Признаки равенства треугольников: таблица
Три признака равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по трём сторонам. Если у треугольников равны эти элементы, то равны и все остальные стороны и углы.
Три признака равенства треугольников
Такого признака нет. Для треугольников их три; признаки прямоугольных треугольников — во второй таблице.
| Признак | Формулировка | Какие элементы равны | Кратко |
|---|---|---|---|
| Первый | Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. | AB = A_1 B_1, AC = A_1 C_1, ∠A = ∠A_1 | по двум сторонам и углу между ними (СУС) |
| Второй | Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. | AB = A_1 B_1, ∠A = ∠A_1, ∠B = ∠B_1 | по стороне и двум прилежащим углам (УСУ) |
| Третий | Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. | AB = A_1 B_1, BC = B_1 C_1, AC = A_1 C_1 | по трём сторонам (ССС) |
Равенство треугольников записывают так: △ABC = △A_1 B_1 C_1, и порядок букв важен — соответственные вершины стоят на одних местах. Из равенства треугольников следует равенство всех соответственных сторон и углов.
Как пользоваться таблицей?
Треугольники равны, если совпадают три нужных элемента: две стороны и угол между ними, сторона и два прилежащих угла или три стороны. В первой таблице — три признака с краткой записью, во второй — признаки для прямоугольных треугольников, в третьей — признаки подобия. Ниже — как оформить доказательство и какие наборы элементов не работают.
Скачать PDFА4, 1 лист, 185 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Признаки равенства прямоугольных треугольников
| Признак | Что равно | Откуда следует |
|---|---|---|
| По двум катетам | оба катета | первый признак: прямые углы лежат между катетами |
| По катету и прилежащему острому углу | катет и острый угол при нём | второй признак |
| По гипотенузе и острому углу | гипотенуза и острый угол | второй признак: вторые острые углы тоже равны (дополняют до 90°) |
| По катету и противолежащему острому углу | катет и острый угол напротив него | второй признак: равны и прилежащие к катету острые углы |
| По гипотенузе и катету | гипотенуза и один из катетов | доказывается отдельно; по теореме Пифагора равны и вторые катеты |
В прямоугольных треугольниках прямой угол уже равен, поэтому хватает двух элементов, и хотя бы один из них — сторона. По двум острым углам равенства нет: так получаются только подобные треугольники.
Признаки подобия треугольников
| Признак подобия | Условие | Что следует |
|---|---|---|
| Первый — по двум углам | ∠A = ∠A_1, ∠B = ∠B_1 | стороны пропорциональны: AB/(A_1 B_1) = BC/(B_1 C_1) = AC/(A_1 C_1) = k |
| Второй — по двум сторонам и углу между ними | AB/(A_1 B_1) = AC/(A_1 C_1), ∠A = ∠A_1 | равны и остальные углы |
| Третий — по трём сторонам | AB/(A_1 B_1) = BC/(B_1 C_1) = AC/(A_1 C_1) | равны все соответственные углы |
| Отношение периметров | треугольники подобны с коэффициентом k | P/(P_1) = k |
| Отношение площадей | треугольники подобны с коэффициентом k | S/(S_1) = k^2 |
Равные треугольники — частный случай подобных, с коэффициентом k = 1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному, — самый частый способ получить подобие в задачах.
Как доказать равенство треугольников?
- Отметьте на рисунке всё, что дано: равные стороны — одинаковыми чёрточками, равные углы — одинаковыми дугами.
- Найдите общие элементы. Общая сторона, вертикальные углы, углы при параллельных прямых часто дают третий нужный элемент.
- Назовите признак и перечислите три равных элемента по порядку: «AB = CD по условию, ∠ABD = ∠CDB как накрест лежащие, BD — общая сторона».
- Сделайте вывод: «△ABD = △CDB по первому признаку, значит, AD = CB как соответственные стороны».
Почему нет признака по трём углам и по двум сторонам и углу не между ними?
Три равных угла задают форму треугольника, но не размер: равносторонние треугольники со сторонами 1 и 10 имеют одинаковые углы по 60°, но не равны. Это признак подобия, а не равенства.
Две стороны и угол, не лежащий между ними, иногда задают два разных треугольника. Если отложить от вершины угла сторону и провести из её конца окружность радиусом второй стороны, окружность может пересечь другую сторону угла в двух точках. Исключение — прямоугольные треугольники: для них работает признак по гипотенузе и катету.
Какие свойства доказывают через признаки равенства?
Почти все свойства из курса 7 класса. Высота равнобедренного треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника (по гипотенузе и катету), поэтому углы при основании равны, а высота одновременно медиана и биссектриса. Через первый признак доказывают свойство серединного перпендикуляра, через второй — что диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
Проверь себя
Какой признак равенства работает: 5 вопросов, от простых к трудным. В доказательстве главное — назвать признак и три равных элемента, остальное следует само.
Дальше — задание 8 по базовой математике. Верные утверждения — 33 задания с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 8 ЕГЭ по базовой математике. Высота равнобедренного треугольника делит его на два треугольника, равных по гипотенузе и катету, — отсюда равенство углов при основании и то, что высота служит медианой и биссектрисой.
-
Задание 8 ЕГЭ
О равнобедренном треугольнике: 1) Два угла при основании равны. 2) Высота к основанию является медианой. 3) Все три стороны равны. 4) Биссектриса из вершины является высотой к основанию. Какие верны?
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Отдельного задания на признаки равенства в ЕГЭ нет, но на них держатся задачи по планиметрии: в задании 8 базового уровня выбирают верные утверждения о треугольниках, в задании 1 профиля используют подобие, а в задании 18 без признаков равенства и подобия не обойтись в доказательстве.
- Задание 8 ЕГЭ базы: верные утвержденияСвойства равнобедренного треугольника и параллелограмма.
- Задание 1 ЕГЭ профиля: планиметрияПлощади подобных треугольников, высота равнобедренного треугольника.
- Задание 18 ЕГЭ профиля: планиметрия с доказательствомПункт а — доказать равенство или подобие треугольников.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Сколько признаков равенства треугольников?
Три основных: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам. Для прямоугольных треугольников есть ещё признаки по двум катетам, по гипотенузе и катету, по гипотенузе и острому углу, по катету и острому углу.
Чем признак равенства отличается от признака подобия?
Признак равенства говорит, что треугольники совпадают при наложении. Признак подобия — что у них одинаковая форма, а стороны пропорциональны с коэффициентом k. Равные треугольники подобны с k = 1.
Можно ли доказать равенство по стороне и двум углам, если один угол не прилежит к стороне?
Да. Сумма углов треугольника 180°, поэтому третьи углы тоже равны, и к равной стороне прилежат два равных угла — работает второй признак.
В каком классе изучают признаки равенства треугольников?
В 7 классе, в начале курса геометрии. Признаки равенства прямоугольных треугольников — в конце 7 класса, признаки подобия — в 8 классе.
Источники
- Геометрия. 7–9 классы: учебник Л. С. Атанасяна и др. (М.: Просвещение) — первый, второй и третий признаки равенства треугольников; признаки равенства прямоугольных треугольников; признаки подобия
- ФИПИ: кодификатор и спецификация ЕГЭ по математике — планиметрия: треугольник, признаки равенства и подобия; задания 8, 12 базового и 1, 18 профильного уровня