Логические операции: символы, названия и приоритет
Логические операции и их символы: НЕ — ¬A, И — A ∧ B или A & B, ИЛИ — A ∨ B или A | B, импликация — A → B, эквивалентность — A ≡ B, исключающее ИЛИ — A ⊕ B. Порядок выполнения: скобки, НЕ, И, ИЛИ, импликация, эквивалентность.
Логические операции: обозначения и символы
Такой операции нет. Попробуйте: И, ИЛИ, НЕ, импликация, эквивалентность, xor.
| Операция | Символы | Другие названия | Истинна, когда |
|---|---|---|---|
| НЕ | ¬A, Ā, not A | отрицание, инверсия | A ложно |
| И | A ∧ B, A & B, A · B | конъюнкция, логическое умножение | обе переменные истинны |
| ИЛИ | A ∨ B, A | B, A + B | дизъюнкция, логическое сложение | хотя бы одна истинна |
| Импликация | A → B, A ⇒ B | следование, «если A, то B» | всегда, кроме A = 1 и B = 0 |
| Эквивалентность | A ≡ B, A ↔ B, A ⇔ B | равносильность, тождество | значения совпадают |
| Исключающее ИЛИ | A ⊕ B, A xor B | строгая дизъюнкция, сложение по модулю 2 | значения различаются |
| Штрих Шеффера | A | B | И-НЕ, NAND | хотя бы одна ложна |
| Стрелка Пирса | A ↓ B | ИЛИ-НЕ, NOR | обе ложны |
Знак | в школьных задачах о поисковых запросах означает ИЛИ, а в математической логике — штрих Шеффера. Смысл берут из условия. Значения операций на всех наборах — в таблице истинности.
Как пользоваться таблицами?
Основных логических операций в школьной информатике шесть: отрицание НЕ (¬), конъюнкция И (∧), дизъюнкция ИЛИ (∨), импликация (→), эквивалентность (≡) и исключающее ИЛИ (⊕). Выполняются они по порядку: сначала скобки, потом НЕ, И, ИЛИ, импликация, эквивалентность. В первой таблице — все символы и названия каждой операции, во второй — как её записать в Python, Pascal, C++ и Excel, в третьей — приоритет.
Скачать PDFА4, 1 лист, 215 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Логические операции в языках программирования и Excel
| Операция | Python | Pascal | C++ | Excel |
|---|---|---|---|---|
| НЕ | not a | not a | !a | НЕ(A1) |
| И | a and b | a and b | a && b | И(A1;B1) |
| ИЛИ | a or b | a or b | a || b | ИЛИ(A1;B1) |
| Импликация | not a or b | (not a) or b | !a || b | ИЛИ(НЕ(A1);B1) |
| Эквивалентность | a == b | a = b | a == b | A1=B1 |
| Исключающее ИЛИ | a != b | a xor b | a != b | ИСКЛИЛИ(A1;B1) |
В Python для значений True и False импликацию можно записать и как a <= b. Знаки & и | в Python — побитовые операции: для чисел они работают иначе, чем and и or, и у них другой приоритет.
Порядок выполнения логических операций
| Очередь | Операция | Пример |
|---|---|---|
| 1 | скобки | в (A ∨ B) ∧ C сначала A ∨ B |
| 2 | НЕ ¬ | ¬A ∧ B = (¬A) ∧ B |
| 3 | И ∧ | A ∨ B ∧ C = A ∨ (B ∧ C) |
| 4 | ИЛИ ∨ | A ∨ B → C = (A ∨ B) → C |
| 5 | импликация → | A → B ≡ C = (A → B) ≡ C |
| 6 | эквивалентность ≡ | выполняется последней |
Операции одного уровня выполняются слева направо. Исключающее ИЛИ в заданиях ЕГЭ обычно берут в скобки, чтобы не спорить о его месте.
