Формула периода колебаний: как найти период
Период — время одного полного колебания, обозначается T и измеряется в секундах. Чтобы найти период, разделите время на число колебаний: T = t/N, или возьмите величину, обратную частоте: T = 1/ν. Математический маятник: T = 2π√(l/g). Груз на пружине: T = 2π√(m/k).
Формула периода колебаний T = t/N: величины и единицы
| Величина | Обозначение | Единица СИ | Как найти |
|---|---|---|---|
| Период | T | с | T = t/N = 1/ν |
| Число полных колебаний | N | — | N = t/T |
| Частота | ν | Гц | ν = 1/T |
| Длина нити маятника | l | м | l = (gT^2)/(4π^2) |
| Масса груза на пружине | m | кг | m = (kT^2)/(4π^2) |
| Жёсткость пружины | k | Н/м | k = (4π^2 m)/(T^2) |
В задачах ЕГЭ часто разрешают принять π² ≈ 10: тогда 4π² ≈ 40. Длину нити подставляйте в метрах, массу — в килограммах.
Сможешь без таблицы? 3 вопроса
Период колебаний: маятник, пружина, контур: от простых к трудным. Период по числу колебаний и частоте, формулы маятников и то, от чего период не зависит.
Контрольная по этой теме скоро?
10 заданий и шпаргалка: Миша соберёт прогон по теме и карточки на утро.
В 10–11 классе? Это задание 4 ЕГЭ
«Школьный» на 30 дней — 199 ₽: тетради для печати, тренажёры по темам, ОГЭ и ВПР. Оформить «Школьный»
Учителю: собрание и памятка для родителей
Презентация к родительскому собранию и памятка, как готовиться к контрольным и экзаменам.
Родителю: как помочь с подготовкой
Что спросить у ребёнка, сколько заниматься и как видеть прогресс без лишнего контроля.
Как пользоваться формулой периода колебаний?
Период колебаний — время одного полного колебания: T = t/N. Здесь T — период в секундах, t — время наблюдения, N — число полных колебаний. Для математического маятника T = 2π√(l/g), для груза на пружине T = 2π√(m/k), для колебательного контура T = 2π√(LC). Ниже — как меняется период и задачи.
Скачать PDFА4, 1 лист, 194 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницуПолучить в TelegramПришлю эту таблицу в PDF — и, если захочешь, напомню повторить через 3 дня10 карточек из таблицы: Миша спросит их снова, когда начнут забываться. Без регистрацииТекст со ссылкой на таблицу и 3 вопроса — для чата класса
Все формулы периода
Такой формулы нет. Попробуйте: маятник, пружина, контур, вращения, волны.
| Что | Формула | Пояснение |
|---|---|---|
| Период по числу колебаний | T = t/N | N полных колебаний за время t |
| Связь с частотой | T = 1/ν | |
| Связь с циклической частотой | T = 2π/ω | ω — в рад/с |
| Математический маятник | T = 2π√(l/g) | малые колебания; не зависит от массы и амплитуды |
| Пружинный маятник | T = 2π√(m/k) | не зависит от g и амплитуды |
| Колебательный контур (формула Томсона) | T = 2π√(LC) | L — индуктивность, Гн; C — ёмкость, Ф |
| Период обращения по окружности | T = 2πR/v | время одного оборота |
| Период волны | T = λ/v | λ — длина волны, v — её скорость |
| Период колебаний энергии | T_E = T/2 | кинетическая и потенциальная энергия меняются вдвое чаще координаты |
| Период полураспада (не колебания) | N = N_0 · 2^(−t/T) | другая величина с той же буквой T |
От чего зависит период колебаний?
Период математического маятника зависит только от длины нити и ускорения свободного падения: чем длиннее нить, тем медленнее колебания. От массы груза и (при малых отклонениях) от размаха он не зависит — это открыл ещё Галилей. На Луне, где g в 6 раз меньше, тот же маятник качался бы в √6 ≈ 2,4 раза медленнее.
Период груза на пружине зависит от массы и жёсткости: тяжёлый груз на мягкой пружине колеблется медленно. От g он не зависит, поэтому пружинный маятник на Луне колебался бы так же, как на Земле.
