Тригонометрические формулы: все в одной таблице

Опорных формул четыре: sin^2 α + cos^2 α = 1, cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β, sin 2α = 2 sin α cos α и cos 2α = cos^2 α − sin^2 α. Остальные выводятся из них — или берутся из таблицы.

Основные тригонометрические формулы

Тригонометрические тождества, формулы сложения, половинного угла, понижения степени, суммы и произведения
ФормулаЗаписьКогда верна, откуда берётся
Основное тождествоsin^2 α + cos^2 α = 1при любом α; по синусу находит косинус с точностью до знака
Тангенсtg α = (sin α)/(cos α)cos α ≠ 0
Котангенсctg α = (cos α)/(sin α)sin α ≠ 0
Тангенс и котангенсtg α · ctg α = 1sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0
Тангенс через косинус1 + tg^2 α = 1/(cos^2 α)основное тождество, делённое на cos^2 α
Котангенс через синус1 + ctg^2 α = 1/(sin^2 α)основное тождество, делённое на sin^2 α
Синус суммыsin(α + β) = sin α cos β + cos α sin βпри любых α и β
Синус разностиsin(α − β) = sin α cos β − cos α sin βпри любых α и β
Косинус суммыcos(α + β) = cos α cos β − sin α sin βзнак в середине противоположен знаку в скобке
Косинус разностиcos(α − β) = cos α cos β + sin α sin βиз неё выводятся остальные формулы сложения
Тангенс суммыtg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β)tg α tg β ≠ 1; тангенсы α, β и α + β существуют
Тангенс разностиtg(α − β) = (tg α − tg β)/(1 + tg α tg β)tg α tg β ≠ −1; тангенсы α, β и α − β существуют
Понижение степени: синусsin^2 α = (1 − cos 2α)/2из cos 2α = 1 − 2sin^2 α
Понижение степени: косинусcos^2 α = (1 + cos 2α)/2из cos 2α = 2cos^2 α − 1
Понижение степени: тангенсtg^2 α = (1 − cos 2α)/(1 + cos 2α)cos 2α ≠ −1
Синус половинного углаsin α/2 = ±√((1 − cos α)/2)знак — как у синуса в четверти угла α/2
Косинус половинного углаcos α/2 = ±√((1 + cos α)/2)знак — как у косинуса в четверти угла α/2
Тангенс половинного углаtg α/2 = (sin α)/(1 + cos α) = (1 − cos α)/(sin α)без знака ±: знак даёт сама дробь; первая запись — при cos α ≠ −1, вторая — при sin α ≠ 0
Сумма синусовsin α + sin β = 2 sin (α + β)/2 cos (α − β)/2сумму превращает в произведение — нужно, чтобы приравнять к нулю
Разность синусовsin α − sin β = 2 sin (α − β)/2 cos (α + β)/2полуразность — под синусом
Сумма косинусовcos α + cos β = 2 cos (α + β)/2 cos (α − β)/2оба множителя — косинусы
Разность косинусовcos α − cos β = −2 sin (α + β)/2 sin (α − β)/2минус перед двойкой легко потерять
Произведение синусовsin α sin β = 1/2(cos(α − β) − cos(α + β))произведение превращает в сумму — удобно для интеграла и оценки
Произведение косинусовcos α cos β = 1/2(cos(α − β) + cos(α + β))складывают формулы косинуса суммы и разности
Синус на косинусsin α cos β = 1/2(sin(α + β) + sin(α − β))складывают формулы синуса суммы и разности

Формулы приведения вида sin(π − α) = sin α собраны на отдельной странице — формулы приведения, а значения углов 30°, 45°, 60° — в таблице синусов и косинусов.

Тригонометрические формулы: основные тригонометрические формулы
Тригонометрические формулы: основные тригонометрические формулы — neuromisha.ruСохранить картинку

Как устроена таблица формул?

Формулы разбиты на группы: тождества, сложение, половинный угол, понижение степени, переход от суммы к произведению и обратно. Двойной угол вынесен в отдельную таблицу ниже. Введите в поиск название — «косинус суммы», «понижение» — или функцию, и останутся только нужные строки. В последнем столбце — когда формула верна и откуда она берётся.

