Задание 14 ЕГЭ по профильной математике: Уравнение с отбором корней

Первое задание с развёрнутым решением, обычно тригонометрическое уравнение. Пункт а — решить уравнение в общем виде, пункт б — отобрать корни, попавшие в заданный отрезок. Пункты оцениваются раздельно, поэтому даже без отбора корней аккуратно решённый пункт а приносит балл из двух.

Страница обновлена 5 сентября 2026

Коротко о задании

Уровень сложностиповышенный
Максимальный балл2 балла
Форма ответаразвёрнутое решение, два пункта
Сколько минут закладывать10 минут
Коды кодификатора
  • 1.5 Синус, косинус, тангенс числового аргумента
  • 2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства
  • 2.2 Иррациональные уравнения/неравенства
  • 2.3 Показательные уравнения/неравенства
  • 2.4 Логарифмические уравнения/неравенства
  • 2.5 Тригонометрические уравнения/неравенства
  • 2.9 Системы и совокупности уравнений/неравенств

Проект демоверсии

Структура по проекту демоверсии ФИПИ 2027; официальную версию ФИПИ публикует в ноябре. По проекту спецификации ФИПИ 2027 (обсуждение до 30 сентября 2026).

Источник — ФИПИ, проект спецификации КИМ ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня (28 августа 2026).

Как решать

  1. Приведите уравнение к одной функции заменой или разложением на множители.
  2. Запишите полный ответ пункта а с периодом и целым параметром.
  3. Для пункта б решите неравенство относительно этого параметра или отметьте корни на окружности.
  4. Выпишите отобранные корни явно и в том виде, в каком их просят.

Типичные ошибки

  • Теряют серию корней, разделив обе части уравнения на выражение с переменной.
  • Ставят период в два раза больше или меньше нужного.
  • Отбирают корни на глаз, без неравенства или окружности, и промахиваются на границе отрезка.
Совет на экзамене

Даже если отбор не выходит, оформите пункт а до конца: это половина стоимости задания и примерно пять минут работы.

Теория по заданию 14

Синус, косинус, тангенс числового аргументаКонспект с разбором Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенстваКонспект с разбором Иррациональные уравнения/неравенстваКонспект с разбором Показательные уравнения/неравенстваКонспект с разбором Логарифмические уравнения/неравенстваКонспект с разбором Тригонометрические уравнения/неравенстваКонспект с разбором

Пример с разбором

Пример
Найди значение выражения sin²(7π/6) + cos(4π/3) + tg(5π/4).
Считаем каждое слагаемое отдельно. Общий приём один: представить аргумент в виде «π плюс острое число», определить четверть и снять знак. Первое слагаемое. 7π/6=π+π/67\pi/6 = \pi + \pi/6 — отсчитываем от π\pi, поэтому имя функции не меняем. Точка попадает в третью четверть, синус там отрицателен: sin⁡7π6=sin⁡(π+π6)=−sin⁡π6=−12\sin\dfrac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2} В выражении стоит квадрат синуса, а минус в квадрате пропадает: sin⁡27π6=(−12)2=14=0,25\sin^2\dfrac{7\pi}{6} = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 Второе слагаемое. 4π/3=π+π/34\pi/3 = \pi + \pi/3: имя не меняем, точка снова в третьей четверти, косинус там отрицателен. cos⁡4π3=cos⁡(π+π3)=−cos⁡π3=−0,5\cos\dfrac{4\pi}{3} = \cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -0{,}5 Третье слагаемое. 5π/4=π+π/45\pi/4 = \pi + \pi/4: имя не меняем, третья четверть, но тангенс в ней положителен — знаки синуса и косинуса совпали. tg⁡5π4=tg⁡(π+π4)=tg⁡π4=1\operatorname{tg}\dfrac{5\pi}{4} = \operatorname{tg}\left(\pi + \dfrac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} = 1 Складываем три числа: 0,25+(−0,5)+1=0,750{,}25 + (-0{,}5) + 1 = 0{,}75 Проверь себя по формату: 0,75 — конечная десятичная дробь, ровно то, что принимает бланк части 1. Если бы вышло что-то вроде 3/2\sqrt{3}/2, это был бы сигнал вернуться и поискать ошибку в знаке или в приведении. Ответ: 0,75.

Разбор из темы «Синус, косинус, тангенс числового аргумента» в разделе теории.

Коротко

Вопросы про задание 14

Сколько баллов даёт задание 14 ЕГЭ по профильной математике?

За задание 14 можно получить максимум 2 балла из 33 первичных баллов всей работы. Форма ответа — развёрнутое решение, два пункта.

Какой уровень сложности у задания 14 по профильной математике?

Задание 14 относится к заданиям повышенного уровня сложности; таких в работе 11 из 20.

Сколько времени тратить на задание 14?

Закладывайте около 10 минут: на всю работу даётся 3 часа 55 минут при 20 заданий. Если решение не приходит за это время, отметьте номер и вернитесь к нему позже.

Какие темы нужно знать для задания 14?

По кодификатору ФИПИ задание 14 опирается на разделы: Синус, косинус, тангенс числового аргумента; Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства; Иррациональные уравнения/неравенства и ещё 4.