Как выразить длину нити, массу и жёсткость?
Возведите формулу в квадрат, чтобы избавиться от корня: T^2 = 4π^2 l/g, откуда l = gT^2/(4π^2). Для пружины T^2 = 4π^2 m/k, откуда m = kT^2/(4π^2) и k = 4π^2 m/T^2. Пример: маятник с периодом 2 с при g = 10 и π^2 ≈ 10 имеет длину l = 10 · 4 / 40 = 1 м.
Примеры задач на период колебаний
Пример 1. Качели совершили 15 колебаний за 45 с. T = 45 / 15 = 3 с, частота ν = 1/3 Гц.
Пример 2. Груз массой 0,4 кг на пружине жёсткостью 160 Н/м. T = 2π√(0,4 / 160) = 2π · 0,05 = 0,1π ≈ 0,31 с.
Пример 3. Во сколько раз изменится период маятника, если длину нити уменьшить с 90 см до 10 см? Длина уменьшилась в 9 раз, период — в √9 = 3 раза.
Какие ошибки делают в задачах на период?
- Считают, что период пропорционален длине или массе. Он пропорционален корню из них.
- Подставляют длину нити в сантиметрах.
- Думают, что тяжёлый груз на нити качается медленнее. Период математического маятника от массы не зависит.
- Путают период колебаний координаты и период колебаний энергии — второй вдвое меньше.
В каком классе проходят период колебаний?
Период и частоту колебаний, зависимость периода маятника от длины нити проходят в 9 классе. Формулы T = 2π√(l/g) и T = 2π√(m/k), гармонические колебания и формулу Томсона для контура разбирают в 11 классе. На ЕГЭ механические колебания — задание 4, электромагнитные — задание 13.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 4 ЕГЭ по физике. Период маятника пропорционален корню из длины нити, а период груза на пружине — корню из массы. Чтобы изменить период в n раз, длину или массу меняют в n^{2} раз.
-
Задание 1 из 2
Период малых колебаний математического маятника требуется уменьшить в 2 раза. Во сколько раз следует уменьшить длину нити маятника? Запишите в ответ только число.
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Период колебаний груза на пружине требуется увеличить в 3 раза. Во сколько раз следует увеличить массу груза, не изменяя жёсткость пружины? Запишите в ответ только число.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Период маятников и то, как он меняется при изменении длины, массы и жёсткости, проверяет задание 4 ЕГЭ. Период электромагнитных колебаний в контуре — задание 13, а в задании 20 спрашивают, какое оборудование нужно для опыта с маятником.
- Задание 4 ЕГЭ: статика, колебания и волныПериод математического и пружинного маятника, во сколько раз он изменится.
- Задание 5 ЕГЭ: механика, верные утвержденияУтверждения о периоде, частоте и энергии колебаний.
- Задание 13 ЕГЭ: колебания, волны, оптикаПериод колебаний в контуре по формуле Томсона.
- Задание 20 ЕГЭ: выбор установки для опытаКак проверить, от чего зависит период маятника.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
В чём измеряется период колебаний?
В секундах. Это время одного полного колебания — например, пока маятник уходит из крайнего положения и возвращается в него.
Зависит ли период маятника от массы груза?
У математического маятника (груз на нити) — нет, T = 2π√(l/g). У пружинного — да: T = 2π√(m/k), с ростом массы период растёт.
Зависит ли период от амплитуды?
Для гармонических колебаний — нет. Математический маятник подчиняется этому только при малых углах отклонения, примерно до 10–15°.
Как найти период, если известна частота?
Разделите единицу на частоту: T = 1/ν. Если частота 50 Гц, период 0,02 с.
Источники
- Физика. 9 класс: учебник А. В. Перышкина, Е. М. Гутник (М.: Просвещение) — колебательное движение, период и частота, математический маятник
- Физика. 11 класс: учебник Г. Я. Мякишева, Б. Б. Буховцева, В. М. Чаругина (М.: Просвещение) — гармонические колебания, период математического и пружинного маятника, формула Томсона
- ФИПИ: кодификатор и спецификация ЕГЭ по физике — механические и электромагнитные колебания; задания 4, 5, 13 и 20