Скачать PDFА4, 2 листа, 211 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика

Формулы двойного угла

Формулы двойного и тройного угла для синуса, косинуса, тангенса и котангенса
ФормулаЗаписьКогда верна, откуда берётся
Синус двойного углаsin 2α = 2 sin α cos αсинус суммы при β = α
Косинус двойного углаcos 2α = cos^2 α − sin^2 αкосинус суммы при β = α
Косинус двойного угла через косинусcos 2α = 2cos^2 α − 1sin^2 α заменён на 1 − cos^2 α
Косинус двойного угла через синусcos 2α = 1 − 2sin^2 αcos^2 α заменён на 1 − sin^2 α
Тангенс двойного углаtg 2α = (2 tg α)/(1 − tg^2 α)tg α ≠ ±1; тангенс α существует
Котангенс двойного углаctg 2α = (ctg^2 α − 1)/(2 ctg α)sin 2α ≠ 0
Синус двойного угла через тангенсsin 2α = (2 tg α)/(1 + tg^2 α)cos α ≠ 0
Косинус двойного угла через тангенсcos 2α = (1 − tg^2 α)/(1 + tg^2 α)cos α ≠ 0
Квадрат суммы синуса и косинуса(sin α + cos α)^2 = 1 + sin 2αраскрыли скобки и применили основное тождество
Синус тройного углаsin 3α = 3 sin α − 4 sin^3 αсинус суммы 2α + α
Косинус тройного углаcos 3α = 4 cos^3 α − 3 cos αкосинус суммы 2α + α

Три записи cos 2α — одна формула. Выбирают ту, после которой в уравнении останется одна функция: если рядом стоит sin x, берут 1 − 2sin^2 x, если cos x — берут 2cos^2 x − 1.

Какую формулу двойного угла выбрать?

Формулы двойного угла — частный случай формул сложения: в sin(α + β) и cos(α + β) подставляют β = α. Поэтому их не обязательно учить отдельно, но на экзамене готовая запись экономит минуту.

Главное решение — какая из трёх записей cos 2α нужна. В уравнении cos 2x + sin x = 0 заменяем cos 2x = 1 − 2sin^2 x и получаем квадратное уравнение относительно sin x: −2sin^2 x + sin x + 1 = 0, откуда sin x = 1 или sin x = −1/2. Если бы рядом стоял cos x, взяли бы 2cos^2 x − 1.

Формулы понижения степени — те же равенства, прочитанные справа налево: из cos 2α = 1 − 2sin^2 α сразу получается sin^2 α = (1 − cos 2α)/2. Их применяют, когда квадрат мешает, например в интеграле от sin^2 x.

Как пользоваться формулами на примере?

Найдём sin 2α, если sin α = 3/5 и α лежит во II четверти. По основному тождеству cos^2 α = 1 − 9/25 = 16/25. Во II четверти косинус отрицателен, значит cos α = −4/5. Тогда sin 2α = 2 · 3/5 · (−4/5) = −24/25 = −0,96.

Косинус 15° — через разность: cos 15° = cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2 = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

Где ошибаются чаще всего?

  • Считают, что sin 2α = 2 sin α. Проверка на α = 30°: sin 60° ≈ 0,87, а 2 sin 30° = 1.
  • Путают знак в косинусе суммы: cos(α + β) = cos α cos β минус sin α sin β.
  • Ставят ± в формуле половинного угла и не выбирают знак. Знак определяет четверть угла α/2, а не угла α.
  • Делят обе части уравнения на sin x или cos x и теряют корни, где они равны нулю. Надёжнее вынести общий множитель за скобки.

Проверь себя

Тригонометрические формулы: 5 вопросов. Сразу видно, что уже помнишь без таблицы.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 16 ЕГЭ по базовой математике. Пригодится период синуса 360°: отбросьте полные обороты — останется угол из таблицы значений.

  1. Задание 16 ЕГЭ

    Найдите значение выражения 10sin 1170°.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Тригонометрические формулы нужны в двух местах экзамена: в вычислениях первой части и в уравнении второй, где формула двойного угла сводит всё к одной функции.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Какие тригонометрические формулы нужно знать наизусть?

Основное тождество sin^2 α + cos^2 α = 1, определения тангенса и котангенса, формулы сложения и двойного угла. Понижение степени и половинный угол выводятся из косинуса двойного угла за одну строку.

Чему равен синус двойного угла?

sin 2α = 2 sin α cos α. Например, если sin α = 0,6, а cos α = 0,8, то sin 2α = 2 · 0,6 · 0,8 = 0,96.

Сколько формул у косинуса двойного угла?

Одна, но в трёх записях: cos^2 α − sin^2 α, 2cos^2 α − 1 и 1 − 2sin^2 α. Вторая и третья получаются из первой заменой по основному тождеству.

Даются ли тригонометрические формулы на ЕГЭ?

Частично. В справочных материалах профильной демоверсии ЕГЭ 2027 четыре формулы: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. В базовой — основное тождество, определения через прямоугольный треугольник и значения для стандартных углов. Остальные формулы нужно помнить или выводить.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела