Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения
Формула дискриминанта для уравнения ax^2 + bx + c = 0: D = b^2 − 4ac. Если D > 0 — два корня x_1,2 = (−b ± √D)/(2a), если D = 0 — один корень x = −b/(2a), если D < 0 — действительных корней нет.
Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения
Такой формулы нет. Попробуйте: дискриминант, корни, Виета, чётный, разложение.
| Что | Формула | Когда применять |
|---|---|---|
| Квадратное уравнение | ax^2 + bx + c = 0 | a ≠ 0; a — старший коэффициент, b — второй, c — свободный член |
| Дискриминант | D = b^2 − 4ac | считают первым: по знаку D видно, сколько корней |
| Два корня, D > 0 | x_1,2 = (−b ± √D)/(2a) | плюс даёт x_1, минус — x_2 |
| Один корень, D = 0 | x = −b/(2a) | трёхчлен — полный квадрат: ax^2 + bx + c = a(x − x_0)^2 |
| Нет корней, D < 0 | D < 0 ⇒ корней нет | действительных корней нет, парабола не пересекает ось Ox |
| Чётный второй коэффициент, b = 2k | D_1 = k^2 − ac; x_1,2 = (−k ± √(D_1))/a | D_1 = D/4 — числа меньше, считать быстрее |
| Теорема Виета | x_1 + x_2 = −b/a; x_1 · x_2 = c/a | при D ≥ 0; удобно проверять ответ и подбирать корни |
| Приведённое уравнение, a = 1 | x^2 + px + q = 0: x_1 + x_2 = −p; x_1 x_2 = q | корни часто подбираются в уме по теореме Виета |
| Разложение на множители | ax^2 + bx + c = a(x − x_1)(x − x_2) | при D ≥ 0; нужно для сокращения дробей и метода интервалов |
| Вершина параболы | x_0 = −b/(2a) | середина между корнями; при D = 0 совпадает с корнем |
Корни удобно проверять по теореме Виета: их сумма равна −b/a, произведение — c/a. На ЕГЭ квадратные уравнения решают в задании 17 базовой математики, а в профильной к ним сводится простейшее уравнение задания 7 после замены.
Как решать квадратное уравнение по таблице?
Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решают так: считают дискриминант D = b² − 4ac, по его знаку понимают, сколько корней, и подставляют D в формулу корней. В таблице — все формулы по порядку: сам дискриминант, корни, случай чётного b, теорема Виета и разложение на множители. Ниже — неполные уравнения и разобранные примеры.
Скачать PDFА4, 1 лист, 252 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Неполные квадратные уравнения
| Вид | Как решать | Корни | Пример |
|---|---|---|---|
| b = 0, c = 0: ax^2 = 0 | разделить на a | x = 0 | 5x^2 = 0 ⇒ x = 0 |
| b = 0: ax^2 + c = 0 | x^2 = −c/a | x = ±√(−c/a), если −c/a > 0; иначе корней нет | 2x^2 − 18 = 0 ⇒ x = ±3 |
| c = 0: ax^2 + bx = 0 | вынести x: x(ax + b) = 0 | x = 0 и x = −b/a | 3x^2 + 6x = 0 ⇒ x = 0, x = −2 |
Неполные уравнения можно решать и через дискриминант — ответ будет тем же, но вынести x за скобку или извлечь корень быстрее.
Примеры: дискриминант и корни
| Уравнение | Дискриминант | Корни |
|---|---|---|
| x^2 − 5x + 6 = 0 | D = 25 − 24 = 1 | x_1 = 3, x_2 = 2 |
| 2x^2 − 7x − 15 = 0 | D = 49 + 120 = 169 | x_1 = 5, x_2 = −1,5 |
| x^2 − 6x + 9 = 0 | D = 36 − 36 = 0 | x = 3 |
| x^2 + x + 1 = 0 | D = 1 − 4 = −3 | корней нет |
| x^2 − 2x − 1 = 0 | D = 4 + 4 = 8 | x = 1 ± √2 |
| −x^2 + 4x + 5 = 0 | D = 16 + 20 = 36 | x_1 = −1, x_2 = 5 |
При a < 0 удобно сначала умножить уравнение на −1: −x² + 4x + 5 = 0 и x² − 4x − 5 = 0 имеют одни и те же корни.
Дискриминант, делённый на 4: формула для чётного b
Если второй коэффициент чётный, b = 2k, удобнее считать не D, а D_1 = D/4 = k^2 − ac. Тогда корни x_1,2 = (−k ± √(D_1))/a: числа меньше, а делить на 2 не нужно.
Пример: x^2 − 6x + 5 = 0. Здесь b = −6, k = −3, D_1 = 9 − 5 = 4, x_1,2 = 3 ± 2, то есть x_1 = 5, x_2 = 1. По обычной формуле получится то же: D = 36 − 20 = 16, x_1,2 = (6 ± 4)/2.
Если D = 0: один корень
При нулевом дискриминанте оба корня совпадают: x = −b/(2a). Квадратный трёхчлен в этом случае — полный квадрат, а вершина параболы лежит на оси Ox.
Пример: x^2 − 6x + 9 = 0. D = 36 − 36 = 0, x = 6/2 = 3. Проверка: x^2 − 6x + 9 = (x − 3)^2, и этот квадрат равен нулю только при x = 3.
Откуда берётся формула корней?
Из выделения полного квадрата. Делим уравнение на a и переносим свободный член: x^2 + b/ax = −c/a. Прибавляем к обеим частям (b^2)/(4a^2): слева получается (x + b/(2a))^2, справа (b^2 − 4ac)/(4a^2). Числитель справа и есть дискриминант.
Если D < 0, квадрат равен отрицательному числу — корней нет. Если D ≥ 0, извлекаем корень: x + b/(2a) = ±√D/(2a), откуда x = (−b ± √D)/(2a).
Где чаще всего ошибаются?
- Теряют минус у b: при b = −7 в формулу корней идёт −b = 7, а в дискриминант — (−7)^2 = 49.
- Забывают, что при отрицательном c произведение −4ac положительно: у 2x^2 − 7x − 15 = 0 дискриминант 49 + 120, а не 49 − 120.
- Делят только √D на 2a, а −b оставляют: делить нужно весь числитель.
- Не проверяют ответ. Подстановка или теорема Виета занимают полминуты и ловят почти все ошибки в знаках.
Проверь себя
Дискриминант и корни: 5 вопросов, от простых к трудным. Сначала знак дискриминанта, потом корни и теорема Виета.
Дальше — задание 17 по базовой математике. Решение уравнений — 28 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 17 ЕГЭ по базовой математике. Пригодятся строки «Дискриминант» и «Два корня»: найдите оба корня и запишите в ответ больший. В уравнении с корнем после возведения в квадрат отбросьте корень, при котором правая часть отрицательна.
-
Задание 1 из 2
Решите уравнение x^2 - 9x + 14 = 0. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший корень.
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Найдите корень уравнения √(2x + 3) = x.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Квадратные уравнения входят в кодификатор ЕГЭ по математике обоих уровней; сами по себе они встречаются в базовом уровне, а в профильном почти любое уравнение после замены сводится к квадратному.
- Задание 17 базовой математикиРешить уравнение и записать больший корень — часто это квадратное уравнение.
- Задание 7 профильной математикиПростейшее уравнение: после преобразований нередко получается квадратное.
- Задание 14 профильной математикиТригонометрическое или показательное уравнение, квадратное относительно sin x или 2^x.
- Задание 16 профильной математикиНеравенство: квадратный трёхчлен раскладывают на множители по корням для метода интервалов.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Что такое дискриминант?
Число D = b² − 4ac, которое составляют из коэффициентов квадратного уравнения. Название происходит от латинского discriminare — «различать»: по знаку D различают, два корня у уравнения, один или ни одного.
Можно ли решить квадратное уравнение без дискриминанта?
Да. Неполные уравнения решают вынесением x за скобку или извлечением корня. Приведённое уравнение с целыми корнями быстрее решить подбором по теореме Виета. Иногда видно полный квадрат: x² − 6x + 9 = (x − 3)².
Что делать, если дискриминант отрицательный?
Записать, что действительных корней нет. Если по условию задачи корни должны быть, отрицательный дискриминант — повод перепроверить знаки: чаще всего ошибка в −4ac при отрицательном a или c.
Дают ли формулу дискриминанта на ЕГЭ?
В базовой математике формула корней квадратного уравнения напечатана в справочных материалах (по демоверсии 2026 года), в профильной — нет, её нужно помнить. Состав справки — на странице справочные материалы ЕГЭ.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: квадратные уравнения, теорема Виета, разложение квадратного трёхчлена; справочные материалы базового уровня с формулой корней
- Примеры и калькулятор — значения дискриминанта и корней в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице