Таблица истинности логических операций
Таблица истинности перечисляет все наборы значений переменных, 1 — истина, 0 — ложь. И истинно, только когда оба операнда равны 1. ИЛИ ложно, только когда оба равны 0. Импликация A → B ложна лишь при A = 1 и B = 0.
Шесть логических операций на всех наборах A и B
| A | B | ¬A (НЕ) | A ∧ B (И) | A ∨ B (ИЛИ) | A → B | A ≡ B | A ⊕ B |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
1 — истина, 0 — ложь. Отрицание зависит только от A. Эквивалентность и исключающее ИЛИ — зеркальные столбцы: где одна даёт 1, другая даёт 0.
Как пользоваться таблицей?
Каждая строка — один набор значений A и B, каждый столбец — операция. Чтобы узнать A → B при A = 1 и B = 0, возьмите строку «1 0» и столбец импликации: там 0. Поиск в начале страницы находит операцию по названию или значку и показывает, как её пишут в школе, в заданиях ЕГЭ и в Python.
Скачать PDFА4, 1 лист, 116 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Логические операции: названия, обозначения, Python
Такой операции нет. Попробуйте: не, и, или, импликация, эквивалентность, xor.
| Операция | Другие названия | Обозначения | На Python | Истинна, когда |
|---|---|---|---|---|
| НЕ | отрицание, инверсия | ¬A, не A | not a | A ложно |
| И | конъюнкция, логическое умножение | A ∧ B, A & B, A · B | a and b | обе переменные истинны |
| ИЛИ | дизъюнкция, логическое сложение | A ∨ B, A | B, A + B | a or b | хотя бы одна переменная истинна |
| Импликация | следование, «если A, то B» | A → B, A ⇒ B | a <= b или not a or b | во всех случаях, кроме A = 1 и B = 0 |
| Эквивалентность | тождество, равносильность | A ≡ B, A ↔ B, A ⇔ B | a == b | значения A и B совпадают |
| Исключающее ИЛИ | строгая дизъюнкция, сложение по модулю 2, XOR | A ⊕ B | a != b или a ^ b | значения A и B различаются |
В заданиях ЕГЭ по информатике приняты значки ¬, ∧ (или &), ∨ (или |), → и ≡. Исключающего ИЛИ в этих соглашениях нет — если оно встречается, его определяют в условии.
Пример: таблица истинности для F = ¬A ∨ B → C
| A | B | C | ¬A | ¬A ∨ B | F = ¬A ∨ B → C |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Выражение истинно на 5 наборах из 8. Если бы импликацию ошибочно выполнили раньше ИЛИ, то есть считали ¬A ∨ (B → C), результат разошёлся бы в строках 000 и 010.
Законы алгебры логики
Такого закона нет. Попробуйте: де Морган, импликация, поглощение, склеивание.
| Закон | Запись | Зачем нужен |
|---|---|---|
| Двойное отрицание | ¬¬A = A | два отрицания подряд сокращаются |
| Де Морган для И | ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B | отрицание скобки меняет И на ИЛИ |
| Де Морган для ИЛИ | ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B | и наоборот, ИЛИ на И |
| Импликация через ИЛИ | A → B = ¬A ∨ B | главная замена в задании 2 и в Python |
| Контрапозиция | A → B = ¬B → ¬A | «если не B, то не A» — то же утверждение |
| Эквивалентность | A ≡ B = (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) | обе истинны или обе ложны |
| Исключающее ИЛИ | A ⊕ B = ¬(A ≡ B) = (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) | отрицание эквивалентности |
| Распределительный для И | A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) | раскрытие скобок, как в алгебре |
| Распределительный для ИЛИ | A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) | в алгебре чисел такого нет |
| Поглощение | A ∨ (A ∧ B) = A | так же A ∧ (A ∨ B) = A |
| Склеивание | (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) = A | сокращает строки таблицы, отличающиеся одной переменной |
| Исключённое третье | A ∨ ¬A = 1 | парный закон противоречия: A ∧ ¬A = 0 |
| Действия с константами | A ∧ 1 = A, A ∨ 0 = A, A ∧ 0 = 0, A ∨ 1 = 1 | единица в И и ноль в ИЛИ ничего не меняют |
Переместительный и сочетательный законы для И и ИЛИ работают как для умножения и сложения чисел: A ∧ B = B ∧ A, (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C).
В каком порядке выполняются логические операции?
Если скобок нет, порядок такой: сначала отрицание, затем И, затем ИЛИ, затем импликация и последней — эквивалентность. Так записано в соглашениях к заданиям ЕГЭ по информатике. Выражение ¬A ∨ B ∧ C читается как (¬A) ∨ (B ∧ C), а ¬A ∨ B → C — как ((¬A) ∨ B) → C. Для исключающего ИЛИ общего соглашения нет, поэтому его всегда берут в скобки.
В Python порядок другой, и на этом теряют баллы. Сравнения <=, == и != выполняются раньше not, and и or, а цепочка a <= b <= c означает (a <= b) and (b <= c), а не (a <= b) <= c. При A = B = C = 0 выражение (A → B) → C ложно, а a <= b <= c выдаёт True. Поэтому каждую импликацию и эквивалентность в коде берите в скобки: (a <= b) == c.
Как построить таблицу истинности для выражения?
- Посчитайте переменные: при n переменных в таблице 2^n строк. Две переменные — 4 строки, три — 8, четыре — 16.
- Выпишите наборы по порядку, как двоичные числа: 000, 001, 010 … 111. Так ни один набор не потеряется.
- Добавьте столбцы для промежуточных действий в порядке приоритета: отрицания, потом И, потом ИЛИ, потом импликация и эквивалентность.
- Заполните последний столбец — значение всего выражения. Проверка: число строк с единицей удобно сверить с перебором на Python — четыре вложенных цикла for по (0, 1) и print там, где выражение истинно.
Как таблица истинности помогает в задании 2 ЕГЭ?
В задании 2 дают логическую функцию от четырёх переменных и фрагмент её таблицы истинности: несколько строк, столбцы которых не подписаны. Нужно понять, какой переменной соответствует каждый столбец, и записать буквы в порядке столбцов. Это 1 балл базового уровня.
Решают двумя способами. Вручную — ищут строки, где функция равна 0 или 1 особым образом: импликация ложна только при 1 → 0, И истинно только при всех единицах, и одна такая строка сразу отсекает часть перестановок. Программой — перебирают все 16 наборов, печатают те, что подходят по значению функции, и сопоставляют их с фрагментом. Подробный разбор с примерами — на странице задания 2.
Проверь себя
Логические операции: 5 вопросов. Сразу видно, что уже помнишь без таблицы.
Дальше — задание 2 по информатике. Таблицы истинности — 18 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 2 ЕГЭ по информатике. Пригодятся столбцы первой таблицы: импликация A → B, «И», «исключающее ИЛИ» и эквивалентность.
-
Задание 1 из 3
Сколько наборов значений A, B, C делают выражение A → (B ∧ C) истинным?
Показать ответ
-
Задание 2 из 3
Сколько наборов значений A, B делают выражение A ⊕ B истинным?
Показать ответ
-
Задание 3 из 3
Сколько наборов значений X, Y, Z делают выражение (X ≡ Y) ∨ Z истинным?
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Логика — одна из самых «дешёвых» тем ЕГЭ по информатике: таблица истинности и порядок операций нужны сразу в нескольких номерах, а переборное решение на Python занимает пару минут.
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Что такое таблица истинности?
Таблица, в которой перечислены все возможные наборы значений переменных логического выражения и для каждого указано, истинно выражение (1) или ложно (0). Для A ∧ B это 4 строки: выражение равно 1 только в строке A = 1, B = 1.
Сколько строк в таблице истинности?
2^n, где n — число переменных: для двух переменных 4 строки, для трёх 8, для четырёх 16, для пяти 32. Каждая новая переменная удваивает число наборов.
Когда импликация ложна?
Только в одном случае: A = 1, B = 0 — из истины следует ложь. Если A ложно, импликация A → B истинна при любом B. Поэтому A → B равносильна ¬A ∨ B.
Как записать импликацию и эквивалентность на Python?
Импликацию — как a <= b или not a or b, эквивалентность — как a == b, исключающее ИЛИ — как a != b. Сравнения в Python выполняются раньше and и or и образуют цепочки, поэтому каждую такую операцию берите в скобки.
Чем эквивалентность отличается от исключающего ИЛИ?
Это противоположные операции: A ≡ B истинна, когда значения совпадают, A ⊕ B — когда различаются. В таблице истинности их столбцы зеркальны: A ⊕ B = ¬(A ≡ B).
Источники
- ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по информатике — кодификатор, раздел 2.7 «Алгебра логики»: логические операции, таблицы истинности, законы алгебры логики; соглашения об обозначениях и приоритете операций в демоверсии
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка таблиц — значения операций, пример и все законы из таблицы проверены программой перебором всех наборов; запись операций на Python проверена запуском