Формулы приведения: полная таблица

Если угол отложен от π/2 или 3π/2, функция меняется: синус на косинус, тангенс на котангенс. От π и 2π — остаётся прежней. Знак ставят такой, какой у исходной функции в четверти исходного угла: cos(π − α) = −cos α.

Таблица формул приведения

Формулы приведения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса: аргумент в строке, функция в столбце
Аргументsincostgctg
π/2 − α (90° − α)cos αsin αctg αtg α
π/2 + α (90° + α)cos α−sin α−ctg α−tg α
π − α (180° − α)sin α−cos α−tg α−ctg α
π + α (180° + α)−sin α−cos αtg αctg α
3π/2 − α (270° − α)−cos α−sin αctg αtg α
3π/2 + α (270° + α)−cos αsin α−ctg α−tg α
2π − α (360° − α)−sin αcos α−tg α−ctg α
2π + α (360° + α)sin αcos αtg αctg α

Строка 2π + α — это период: полный оборот ничего не меняет. Для тангенса и котангенса период короче — π, поэтому tg(π + α) = tg α. Формулы тангенса и котангенса верны там, где обе части определены.

Синус, косинус, тангенс угла

sin 30°
= 1/2 = 0,5
cos 30°
= √3/2 ≈ 0,8660
tg 30°
= √3/3 ≈ 0,5774
ctg 30°
= √3 ≈ 1,7321
Формулы приведения: таблица формул приведения
Формулы приведения: таблица формул приведения — neuromisha.ruСохранить картинку

Как пользоваться таблицей?

В строке таблицы — аргумент, в столбце — функция, на пересечении — то, во что она превращается. Строка π − α и столбец cos дают cos(π − α) = −cos α. Формулы верны при любом α, а знак удобнее всего проверять, считая α острым углом. Под таблицей — правило, которое заменяет зубрёжку всех 32 формул, и разобранные примеры.

Скачать PDFА4, 1 лист, 136 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу

Обновлено · Математика

Отрицательный угол: чётность и нечётность

Синус, косинус, тангенс и котангенс отрицательного угла
ФункцияЗначение от −αФункция чётная или нечётная
sinsin(−α) = −sin αнечётная
coscos(−α) = cos αчётная
tgtg(−α) = −tg αнечётная
ctgctg(−α) = −ctg αнечётная

Минус из-под косинуса просто исчезает, из-под остальных трёх функций — выносится вперёд: cos(−60°) = cos 60° = 1/2, sin(−30°) = −1/2.

Как вывести любую формулу приведения без таблицы?

Хватает двух вопросов. Первый: от какой оси отложен угол? Если в скобке стоит π/2 или 3π/2 (90° или 270°) — это вертикальная ось, и функция меняется на «парную»: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и обратно. Если стоит π или 2π (180° или 360°) — ось горизонтальная, функция остаётся прежней. Школьная подсказка: киваем головой вдоль вертикальной оси — «да, меняем», мотаем вдоль горизонтальной — «нет, не меняем».

Второй вопрос — знак. Считаем α острым углом, находим, в какой четверти лежит исходный аргумент, и берём знак исходной функции в этой четверти. Например, 3π/2 + α лежит в IV четверти, косинус там положителен, поэтому cos(3π/2 + α) = +sin α. Знаки по четвертям собраны в таблице синусов и косинусов.

Как применять формулы приведения на примерах?

  • sin 150°. 150° = 180° − 30°. Ось горизонтальная — синус остаётся синусом. 150° лежит во II четверти, синус там положителен. Итог: sin 150° = sin 30° = 1/2.
  • tg 300°. 300° = 270° + 30°. Ось вертикальная — тангенс меняется на котангенс. 300° лежит в IV четверти, тангенс там отрицателен. Итог: tg 300° = −ctg 30° = −√3. Тот же ответ даёт запись 360° − 60°: tg 300° = −tg 60° = −√3 — от выбора разложения результат не зависит.
  • cos(−1020°). Косинус чётный: cos(−1020°) = cos 1020°. Отбрасываем два полных оборота: 1020° − 720° = 300°. Дальше 300° = 360° − 60°, ось горизонтальная, IV четверть, косинус положителен: cos 300° = cos 60° = 1/2.

Где чаще всего ошибаются?

  • Берут знак новой функции, а не исходной. В cos(π/2 + α) знак определяет косинус во II четверти — он отрицателен, поэтому ответ −sin α, хотя синус во II четверти положителен.
  • Забывают сначала убрать полные обороты. Угол 750° сводится к 30°, а не к 150° или 210°: 750° − 2 · 360° = 30°.
  • Меняют функцию при π ± α. Замена синуса на косинус бывает только при π/2 и 3π/2, то есть на вертикальной оси.
  • Путают радианы и градусы в одной записи: π − 30° смешивает две меры. Приводите всё к одной.

Проверь себя

Формулы приведения: 5 вопросов. Сразу видно, что уже помнишь без таблицы.

Задача ЕГЭ по этой таблице

Задание 16 ЕГЭ по базовой математике. Пригодится строка «2π + α»: полный оборот значение синуса не меняет, лишние 360° отбрасывают.

  1. Задание 16 ЕГЭ

    Найдите значение выражения 10sin 1170°.

    Показать ответ

Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день

Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Формулы приведения на ЕГЭ почти никогда не спрашивают отдельно — они стоят внутри вычислений и уравнений, где без них не добраться до табличного угла.

Теория по теме:

Потренироваться на заданиях

Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.

Задачи по теме — с проверкой Разбор заданий ЕГЭ по математике

Вопросы и ответы

Что такое формулы приведения?

Это равенства, которые сводят синус, косинус, тангенс или котангенс угла вида π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α и 2π − α к функции от самого α. С их помощью значение любого угла находят через угол от 0° до 90°.

Как запомнить формулы приведения?

Не запоминать, а выводить по правилу из двух шагов. Отложено от 90° или 270° — функция меняется на парную, от 180° или 360° — остаётся. Знак — как у исходной функции в той четверти, где лежит исходный угол, если α острый.

Чему равен cos(π/2 + α)?

cos(π/2 + α) = −sin α. Ось вертикальная, поэтому косинус меняется на синус. Угол π/2 + α лежит во II четверти, где косинус отрицателен, отсюда минус.

Верны ли формулы приведения, если α не острый угол?

Да, формулы верны при любом α, для тангенса и котангенса — там, где они определены. Острым α считают только для того, чтобы быстро определить знак по четверти.

Источники

Другие справочные таблицы

Все таблицы по математике · все таблицы раздела