степени сужает ОДЗ. log₃ x² определён при x ≠ 0, а 2 · log₃ x — только при x > 0. Отсюда потерянный корень −3 в примере 5.
• Равенство аргументов проверяют в обеих частях. В уравнении logₐ f = logₐ g из f = g ещё не следует, что корень годится: в примере 3 при x = 1 обе части равны −3, а логарифмов не существует. В найденной точке аргументы совпадают, поэтому достаточно проверить положительность одного из них.
• Переменное основание — три условия. Основание положительно, не равно единице, аргумент положителен. Про x ≠ 1 забывают чаще всего, как в неравенстве 4.
• Неравенство без ОДЗ даёт лишние промежутки. В неравенстве 3 квадратное неравенство даёт отрезок от −2 до 4, но половина его лежит там, где логарифмы не существуют.

Как применять свойства логарифмов на экзамене?

1. Перед вычислением посмотрите на числа под логарифмами и в основаниях: если все они степени одного числа, переходите к этому основанию.
2. В выражениях из задания 8 сворачивайте, а не раскрывайте: цель — получить под логарифмом точную степень основания.
3. В уравнениях первой строкой выписывайте ОДЗ, последней — проверку каждого корня по ней.
4. В неравенствах перед сравнением аргументов посмотрите на основание: больше единицы — знак сохраняется, меньше — меняется.
5. Любую формулу проверяйте на числах: log₂ (4 · 8) = log₂ 32 = 5, а log₂ 4 + log₂ 8 = 2 + 3 = 5 — формула записана верно.

Какие ошибки чаще всего делают с логарифмами?

• Раскрывают логарифм суммы: log₂ (4 + 4) = 3, а log₂ 4 + log₂ 4 = 4. Формулы для logₐ (x + y) не существует.
• Делят логарифмы как аргументы: log₃ 81 / log₃ 3 = 4 / 1 = 4, а не log₃ 27 = 3. Отношение логарифмов — это переход к новому основанию, а не логарифм частного.
• Не меняют знак неравенства при основании меньше единицы и получают промежуток, противоположный верному.
• Забывают, что основание и аргумент — разные роли: log₂ 8 = 3, но log₈ 2 = 1/3.
• Записывают в ответ корень, при котором аргумент или основание логарифма не удовлетворяют ОДЗ.