Задание 14 ЕГЭ 2027 по профильной математике: Уравнение с отбором корней

Задание 14 ЕГЭ 2027 по профильной математике — «Уравнение с отбором корней»: повышенный уровень, 2 балла из 33 первичных за всю работу, ответ — развёрнутое решение, два пункта. На номер стоит закладывать около 10 минут, на всю работу даётся 3 часа 55 минут. С чего начать: приведите уравнение к одной функции заменой или разложением на множители.

По данным ФИПИ, на экзамене 2026 года средний результат по этому заданию (тогда — номер 13) — 46,2 % от максимального балла. Источник — методические рекомендации ФИПИ по итогам экзамена 2026 года, приложение, с. 44.

Для выпускников 2026/2027 учебного года — экзамен в июне 2027 · страница обновлена

Материал сверен с официальными документами ФИПИ и Рособрнадзора · как мы это проверяем. Первоисточник: Проект спецификации КИМ ЕГЭ 2027 по профильной математике: приложение «Обобщённый план варианта КИМ», задание 14 (файл «МА-11 ЕГЭ 2027 СПЕЦ_профильный.pdf» в архиве ФИПИ); Методические рекомендации ФИПИ по итогам экзамена 2026 года: математика (базовый и профильный уровни), приложение, с. 44; ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027.

Что проверяет задание 14 и сколько баллов оно даёт?

Первое задание с развёрнутым решением, обычно тригонометрическое уравнение. Пункт а — решить уравнение в общем виде, пункт б — отобрать корни, попавшие в заданный отрезок. Пункты оцениваются раздельно, поэтому даже без отбора корней аккуратно решённый пункт а приносит балл из двух.

Задание 14 ЕГЭ 2027 по профильной математике коротко
Уровень сложностиповышенный
Максимальный балл2 балла
Форма ответаразвёрнутое решение, два пункта
Сколько минут закладывать10 минут
Средний результат в 2026 году46,2 % от максимального балла (ФИПИ)
Коды кодификатора
  • 1.5 Синус, косинус, тангенс числового аргумента
  • 2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства
  • 2.2 Иррациональные уравнения/неравенства
  • 2.3 Показательные уравнения/неравенства
  • 2.4 Логарифмические уравнения/неравенства
  • 2.5 Тригонометрические уравнения/неравенства
  • 2.9 Системы и совокупности уравнений/неравенств

Проект демоверсии

Структура по проекту демоверсии ФИПИ 2027; официальную версию ФИПИ публикует в ноябре. По проекту спецификации ФИПИ 2027.

Источник — ФИПИ, проект спецификации КИМ ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня (28 августа 2026).

Как решать задание 14 ЕГЭ по профильной математике?

  1. Приведите уравнение к одной функции заменой или разложением на множители.
  2. Запишите полный ответ пункта а с периодом и целым параметром.
  3. Для пункта б решите неравенство относительно этого параметра или отметьте корни на окружности.
  4. Выпишите отобранные корни явно и в том виде, в каком их просят.

Что нужно знать для задания 14?

Простейшее тригонометрическое уравнение. Простейшее тригонометрическое уравнение — уравнение вида sin x = a, cos x = a или tg x = a. К нему сводят любое тригонометрическое уравнение, чтобы применить формулу общего решения. Подробнее в теме

Система уравнений. Система уравнений (неравенств) — несколько условий, связанных союзом «и»: решение обязано удовлетворять всем сразу, поэтому ответ собирают пересечением множеств решений. Совокупность связывает условия союзом «или», и её ответ — объединение. Подробнее в теме

Как решается задание 14 на примере?