Логические операции в поисковых запросах
| Запрос | Что найдёт | Как считать |
|---|---|---|
| A & B | страницы, где есть оба слова | |A & B| = |A| + |B| − |A | B| |
| A | B | страницы, где есть хотя бы одно слово | |A | B| = |A| + |B| − |A & B| |
| A & B & C | страницы со всеми тремя словами | меньше любого из запросов A, B, C |
| A | B | C | страницы хотя бы с одним словом | больше любого из запросов A, B, C |
Такие задачи удобно решать кругами Эйлера: И — пересечение кругов, ИЛИ — объединение.
Сколько всего логических операций?
Операция от двух переменных задаётся таблицей из четырёх строк (00, 01, 10, 11), и в каждую строку можно поставить 0 или 1. Поэтому различных операций от двух переменных 2^4 = 16, от одной — 4. В школе из них используют шесть основных, остальные выражаются через них: например, стрелка Пирса A ↓ B = ¬(A ∨ B).
Для любого выражения достаточно трёх операций: НЕ, И и ИЛИ. Импликация заменяется на ¬A ∨ B, эквивалентность — на (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B), исключающее ИЛИ — на отрицание эквивалентности.
Как вычислить логическое выражение?
Найдём значение F = ¬A ∨ B ∧ C → A при A = 0, B = 1, C = 1. По приоритету сначала ¬A = 1, потом B ∧ C = 1, потом ИЛИ: 1 ∨ 1 = 1, и последней импликация: 1 → 0 = 0. Значит, F = 0.
Если переставить операции скобками, (¬A ∨ B) ∧ (C → A) = 1 ∧ (1 → 0) = 1 ∧ 0 = 0 — здесь результат совпал, но в общем случае скобки меняют ответ.
Где ошибаются чаще всего?
- Считают импликацию симметричной: A → B и B → A — разные операции. При A = 0, B = 1 первая истинна, вторая ложна.
- Выполняют операции строго слева направо, забывая, что И старше ИЛИ.
- Путают ∧ и ∨. Помогает подсказка: ∨ похожа на букву v — от латинского vel, «или».
- В Python пишут & вместо and: для чисел 2 & 1 = 0, а 2 and 1 = 1.
Проверь себя
Логические операции: символы и значения: 5 вопросов, от простых к трудным. От названия операции по символу к порядку действий в выражении.
Дальше — задание 2 по информатике. Таблицы истинности — 18 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 15 ЕГЭ по информатике. Пригодятся первая и третья таблицы: 1 → 0 — единственный ложный случай импликации, а операций от двух переменных столько, сколько способов заполнить четыре строки таблицы нулями и единицами.
-
Задание 1 из 2
(1∧0)∨(¬0∧1)∨(1→0)?
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Различных функций от 2 переменных?
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Логические операции на ЕГЭ по информатике — это задание 2 (таблица истинности выражения) и задание 15 (истинность выражения с числами и отрезками). В обоих нужно знать значения операций и порядок их выполнения.
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Какие символы используют для обозначения логических операций?
Отрицание — ¬ или черта сверху, И — ∧ или &, ИЛИ — ∨ или |, импликация — →, эквивалентность — ≡ или ↔, исключающее ИЛИ — ⊕. В заданиях ЕГЭ по информатике используют ¬, ∧, ∨, →, ≡ и ⊕.
Для какой логической операции используется обозначение ∨?
Для дизъюнкции — логического ИЛИ. Выражение A ∨ B истинно, когда истинно хотя бы одно из высказываний.
В каком порядке выполняются логические операции?
Скобки, затем отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность. Операции одного уровня выполняются слева направо.
Какие логические операции используются в поисковых запросах?
Обычно две: & (И) — найти страницы, где есть все слова, и | (ИЛИ) — страницы хотя бы с одним словом. Запрос с И находит не больше страниц, чем каждое слово отдельно, а с ИЛИ — не меньше.
Источники
- ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по информатике — кодификатор, раздел «Математические основы информатики»: логические операции, таблицы истинности, логические выражения
- Документация Python: логические операции — операторы not, and, or и их приоритет
- Проверка примеров — значения выражений и приоритет пересчитаны программой на Python на всех наборах переменных