Правильные многогранники: таблица и формулы
Правильных многогранников пять: тетраэдр (4 грани), куб (6), октаэдр (8), додекаэдр (12) и икосаэдр (20). Для всех верна формула Эйлера В − Р + Г = 2.
Правильные многогранники: грани, вершины, рёбра
Такого правильного многогранника нет. Их пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
| Многогранник | Грани | Граней | Вершин | Рёбер | У вершины |
|---|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | треугольники | 4 | 4 | 6 | 3 |
| Куб (гексаэдр) | квадраты | 6 | 8 | 12 | 3 |
| Октаэдр | треугольники | 8 | 6 | 12 | 4 |
| Додекаэдр | пятиугольники | 12 | 20 | 30 | 3 |
| Икосаэдр | треугольники | 20 | 12 | 30 | 5 |
Для всех выполняется формула Эйлера В − Р + Г = 2: у куба 8 − 12 + 6 = 2. Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр — двойственные пары: число граней одного равно числу вершин другого.
Как пользоваться таблицами?
Правильных многогранников ровно пять: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. У каждого все грани — одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер. В первой таблице — число граней, вершин и рёбер, во второй — площадь поверхности, объём и радиусы сфер через ребро a.
Скачать PDFА4, 1 лист, 191 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Площадь поверхности, объём и радиусы сфер
| Многогранник | Площадь поверхности S | Объём V | Радиус описанной R | Радиус вписанной r |
|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | a^2√3 | (a^3√2)/12 | a√6/4 | a√6/12 |
| Куб | 6a^2 | a^3 | a√3/2 | a/2 |
| Октаэдр | 2a^2√3 | (a^3√2)/3 | a√2/2 | a√6/6 |
| Додекаэдр | 3a^2√(25 + 10√5) ≈ 20,65a^2 | ((15 + 7√5)a^3)/4 ≈ 7,66a^3 | ≈ 1,401a | ≈ 1,114a |
| Икосаэдр | 5a^2√3 | (5(3 + √5)a^3)/12 ≈ 2,18a^3 | ≈ 0,951a | ≈ 0,756a |
Проверка любой строки: V = 1/3r · S — многогранник делится на пирамиды с вершиной в центре. Для тетраэдра 1/3 · a√6/12 · a^2√3 = (a^3√2)/12.
Почему правильных многогранников только пять?
В вершине сходятся минимум три грани, и сумма их плоских углов должна быть меньше 360°, иначе вершина «расплющится». Угол правильного треугольника 60°: в вершине помещаются 3, 4 или 5 треугольников (180°, 240°, 300°) — это тетраэдр, октаэдр и икосаэдр. Шесть треугольников дают ровно 360° — плоскость.
Угол квадрата 90°: помещаются только три — куб. Угол правильного пятиугольника 108°: тоже три (324°) — додекаэдр. У шестиугольника угол 120°, три дают 360°, поэтому многогранников из шестиугольников и многоугольников с большим числом сторон нет.
Пример: площадь поверхности и объём октаэдра
Октаэдр с ребром 3. Площадь поверхности S = 2 · 9 · √3 = 18√3 ≈ 31,2. Объём V = 27√2/3 = 9√2 ≈ 12,7. Октаэдр удобно представлять как две правильные четырёхугольные пирамиды, сложенные основаниями.
Проверь себя
Правильные многогранники: 5 вопросов, от простых к трудным. От числа граней к формуле Эйлера и площади поверхности.
Дальше — задание 3 по профильной математике. Стереометрия: объёмы и площади — 38 заданий с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 3 ЕГЭ по профильной математике. Пригодится строка «Тетраэдр» второй таблицы: площадь полной поверхности правильного тетраэдра a^{2}√{3}.
-
Задание 3 ЕГЭ
Правильный тетраэдр имеет ребро длины 4. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра. Ответ округлите до целого числа.
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Правильные многогранники на ЕГЭ встречаются в стереометрии: задание 3 профильной математики (площадь поверхности и объём, чаще всего тетраэдр и куб) и задание 15 с доказательством.
- Задание 3 профильной математикиСтереометрия: объёмы и площади поверхности, в том числе правильного тетраэдра.
- Задание 15 профильной математикиСтереометрия с доказательством: сечения и расстояния в кубе и пирамиде.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Какие многогранники называются правильными?
Выпуклые многогранники, у которых все грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер.
Какие правильные многогранники существуют?
Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их ещё называют платоновыми телами.
Что такое формула Эйлера для многогранников?
В − Р + Г = 2, где В — число вершин, Р — рёбер, Г — граней. Она верна для любого выпуклого многогранника, не только правильного.
Правильная пирамида — правильный многогранник?
Не всегда. Правильный многогранник среди пирамид только один — правильный тетраэдр, где все четыре грани — равносторонние треугольники.
Источники
- ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике — кодификатор, раздел «Геометрия»: многогранники, правильные многогранники
- ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка формул — площади, объёмы и радиусы пересчитаны программой; для каждого многогранника выполняется V = 1/3rS