Круги Эйлера: множества, формулы и задачи
Круги Эйлера — схема, где множества изображают кругами. Общая часть кругов — пересечение A ∩ B (логическое И, в запросе A & B), оба круга целиком — объединение A ∪ B (ИЛИ, A | B). Число элементов: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Операции над множествами на кругах Эйлера
Такой операции нет в таблице. Попробуйте одно слово: «общая», «объединение», «не».
| Операция | Обозначение | Логика | В поисковом запросе | Что закрашено на кругах |
|---|---|---|---|---|
| Пересечение | A ∩ B | A И B (A ∧ B) | A & B | общая часть кругов — элементы, которые есть в обоих множествах |
| Объединение | A ∪ B | A ИЛИ B (A ∨ B) | A | B | оба круга целиком — элементы хотя бы одного множества |
| Разность | A \ B | A И НЕ B (A ∧ ¬B) | A & ∼B | часть круга A, не попавшая в B |
| Дополнение | Ā | НЕ A (¬A) | ∼A | всё, что вне круга A, внутри прямоугольника-универсума |
| Симметрическая разность | A Δ B | A ⊕ B (исключающее ИЛИ) | (A | B) & ∼(A & B) | обе части кругов без общей |
Прямоугольник вокруг кругов изображает универсальное множество — всё, из чего выбирают. Знаки в поисковых запросах условные, как в школьных задачах: & — И, | — ИЛИ, ∼ — НЕ; у настоящих поисковиков синтаксис свой.
Как пользоваться таблицей?
Круги Эйлера изображают множества кругами, а их общие части — пересечениями кругов. В первой таблице — пять операций над множествами с обозначением, логической связкой и записью в поисковом запросе. Во второй — формулы, по которым считают число элементов, в третьей — задача о поисковых запросах, какие дают в школе и на ОГЭ.
Скачать PDFА4, 2 листа, 236 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Формулы для числа элементов множеств
| Что найти | Формула | Пояснение |
|---|---|---|
| Пересечение двух множеств | |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B| | |A| — число элементов множества A |
| Объединение двух множеств | |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| | общая часть вычитается, чтобы не считать её дважды |
| Разность | |A \ B| = |A| − |A ∩ B| | только A, без B |
| Симметрическая разность | |A Δ B| = |A ∪ B| − |A ∩ B| | ровно одно из двух свойств |
| Дополнение | |Ā| = |U| − |A| | U — всё множество, например все ученики класса |
| Объединение трёх множеств | |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| | попарные пересечения вычитают, тройное возвращают |
| Поисковые запросы | N(A | B) = N(A) + N(B) − N(A & B) | N — сколько страниц найдено по запросу |
Задача про поисковые запросы: пример решения
| Запрос | Найдено страниц, тыс. |
|---|---|
| Кошки | Собаки | 800 |
| Кошки | 450 |
| Собаки | 500 |
| Кошки & Собаки | 450 + 500 − 800 = 150 |
Проверка по смыслу: по запросу с «&» страниц всегда не больше, чем по каждому слову отдельно, а с «|» — не меньше. Порядок по возрастанию: Кошки & Собаки, Кошки, Собаки, Кошки | Собаки.
Что такое круги Эйлера?
Это схема, на которой множества изображают кругами внутри прямоугольника — всего множества. Если у двух множеств есть общие элементы, круги пересекаются; если одно множество целиком входит в другое, его круг лежит внутри; если общих элементов нет, круги не касаются. Схему придумал Леонард Эйлер в XVIII веке, чтобы наглядно объяснять логические рассуждения.
Как решать задачи с помощью кругов Эйлера?
- Нарисуйте круги — по одному на каждое свойство: «изучают английский», «изучают немецкий».
- Заполняйте с середины. Сначала впишите число в самое узкое пересечение, потом — в остальные части каждого круга, вычитая уже вписанное.
- Не забудьте тех, кто вне кругов: «ни одного языка не изучают 3 человека» — это число за пределами кругов, внутри прямоугольника.
- Сложите части, которые спрашивают, и проверьте, что сумма всех частей равна общему числу.
Как решать задачи с тремя кругами Эйлера?
На трёх кругах семь частей. Пример: из 30 учеников 15 занимаются музыкой, 12 — спортом, 10 — рисованием; музыкой и спортом — 5, музыкой и рисованием — 4, спортом и рисованием — 3, всеми тремя — 2. По формуле хотя бы одним занимаются 15 + 12 + 10 − 5 − 4 − 3 + 2 = 27 человек, значит, ничем — 3 ученика.
Как связаны круги Эйлера и логические операции?
Каждой операции над множествами соответствует логическая связка. Пересечение — это И: элемент лежит в A и в B. Объединение — ИЛИ, дополнение — НЕ. Поэтому кругами Эйлера проверяют логические законы: например, закон де Моргана ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B виден как то, что вне обоих кругов. Значения самих операций на наборах 0 и 1 — в таблице истинности.
Проверь себя
Круги Эйлера: посчитать и сравнить: 5 вопросов, от простых к трудным. Задачи на множества решаются в одну формулу, если правильно нарисовать круги.
Дальше — задание 8 по базовой математике. Верные утверждения — 33 задания с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 8 ЕГЭ по базовой математике. Пригодится первая формула второй таблицы: пересечение равно сумме множеств минус объединение.
-
Задание 1 из 2
Известно, что |A| = 14, |B| = 9, |A ∪ B| = 18. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Множества A и B не имеют общих элементов. 2) В пересечении множеств A и B находится 5 элементов. 3) Множество A содержится в множестве B. 4) Ровно в одном из множеств A и B находится 13 элементов. В ответе запишите номера всех верных утверждений без пробелов, запятых и других символов. Порядок цифр значения не имеет.
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
В группе 30 человек. Английский язык изучает 21 человек, немецкий язык — 16 человек. Некоторые участники группы могут изучать оба языка, а некоторые — ни одного. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Не менее 7 человек изучают оба языка. 2) Ровно 7 человек изучают оба языка. 3) Каждый изучающий немецкий язык изучает и английский язык. 4) Число участников, не изучающих ни одного из этих языков, не превышает 9. В ответ запишите номера всех верных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Порядок цифр значения не имеет.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Задачи на множества и круги Эйлера входят в задание 8 ЕГЭ базового уровня: выбрать верные утверждения о пересечении и объединении групп. На ОГЭ по информатике по той же формуле считают страницы, найденные по поисковым запросам.
- Задание 8 ЕГЭ базы: верные утвержденияПересечение и объединение множеств: сколько человек в обеих группах.
- Задание 21 ЕГЭ базы: логика и переборЗадачи, где подсчёт по частям множеств помогает перебору.
- Задание 15 ЕГЭ по информатике: логикаЛогические выражения с отрезками и множествами на числовой прямой.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Как найти пересечение по кругам Эйлера, если известны оба множества и объединение?
Сложите числа элементов двух множеств и вычтите объединение: |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B|. Если сумма меньше объединения, данные противоречивы.
Чем круги Эйлера отличаются от диаграммы Венна?
На диаграмме Венна рисуют все возможные пересечения, даже пустые. На кругах Эйлера — только реальные отношения: если общих элементов нет, круги не пересекаются, если одно множество входит в другое, круг рисуют внутри.
Что означают & и | в поисковых запросах?
В школьных задачах & — логическое И: найдутся страницы, где есть оба слова. | — логическое ИЛИ: страницы хотя бы с одним словом. Поэтому по «A & B» страниц меньше, а по «A | B» — больше, чем по каждому слову.
Как изобразить множество, которое входит в другое?
Кругом внутри круга. Например, множество квадратов лежит внутри множества прямоугольников: любой квадрат — прямоугольник. Тогда пересечение — это меньшее множество, а объединение — большее.
Источники
- ФИПИ: кодификатор и спецификация ЕГЭ по математике — множество, операции над множествами, круги Эйлера; задание 8 базового уровня
- Вероятность и статистика. 7–9 классы: учебник И. Р. Высоцкого, И. В. Ященко (М.: Просвещение) — множества и операции над ними, диаграммы Эйлера