Формулы понижения степени: таблица с выводом

Формулы понижения степени: sin^2 α = (1 − cos 2α)/2, cos^2 α = (1 + cos 2α)/2, tg^2 α = (1 − cos 2α)/(1 + cos 2α); для куба синуса sin^3 α = (3 sin α − sin 3α)/4.

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени для синуса, косинуса и тангенса: квадраты, кубы, четвёртые степени и произведения
Что понижаемФормулаОткуда и когда
Квадрат синусаsin^2 α = (1 − cos 2α)/2из cos 2α = 1 − 2sin^2 α
Квадрат косинусаcos^2 α = (1 + cos 2α)/2из cos 2α = 2cos^2 α − 1
Квадрат тангенсаtg^2 α = (1 − cos 2α)/(1 + cos 2α)cos 2α ≠ −1; отношение двух первых строк
Квадрат котангенсаctg^2 α = (1 + cos 2α)/(1 − cos 2α)cos 2α ≠ 1
Произведение синуса и косинусаsin α cos α = (sin 2α)/2синус двойного угла, делённый на 2
Квадрат произведенияsin^2 α cos^2 α = (1 − cos 4α)/8квадрат предыдущей строки и понижение для sin^2 2α
Куб синусаsin^3 α = (3 sin α − sin 3α)/4из формулы тройного угла sin 3α = 3 sin α − 4sin^3 α
Куб косинусаcos^3 α = (3 cos α + cos 3α)/4из cos 3α = 4cos^3 α − 3 cos α
Четвёртая степень синусаsin^4 α = (3 − 4 cos 2α + cos 4α)/8понижение применено дважды
Четвёртая степень косинусаcos^4 α = (3 + 4 cos 2α + cos 4α)/8понижение применено дважды
Сумма четвёртых степенейsin^4 α + cos^4 α = (3 + cos 4α)/4сложили две предыдущие строки
Сумма шестых степенейsin^6 α + cos^6 α = (5 + 3 cos 4α)/8через сумму кубов и основное тождество

Формулы двойного и половинного угла, сложения и приведения — на странице тригонометрические формулы.

Формулы понижения степени
Формулы понижения степени — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться формулами?

Формулы понижения степени заменяют квадрат синуса или косинуса выражением с двойным углом в первой степени: sin²α = (1 − cos 2α)/2, cos²α = (1 + cos 2α)/2. Это те же формулы косинуса двойного угла, прочитанные наоборот. В таблице — понижение для квадратов, кубов и четвёртых степеней, произведения sin α · cos α и тангенса, а ниже — вывод и примеры.

Скачать PDFА4, 1 лист, 209 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика · школьный курс алгебры и начал анализа 10 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

Квадраты синуса и косинуса нетабличных углов

Точные значения квадратов синуса и косинуса углов 15°, 22,5°, 67,5° и 75° по формулам понижения степени
Уголsin² αcos² α
15°(2 − √3)/4(2 + √3)/4
22,5°(2 − √2)/4(2 + √2)/4
67,5°(2 + √2)/4(2 − √2)/4
75°(2 + √3)/4(2 − √3)/4

Например, sin^2 15° = (1 − cos 30°)/2 = (1 − √3/2)/2 = (2 − √3)/4.

Откуда берутся формулы понижения степени?

Из трёх записей косинуса двойного угла: cos 2α = 1 − 2sin^2 α и cos 2α = 2cos^2 α − 1. Выразите из первой sin^2 α, из второй cos^2 α — это и есть формулы понижения. Поэтому их не обязательно учить отдельно: достаточно помнить cos 2α.

Степень понижается, но угол удваивается: вместо квадрата синуса α получаем первую степень косинуса 2α. Для куба и четвёртой степени понижение повторяют.

Где применяют формулы понижения степени?

  • Вычисления: 2cos^2 15° − 1 = cos 30° = √3/2 — выражение сворачивается сразу.
  • Уравнения: sin^2 x = 1/4 ⇔ (1 − cos 2x)/2 = 1/4 ⇔ cos 2x = 1/2 — вместо двух серий получается одно простейшее уравнение.
  • Интегралы: ∫ sin^2 x dx = ∫ (1 − cos 2x)/2 dx = x/2 − (sin 2x)/4 + C.
  • Графики: y = cos^2 x — это косинусоида y = 1/2 + 1/2 cos 2x с периодом π.

Где ошибаются чаще всего?

  • Путают знаки: у синуса «1 минус», у косинуса «1 плюс». Проверка при α = 0: sin^2 0 = (1 − 1)/2 = 0.
  • Оставляют угол α вместо 2α справа.
  • Забывают делить на 2.

Проверь себя

Формулы понижения степени: 5 вопросов. Сразу видно, что уже помнишь без таблицы.

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Формулы понижения степени на ЕГЭ 2027 по профильной математике помогают в задании 8 (значение тригонометрического выражения) и в задании 14 (тригонометрическое уравнение).

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Как понизить степень синуса?

Заменить sin^2 α на (1 − cos 2α)/2. Для sin^4 α применить формулу дважды: sin^4 α = ((1 − cos 2α)/2)^2, а получившийся cos^2 2α снова понизить.

Чем формулы понижения степени отличаются от формул двойного угла?

Это одни и те же равенства, записанные в разные стороны: cos 2α = 2cos^2 α − 1 — двойной угол, cos^2 α = (1 + cos 2α)/2 — понижение степени.

Есть ли формулы понижения степени в справочных материалах ЕГЭ?

Отдельно нет. В справочных материалах профильного уровня есть косинус двойного угла, а из него формулы понижения выводятся за одну строку.

Как понизить степень тангенса?

tg^2 α = (1 − cos 2α)/(1 + cos 2α): разделите формулу для sin^2 α на формулу для cos^2 α.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела