Таблица интегралов и первообразных
Таблица интегралов, главные строки: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C при n ≠ −1, ∫ dx/x = ln|x| + C, ∫ e^x dx = e^x + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C.
Таблица интегралов и первообразных для 11 класса
Такой функции в таблице нет. Попробуйте: степень, корень, синус, косинус, экспонента.
| Функция f(x) | Интеграл и первообразная | Условие |
|---|---|---|
| k (постоянная) | ∫ k dx = kx + C | в частности, ∫ 0 dx = C |
| x^n | ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C | n ≠ −1 |
| 1/x | ∫ dx/x = ln|x| + C | x ≠ 0 |
| 1/(x^2) | ∫ dx/(x^2) = −1/x + C | x ≠ 0; частный случай степени при n = −2 |
| √x | ∫ √x dx = 2/3x√x + C | x ≥ 0; √x = x^(1/2) |
| 1/(√x) | ∫ dx/(√x) = 2√x + C | x > 0 |
| e^x | ∫ e^x dx = e^x + C | экспонента — первообразная сама себе |
| a^x | ∫ a^x dx = (a^x)/(ln a) + C | a > 0, a ≠ 1 |
| sin x | ∫ sin x dx = −cos x + C | знак минус — частая ошибка |
| cos x | ∫ cos x dx = sin x + C | |
| 1/(cos^2 x) | ∫ dx/(cos^2 x) = tg x + C | cos x ≠ 0 |
| 1/(sin^2 x) | ∫ dx/(sin^2 x) = −ctg x + C | sin x ≠ 0 |
Проверка любой строки — продифференцировать правую часть: получится функция из левого столбца. Производные для такой проверки — в таблице производных, первообразная на ЕГЭ встречается в задании 9 профильной математики.
Как пользоваться таблицей интегралов?
Первообразная F(x) для функции f(x) — такая функция, что F′(x) = f(x). В первой таблице — первообразные функций школьной программы, во второй — интегралы, которые добавляются в вузе. К любой первообразной можно прибавить постоянную C. Ниже — правила интегрирования, формула Ньютона — Лейбница и площадь под графиком.
Скачать PDFА4, 2 листа, 238 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Правила интегрирования и формула Ньютона — Лейбница
| Правило | Формула | Пояснение |
|---|---|---|
| Сумма | ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx | интегрируют каждое слагаемое |
| Постоянный множитель | ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx | число выносят за знак интеграла |
| Линейный аргумент | ∫ f(kx + b) dx = 1/kF(kx + b) + C | k ≠ 0; пример: ∫ cos 3x dx = 1/3 sin 3x + C |
| Формула Ньютона — Лейбница | ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) | F — любая первообразная f на отрезке [a; b] |
| Площадь криволинейной трапеции | S = ∫_a^b f(x) dx | f(x) ≥ 0 на [a; b] |
| Площадь между графиками | S = ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx | f(x) ≥ g(x) на [a; b] |
Полная таблица интегралов для студентов: дополнение
| Функция f(x) | Интеграл | Условие |
|---|---|---|
| 1/(1 + x^2) | ∫ dx/(1 + x^2) = arctg x + C | |
| 1/(a^2 + x^2) | ∫ dx/(a^2 + x^2) = 1/a arctg x/a + C | a ≠ 0 |
| 1/(√(1 − x^2)) | ∫ dx/(√(1 − x^2)) = arcsin x + C | |x| < 1 |
| 1/(√(a^2 − x^2)) | ∫ dx/(√(a^2 − x^2)) = arcsin x/a + C | a > 0, |x| < a |
| 1/(x^2 − a^2) | ∫ dx/(x^2 − a^2) = 1/(2a) ln|(x − a)/(x + a)| + C | a ≠ 0, x ≠ ±a; «высокий логарифм» |
| 1/(√(x^2 + A)) | ∫ dx/(√(x^2 + A)) = ln|x + √(x^2 + A)| + C | A ≠ 0; «длинный логарифм» |
| tg x | ∫ tg x dx = −ln|cos x| + C | cos x ≠ 0 |
| ctg x | ∫ ctg x dx = ln|sin x| + C | sin x ≠ 0 |
Как находить первообразную по таблице?
Разбейте функцию на слагаемые, вынесите числа за знак интеграла и возьмите каждую строку из таблицы. Пример: ∫ (3x^2 − 4x + 5) dx = 3 · (x^3)/3 − 4 · (x^2)/2 + 5x + C = x^3 − 2x^2 + 5x + C. Проверка: (x^3 − 2x^2 + 5x)′ = 3x^2 − 4x + 5.
Определённый интеграл считают по формуле Ньютона — Лейбница: ∫_0^2 x^2 dx = (2^3)/3 − (0^3)/3 = 8/3. Постоянная C здесь не нужна: она сокращается при вычитании F(b) − F(a).
Первообразная, неопределённый и определённый интеграл — в чём разница?
- Первообразная — одна функция F(x), у которой F′(x) = f(x). Например, x^2 — первообразная для 2x.
- Неопределённый интеграл ∫ f(x) dx — все первообразные сразу: F(x) + C, где C — любое число.
- Определённый интеграл ∫_a^b f(x) dx — число, равное F(b) − F(a). Если f(x) ≥ 0, это площадь под графиком на отрезке [a; b].
Проверь себя
Первообразные и интегралы: 5 вопросов, от простых к трудным. Строки таблицы, линейный аргумент и площадь.
Дальше — задание 9 по профильной математике. Производная по графику — 33 задания с проверкой, без регистрации.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Первообразная и площадь криволинейной трапеции входят в кодификатор профильной математики. На ЕГЭ они встречаются в задании 9 и в задачах второй части, где нужны начала анализа.
- Задание 9 профильной математикиПроизводная и первообразная по графику, площадь под графиком через интеграл.
- Задание 17 профильной математикиМодель реальной ситуации с началами анализа: производная и интеграл в прикладной задаче.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Чем первообразная отличается от интеграла?
Первообразная — одна функция F(x), производная которой равна f(x). Неопределённый интеграл — множество всех первообразных F(x) + C. Определённый интеграл — число F(b) − F(a).
Зачем в ответе писать + C?
У функции бесконечно много первообразных, и они отличаются на постоянную: производная константы равна нулю. Запись + C показывает все сразу. Если в задаче дано значение F в точке, C находят из него.
Есть ли таблица первообразных в справочных материалах ЕГЭ?
Нет. В справке профильной математики только синус и косинус двойного угла и суммы; первообразные и производные нужно помнить. Подробнее — на странице справочные материалы ЕГЭ.
Как проверить, что первообразная найдена верно?
Продифференцировать ответ. Если получилась исходная функция — всё верно: (x^4/4 + C)′ = x^3. Таблица производных — на отдельной странице.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике профильного уровня: первообразные элементарных функций, площадь криволинейной трапеции, формула Ньютона — Лейбница
- Проверка таблицы — каждая строка проверяется дифференцированием правой части; числовые примеры пересчитаны