Таблица производных: все формулы с примерами
Основные производные: (C)′ = 0, (x^n)′ = nx^(n − 1), (√x)′ = 1/(2√x), (e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/(cos^2 x). Производная сложной функции: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x).
Таблица производных элементарных функций
Такой функции нет. Попробуйте: степень, корень, e, логарифм, синус, тангенс, арксинус.
| Функция | Производная | Условие, пример |
|---|---|---|
| Постоянная | (C)′ = 0 | (7)′ = 0, (π^2)′ = 0 |
| Переменная | (x)′ = 1 | частный случай степени при n = 1 |
| Степень | (x^n)′ = nx^(n − 1) | n — любое число; (x^5)′ = 5x^4 |
| Квадрат | (x^2)′ = 2x | в точке x = 3 производная равна 6 |
| Куб | (x^3)′ = 3x^2 | в точке x = 2 производная равна 12 |
| Обратная величина | (1/x)′ = −1/(x^2) | x ≠ 0; это степень x^(−1) |
| Дробь с квадратом | (1/(x^2))′ = −2/(x^3) | x ≠ 0; это степень x^(−2) |
| Квадратный корень | (√x)′ = 1/(2√x) | x > 0; в точке x = 4 производная равна 1/4 |
| Корень n-й степени | (ⁿ√x)′ = 1/(n ⁿ√(x^(n − 1))) | степень x^(1/n) |
| Экспонента | (e^x)′ = e^x | единственная функция, равная своей производной (с точностью до множителя) |
| Показательная | (a^x)′ = a^x ln a | a > 0, a ≠ 1; (2^x)′ = 2^x ln 2 |
| Натуральный логарифм | (ln x)′ = 1/x | x > 0 |
| Логарифм по основанию a | (log_a x)′ = 1/(x ln a) | x > 0, a > 0, a ≠ 1 |
| Синус | (sin x)′ = cos x | в точке x = 0 производная равна 1 |
| Косинус | (cos x)′ = −sin x | минус — только у косинуса и котангенса |
| Тангенс | (tg x)′ = 1/(cos^2 x) | cos x ≠ 0 |
| Котангенс | (ctg x)′ = −1/(sin^2 x) | sin x ≠ 0 |
| Арксинус | (arcsin x)′ = 1/(√(1 − x^2)) | −1 < x < 1 |
| Арккосинус | (arccos x)′ = −1/(√(1 − x^2)) | −1 < x < 1 |
| Арктангенс | (arctg x)′ = 1/(1 + x^2) | при любом x |
| Арккотангенс | (arcctg x)′ = −1/(1 + x^2) | при любом x |
Первые девять строк — одна формула (x^n)′ = nx^(n − 1) при разных n: корень — это x^(1/2), дробь 1/x — это x^(−1). Обратные тригонометрические функции в ЕГЭ почти не встречаются, они для полноты таблицы.
Как пользоваться таблицей производных?
Главные строки таблицы производных: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x. В первой таблице — производные всех элементарных функций школьного курса, во второй — правила для суммы, произведения, частного и сложной функции, в третьей — смысл производной.
Скачать PDFА4, 2 листа, 263 КБ: таблица для печати и QR-код на эту страницу
Правила дифференцирования
| Правило | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Сумма и разность | (u ± v)′ = u′ ± v′ | (x^3 − 2x + 5)′ = 3x^2 − 2 |
| Постоянный множитель | (Cu)′ = Cu′ | (4 sin x)′ = 4 cos x |
| Произведение | (uv)′ = u′v + uv′ | (xe^x)′ = e^x + xe^x = (x + 1)e^x |
| Частное | (u/v)′ = (u′v − uv′)/(v^2) | v ≠ 0; (x/(x + 1))′ = 1/((x + 1)^2) |
| Сложная функция | (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x) | (sin 3x)′ = 3 cos 3x; (e^(2x))′ = 2e^(2x) |
| Линейный аргумент | (f(kx + b))′ = k · f′(kx + b) | (cos(5x − 2))′ = −5 sin(5x − 2) |
Подробно с разбором сложной функции — на странице правила дифференцирования.
Что показывает производная
| Факт | Формула или условие | Пример |
|---|---|---|
| Угловой коэффициент касательной | k = f′(x_0) = tg α | у y = x^2 в точке x_0 = 3 касательная имеет k = 6 |
| Уравнение касательной | y = f(x_0) + f′(x_0)(x − x_0) | для y = x^2 при x_0 = 3: y = 6x − 9 |
| Скорость и ускорение | v(t) = x′(t), a(t) = v′(t) | x(t) = t^3 − 3t^2 + 5t, v(2) = 5 |
| Возрастание | f′(x) > 0 на промежутке | y = x^3 + x: y′ = 3x^2 + 1 > 0 |
| Убывание | f′(x) < 0 на промежутке | y = −2x + 7: y′ = −2 |
| Точка максимума | f′ меняет знак с «+» на «−» | y = −x^2 + 6x: максимум в x = 3 |
| Точка минимума | f′ меняет знак с «−» на «+» | y = x^2 − 4x: минимум в x = 2 |
| Нуль производной без смены знака | не экстремум | y = x^3: y′(0) = 0, но функция возрастает |
Уравнение касательной с разбором — на странице уравнение касательной.
Как найти производную по таблице?
Сначала упростите выражение: раскройте скобки, корень и дробь запишите степенью. Потом определите последнее действие — сумма, произведение, частное или функция от функции — и возьмите нужное правило из второй таблицы. Производные «кирпичиков» берутся из первой.
Пример: f(x) = x^3 − 2√x + 4/x. По строкам «Куб», «Квадратный корень» и «Обратная величина»: f′(x) = 3x^2 − 1/(√x) − 4/(x^2). В точке x = 1 значение f′(1) = 3 − 1 − 4 = −2.
Пример со сложной функцией: f(x) = (3x − 1)^4. Внешняя функция — четвёртая степень, внутренняя — 3x − 1: f′(x) = 4(3x − 1)^3 · 3 = 12(3x − 1)^3.
Таблица производных для ЕГЭ: какие задания
По проекту спецификации ЕГЭ 2027 производная нужна в двух заданиях профильной математики. Задание 9 — по графику: знак производной, точки экстремума, касательная. Задание 17 — новое, с развёрнутым решением: описать ситуацию функцией и исследовать её производной.
В справочных материалах экзамена таблицы производных нет, поэтому строки «Степень», «Экспонента», «Натуральный логарифм», «Синус», «Косинус» и правила произведения, частного и сложной функции нужно знать наизусть.
Где ошибаются чаще всего?
- Считают производную произведения как произведение производных: (xe^x)′ не равно e^x, правильно (x + 1)e^x.
- Забывают множитель внутренней функции: (sin 3x)′ = 3 cos 3x, а не cos 3x.
- Путают знак: (cos x)′ = −sin x, а (sin x)′ = cos x без минуса.
- Путают (e^x)′ = e^x с (x^e)′ = ex^(e − 1) — у степени переменная в основании, у показательной — в показателе.
Проверь себя
Таблица производных: 5 вопросов. Сразу видно, что уже помнишь без таблицы.
Дальше — задание 9 по профильной математике. Производная по графику — 33 задания с проверкой, без регистрации.
Задача ЕГЭ по этой таблице
Задание 9 ЕГЭ по профильной математике. Пригодятся строки «Степень» и «Постоянная»: производная параболы x^{2} + 2x + 3 равна 2x + 2, а у касательной угловой коэффициент равен производной в точке касания. Точка минимума — там, где производная меняет знак с минуса на плюс.
-
Задание 1 из 2
Прямая y = -4x + b является касательной к параболе y = x^2 + 2x + 3. Найдите b.
Показать ответ
-
Задание 2 из 2
Функция f(x) определена на отрезке [-4; 6]. Её производная f'(x) = (x+2)(x-3). Найдите точку минимума функции f(x).
Показать ответ
Задания не загрузились. Обновите страницу или откройте тренажёр.
Задание дня ЕГЭ — каждый день одно новое: решить сегодняшнее · напоминание в Telegram раз в день
Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?
Производная в ЕГЭ 2027 по профильной математике — задание 9 (производная и функция по графику) и задание 17 (модель реальной ситуации, исследование функции с обоснованием).
- Задание 9 профильной математикиПроизводная по графику: знак, касательная, точки экстремума.
- Задание 17 профильной математикиМодель реальной ситуации: функция, производная, наибольшее или наименьшее значение.
Теория по теме:
Потренироваться на заданиях
Таблица помогает найти ответ, тренажёр — научиться находить его самому. В кабинете НейроМиши задания ЕГЭ с проверкой и разбором ошибки. Начать можно без регистрации.
Вопросы и ответы
Какие производные нужно знать наизусть для ЕГЭ?
Степенную функцию, e^x, ln x, sin x и cos x и четыре правила: сумма, произведение, частное, сложная функция. Производные tg x, a^x и log_a x встречаются реже, но выводятся из этого набора.
Чему равна производная корня из x?
(√x)′ = 1/(2√x) при x > 0. Это строка «Степень» для n = 1/2: 1/2x^(−1/2). В точке x = 9 производная равна 1/6.
Чему равна производная e в степени x?
(e^x)′ = e^x. Для сложного показателя добавляется множитель: (e^(2x))′ = 2e^(2x), (e^(x^2))′ = 2xe^(x^2).
Производная числа равна нулю всегда?
Да, производная любой постоянной равна нулю: (5)′ = 0, (ln 3)′ = 0, (π)′ = 0. Постоянный множитель при этом выносится: (5x)′ = 5.
Источники
- ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике — кодификатор, раздел «Начала математического анализа»: производная, её геометрический и физический смысл, производные элементарных функций, применение к исследованию функций
- ФИПИ: планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года — новая нумерация заданий и задание на моделирование с началами анализа
- Проверка формул — каждая строка первых двух таблиц сверена программой: производная из таблицы совпала с численной производной в десяти точках области определения