Тригонометрический круг со всеми значениями
Углу α на единичной окружности соответствует точка (cos α; sin α): косинус — абсцисса, синус — ордината. Например, углу 30°, то есть π/6, соответствует точка (√3/2; 1/2), а углу 90° — точка (0; 1).
Тригонометрический круг: углы и координаты точек
Такого угла в таблице нет. Введите угол, кратный 30° или 45°, от 0 до 360.
| Угол, градусы | Радианы | x = cos α | y = sin α | Четверть |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | на оси |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | I |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | I |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | I |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | на оси |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | II |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | II |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | II |
| 180° | π | −1 | 0 | на оси |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | III |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | III |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | III |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | на оси |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | IV |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | IV |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | IV |
| 360° | 2π | 1 | 0 | на оси |
Координаты точки — это (cos α; sin α). Углы, которые отличаются на целое число оборотов, дают одну и ту же точку: 30°, 390° и −330° — это точка (√3/2; 1/2).
Как пользоваться тригонометрическим кругом?
Тригонометрический круг — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Угол откладывают от точки (1; 0) против часовой стрелки, и у полученной точки абсцисса равна косинусу угла, а ордината — синусу. На рисунке отмечены все табличные углы в градусах и радианах, в таблице под ним — координаты каждой точки.
Скачать PDFА4, 2 листа, 221 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям
| Четверть | Углы | sin | cos | tg и ctg |
|---|---|---|---|---|
| I | от 0 до π/2 (0°–90°) | + | + | + |
| II | от π/2 до π (90°–180°) | + | − | − |
| III | от π до 3π/2 (180°–270°) | − | − | + |
| IV | от 3π/2 до 2π (270°–360°) | − | + | − |
Синус положителен в верхней половине круга, косинус — в правой. Тангенс положителен там, где у синуса и косинуса одинаковые знаки.
Простейшие тригонометрические уравнения на круге
| Уравнение | Решение, k ∈ ℤ | Что на круге |
|---|---|---|
| sin x = a, |a| ≤ 1 | x = (−1)^k arcsin a + πk | две точки с ординатой a, симметричные относительно оси Oy |
| cos x = a, |a| ≤ 1 | x = ±arccos a + 2πk | две точки с абсциссой a, симметричные относительно оси Ox |
| tg x = a | x = arctg a + πk | две противоположные точки на одной прямой с центром |
| sin x = 0 | x = πk | точки (1; 0) и (−1; 0) |
| cos x = 0 | x = π/2 + πk | точки (0; 1) и (0; −1) |
| sin x = 1 | x = π/2 + 2πk | одна верхняя точка (0; 1) |
| cos x = −1 | x = π + 2πk | одна левая точка (−1; 0) |
Как запомнить тригонометрический круг?
Достаточно первой четверти. Углы π/6, π/4, π/3 — это 30°, 45°, 60°, а их точки имеют координаты (√3/2; 1/2), (√2/2; √2/2), (1/2; √3/2). В остальных четвертях те же точки отражены относительно осей: меняются только знаки координат.
Радианы удобно считать долями π: полкруга — π, четверть — π/2. Угол 5π/6 — это π без π/6, то есть точка во второй четверти, симметричная точке π/6 относительно оси Oy: (−√3/2; 1/2).
Как отбирать корни с помощью круга?
Отметьте на круге точки, которые дают решения, и пройдите по кругу от начала отрезка до его конца, выписывая углы. Пример: 2 sin x = 1 на отрезке [0; 2π]. sin x = 1/2 в точках π/6 и 5π/6; за один оборот от 0 до 2π каждая встречается один раз, поэтому корней два: π/6 и 5π/6.
Отрицательные углы откладывают по часовой стрелке: −π/2 — нижняя точка (0; −1), та же, что и 3π/2.
Проверь себя
Точки на тригонометрическом круге: 5 вопросов, от простых к трудным. Координаты точек, радианы, четверти и знаки.
Дальше — задание 8 по профильной математике. Значение выражения — 40 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 17 ЕГЭ по базовой математике. Пригодится круг: синус равен 1/2 в двух точках — π/6 и 5π/6, и наименьший положительный корень даёт первая из них.
-
Задание 17 ЕГЭ
Решите уравнение sin(πx/6) = 1/2. В ответе укажите наименьший положительный корень.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Тригонометрический круг нужен везде, где в задании есть синус, косинус или тангенс: в значениях выражений, уравнениях и отборе корней. В справочных материалах базовой математики круг напечатан, в профильной — нет.
- Задание 14 профильной математикиТригонометрическое уравнение и отбор корней на отрезке — по кругу.
- Задание 8 профильной математикиЗначение выражения: знак функции по четверти и формулы приведения.
- Задание 17 базовой математикиПростейшее уравнение с синусом: корни берутся по точкам круга.
- Задание 16 базовой математикиСинус и косинус угла больше 360°: отбросить полные обороты.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Что такое единичная окружность?
Окружность радиуса 1 с центром в начале координат. На ней удобно определять синус и косинус любого угла: координаты точки, в которую переходит точка (1; 0) при повороте на угол α, — это (cos α; sin α).
Где на круге синус, а где косинус?
Косинус — по горизонтальной оси, это абсцисса точки. Синус — по вертикальной оси, это ордината. В паре (cos α; sin α) косинус стоит первым — так же, как x в паре координат (x; y).
Как перевести радианы в градусы?
Заменить π на 180°: 3π/4 = 3 · 180° / 4 = 135°. Обратно — умножить на π и разделить на 180: 210° = 210π/180 = 7π/6.
Дают ли тригонометрический круг на ЕГЭ?
В базовой математике — да, он есть в справочных материалах вместе с таблицей значений (по демоверсии 2026 года). В профильной круга в справке нет. Подробнее — на странице справочные материалы ЕГЭ.
Источники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — кодификатор ЕГЭ по математике: радианная мера угла, синус, косинус, тангенс произвольного угла, простейшие тригонометрические уравнения; справочные материалы базового уровня
- Рисунок и таблица — положения точек и координаты вычислены программой из тех же точных значений, что таблица синусов; расхождение точного и вычисленного значения останавливает сборку