Правила дифференцирования: таблица и производная сложной функции
Правила дифференцирования: (u ± v)′ = u′ ± v′, (Cu)′ = Cu′, (uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/(v^2), (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x). Например, (x^2 sin x)′ = 2x sin x + x^2 cos x, (sin 3x)′ = 3 cos 3x.
Правила дифференцирования
Такого правила нет. Попробуйте: сумма, множитель, произведение, частное, сложная.
| Правило | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Производная суммы и разности | (u ± v)′ = u′ ± v′ | (x^3 + sin x)′ = 3x^2 + cos x |
| Постоянный множитель | (Cu)′ = Cu′ | (7x^4)′ = 28x^3 |
| Производная произведения | (uv)′ = u′v + uv′ | (x^2 sin x)′ = 2x sin x + x^2 cos x |
| Произведение трёх множителей | (uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′ | каждый множитель дифференцируют по очереди |
| Производная частного | (u/v)′ = (u′v − uv′)/(v^2) | v ≠ 0; ((sin x)/x)′ = (x cos x − sin x)/(x^2) |
| Обратная величина | (1/v)′ = −v′/(v^2) | (1/(x^2 + 1))′ = −2x/((x^2 + 1)^2) |
| Производная сложной функции | (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x) | (sin x^2)′ = cos x^2 · 2x |
| Линейный аргумент | (f(kx + b))′ = k · f′(kx + b) | (e^(3x − 1))′ = 3e^(3x − 1) |
Производные «кирпичиков» — x^n, e^x, ln x, sin x — в таблице производных.
Как пользоваться правилами?
Правил дифференцирования пять: производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель выносится, (uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², а производная сложной функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней. В первой таблице — все правила с примерами, во второй — производные сложных функций вида f(u), где u — любое выражение от x, в третьей — разобранные функции от простых к трудным.
Скачать PDFА4, 2 листа, 262 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Производная сложной функции: таблица
Такой функции нет. Попробуйте: степень, корень, e, ln, sin, cos, tg.
| Функция | Производная | Пример |
|---|---|---|
| Степень выражения | (u^n)′ = nu^(n − 1) · u′ | ((3x − 1)^4)′ = 12(3x − 1)^3 |
| Корень из выражения | (√u)′ = u′/(2√u) | (√(2x + 1))′ = 1/(√(2x + 1)) |
| Единица на выражение | (1/u)′ = −u′/(u^2) | (1/(3x + 2))′ = −3/((3x + 2)^2) |
| Экспонента от выражения | (e^u)′ = e^u · u′ | (e^(x^2))′ = 2xe^(x^2) |
| Показательная от выражения | (a^u)′ = a^u ln a · u′ | (2^(3x))′ = 3 · 2^(3x) ln 2 |
| Логарифм выражения | (ln u)′ = u′/u | (ln(x^2 + 1))′ = 2x/(x^2 + 1) |
| Синус выражения | (sin u)′ = cos u · u′ | (sin 3x)′ = 3 cos 3x |
| Косинус выражения | (cos u)′ = −sin u · u′ | (cos x^2)′ = −2x sin x^2 |
| Тангенс выражения | (tg u)′ = u′/(cos^2 u) | (tg 2x)′ = 2/(cos^2 2x) |
| Квадрат синуса | (sin^2 x)′ = 2 sin x cos x = sin 2x | внешняя функция — квадрат, внутренняя — sin x |
Примеры: как применять правила
| Функция | Первое правило | Производная |
|---|---|---|
| x^3 − 4x^2 + 5 | сумма | 3x^2 − 8x |
| (x − 2)e^x | произведение | e^x + (x − 2)e^x = (x − 1)e^x |
| x ln x | произведение | ln x + 1 |
| (x^2 + 1)/x | лучше упростить: x + x^(−1) | 1 − 1/(x^2) |
| (2x + 3)/(x − 1) | частное | −5/((x − 1)^2) |
| cos(5x − 2) | сложная, аргумент линейный | −5 sin(5x − 2) |
| (x^2 + 1)^3 | сложная | 6x(x^2 + 1)^2 |
| x^2 − 8 ln x | сумма | 2x − 8/x |
| e^(2x) sin x | произведение, внутри — сложная | e^(2x)(2 sin x + cos x) |
Как найти производную сложной функции?
Сложная функция — функция от функции: в sin(x^2) внешняя функция — синус, внутренняя — x^2. Дифференцируют снаружи внутрь: берут производную внешней функции, не трогая аргумент, и умножают на производную внутренней: (sin(x^2))′ = cos(x^2) · 2x.
Если вложений несколько, множителей тоже несколько. Пример: y = sin^3(2x). Внешняя — куб, потом синус, потом 2x: y′ = 3 sin^2(2x) · cos 2x · 2 = 6 sin^2(2x) cos 2x.
С какого правила начинать?
Смотрите на последнее действие при вычислении функции. В (x − 2)e^x последнее действие — умножение, значит, начинаем с правила произведения. В e^(x^2) последнее — возведение e в степень, значит, это сложная функция.
Перед дифференцированием упрощайте: дробь (x^2 + 1)/x проще записать как x + x^(−1), чем применять правило частного, а (x + 1)^2 при желании — раскрыть.
Где ошибаются чаще всего?
- Дифференцируют произведение как произведение производных: (x sin x)′ не равно cos x.
- Меняют местами слагаемые в числителе частного: сначала u′v, потом минус uv′.
- Теряют множитель внутренней функции: (e^(3x))′ = 3e^(3x), а не e^(3x).
- Дифференцируют внутреннюю функцию, но заодно меняют аргумент внешней: (sin 2x)′ = 2 cos 2x, а не 2 cos x.
Проверь себя
Правила дифференцирования: найти производную: 5 вопросов, от простых к трудным. От суммы к произведению, частному и сложной функции.
Дальше — задание 9 по профильной математике. Производная по графику — 33 задания с проверкой, без регистрации.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Правила дифференцирования на ЕГЭ 2027 по профильной математике нужны в задании 9 (касательная, экстремумы) и в новом задании 17 с развёрнутым решением: там функцию нужно продифференцировать и обосновать, где у неё наибольшее или наименьшее значение.
- Задание 9 профильной математикиПроизводная: касательная, точки экстремума, промежутки монотонности.
- Задание 17 профильной математикиМодель реальной ситуации: производная и исследование функции.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Сколько всего правил дифференцирования?
Основных пять: производная суммы, вынесение постоянного множителя, производная произведения, частного и сложной функции. Остальное — следствия, например (1/v)′ = −v′/(v^2).
Как найти производную произведения трёх функций?
Дифференцировать по очереди каждый множитель, оставляя остальные: (uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′. Для x · e^x · sin x получится e^x sin x + xe^x sin x + xe^x cos x.
Чему равна производная сложной функции e в степени 2x?
(e^(2x))′ = e^(2x) · (2x)′ = 2e^(2x). Экспонента сохраняется, появляется множитель — производная показателя.
Нужно ли знать правило частного для ЕГЭ?
Да, в задании 17 встречаются дроби. Но часто дробь выгоднее упростить до суммы степеней — тогда хватит правила суммы.
Источники
- ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике — кодификатор, раздел «Начала математического анализа»: производная суммы, произведения, частного, сложной функции
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка формул — каждый пример из трёх таблиц и тренажёра сверен программой с численной производной в нескольких точках