Пример с решением и ответом
а) Реши уравнение cos x = −1/2. б) Найди корни, принадлежащие отрезку [0; 3π].
Пункт а). Сначала проверка на существование корней: |-1/2| ≤ 1, значит корни есть. Работает формула для косинуса — с плюс-минус и периодом 2π. Считаем арккосинус отрицательного числа по формуле arccos (-a) = π - arccos a. Так как arccos (1/2) = π/3, получаем arccos (-1/2) = π - π/3 = 2π/3. x = ±arccos (-1/2) + 2π n = ±2π/3 + 2π n, n ∈ ℤ Пункт б). Отрезок [0; 3π] длиннее полного оборота, поэтому окружность тут неудобна: точки на ней начнут накладываться. Надёжнее перебрать n по каждой серии отдельно. Чтобы сравнивать без десятичных дробей, приведём границы к общему знаменателю: 0 = 0, 3π = 9π/3. Серия 1: x = 2π/3 + 2π n. При n = 0: x = 2π/3, и 0 ≤ 2π/3 ≤ 9π/3 — подходит. При n = 1: x = 2π/3 + 2π = 8π/3, и 8π/3 < 9π/3 — подходит. При n = 2: x = 2π/3 + 4π = 14π/3 — это больше 9π/3, вылетело. При n = -1: x = 2π/3 - 2π = -4π/3 — меньше нуля, тоже вылетело. Дальше проверять незачем: серия монотонно уходит от отрезка в обе стороны. Серия 2: x = -2π/3 + 2π n. При n = 0: x = -2π/3 < 0 — не подходит. При n = 1: x = -2π/3 + 2π = 4π/3, и 4π/3 < 9π/3 — подходит. При n = 2: x = -2π/3 + 4π = 10π/3 — больше 9π/3, не подходит. Собираем корни из обеих серий по возрастанию: 2π/3; 4π/3; 8π/3. Грубая проверка в уме: 3π ≈ 9,4, а корни примерно 2,1; 4,2 и 8,4 — все внутри отрезка, четвёртого корня рядом нет. Обрати внимание, что забытая вторая серия стоила бы здесь корня 4π/3, а неверный период π n вместо 2π n подарил бы лишние числа, которые уравнению не удовлетворяют. По критериям задания 14 пункт б) весит столько же, сколько пункт а), — ошибка отбора стоит ровно балл. Ответ: а) x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ ℤ; б) 2π/3; 4π/3; 8π/3.

Разбор из темы «Синус, косинус, тангенс числового аргумента» в разделе теории.

Написать ответ и проверить по критериям

Напишите ответ здесь — в кабинете он откроется готовым, и разбор придёт по критериям этого задания.

Этот номер проверяется по критериям

Ответ развёрнутый: баллы за него ставит эксперт по критериям ФИПИ, автоматической проверки для такого формата не бывает. Разбор и пример выше, а потренироваться с проверкой ответа можно на быстрых номерах предмета:

Задание 10 — 41 задание Задание 11 — 42 задания Задание 12 — 39 заданий Задание 13 — 64 задания

На чём теряют баллы в задании 14?

  • Теряют серию корней, разделив обе части уравнения на выражение с переменной.
  • Ставят период в два раза больше или меньше нужного.
  • Отбирают корни на глаз, без неравенства или окружности, и промахиваются на границе отрезка.
Совет на экзамене

Даже если отбор не выходит, оформите пункт а до конца: это половина стоимости задания и примерно пять минут работы.

Какую теорию повторить к заданию 14?

Тригонометрические уравнения/неравенстваГлавная тема задания Системы и совокупности уравнений/неравенствГлавная тема задания Логарифмические уравнения/неравенстваКонспект с разбором Синус, косинус, тангенс числового аргументаКонспект с разбором Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенстваКонспект с разбором Иррациональные уравнения/неравенстваКонспект с разбором Ещё 1 тема к заданию 14Все темы по профильной математике

Теория к этому номеру

Кроме тем выше, задание 14 опирается ещё на 1 тему кодификатора, и по ней есть конспект:

Коротко

Вопросы про задание 14

Что проверяет задание 14 ЕГЭ по профильной математике — «Уравнение с отбором корней»?

Первое задание с развёрнутым решением, обычно тригонометрическое уравнение. Пункт а — решить уравнение в общем виде, пункт б — отобрать корни, попавшие в заданный отрезок. Пункты оцениваются раздельно, поэтому даже без отбора корней аккуратно решённый пункт а приносит балл из двух.

Сколько баллов даёт задание 14 ЕГЭ по профильной математике?

Максимум 2 балла из 33 первичных баллов всей работы; уровень сложности — повышенный. Баллы начисляются по критериям ФИПИ: за каждый выполненный критерий отдельно.

Как записывать ответ в задании 14 и как его проверяют?

Форма ответа — развёрнутое решение, два пункта. Ответ развёрнутый, поэтому его оценивает эксперт по критериям ФИПИ, а не сверяет с эталоном. Мгновенная проверка развёрнутого ответа по критериям есть в веб-кабинете.

За что снимают балл в задании 14 ЕГЭ по профильной математике?

Чаще всего на этом: теряют серию корней, разделив обе части уравнения на выражение с переменной; ставят период в два раза больше или меньше нужного; отбирают корни на глаз, без неравенства или окружности, и промахиваются на границе отрезка.

Какие темы нужно знать для задания 14?

По кодификатору ФИПИ задание 14 опирается на разделы: Синус, косинус, тангенс числового аргумента; Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства; Иррациональные уравнения/неравенства и ещё 4.

Какие типы заданий встречаются в задании 14 ЕГЭ по профильной математике?

В банке тренажёра НейроМиши задание 14 встречается в таких вариантах: уравнения (тригонометрические); уравнения (тригонометрические, показательные); тригонометрическое уравнение; тригонометрическое уравнение с отбором; показательное уравнение с отбором.