Задание 16 ЕГЭ по профильной математике: Неравенство с логарифмами

Неравенство повышенной сложности: чаще логарифмическое с переменным основанием, дробь с логарифмами или показательное с заменой. Оценивается целиком: два балла за обоснованный верный ответ, один — за верную последовательность шагов с вычислительной ошибкой. Область допустимых значений здесь не формальность, а часть ответа.

Страница обновлена 5 сентября 2026

Коротко о задании

Уровень сложностиповышенный
Максимальный балл2 балла
Форма ответаразвёрнутое решение, ответ промежутками
Сколько минут закладывать10 минут
Коды кодификатора
  • 1.6 Логарифм числа
  • 1.8 Преобразование выражений
  • 2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства
  • 2.2 Иррациональные уравнения/неравенства
  • 2.3 Показательные уравнения/неравенства
  • 2.4 Логарифмические уравнения/неравенства
  • 2.7 Квадратичные неравенства, метод интервалов
  • 2.9 Системы и совокупности уравнений/неравенств

Проект демоверсии

Структура по проекту демоверсии ФИПИ 2027; официальную версию ФИПИ публикует в ноябре. По проекту спецификации ФИПИ 2027 (обсуждение до 30 сентября 2026).

Источник — ФИПИ, проект спецификации КИМ ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня (28 августа 2026).

Как решать

  1. Выпишите область допустимых значений до любых преобразований.
  2. Сведите неравенство к одному основанию или введите замену переменной.
  3. Примените рационализацию либо разберите случаи основания больше и меньше единицы.
  4. Решите методом интервалов и пересеките решение с областью допустимых значений.
  5. Запишите ответ промежутками, отдельно проверив включение концов.

Типичные ошибки

  • Забывают, что при основании меньше единицы знак неравенства меняется.
  • Пересекают решение с областью допустимых значений наспех и теряют часть промежутка.
  • Ставят круглую скобку там, где конец входит в решение, и наоборот.
Совет на экзамене

Запишите область допустимых значений первой строкой и обведите. Эксперт увидит обоснование, а вы не забудете про пересечение.

Теория по заданию 16

Логарифм числаКонспект с разбором Преобразование выраженийКонспект с разбором Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенстваКонспект с разбором Иррациональные уравнения/неравенстваКонспект с разбором Показательные уравнения/неравенстваКонспект с разбором Логарифмические уравнения/неравенстваКонспект с разбором

Пример с разбором

Пример
Найди значение выражения log₃ 45 − log₃ 5 + 3^(1 + log₃ 2).
Выражение распадается на два независимых куска: разность логарифмов и степень с логарифмом в показателе. Считаем по отдельности, потом складываем. Разность логарифмов. Основания одинаковые — сворачиваем в логарифм частного: log⁡345−log⁡35=log⁡3455=log⁡39=2\log_3 45 - \log_3 5 = \log_3 \dfrac{45}{5} = \log_3 9 = 2 Последний шаг — по определению: в какую степень возвести 3, чтобы вышло 9? Во вторую. Степень. В показателе стоит сумма, поэтому первым делом разбиваем степень на множители: 3 1+log⁡32=31⋅3log⁡323^{\,1 + \log_3 2} = 3^1 \cdot 3^{\log_3 2} Теперь основное логарифмическое тождество срабатывает в чистом виде: основание степени и основание логарифма совпали, значит 3log⁡32=23^{\log_3 2} = 2. 31⋅3log⁡32=3⋅2=63^1 \cdot 3^{\log_3 2} = 3 \cdot 2 = 6 Складываем: 2+6=82 + 6 = 8 Обрати внимание, чего мы не делали: не пытались считать log₃ 45 и log₃ 5 по отдельности. Это некрасивые числа, и калькулятора на экзамене нет. Смысл задания 7 в том, что всё некрасивое обязано сократиться — если не сокращается, ищи ошибку в преобразованиях, а не хватайся за приближённые значения. Ответ: 8.

Разбор из темы «Логарифм числа» в разделе теории.

Коротко

Вопросы про задание 16

Сколько баллов даёт задание 16 ЕГЭ по профильной математике?

За задание 16 можно получить максимум 2 балла из 33 первичных баллов всей работы. Форма ответа — развёрнутое решение, ответ промежутками.

Какой уровень сложности у задания 16 по профильной математике?

Задание 16 относится к заданиям повышенного уровня сложности; таких в работе 11 из 20.

Сколько времени тратить на задание 16?

Закладывайте около 10 минут: на всю работу даётся 3 часа 55 минут при 20 заданий. Если решение не приходит за это время, отметьте номер и вернитесь к нему позже.

Какие темы нужно знать для задания 16?

По кодификатору ФИПИ задание 16 опирается на разделы: Логарифм числа; Преобразование выражений; Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства и ещё 5.