Свойства логарифмов: формулы и примеры
log_a(xy) = log_a x + log_a y, log_a x/y = log_a x − log_a y, log_a x^k = k log_a x, a^(log_a b) = b. Условия: a > 0, a ≠ 1, числа под логарифмом положительны.
Свойства логарифмов: формулы
Такого свойства нет. Попробуйте: произведение, частное, степень, тождество, новое основание.
| Свойство | Формула | Условия и пример |
|---|---|---|
| Определение | log_a b = c ⇔ a^c = b | a > 0, a ≠ 1, b > 0; log_3 81 = 4, потому что 3^4 = 81 |
| Основное логарифмическое тождество | a^(log_a b) = b | 5^(log_5 7) = 7 |
| Логарифм степени основания | log_a a^c = c | log_7 49 = log_7 7^2 = 2 |
| Логарифм произведения | log_a(xy) = log_a x + log_a y | x > 0, y > 0; log_6 4 + log_6 9 = log_6 36 = 2 |
| Логарифм частного | log_a x/y = log_a x − log_a y | x > 0, y > 0; log_2 56 − log_2 7 = log_2 8 = 3 |
| Логарифм степени | log_a x^k = k log_a x | x > 0; log_2 8^5 = 5 · 3 = 15 |
| Логарифм корня | log_a √x = 1/2 log_a x | x > 0; log_3 √27 = 3/2 |
| Степень в основании | log_(a^k) b = 1/k log_a b | k ≠ 0; log_4 32 = 1/2 log_2 32 = 2,5 |
| Переход к новому основанию | log_a b = (log_c b)/(log_c a) | c > 0, c ≠ 1; (lg 64)/(lg 4) = log_4 64 = 3 |
| Перестановка основания и числа | log_a b = 1/(log_b a) | b ≠ 1; log_2 5 · log_5 2 = 1 |
| Цепочка оснований | log_a b · log_b c = log_a c | log_3 5 · log_5 9 = log_3 9 = 2 |
| Обмен основания и показателя | a^(log_b c) = c^(log_b a) | 4^(log_2 3) = 3^(log_2 4) = 9 |
Во всех строках основания положительны и не равны 1, а числа под логарифмом положительны. Формулы работают в обе стороны: в вычислениях сумму логарифмов обычно сворачивают в логарифм произведения.
Как пользоваться таблицей свойств?
Главные свойства логарифмов: логарифм произведения равен сумме логарифмов, частного — разности, показатель степени выносится множителем: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y, logₐ xᵏ = k·logₐ x. Все они следуют из определения logₐ b = c ⇔ aᶜ = b. В таблице — все формулы с условиями и примерами вычислений для ЕГЭ.
Скачать PDFА4, 1 лист, 274 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Частные случаи и особые логарифмы
| Запись | Значение или правило | Пример |
|---|---|---|
| log_a 1 | 0 | log_17 1 = 0, потому что 17^0 = 1 |
| log_a a | 1 | log_5 5 = 1 |
| log_a 1/a | −1 | log_2 0,5 = −1 |
| lg b | десятичный логарифм, основание 10 | lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2 |
| ln b | натуральный логарифм, основание e ≈ 2,718 | ln e^2 = 2, ln 1 = 0 |
| log_a x^2 | 2 log_a |x| — с модулем, если x может быть отрицательным | log_3 x^2 определён при x ≠ 0, а 2 log_3 x — только при x > 0 |
| log_a b < 0 | при a > 1 и 0 < b < 1 | log_2 1/8 = −3 |
Сравнение логарифмов и неравенства
| Основание | Функция y = log_a x | Неравенство log_a f(x) > log_a g(x) |
|---|---|---|
| a > 1 | возрастает | f(x) > g(x) > 0 — знак сохраняется |
| 0 < a < 1 | убывает | 0 < f(x) < g(x) — знак меняется |
ОДЗ проверяют всегда: оба выражения под логарифмами положительны. Пример: log_2(x − 1) < 3 ⇔ 0 < x − 1 < 8, то есть 1 < x < 9.
Откуда берутся свойства логарифмов?
Логарифм — это показатель степени: log_a b — число, в которое нужно возвести a, чтобы получить b. Поэтому свойства логарифмов — те же свойства степеней, записанные для показателей.
Пример вывода: пусть log_a x = m и log_a y = n, то есть x = a^m и y = a^n. Тогда xy = a^(m + n), и log_a(xy) = m + n = log_a x + log_a y. Так же из a^m : a^n = a^(m − n) получается логарифм частного, а из (a^m)^k = a^(mk) — логарифм степени.
Примеры вычислений со свойствами логарифмов
log_3 18 − log_3 2 = log_3 9 = 2 — разность логарифмов с одним основанием свернули в логарифм частного.
2 log_5 10 − log_5 4 = log_5 100 − log_5 4 = log_5 25 = 2 — множитель занесли в показатель, потом свернули разность.
2^(3 + log_2 5) = 2^3 · 2^(log_2 5) = 8 · 5 = 40 — степень с суммой в показателе разложили на произведение, дальше основное тождество.
log_9 27 = log_(3^2) 3^3 = 3/2 = 1,5 — число и основание привели к степеням тройки.
Где ошибаются чаще всего?
- Раскладывают логарифм суммы: log_a(x + y) не равен log_a x + log_a y. Свойство есть только у произведения.
- Делят логарифмы как числа под ними: (log_2 8)/(log_2 4) = 3/2, а не log_2 2.
- Выносят чётную степень без модуля и теряют корни уравнения: log_3 x^2 = 2 log_3 |x|.
- Не меняют знак неравенства при основании меньше единицы.
Проверь себя
Свойства логарифмов: 5 вопросов. Сразу видно, что уже помнишь без таблицы.
Дальше — задание 8 по профильной математике. Значение выражения — 40 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 16 ЕГЭ по базовой математике. Пригодятся строки «Логарифм произведения» и «Логарифм степени основания»: сумму логарифмов с одинаковым основанием сворачивают в логарифм произведения, а log_{a} a^{c} = c.
-
Задание 1 из 2
Найдите значение выражения log₂5 + log₂(8/5).
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Найдите значение выражения log₅ 25 + log₅ 125.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Свойства логарифмов на ЕГЭ 2027 по профильной математике нужны как минимум в трёх заданиях: простейшее логарифмическое уравнение в задании 7, вычисление в задании 8, неравенство в задании 16. На базовом уровне — вычисление в задании 16.
- Задание 7 профильной математикиПростейшее уравнение: log_2(x + 5) = 4 и подобные.
- Задание 8 профильной математикиЗначение выражения: основное тождество, сумма и разность логарифмов.
- Задание 16 профильной математикиНеравенство с логарифмами: ОДЗ и монотонность.
- Задание 16 базовой математикиСтепени, корни, логарифмы: вычисление значения.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Какие свойства логарифмов нужны для ЕГЭ?
Определение с условиями a > 0, a ≠ 1, b > 0, основное тождество a^(log_a b) = b, логарифм произведения, частного и степени и переход к новому основанию. Этого хватает для заданий 7, 8 и 16 профиля.
Чему равен логарифм единицы?
Нулю при любом допустимом основании: log_a 1 = 0, потому что a^0 = 1.
Можно ли складывать логарифмы с разными основаниями?
Сразу — нет. Сначала переведите их к одному основанию по формуле log_a b = (log_c b)/(log_c a): например, log_4 x = 1/2 log_2 x.
Бывает ли логарифм отрицательным?
Да. При основании больше 1 логарифм числа от 0 до 1 отрицателен: log_2 0,25 = −2. Отрицательным не может быть число под логарифмом.
Источники
- ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике — кодификатор, разделы «Логарифм числа», «Преобразования выражений, включающих операцию логарифмирования», «Логарифмические уравнения и неравенства»
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка формул — каждое свойство и каждый пример пересчитаны программой при нескольких допустимых значениях переменных